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2015年全国各地数学竞赛预赛卷 (15)


2015 年全国高中数学联赛天津市预赛
一、选择题:本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 1.设 A, B, C 是三个集合,则 B 和 C 都是 A 的子集是 ( A ? B) ? ( A ? C ) ? B ? C 成立的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必

邀条件 2.方程 | y |? 1 ? 2 x ? x 2 表示的曲线是 A.一个圆 B.两个半圆
2

C.一个椭圆

D.两个圆

3.用 [ x ] 表示不大于 x 的最大整数,方程 x ? [ x] ? 2 ? 0 共有( )个不同的实数根 A.1 B.2 C.3 D.4 4.方程 3x ? 5x ? 7 x ? 11x 共有( )个不同的实数根 A.0 B.1 C.2 D.3 5.在正方体的 12 条面对角线和 4 条体对角线中随机地选取两条对角线,则这两条对角线所在的直线为 异面直线的概率是

7 9 7 8 B. C. D. 20 15 15 30 6.设 ?ABC 的周长为 12,内切圆的半径为 1,则 A. ?ABC 必为直角三角形 B. ?ABC 必为锐角三角形 C. ?ABC 必为直角三角形或锐角三角形 D.该三角形不能确定为何种三角形
A. 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 9 分,共 54 分,请将答案填在题后的横线上. 7.在正四棱锥 P ? ABCD 中,四个侧面都是等边三角形,用 ? 记该四棱锥的侧面与底面所成的二面角 , 则 tan ? ? 8.设数列 {an },{bn } 都是等差数列, An , Bn 分别是数列 {an },{bn } 的前 n 项和,若 9.设 O 是坐标原点,点 A 是抛物线 x ? 则 ?OAB 的面积的最小值是 10.设 S ?
2015 k ?1

An 5n ? 3 a ,则 8 ? ? Bn n?9 b8

1 2 y ? 1 上的一个动点,点 B 是抛物线 y ? x2 ? 4 上的一个动点, 4

? k ?2

k

,则 S 除以 100 的余数是

z z2 z3 4? 4? ? i sin ? ? |? ,则 | (用数字作答) 7 7 1 ? z 2 1 ? z 4 1 ? z3 2 2 2 2 2 12. 设 a, b, c, d 都是实数 , 且满足 a ? 2b ? 3c ? 4d ? 10 , 则 a ? b ? c ? d ? (a ? b ? c ? d ) 的最
11.设复数 z ? cos 小值是 三、解答题:本大题共 3 小题,共 60 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 13(本小题满分 20 分) 设 f ( x) ? x ?

1 2 2 ? 2 .求证:对任意 x ? ( ? f ( f ( x)) ? x . ,1] ,有 x 2 2

14(本小题满分 20 分) 已知正 ?ABC 内接于抛物线 x ? y , ?ABC 的重心 G 落在双曲线 xy ? 1 上,求点 G 的坐标.
2

15(本小题满分 20 分)

4 an , n ? 2,3, 4,? . n (Ⅰ)证明:存在常数 C ? 0 ,使得对任意正整数 n ,都有 an ? Cn2 ;
设数列 {an } 满足: a1 ? 1, a2 ? 8, an ?1 ? an ?1 ? (Ⅱ)证明:对任意正整数 n ,都有 an?1 ? an ? 4n ? 3 .


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