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流体运动的基本概念及方程


4 流体运动的基本概念及方程
【3-1】已知平面流动的速度分布为 已知平面流动的速度分布为



试计算点(0,1)处的加速度 处的加速度。 【解】先将极坐标的速度分量换算成直角坐标的速度 然后再求直角坐标中的加速度。 先将极坐标的速度分量换算成直角坐标的速度,然后再求直角坐标中的加速度







代入,得

所以有:

在点(0,1)处,



算得



【3-2】验证下列速度分布满足不可压缩流体的连续性方程 验证下列速度分布满足不可压缩流体的连续性方程:

(1)



(2)



(3)



【解】:(1)





(2)

(3)从速度分布的表达式看出 从速度分布的表达式看出,用极坐标比较方便。当然,使用直角坐标也可以进行有关 使用直角坐标也可以进行有关 计算,但求导过程较为复杂 但求导过程较为复杂。



【3-3】已知平面流场的速度分布为 已知平面流场的速度分布为
, , 试求 t=1 时经过坐标原点的流线方程 时经过坐标原点的流线方程。

【解】对于固定时刻 to,流线的微分方程为 流线的微分方程为

积分得

这就是时刻 to 的流线方程的一般形式 的流线方程的一般形式。 根据题意,to=1 时,x=0, ,y=0,因此 C=2

【3-4】 如图所示的装置测量油管中某点的速度。 如图所示的装置测量油管中某点的速度 已知油的密度为ρ=800kg/m3, 水银密度为ρ’=13600 kg/m3, 13600 水银压差计的读数Δh=60mm, 求该点的流速 u。
【解】我们分析管流中的一条流至测压管管口的流线 我们分析管流中的一条流至测压管管口的流线,即如图中的流线 1- -0。这条流线从 上游远处到达“L”形管口后发生弯曲 形管口后发生弯曲,然后绕过管口,沿管壁面延伸至下游 沿管壁面延伸至下游。流体沿这条 流线运动时,速度是发生变化的 速度是发生变化的。在管口上游远处,流速为 u。当流体靠近管口时 当流体靠近管口时,流速逐 渐变小,在管口处的点 0,速度变为 0,压强为 po,流体在管口的速度虽然变化为 0,但流 速度变为 流体在管口的速度虽然变化为 体质点并不是停止不动,在压差作用下 在压差作用下,流体从点 0 开始作加速运动,速度逐渐增大 速度逐渐增大,绕过 管口之后,速度逐渐加大至 u。 速度逐渐加大至 综上分析,可以看到,流体沿流线运动 流体沿流线运动,在点 1,速度为 u,压强为 p,在点 0,速度为 0, 在点 压强为 po,忽略重力影响, ,沿流线的伯努利方程是

由此可见,只要测出压差为 po-p,就可以求出速度 u。 只要测出压差为 不妨设压差计的右侧水银面与流线的高差为 l。 由于流线平直, 其曲率半径很大, 其曲率半径很大 属缓变流, 沿管截面压强的变化服从静压公式,因此, 沿管截面压强的变化服从静压公式

式中, ρ和ρˊ分别是油和水银的密度 将已知数据代入计算, 的单位应该是用 m 表示, 分别是油和水银的密度。 Δh ?h=0.06m,得速度为 u=4.3391m/s 4.3391m/s。

【3-5】矿山排风管将井下废气派入大气 矿山排风管将井下废气派入大气。为了测量排风的流量, ,在排风管出口 处装有一个收缩、扩张的管嘴 扩张的管嘴,其喉部处装有一个细管,下端插入水中 下端插入水中,如图所 3 示。 喉部流速大, 压强低, 压强低 细管中出现一段水柱。 已知空气密度 ρ=1.25kg/m , 管径 d1=400mm,d2=600mm 600mm,水柱 h=45mm,试计算体积流量 Q。
【解】截面 1-1 的管径小, ,速度大,压强低;截面 2-2 接触大气,可应用伯努利方程 可应用伯努利方程,即

利用连续方程,由上式得

此外细管有液柱上升,说明 p1 低于大气压,即 说明

式中,ρˊ是水的密度,因此 因此

由 d1=400mm,d2=600mm 可以求出 A1 和 A2,而 ρ、ρˊ、h 皆已知,可算得 600mm 可算得

【3-6】如图所示,水池的水位高 h=4m,池壁开有一小孔,孔口到水面高差为 水池的水位高 孔口到水面高差为 y,如果从孔口射出的水流到达地面的水平距离 x=2m,求 y 的值。 如果从孔口射出的水流到达地面的水平距离 。如果要使水 柱射出的水平距离最远, x 和 y 应为多少? ,则
【解】孔口的出流速度为

流体离开孔口时, 速度是沿水平方向的, 速度是沿水平方向的 但在 下会产生铅直向下的运动, 设流体质点从孔口

重力作用 降至地面

所需的时间为 t,则

消去 t,得

,即

解得 则因为 如果要使水柱射出最远,则因为

x 是 y 的函数,当 x 达到极大值时 达到极大值时,dx/dy=0,上式两边对 y 求导,得

【3-7】如图所示消防水枪的水管直径 d1=0.12m,喷嘴出口直径 d2=0.04m,消 如图所示消防水枪的水管直径 喷嘴出口直径 防人员持此水枪向距离为 l=12m,高 h=15m 的窗口喷水,要求水流到达窗口时 要求水流到达窗口时 具有 V3=10m/s 的速度, ,试求水管的相对压强和水枪倾角θ。
【解】解题思路:已知 V3 利用截面 2-2 和 3-3 的伯努利方程就可以求出 V2。而利用截面 1-1 和 2-2 的伯努利方程可以求出水管的相对压强 p1-pa。水流离开截面 2-2 以后可以 水流离开截面 视作斜抛运动,利用有关公式就可以求出倾角 利用有关公式就可以求出倾角θ。 对水射流的截面 2-2 和截面 3-3,压强相同,

将 h、V3 代入得 V2=19.8540m/s 19.8540m/s。

对于喷嘴内的水流截面 1-1 和截面 2-2,有 1

式中,p2=pa。利用连续方程 利用连续方程,则有

喷嘴出口水流的水平速度和铅直速度分别是 V2cosθ和 V2sinθ,利用斜抛物体运动 利用斜抛物体运动 公式,不难得到上抛高度 h 和平抛距离 l 的计算公式分别为

消去时间 t 得到

代入数据,又

上式化为

【3-8】如图所示,一个水平放置的水管在某处出现 一个水平放置的水管在某处出现θ=30o 的转弯 的转弯,管径也从 3 d1=0.3m 渐变为 d2=0.2m 0.2m,当流量为 Q=0.1m /s 时,测得大口径管段中心的表 测得大口径管段中心的表 压为 2.94×104Pa,试求为了固定弯管所需的外力 试求为了固定弯管所需的外力。
【解】 pˊ表示表压, 用 即相对压强, 即相对压强 根据题意, 图示的截面 1-1 的表压 p1ˊ 1-pa=2.94 ˊ=p 4 ×10 Pa,截面 2-2 的表压 p2ˊ可根据伯努利方程求出。而 固定弯管所需的外力,则可以利用总流的动量方程求出 则可以利用总流的动量方程求出。 取如图所示的控制体,截面 1-1 和 2-2 的平均流速分别为 截面

弯管水平放置,两截面高程相同 两截面高程相同,故

总流的动量方程是

由于弯管水平放置,因此我们只求水平面上的力 因此我们只求水平面上的力。对于图示的控制体,x, 方向的动量方 ,y 程是

代入数据,得 ,

【3-9】宽度 B=1 的平板闸门开启时 的平板闸门开启时,上游水位 h1=2m,下游水位 h2=0.8m, 下游水位 试求固定闸门所需的水平力 F。 【解】应用动量方程解本题 应用动量方程解本题,取如图所示的控制体,其中截面 1- 应在闸门上 -1 游足够远处,以保证该处流线平直 以保证该处流线平直,流线的曲率半径足够大,该截面上的压强分 该截面上的压强分 布服从静压公式。而下游的截面 2-2 应选在最小过流截面上。由于这两个截面 而下游的截面 由于这两个截面 都处在缓变流中,总压力可按平板静水压力计算 总压力可按平板静水压力计算。控制体的截面 1 1-1 上的总压 力为 1/2ρgh1Bh1 ,它是左方水体作用在控制面 1-1 上的力,方向从左到右 它是左方水体作用在控制面 方向从左到右。同 样地,在控制面 2-2 上地总压力为 1/2ρgh2Bh2,它是右方水体作用在控制面 2 它是右方水体作用在控制面 -2 上的力,方向从右到左 方向从右到左。另外,设固定平板所需的外力是 F, ,分析控制体的 外力时,可以看到平板对控制体的作用力的大小就是 F,方向从右向左 可以看到平板对控制体的作用力的大小就是 方向从右向左。
考虑动量方程的水平投影式: 考虑动量方程的水平投影式

流速和流量可根据连续性方程和伯努利方程求出: 流速和流量可根据连续性方程和伯努利方程求出

由以上两式得

; 将已知数据代入动量方程, ,得

我们还可以推导 F 的一般表达式 的一般表达式。

上面已经由连续方程和伯努利方程求出速度 V2,因而

将此式代入动量方程得

【3-10】如图所示,从固定喷嘴流出一股射流 从固定喷嘴流出一股射流,其直径为 d,速度为 V。此射流 速度为 冲击一个运动叶片,在叶片上流速方向转角为θ,如果叶片运动的速度为 u,试 在叶片上流速方向转角为 如果叶片运动的速度为 求:
(1)叶片所受的冲击力; (2)水流对叶片所作的功率 水流对叶片所作的功率;

(3)当 u 取什么值时,水流作功最大 水流作功最大? 【解】射流离开喷嘴时,速度为 V,截面积为 A=Πd2/4,当射流冲入叶片时 速度为 当射流冲入叶片时,水流相对于叶 片的速度为 V-u,显然,水流离开叶片的相对速度也是 V-u。而射流截面积仍为 A。采用 水流离开叶片的相对速度也是 而射流截面积仍为 固结在叶片上的动坐标, 在此动坐标上观察到的水流运动是定常的, 在此动坐标上观察到的水流运动是定常的 设叶片给水流的力如图 所示,由动量方程得

叶片仅在水平方向有位移, ,水流对叶片所作功率 为:

当 V 固定时,功率 P 是 u 的函数 的函数。令 :

因此,当 u=V/3 时,水流对叶片所作的功率达到极大值 水流对叶片所作的功率达到极大值。 【3-11】如图所示,两股速度大小同为 V 的水射流汇合后成伞状体散开, 两股速度大小同为 ,设两股射流的直 径分别为 d1 和 d2,试求散开角 试求散开角θ与 d1、d2 的关系。如果 d2 =0.7d1,θ是多少度 是多少度?不计重 力作用。 【解】射流暴露在大气中, ,不考虑重力影响,根据伯努利方程,各射流截面的流速相等 各射流截面的流速相等。 汇合流是一个轴对称的伞状体,其截面积逐渐减小,但汇合流量总是不变的 汇合流是一个轴对称的伞状体 但汇合流量总是不变的,它等于两个射 流量 Q1 和 Q2 之和。

作用在水体上的外力和为零,根据动量方程, 可以 作用在水体上的外力和为零 求出张角θ与 d1、d2 的关系 的关系。

当 d2 =0.7d1 时, cosθ=0.3423 0.3423,θ=70o

【3-12】如图所示,气体混合室进口高度为 2B,出口高度为 2b, 气体混合室进口高度为 ,进、出口气压 都等于大气压,进口的速度 u0 和 2 u0 各占高度为 B,出口速度分布为 进口的速度 出口速度分布为

气体密度为ρ,试求气流给混合室壁面的作用力 试求气流给混合室壁面的作用力。

【解】利用连续性方程求出口轴线上的速度 um: 利用连续性方程求出口轴线上的速度

用动量方程求合力 F:

【3-13】如图所示,旋转式洒水器两臂长度不等 l1=1.2m,l2= 旋转式洒水器两臂长度不等, =1.5m,若喷口 直径 d=25mm,每个喷口的水流量为 Q=3×10-3m3/s,不计摩擦力矩 每个喷口的水流量为 不计摩擦力矩,求转速。
【解】水流的绝对速度等于相对速度及牵连速度的矢量和 水流的绝对速度等于相对速度及牵连速度的矢量和。本题中,相对速度和牵连速度反 相对速度和牵连速度反

向,都与转臂垂直。 设两个喷嘴水流的绝对速度为 V1 和 V2,则 ;

根据动量矩方程,有

以 V1、V2 代入上式,得

6 管流损失和水力计算
【5-1】动力粘性系数μ μ=0.072kg/(m.s)的油在管径 d=0.1m 的圆管中作层 流运动,流量 Q=3×10 m /s,试计算管壁的切应力τo 。
【解】管流的粘性切应力的计算式为 管流的粘性切应力的计算式为
-3 - 3

在管流中,当 r 增大时,速度 u 减小,速度梯度为负值,因此上式使用负号 速度 因此上式使用负号。 圆管层流的速度分布为

式中,V 是平均速度;r0 是管道半径 是管道半径。由此式可得到壁面的切应力为

由流量 Q 和管径 d 算得管流平均速度 算得管流平均速度,代入上式可算出 τ0:

【5-2】明渠水流的速度分布可用水力粗糙公式表示 明渠水流的速度分布可用水力粗糙公式表示,即

式中,y 坐标由渠底壁面起算 坐标由渠底壁面起算。设水深为 H,试求水流中的点速度等于截面平均速度的点的 试求水流中的点速度等于截面平均速度的点的 深度 h。 【解】 :

利用分部积分法和罗彼塔法则,得 利用分部积分法和罗彼塔法则

平均速度为

当点速度恰好等于平均速度时, 当点速度恰好等于平均速度时

可见, 点速度等于平均速度的位置距底面的距离为 y=0.3679H, 距水面的深度为 h=0.6321H。

【5-3】一条输水管长 l=1000m,管径 d=0.3m,设计流量 Q=0.055m3/s,水的 0.055m
-6 运动粘性系数为ν=10- m2/s,如果要求此管段的沿程水头损失为 hf=3m,试问 如果要求此管段的沿程水头损失为

应选择相对粗糙度Δ/d 为多少的管道 为多少的管道。

【解】由已知数据可以计算管流的雷诺数 Re 和沿程水头损失系数λ。 由已知数据可以计算管流的雷诺数

由水头损失

算得λ=0.02915。

将数据代入柯列勃洛克公式,有 将数据代入柯列勃洛克公式

可以求出λ,

【5-4】如图所示,密度 密度ρ=920kg/m 的油在管中流动。用水银压差计测量长度 用水银压差计测量长度 l=3m 的管流的压差,其读数为 其读数为Δh=90mm。已知管径 d=25mm,测得油的流量为 测得油的流量为 Q=4.5×10-4m3/s,试求油的运动粘性系数 试求油的运动粘性系数。
【解】 :

3

式中,ρˊ=13600 kg/m3 是水银密度 是水银密度;ρ是油的密度。代入数据,算得 hf= =1.2404m。

算得λ=0.2412。设管流为层流 设管流为层流,λ=64/Re,因此

可见油的流动状态确为层流。因此 可见油的流动状态确为层流

【5-5】 不同管径的两管道的连接处出现截面突然扩大。 不同管径的两管道的连接处出现截面突然扩大 管道 1 的管径 d1=0.2m, 管道 2 的管径 d1=0.3m。 。 为了测量管 2 的沿程水头损失系数λ以及截面突然扩大 以及截面突然扩大 的局部水头损失系数ξ, , 在突扩处前面装一个测压管, 在其它地方再装两测压管, 在其它地方再装两测压管 如图所示。已知 l1=1.2m 1.2m,l2=3m,测压管水柱高度 h1=80mm,h2=162mm,h3 3 =152mm,水流量 Q=0.06m /s,试求λ和ξ。
【解】在长 l2 的管段内,没有局部水头损失 没有局部水头损失,只有沿程水头损失,因此



将数据代入上式,可得λ= =0.02722。 在长 l1 的管段内,既有局部水头损失 既有局部水头损失,也有沿程水头损失,列出截面 1 和 2 的伯努利方程:



因此

V1=Q/A1=1.91m/s,代入其它数据 代入其它数据,有

【5-6】水塔的水通过一条串连管路流出 水塔的水通过一条串连管路流出,要求输水量 Q=0.028 m3/s,如图所 0.028 示。各管的管径和长度分别为 1=0.2m, l1=600m,d2=0.15m, 2=300m,d3 各管的管径和长度分别为:d ,l =0.18m,l3=500m,各管的沿程水头损失系数相同 各管的沿程水头损失系数相同,λ=0.03。由于锈蚀 由于锈蚀,管 2

出现均匀泄漏,每米长度上的泄漏量为 q,总泄漏量为 Qt=ql2=0.015m /s。试 每米长度上的泄漏量为 0.015m 求水塔的水位 H。
【解】不计局部水头损失, ,则有

3

现分别计算各管的沿程水头损失。 现分别计算各管的沿程水头损失 对于管道 1,其流量应为

于是流速和水头损失分别为

管道 2 有泄漏,其右端的出口流量也为 Q,即 Q2=Q=0.028m3/s。其沿程损失 其右端的出口流量也为 其沿程损失

管道 3 的流速和水头损失为

总的水头损失为

【5-7】如图所示,两个底面直径分别为 D1=2m,D2=1.5m 的圆柱形水箱用一条 两个底面直径分别为 长 l=8m,管径 d=0.1m 的管道连通。初始时刻,两水箱水面高差 h0=1.2m,在 0.1m 两水箱水面高差

水位差的作用下,水从左水箱流向右水箱 水从左水箱流向右水箱。不计局部水头损失,而沿程水头损失 而沿程水头损失 系数用光滑管的勃拉休斯公式计算,即 系数用光滑管的勃拉休斯公式计算

式中,

,水的运动粘性系数 水的运动粘性系数

,试求水面高差从 h=h0=1.2m 试求水面高差从

变为 h=0 所需的时间 T。 【解】设初始时刻,左、右水箱水位分别为 H1 和 H2,水位差 h0=H1-H2=1.2m 右水箱水位分别为 1.2m。某时刻 t, 左、右水箱的水位分别为 h1 和 h2,水位差 h=h1-h2。显然,h 是时间的函数 h=h(t) 。变 水位出流问题仍使用定常公式进行计算。对两水箱的液面应用伯努利方程, 水位出流问题仍使用定常公式进行计算 ,有

将已知量代入上式,得:

水从左边流向右边,使左水箱水位下降 使左水箱水位下降,右水箱水位上升,根据连续性方程 根据连续性方程,有

将已知数据以及 V 的表达式代入上式 的表达式代入上式,得

【5-8】如图所示的具有并联 如图所示的具有并联、串联管路的虹吸管,已知 H=40m, l1=200m, , l2=100m,l3=500m,d1= =0.2m,d2=0.1m,d3=0.25m, λ1=λ2= =0.02,λ3= 0.025,求总流量 Q。

【解】管 1 和管 2 并联,此并联管路又与管 3 串联,因此 此并联管路又与管

(1)

(2) (

(3) 由(2)式得



代入(3)式得

由式(1)得



计算得 代入上式,计算得 已知数值





【5-9】 如图所示, 水管直径 d=200mm, 壁厚δ=6mm, 管内水流速度 u0=1.2m/s, 10 9 管壁材料的弹性模量为 Es=20×10 Pa,水的体积弹性系数为 E=2 2×10 Pa,试求 由于水击压强Δp 引起的管壁的拉应力 引起的管壁的拉应力σ。
【解】水击波传播速度 c 和水击压强 ?p:

管内外的压强差必然会产生管壁的拉应力,如图所示。现取单位长度管道, 管内外的压强差必然会产生管壁的拉应力 ,沿管轴线切开, 分析图示的管壁的受力平衡。根据曲面静压力公式知,压强Δp 作用在图示的曲面上的总压 分析图示的管壁的受力平衡 力为Δpd,管壁切面的总拉力为 管壁切面的总拉力为 ,因此

一般钢材的许用应力约为[σ σ]=30×106Pa,可见水击引起的拉应力差不多到了许用值 可见水击引起的拉应力差不多到了许用值。



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