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【世纪金榜】2015高考数学专题辅导与训练配套练习:课时冲关练(三) 2.1函数的图象与性质]


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课时冲关练(三)
函数的图象与性质 (45 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 1.(2014·泰安模拟)函数 f(x)=lgx+ A.(0,2) B.[0,2] C.[0,2) 的定义域是 ( D

.(0,2] 解得 0<x≤2, ) 100 分)

【解析】选 D.要使函数 f(x)有意义,只需要 所以定义域为(0,2]. 2.(2014·陕西高考)下列函数中,满足“f 增函数是 =f

f(y)”的单调递

( A.f C.f =x3 = B.f(x)=3x D.f(x)= =f f

)

【解析】选 B.根据函数满足“f

”可以推出该函数为

指数函数 ,又函数为单调递增函数 ,所以底数大于 1,从而确定函数为 f(x)=3x. 3.(2014·太原模拟)函数 f(x)= 的图象不可能是 ( )

【 解 析 】 选 D. 当 a=0 时 ,f(x)= 时,f(0)=

= ,C 选 项 有 可 能 . 当 a ≠ 0

=0,所以 D 图象不可能,选 D.

4.(2014·烟台模拟)定义在 R 上的函数 f(x)在(-∞,2)上是增函数,且 f(x+2)的图象关于 y 轴对称,则 ( A.f(-1)<f(3) C.f(-1)=f(3) B.f(0)>f(3) D.f(0)=f(3) )

【解题提示】由函数 f(x+2)的图象关于 y 轴对称,可判断函数关于 x=2 对称.再结合单调性比较大小. 【解析】选 A.函数 f(x+2)的图象关于 y 轴对称,则 f(x)关于直线 x=2 对称,函数 f(x)在(-≦,2)上是增函数,所以在(2,+≦)上是减函数,所 以 f(-1)=f(5)<f(4)=f(0)<f(3),选 A. 5.(2014·杭州模拟)函数 f(x)=1+log3x 的定义域是[1,9],则函数 g(x)=f2(x)+f(x2)的值域是 ( A.(2,14] 【解析】选 C.由 B.[-2,+∞) ) C.(2,7]
? 1<x≤3.

D.[2,7]

故 g(x)的定义域为(1,3],设 t=log3x,则 0<t≤1. 而 g(x)=(1+log3x)2+1+log3x2 =(log3x)2+4log3x+2=t2+4t+2=(t+2)2-2,

由 0<t≤1 得 2<(t+2)2-2≤7.故选 C. 6.(2014· 济南模拟)当 0<x≤ 时,4x<logax,则 a 的取值范围是 ( A. B. C.(1, ) D.( ,2) )

【解析】选 B.因为 0<x≤ ,所以 4x>1, 又 4x<logax,所以 a∈(0,1), 则函数 y=4x 与 y=logax 的大致图象如图所示.

所以只需满足 loga >2 即可, 解之得 a> ,所以 <a<1. 【一题多解】本题还可用以下方法求解 因为 0<x≤ ,所以 4x>1,又 4x<logax,所以 a∈(0,1). 令 f(x)=4x-logax,则当 0<x≤ 时 f(x)<0,故只需 f(x)max<0,又 f(x)在 上单调递增,故当 x= 时,f(x)max=2-loga ,由 2-loga <0,解得 a> , 所以 <a<1. 【方法技巧】不等式恒成立问题解题技巧 (1) 分离参数法 :若在等式或不等式中出现两个变量 ,其中一个变量的 范围已知,另一个变量的范围为所求,且容易通过恒等变形将两个变量 分别置于等号或不等号的两边 ,则可将恒成立问题转化成函数的最值 问题求解.

①f(x)≥m 对任意 x 都成立 ? f(x)min≥m; ②f(x)≤m 对任意 x 都成立 ? m≥f(x)max. (2) 数形结合法 :若把不等式进行合理的变形后 ,能非常容易地画出不 等号两边函数的图象 ,这样就把一个很难解决的不等式的问题转化为 一个可行的函数图象的问题,然后从图象中寻找条件,就能解决问题. 【加固训练】(2014·武汉模拟)若定义在[-2015,2015]上的函数 f(x) 满足 : 对任意 x1,x2 ∈ [-2015,2015] 有 f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-2014, 且 x>0 时,f(x)>2014,记 f(x)在[-2015,2015]上的最大值和最小值为 M,N, 则 M+N 的值为 ( A.2015 ) C.4027 D.4028

B.2016

【解题提示】 先判断函数 f(x)在[-2015,2015]上的单调性,再根据单调 性求解. 【解析】选 D.令 x1=x2=0 得 f(0)=2014. 设-2015<x1<x2<2015, 且 x2=x1+h(h>0),则 f(h)>2014. 所以 f(x2)=f(x1+h)=f(x1)+f(h)-2014>f(x1). 可知 f(x)在[-2015,2015]上是增函数. 故 M+N=f(2015)+f(-2015)=f(2015-2015)+2014=f(0)+2014=4028. 7.(2014·温州模拟)已知 x,y∈R,若 x+y>cosx-cosy,则下面式子一定 成立的是 ( A.x+y<0 B.x+y>0 )

C.x-y>0

D.x-y<0

【解析】选 B.令 x=y>0,则 x+y>0,x-y=0,排除 A,C,D,故选 B. 8.(2014·嘉兴模拟)对非零实数 x,y,z,定义运算“⊕”满足: (1)x⊕x=1;(2)x⊕(y⊕z)=(x⊕y)·z,若 f(x)=e2x⊕ex-ex⊕e2x, 则下列判断正确的是 ( )

A.f(x)是增函数又是奇函数 B.f(x)是减函数又是奇函数 C.f(x)是增函数又是偶函数 D.f(x)是减函数又是偶函数 【解析】选 A.根据题意,因为 x ? (y ? z)=(x ? y)·z, 所以令 x=y=z,则 x ? (x ? x)=(x ? x)·x. 又因为 x ? x=1,所以 x ? 1=x; 又因为 x ? (y ? z)=(x ? y)·z. 所以令 y=z,则 x ? (y ? y)=(x ? y)·y, 所以(x ? y)·y=x⊕1=x, 所以 x ? y= . 所以 f(x)=e2x ? ex-ex ? e2x= =ex-e-x,

所以 f(x)的定义域是 R 且 f(-x)=e-x-ex=-(ex-e-x)=-f(x), 所以 f(x)是奇函数. 又因为 y=ex 是增函数,y=e-x 是减函数, 所以 y=-e-x 是增函数, 所以 f(x)=ex-e-x 是增函数,

所以 f(x)是奇函数也是增函数. 二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 9.函数 f(x)=ax+bsinx+1,若 f(5)=7,则 f(-5)= 【解析】f(5)=5a+bsin5+1=7, 所以 5a+bsin5=6. f(-5)=-5a-bsin5+1=-6+1=-5. 答案:-5 10.(2014 · 九 江 模 拟 ) 已 知 函 数 f(x)= f(f(-1))= 是 . =2,所以 f(f(-1))=f(2)=1-3×2=-5.由图象可知 则 .

; 若 f(2a2-3)>f(5a), 则 实 数 a 的 取 值 范 围

【解析】f(-1)=

函数 f(x)在定义域上单调递减,所以由 f(2a2-3)>f(5a)得,2a2-3<5a,即 2a2-5a-3<0,解得- <a<3,即实数 a 的取值范围是 .

答案:-5 11.(2014·温州模拟)已知函数 f(x)=x|x-a|,若对任意的 x1,x2∈[2,+ ∞ ) 且 x1 ≠ x2,(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0 恒成立 , 则实数 a 的取值范围 为 .

【解析】f(x)=x|x-a|的图象大致如图,

其在[a,+≦)上是一个增函数,因为对任意的 x1,x2∈[2,+≦), 且 x1≠x2,(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0, 所以 f(x)在[2,+≦)上是增函数. 所以 a≤2. 答案:(-≦,2] 12.(2014·西宁模拟)设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且对任意的 x∈R 恒有 f(x+1)=f(x-1),已知当 x∈[0,1]时,f(x)= ①2 是函数 f(x)的周期; ②函数 f(x)在(1,2)上单调递减,在(2,3)上单调递增; ③函数 f(x)的最大值是 1,最小值是 0. 其中所有正确命题的序号是 . ,则

【解析】 在 f(x+1)=f(x-1)中,令 x-1=t,则有 f(t+2)=f(t),因此 2 是函 数 f(x)的周期,故①正确, 由于 f(x)是偶函数,所以 f(x-1)=f(1-x), 结合 f(x+1)=f(x-1)得 f(1+x)=f(1-x), 故 f(x)的图象关于 x=1 对称. 当 x∈[0,1]时,f(x)= =2x-1 单调递增,

所以 f(x)在(1,2)上单调递减,在(2,3)上单调递增,故②正确. 由②知 ,f(x) 在一个周期区间 [0,2] 上的最大值为 f(1)=1, 最小值为

f(0)=f(2)= ,所以函数 f(x)的最大值为 1,最小值为 ,故③不正确. 答案:①② 【加固训练】(2014·唐山模拟)给出定义:若 m- <x≤m+ (其中 m 为整 数),则 m 叫做离实数 x 最近的整数,记作{x},即{x}=m.在此基础上给出 下列关于函数 f(x)=x-{x}的四个命题: ①y=f(x)的定义域是 R,值域是 ;

②点(k,0)是 y=f(x)的图象的对称中心,其中 k∈Z; ③函数 y=f(x)的最小正周期为 1; ④函数 y=f(x)在 上是增函数. . ,所以 f(x)=x-{x}=a∈ .所

则上述命题中,真命题的序号是 【解析】①中,令 x=m+a,a∈ 以正确.

② f(2k-x)=2k-x-{2k-x}=(-x)-{-x}=f(-x) ≠ -f(x), 所以点 (k,0) 不是 函数 f(x)的图象的对称中心,所以②错误. ③f(x+1)=x+1-{x+1}=x-{x}=f(x),所以周期为 1,正确.④令 x=- ,m=-1, 则f 所以 f = ,令 x= ,m=0,则 f =f = , 上是增函数错误.所以正

,所以函数 y=f(x)在

确的为①③. 答案:①③ 三、解答题(13~14 题每题 10 分,15~16 题每题 12 分,共 44 分) 13.已知函数 f(x)=ax+b(a>0,a≠1). (1)若 f(x)的图象如图(1)所示,求 a,b 的值.

(2)若 f(x)的图象如图(2)所示,求 a,b 的取值范围. (3)在(1)中,若|f(x)|=m 有且仅有一个实数解,求出 m 的范围.

【解析】(1)f(x)的图象过点 解得 a= ,b=-3.

,

,所以

(2)f(x)单调递减,所以 0<a<1,又 f 即 a0+b<0,所以 b<-1.

<0,

(3)画出 y=|f(x)|的草图,知当 m=0 或 m≥3 时,|f(x)|=m 有且仅有一个 实数解. 14.设函数 f(x)= g(x)=f(x)-ax,x∈[1,3],其中 a≥0,

记函数 g(x)的最大值与最小值的差为 h(a).求 h(a)的表达式并求 h(a) 的最小值. 【解析】g(x)= 当 1≤x≤2 时,g(x)max=1-a,g(x)min=1-2a, 当 2≤x≤3 时,若 0≤a≤1, 则 g(x)在[2,3]上递增. g(x)max=2-3a,g(x)min=1-2a, 若 a>1,则 g(x)在[2,3]上递减,

g(x)max=1-2a,g(x)min=2-3a, 所以当 0≤a≤ 时,g(x)max=2-3a, g(x)min=1-2a. <a≤1 时,g(x)max=1-a,g(x)min=1-2a, a>1 时,g(x)max=1-a,g(x)min=2-3a,

h(a)=

h(a)的最小值为 . 15.(2014·潍坊模拟)已知函数 f(x)=-x+log2 (1)求 f +f 的值. .

(2)当 x∈(-a,a],其中 a∈(0,1],a 是常数,函数 f(x)是否存在最小值? 若存在,求出 f(x)的最小值;若不存在,请说明理由. 【解析】(1)由 解得-1<x<1. 所以函数 f(x)的定义域为(-1,1). 又因为 f(-x)=x+log2 =x-log2 =-f(x), >0,得(x+1)(x-1)<0,

所以函数 f(x)为奇函数,即 f(-x)+f(x)=0, 所以 f +f =0.

(2)存在最小值,任取 x1,x2∈(-1,1)且设 x1<x2, 则 f(x2)-f(x1)=(x1-x2)+log2 log2 , -

易知 f(x2)-f(x1)<0,

所以函数 f(x)为(-1,1)上的减函数, 又 x∈(-a,a]且 a∈(0,1], 所以 f(x)min=f(a)=-a+log2 .

【讲评建议】在讲解本题时,请提醒学生注意以下几点: 1.注意函数的定义域:第(1)问判断函数的奇偶性时要先求出函数的定 义域,忽略函数的定义域容易判断错误. 2.注意解题的规范性:第(2)问为存在性问题,对于此类问题要先判断, 再求解,否则会导致解析不完整而失分. 16.(2014·深圳模拟)已知定义域为 R 的函数 f(x)= (1)求 a,b 的值. (2)若对任意的 t∈R,不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 恒成立,求 k 的取值 范围. 【解题提示】(1)利用 f(0)=0 及 f(1)=-f(-1)求解. (2)先考查函数的单调性,再结合单调性和奇偶性转化不等式. 【解析】(1)因为 f(x)是 R 上的奇函数, 所以 f(0)=0, 即 =0,解得 b=1,从而有 f(x)= =, . 是奇函数.

又由 f(1)=-f(-1),知 解得 a=2. 故 a=2,b=1. (2)由(1)知 f(x)=

=- +

.

由上式易知 f(x)在(-≦,+≦)上为减函数.

又因 f(x)是奇函数, 从而不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 等价于 f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(-2t2+k). 因 f(x)是减函数,由上式推得 t2-2t>-2t2+k, 即对一切 t∈R 有 3t2-2t-k>0. 从而Δ=4+12k<0,解得 k<- . 【加固训练】(2014·安阳模拟)设 f(x)=ax+b 同时满足条件 f(0)=2 和 对任意 x∈R 都有 f(x+1)=2f(x)-1 成立. (1)求 f(x)的解析式. (2)设函数 g(x)的定义域为[-2,2],且在定义域内 g(x)=f(x),且函数 h(x)的图象与 g(x)的图象关于直线 y=x 对称,求 h(x). (3)求函数 y=g(x)+h(x)的值域. 【解析】(1)由 f(0)=2,得 b=1, 由 f(x+1)=2f(x)-1,得 ax(a-2)=0, 由 ax>0 得 a=2,所以 f(x)=2x+1. (2)由题意知,当 x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)=2x+1.设点 P(x,y)是函数 h(x) 的图象上任意一点,它关于直线 y=x 对称的点为 P'(y,x), 依题意点 P'(y,x)在函数 g(x)的图象上, 即 x=2y+1, 所以 y=log2(x-1), 即 h(x)=log2(x-1) . ,所

(3)由已知得 ,y=log2(x-1)+2x+1,且两个函数的公共定义域是

以函数 y=g(x)+h(x)=log2(x-1)+2x+1 由于函数 g(x)=2x+1 与 h(x)=log2(x-1)在区间 当 x= 时,y=2 当 x=2 时,y=5, 所以函数 y=g(x)+h(x) 的值域为[2 -1,

. 上均为增函数,

-1,5].

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