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山东省高中数学竞赛试题(备选题)


山东省高中数学竞赛试题(备选题) 一、选择题 1 O 是平面上一定点,A、B、C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足 OP = OA +λ ( AB AB sin B ? AC AC sin C ) ,λ ∈ ?0,??? ,则 P 点的轨迹一定通过△ABC 的( (C)垂心 (D)重心 ) . (A)外心 解 (D) (B)内心 因为 AB sinB= AC

sinC,故可设 AB sinB= AC sinC=μ ,则 OP = OA +λ ( AB AB sin B ? AC AC sin C )= OA + ? ? AB ? AC , ( ? ?0,??? ) ? ? ? ? 设 t= ? ,则有 AP =t AB ? AC =2t· AM ? ? ? (t? ?0,??? ) ,其中 M 为 BC 边的中 点,所以 A、P、M 三点共线,故 P 点的轨迹是从 A 点出发经过 M 点的射线, 因此,P 点的轨迹一定通过△ABC 的重心. 2 已 知 平 面 上 三 点 A 、 B 、 C 满 足 AB =a , BC =b , CA =c , AB ? BC ? BC ? CA ? CA ? AB ? ( (A) ). 1 2 2 2 (a +b +c ) 2 (D)0 1 2 2 2 (a +b +c ) 2 2 2 2 (B)— (C) a +b +c 解 (B) AB ? BC ? BC ? CA ? CA ? AB 1 AB ? BC ? BC ? CA ? BC ? CA ? CA ? AB ? AB ? BC 2 1 = BC ? CB ? CA ? AC ? AB ? BA 2 1 1 2 2 2 2 2 2 = (—a -b -c )=- (a +b +c ) . 故选(B) . 2 2 = ?? ? ?? ?? ?? ? 山东省高中数学竞赛试题(备选题) 二、解答题 1 已知 n (n≥4)个正数,排列成 n×n 矩阵: 2 ? a11 a1 2 a13 a1 4 ? a1 n ? ?a ? ? 21 a 2 2 a 2 3 a 2 4 ? a 2 n ? ? a31 a3 2 a3 3 a3 4 ? a3 n ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?a n 1 a n 2 a n 3 a n 4 ? a n n ? ? ? 其中每一行的数成等差数列, 每一列的数成等比数列, 并且所有的公比都相等, 且满足: a 2 4 =1 ,a 4 2 = 解 1 3 ,a 4 3 = ,试求:a 11 + a 2 2 +a 3 3 + … + a n n 的值. 8 16 由题设知:a 4 2 、a 4 3 、a 4 4 成等差数列,则 2 a 4 3 = a 4 2 + a 4 4 , 又 a 42 = 1 1 3 1 ,a 4 3 = ,所以 a 4 4 = ,且公差为 d= a 4 3 — a 4 2 = . 8 4 16 16 2 又 n×n 矩阵中的每一列的数成等比数列,所以有 a 4 4 = a 2 4 ·q . (设 q 为公比) 1 1 ,因各数都是正数,因此 q>0 ,且 q= . 4 2 k 由第四行的数成等差数列,得:a 4 k = a 4 2 + (k —2)d = . 16 又 a 2 4 =1 ,故 q = 2 又第 k 列的数成等比数列,所以 a k k = a 4 k ·q 4?k k ?1? = ·? ?

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