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考点40 椭圆


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考点 40 椭圆
一、选择题 1. (2013·新课标全国Ⅱ高考文科·T5)设椭圆 C :
x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右 a 2 b2

/>
P 是 C 上的点, 焦点分别为 F1 , F2 , 则 C 的离心率为 ( PF2 ? F1F2 , ?PF1F2 ? 30 ,



A.

3 6

B.

1 3

C.

1 2

D.

3 3

【解题指南】利用已知条件解直角三角形,将 PF1 , PF2 用半焦距 c 表示出来,然 后借助椭圆的定义,可得 a,c 的关系,从而得离心率. 【解析】选 D. 因为 PF2 ? F1F2 , ?PF1F2 ? 30 , 所以 PF2 ? 2c tan 30 ? 又 PF1 ? PF2 ?
2 3 4 3 c, PF1 ? c。 3 3

c 1 3 6 3 , c ? 2a ,所以 ? ? 3 a 3 3
3 ,选 D. 3
x2 y2 ? ? 1 的左、 右顶点分别为 A1 , A2 , 4 3

即椭圆的离心率为

2.(2013· 大纲版全国卷高考理科· T8)椭圆 C:

点 P 在 C 上且直线 PA2 斜率的取值范围是 ? ?2, ?1? ,那么直线 PA1 斜率的取值范围是 ( )
1 3 ? B. ? ,? ? ?8 4 ? 3 3

? A. ? ,? ? ?2 4?

-1-

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? C. ? 1? ? , 1 ?2 ?

? D. ? 1? ? , 3 ?4 ?
x2 y2 ? ? 1 中,得到 x0 与 y0 之间的关系,利用 k PA1 ? k PA2 4 3

【解题指南】将 P( x0 , y0 ) 代入到 为定值求解 k PA 的取值范围.
2

【解析】选 B.设 P( x0 , y0 ) ,则

2 x0 y2 y0 y + 0 = 1 , k PA2 ? , k PA1 ? 0 4 3 x0 ? 2 x0 ? 2

k PA1 ?k PA2

3 2 3 - x0 2 y0 3 3 3 3 1 = 2 4 = - ,故 k PA1 ? ? .因为 k PA2 ? [?2,?1] ,所以 k PA1 ? [ , ] 2 8 4 x0 - 4 x0 - 4 4 4 k PA2

3. (2013·大纲版全国卷高考文科·T8)已知 F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆 C 的两个焦点,过 F2 且垂直于 x 轴的直线交于 A,B 两点,且 ( ) A.
x2 ? y2 ? 1 2

=3,则 C 的方程为

B.

x2 y 2 ? ?1 3 2

C.

x2 y 2 ? ?1 4 3

D.

x2 y 2 ? ?1 5 4

【解题指南】由过椭圆

x2 y2 2b 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 ) 的焦点且垂直 轴的通径为 求解. x a a2 b2 x2 y2 b2 3 ? ? 1 ( a ? b ? 0 ) ? ,又 , 由 题 意 知 a 2 a2 b2

【 解 析 】 选 C. 设 椭 圆 得 方 程 为

1 x2 y2 c 2 ? a 2 ? b 2 ? 1,解得 a ? 2 或 a ? ? (舍去) ,而 b 2 ? 3 ,故椭圆得方程为 ? ? 1 . 2 4 3

4. (2013·四川高考文科·T9)从椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上一点 P 向 x 轴作垂 a 2 b2

线,垂足恰为左焦点 F1 , A 是椭圆与 x 轴正半轴的交点, B 是椭圆与 y 轴正半轴 的交点,且 AB / /OP ( O 是坐标原点) ,则该椭圆的离心率是( A.
2 4



B.

1 2

C.

2 2

D.

3 2

【解题指南】本题主要考查的是椭圆的几何性质,解题时要注意两个条件的应 用,一是 PF1 与 x 轴垂直,二是 AB / /OP
-2-

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【解析】选 C,根据题意可知点 P (c, y0 ) ,代入椭圆的方程可得 y0 2 ? b2 ? 据
e?
AB / / OP

b2c 2 ,根 a2

y0 b bc b2c 2 b 2 c2 PF1 BO 2 ? y ? , 可知 ,即 ,解得 0 , 即 b ? 2 ? 2 ,解 得 ? c a a a a F1O OA

c 2 ,故选 C. ? a 2

5. (2013·广东高考文科·T9)已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F (1, 0) , 离心率等于 ,则 C 的方程是( )
x2 y2 A. ? ? 1 3 4
1 2

x2 y2 B. ? ?1 4 3

x2 y2 C. ? ? 1 4 2

x2 y2 D. ? ? 1 4 3

【解题指南】本题考查圆锥曲线中椭圆的方程与性质,用好 a, b, c, e 的关系即可. 【解析】选 D.设 C 的方程为 C 的方程是
x2 y2 ? ? 1. 4 3 x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F,C a 2 b2
4 5 c 1 x2 y 2 ,则 c ? 1, e ? ? , a ? 2, b ? 3 , + 2 =1 ,(a > b > 0 ) 2 a 2 a b

6. (2013·辽宁高考文科·T11)已知椭圆 C :

与过原点的直线相交于 A,B 两点,连接 AF,BF. 若|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF= ,则 C 的离心率为 A.
3 5

( B.
5 7

) C.
4 5

D.

6 7

【解题指南】 由余弦定理解三角形,结合椭圆的几何性质(对称性)求出点到 右焦点的距离,进而求得 a , c 【解析】选 B.在三角形 ABF 中,由余弦定理得
AF ? AB ? BF ? 2 AB BF cos ?ABF ,又 AB ? 10, BF ? 8, cos ?ABF ?
2 2 2 2 2 2

4 5

解得 AF ? 6. 在三角形 ABF 中, AB ? 102 ? 82 ? 62 ? BF ? AF ,故三角形 ABF 为直 角三角形.设椭圆的右焦点为 F ? ,连接 AF ?, BF ? ,根据椭圆的对称性,四边形 AFBF ?
-3-

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为矩形, 则其对角线 FF ? ? AB ? 10, 且 BF ? AF ? ? 8 ,即焦距 2c ? 10, 又 据 椭 圆 的 定 义 , 得 AF ? AF ? ? 2a , 所 以 2a ? AF ? AF? ? 6 ? 8 ? 14 . 故 离 心 率
e? c 2c 5 ? ? . a 2a 7

二、填空题 7.(2013·江苏高考数学科·T12) 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的标准方程 为
x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ,右焦点为 F ,右准线为 l ,短轴的一个端点为 B ,设原点 a 2 b2

到直线 BF 的距离为 d1 , F 到 l 的距离为 d2 ,若 d2 ? 6d1 ,则椭圆 C 的离心率为 【解题指南】利用 d2 ? 6d1 构建参数 a,b,c 的关系式. 【解析】 由原点到直线 BF 的距离为 d1 得 d1 ? 又 d2 ? 6d1 所 以
e? 3 3 3 . 3
bc a2 , 因 F 到 l 的距离为 d2 故 d2 ? ? c , a c

b a2 bc bc 2 b ? c ? 6 ? a2 ? c2 ? 6 ? 1 ? e2 ? 6 e2 又 ? 1 ? e 2 解 得 a c a a a

【答案】

8.(2013·上海高考文科·T12)与(2013·上海高考理科·T9)相同 设 AB 是椭圆 ? 的长轴,点 C 在 ? 上,且 ?CBA ? 个焦点之间的距离为 .
?
4

.若 AB=4,BC= 2 ,则 ? 的两

【解析】 如图所示,以 AB 的中点 O 为坐标原点,建立如图所示的坐标系.

-4-

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设D在AB上,且CD ? AB, AB ? 4, BC ? 2, ?CBA ? 45? ? CD ? 1, DB ? 1, AD ? 3 ? C(1,1)
? 2a ? 4, 把C (1, 1)代入椭圆标准方程得 1 1 4 8 ? 2 ? 1, a 2 ? b 2 ? c 2 ? b 2 ? , c 2 ? 2 3 3 a b

? 2c ?

4 6 3
4 6 3 .

【答案】

9.(2013·福建高考文科·T15) 与(2013·福建高考理科·T14)相同 椭圆Γ :
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 F1,F2, 焦 距 为 2c. 若 直 线 a 2 b2

y= 3 ? x ? c ? 与椭圆Γ 的一个交点 M 满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率 等于
c a

.
2c ,而 2c 是焦距,2a 是定义中的|PF1|+|PF2|=2a,因此,如果题 2a

【解题指南】① e ? ?

目出现焦点三角形(由曲线上一点连接两个焦点而成),求解离心率,一般会选用这 种定义法: e ?
| F1 F2 | . | PF1 | ? | PF2 |
2

c2 ②求解离心率,还有一种方法,叫平方法.注意到 e ? 2 ,在具体问题中,结合基本量 a

关系式 a2=b2+c2 进行求解,显然这样的方法适合于题目给出标准方程的题. 【解析】∠ MF1F2 是直线的倾斜角 , 所以∠ MF1F2=60 ° , ∠ MF2F1=30 ° , 所以△ MF2F1 是 直 角 三 角 形 , 在 Rt △ MF2F1 中 ,|F2F1|=2c,|MF1|=c,|MF2|= 3c , 所 以
e? 2c 2c 2 ? ? ? 3 ?1 . 2a | MF1 | ? | MF2 | 3 ?1

【答案】

3 ?1 .
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F , a 2 b2
4 , 5

10. (2013·辽宁高考理科·T15)已知椭圆 C :

C 与过原点的直线相交于 A, B 两点,连接 AF , BF . 若 AB ? 10, AF ? 6, cos ?ABF ?

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则 C 的离心率 e ? ____ . 【解题指南】由余弦定理解三角形,结合椭圆的几何性质(对称性)求出点 A 到右焦点的距离,进而求得 a , c . 【解析】在三角形 ABF 中,由余弦定理得 AF ? AB ? BF ? 2 AB BF cos ?ABF ,又
AB ? 10, AF ? 6, cos ?ABF ?
A B? 1 2 0 ?
2 2 2 2 2

4 5

, 解 得
2

BF ? 8. 在 三 角 形

ABF

中 ,

8 ?

2

6 ? B F

2

ABF 为直角三角形。 ? A F ,故三角形

设椭圆的右焦点为 F ? ,连接 AF ?, BF ? ,根据椭圆的对称性,四边形 AFBF ? 为矩形, 则其对角线 FF ? ? AB ? 10, 且 BF ? AF ? ? 8 ,即焦距 2c ? 10, 又据椭圆的定义,得 AF ? AF ? ? 2a ,所以 2a ? AF ? AF? ? 6 ? 8 ? 14 . 故离心率 e ? ? 【答案】 . 三、解答题 11. (2013·陕西高考文科·T20) 已知动点 M(x,y)到直线 l:x=4 的距离是它到点 N(1,0)的距离的 2 倍. (1) 求动点 M 的轨迹 C 的方程; (2) 过点 P(0,3)的直线 m 与轨迹 C 交于 A, B 两点. 若 A 是 PB 的中点, 求直线 m 的斜率. 【解题指南】设出动点 M 的坐标,根据已知条件列方程即可;设出直线方程与 椭圆方程联立,得出 k 与 x1 ,x 2 的关系式,利用中点坐标即可得斜率. 【解析】(1) 点 M(x,y)到直线 x=4 的距离是它到点 N(1,0)的距离的 2 倍,则
| x ? 4 |? 2 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? x2 y2 ? ? 1. 4 3 x2 y2 ? ?1. 4 3
-6-

c a

2c 5 ? . 2a 7

5 7

所以,动点 M 的轨迹为椭圆,方程为

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2x1 ? 0 ? x 2, 2y1 ? 3 ? y2 , (2) P(0, 3), 设 A(x1, y1 ), B(x 2 , y2 ),由题意知:

椭圆的上下顶点坐标分别是 (0, 3)和(0,- 3), 经检验直线 m 不经过这 2 点,即直线 m 斜率 k 存在。 设直线m方程为: y ? kx ? 3 .联立椭圆和直线方程,整理得:
(3 ? 4k 2 ) x 2 ? 24 kx ? 24 ? 0 ? x1 ? x 2 ? ? 24 k 24 , x1 ? x 2 ? 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2

x1 x2 1 ( x ? x2 ) 2 ? 2 x1 ? x2 5 (?24k ) 2 9 3 ? ? ?2? 1 ? ? ? ?k ?? 2 x2 x1 2 x1 ? x2 2 2 (3 ? 4k ) ? 24 2

所以,直线 m 的斜率 k ? ? . 12. (2013·四川高考理科·T20) 已知椭圆 C : 点 P( , ) . (1)求椭圆 C 的离心率; (2)设过点 A(0, 2) 的直线 l 与椭圆 C 交于 M 、 N 两点,点 Q 是线段 MN 上的点, 且
2 1 1 ? ? ,求点 Q 的轨迹方程. 2 2 | AQ | | AM | | AN |2
4 1 3 3

3 2

x2 y 2 ? ? 1, (a ? b ? 0) 的两个焦点分别为 F1 (?1,0), F2 (1,0) ,且椭圆 C 经过 a 2 b2

【解题指南】 (1)关注椭圆的定义,利用定义求出 a , c ,再求出离心率; (2)首 先确定椭圆的方程,设出点 Q 的坐标,结合已知 的坐标满足的关系. 【解析】(1)由椭圆定义知,2a=|PF1|+|PF2|= 所以 a= 2,又由已知,c=1, c 1 2 所以椭圆的离心率 e=a= = 2 . 2 x2 2 (2)由(1)知,椭圆 C 的方程为 2 +y =1, 设点 Q 的坐标为(x,y). (ⅰ) 当直线 l 与 x 轴垂直时,直线 l 与椭圆 C 交于(0,1),(0,-1)两点,,此时点 Q 的坐
-7-

2 1 1 ? ? ,找到点 Q 2 2 | AQ | | AM | | AN |2

4 1 (3+1)2+(3)2+

4 1 (3?1)2+(3)2=2 2,

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3 5 标为(0,2? 5 ). (ⅱ) 当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y=kx+2,因为 M,N 在直线 l 上, 可设点 M,N 的坐标分别为 则 (x1,kx1 + 2),(x2,kx2 + 2) |AM|2=(1+k2)x12, |AN|2=(1+k2)x22, 又|AQ|2=(1+k2)x2, 2 1 1 2 1 1 由|AQ|2=|AM|2+|AN|2,得 (1+k2)x2=(1+k2)x 2+(1+k2)x 2, 1 2
2 2 1 1 (x1+x2) ?2 x1x2 即 x2= x 2+ x 2= , x12x12 1 2

① ②

x2 2 将 y=kx+2 代入 2 +y =1 中,得(2k2+1)x2+8kx+6=0. 3 由?=(8k)2?4(2k2+1)?6>0,得 k2>2.

?8k 6 由②可知,x1+x2=2k2+1,x1x2=2k2+1, 代入①并化简得 x2=

18 . 10k 2 ? 3



y?2 因为点 Q 在直线 y=kx+2 上, 所以 k= x , 代入③并化简,得 10(y?2)2?3x2=18. 3 3 6 6 由③及 k2>2,可知 0<x2<2,即 x?(? 2 ,0)∪(0, 2 ). 3 5 6 6 又(0,2? 5 )满足 10(y?2)2?3x2=18, 故 x?(? 2 , 2 ). 由题意,Q(x,y)在椭圆 C 内,所以?1?y?1, 99 又由 10(y?2)2=3x2+18 有(y?2)2?[5,4)且?1?y?1, 1 3 5 6 6 1 则 y?(2,2? 5 ].所以,点 Q 的轨迹方程为 10(y?2)2?3x2=18,其中 x?(? 2 , 2 ), y?(2,2 3 5 ? 5 ].

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