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2015届高考数学一轮总复习 10-5古典概型与几何概型


2015 届高考数学一轮总复习 10-5 古典概型与几何概型
基础巩固强化 一、选择题 1.已知 α、β、γ 是不重合平面,a、b 是不重合的直线,下列说法正确的是( A.“若 a∥b,a⊥α,则 b⊥α”是随机事件 B.“若 a∥b,a?α,则 b∥α”是必然事件 C.“若 α⊥γ,β⊥γ,则 α⊥β”是必然事件 D.“若 a⊥α,a∩b=P,则 b⊥α”是不可能事件

[答案] D [解析] a∥b? ? a∥b? ? ??b⊥α,故 A 错; ??b∥α 或 b?α,故 B 错;当 α⊥γ,β⊥γ 时,α 与 β ? a⊥α? a?α? ? )

可能平行,也可能相交(包括垂直),故 C 错;如果两条直线垂直于同一个平面,则此二直线必平行, 故 D 为真命题. 2.(文)4 张卡片上分别写有数字 1、2、3、4,从这 4 张卡片中随机抽取 2 张,则取出的 2 张卡 片上的数字之和为奇数的概率为( 1 A. 3 2 C. 3 [答案] C [解析] 取出两张卡片的基本事件构成集合 Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)}共 6 个 基本事件. 其中数字之和为奇数包含(1,2),(1,4),(2,3),(3,4)共 4 个基本事件, 4 2 ∴所求概率为 P= = . 6 3 (理)(2013· 宿州质检)一颗质地均匀的正方体骰子,其六个面上的点数分别为 1、2、3、4、5、6, 将这颗骰子连续抛掷三次,观察向上的点数,则三次点数依次构成等差数列的概率为( 1 A. 12 1 C. 36 [答案] A [解析] 连续抛掷三次共有 63=216(种)情况,记三次点数分别为 a、b、c,则 a+c=2b,所以 a +c 为偶数,则 a、c 的奇偶性相同,且 a、c 允许重复,一旦 a、c 确定,b 也唯一确定,故 a,c 共 18 1 有 2×32=18(种),所以所求概率为 = ,故选 A. 216 12 3.(文)(2013· 惠州调研)一个袋中装有 2 个红球和 2 个白球,现从袋中取出 1 个球,然后放回袋 中再取出 1 个球,则取出的 2 个球同色的概率为(
1

)

1 B. 2 3 D. 4

)

1 B. 18 7 D. 108

)

1 A. 2 1 C. 4

1 B. 3 2 D. 5

[答案] A 2×2+2×2 1 [解析] P= = . 2 4×4 (理)(2013· 皖南八校联考)一个袋子中有 5 个大小相同的球, 其中有 3 个黑球与 2 个红球, 如果从 中任取两个球,则恰好取到两个同色球的概率是( 1 A. 5 2 C. 5 3 B. 10 1 D. 2 )

[答案] C
2 C2 3+C2 2 [解析] P= = . C2 5 5

4. (文)(2013· 郑州第一次质量预测)一数学兴趣小组利用几何概型的相关知识做实验计算圆周率, 他们向一个边长为 1 米的正方形区域均匀撒豆,测得正方形区域有豆 5120 颗,正方形的内切圆区域 有豆 4009 颗,则他们所测得的圆周率为(保留三位有效数字)( A.3.13 C.3.15 [答案] A 1 π·? ?2 2 4009 [解析] 根据几何概型的定义有 = ,得 π≈3.13. 1 5120 (理)点 P 在边长为 1 的正方形 ABCD 内运动,则动点 P 到定点 A 的距离|PA|<1 的概率为( 1 A. 4 π C. 4 1 B. 2 D.π ) B.3.14 D.3.16 )

[答案] C [解析] 由题意可知,当动点 P 位于扇形 ABD 内时,动点 P 到定点 A 的距离|PA|<1,根据几何 概型可知,动点 P 到定点 A 的距离|PA|<1 的概率为 S扇形ABD π = ,故选 C. S正方形ABCD 4

2

5.(文)(2013· 石家庄质检)在圆的一条直径上,任取一点作与该直径垂直的弦,则其弦长超过该 圆的内接等边三角形的边长的概率为( 1 A. 4 1 C. 2 1 B. 3 D. 3 2 )

[答案] C [解析] 如图,设圆的半径为 r,圆心为 O,AB 为圆的一条直径,CD 为垂直于 AB 的一条弦, r 垂足为 M,若 CD 为圆内接正三角形的一条边,则 O 到 CD 的距离为 ,设 EF 为与 CD 平行且到圆 2 r 心 O 距离为 的弦,交直径 AB 于点 N,所以当过 AB 上的点且垂直于 AB 的弦的长度超过 CD 时,该 2 r 1 点在线段 MN 上移动,所以所求概率 P= = ,选 C. 2r 2

(理)(2013· 湖南)已知事件“在矩形 ABCD 的边 CD 上随机取一点 P,使△APB 的最大边是 AB” 1 AD 发生的概率为 ,则 =( 2 AB 1 A. 2 C. 3 2 1 B. 4 D. 7 4 )

[答案] D [解析]

3

由题意知 AB>AD,如图,当点 P 与 E(或 F)重合时,△ABP 中,AB=BP(或 AP),当点 P 在 EF 1 上运动时,总有 AB>AP,AB>BP,由题中事件发生的概率为 知,点 P 的分界点 E、F 恰好是边 CD 2 3 AD 7 AD 7 的四等分点,由勾股定理可得 AB2=AF2=( AB)2+AD2,解得( )2= ,即 = ,故选 D. 4 AB 16 AB 4 6.(2013· 武昌区联考)若从区间(0,2)内随机取两个数,则这两个数的比不小于 4 的概率为( 1 A. 8 1 C. 4 7 B. 8 3 D. 4 )

[答案] C [解析] 设这两个数分别为 x,y,则由条件知 0<x<2,0<y<2,y≥4x 或 x≥4y,则所求概率 P= 1 1 2×? ×2× ? 2 2 1 = . 4 2×2

二、填空题 7.(2013· 郑州二检)连掷两次骰子得到的点数分别为 m 和 n,设向量 a=(m,n)与向量 b=(1,- π? 1)的夹角为 θ,则 θ∈? ?0,2?的概率是________. [答案] 7 12
4

[解析] ∵cosθ=

m-n
2

2· m +n

2,θ∈

?0,π?, ? 2?

6 1 ∴m≥n,满足条件 m=n 的概率为 = , 36 6 m>n 的概率与 m<n 的概率相等, 1 1 5 1- ?= , ∴m>n 的概率为 ×? 6 ? 12 2 ? 1 5 7 ∴满足 m≥n 的概率为 P= + = . 6 12 12 8.(文)(2012· 浙江文,12)从边长为 1 的正方形的中心和顶点这五个点中,随机(等可能)取两点, 则该两点间的距离为 [答案] [解析] 2 5 2 的概率是________. 2

由五个点中随机取两点共有 10 种取法.由图可知两点间的距离为 的 4 条线段,故概率为 P= 4 2 = . 10 5

2 的是中心和四个顶点组成 2

x2 y2 (理)在区间[1,5]和[2,4]分别各取一个数,记为 m 和 n,则方程 2+ 2=1 表示焦点在 x 轴上的椭 m n 圆的概率是________. [答案] 1 2

x2 y2 [解析] ∵方程 2+ 2=1 表示焦点在 x 轴上的椭圆,∴m>n. m n

由题意知,在矩形 ABCD 内任取一点 P(m,n),求 P 点落在阴影部分的概率,易知直线 m=n
5

恰好将矩形平分, 1 ∴p= . 2 9.(文)在区间[-1,1]上随机取一个数 k,则直线 y=k(x+2)与圆 x2+y2=1 有公共点的概率为 ________. [答案] 3 3 |2k| ≤1, k2+1

[解析] ∵直线与圆有公共点,∴

3 3 -?- ? 3 3 3 3 3 ∴- ≤k≤ .故所求概率为 P= = . 3 3 3 1-?-1? (理)(2013· 大连、沈阳联考)若利用计算机在区间(0,1)上产生两个不等的随机数 a 和 b,则方程 x =2 2a- 2b 有不等实数根的概率为________. x 1 2

[答案] [解析]

2b 方程 x=2 2a- 化为 x2-2 2ax+2b=0, x ∵方程有两个不等实根, ∴Δ=8a-8b>0,∴a>b, 1 如图可知,所求概率 P= . 2 三、解答题 10.(文)设平面向量 am=(m,1),bn=(2,n),其中 m、n∈{1,2,3,4}. (1)请列出有序数组(m,n)的所有可能结果; (2)记“使得 am⊥(am-bn)成立的(m,n)”为事件 A,求事件 A 发生的概率. [解析] (1)有序数组(m,n)的所有可能结果为: (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3), (4,4)共 16 个.
6

(2)由 am⊥(am-bn)得 m2-2m+1-n=0,即 n=(m-1)2 由于 m、n∈{1,2,3,4},故事件 A 包含的基本事件为(2,1),(3,4),共 2 个.又基本事件的总数为 16,故所求的概率为 P(A)= 2 1 = . 16 8

(理)(2013· 北京东城区统一检测)袋内装有 6 个球,这些球依次被编号为 1、2、3、?、6,设编 号为 n 的球重 n2-6n+12(单位:g),这些球等可能地从袋里取出(不受重量、编号的影响). (1)从袋中任意取出一个球,求其重量大于其编号的概率; (2)如果不放回地任意取出 2 个球,求它们重量相等的概率. [解析] (1)若编号为 n 的球的重量大于其编号, 则 n2-6n+12>n,即 n2-7n+12>0. 解得 n<3,或 n>4. 所以 n=1,2,5,6. 4 2 所以从袋中任意取出一个球,其重量大于其编号的概率 P= = . 6 3 (2)不放回地任意取出 2 个球,这两个球编号的所有可能情形为(不分取出的先后次序): 1,2;1,3;1,4;1,5;1,6; 2,3;2,4;2,5;2,6; 3,4;3,5;3,6; 4,5;4,6; 5,6. 共有 15 种. 设编号分别为 m 与 n(m,n∈{1,2,3,4,5,6},且 m≠n)的球的重量相等,则有 m2-6m+12=n2- 6n+12,即有(m-n)(m+n-6)=0. 所以 m=n(舍去),或 m+n=6. 满足 m+n=6 的情形为:1,5;2,4,共 2 种. 2 故所求事件的概率为 . 15 能力拓展提升 一、选择题 11.(2013· 北京海淀期末)一对年轻夫妇和其两岁的孩子做游戏,让孩子把分别写有“1”“3”“1”“4” 的四张卡片随机排成一行,若卡片按从左到右的顺序排成“1314”,则孩子会得到父母的奖励,那么 孩子受到奖励的概率为( 1 A. 12 7 C. 12 5 B. 12 5 D. 6 )

[答案] A [解析] 先从 4 个位置中选一个排 4,再从剩下位置中选一个排 3,所有可能的排法有 4×3=12
7

1 种,满足要求的排法只有 1 种,∴所求概率为 P= . 12 12.(文)(2012· 辽宁文,11)在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 C,现作一矩形,邻边长分别等 于线段 AC、CB 的长,则该矩形面积大于 20cm2 的概率为( 1 A. 6 2 C. 3 1 B. 3 4 D. 5 )

[答案] C [解析] 在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 C,设 AC=x,则 BC=12-x,∴x(12-x)>20,∴ 2<x<10, 因此总的几何度量为 12,满足矩形面积大于 20cm2 的点在 C1 与 C2 之间的部分,如图

8 2 ∴P= = . 12 3 关键在于找出总长度及事件“矩形的面积大于 20cm2”所表示区域的长度. (理)(2012· 湖北理, 8)如图, 在圆心角为直角的扇形 OAB 中, 分别以 OA、 OB 为直径作两个半圆, 在扇形 OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是( )

2 A.1- π 2 C. π 1 D. π

1 1 B. - 2 π

[答案] A [分析] 在扇形 OAB 内随机取一点,此点落在阴影部分的概率属于几何概型问题,关键是求阴 影部分的面积,如图设阴影部分两块的面积分别为 S1、S2,OA=R,则 S1=2(S =S 扇形 OAB-S⊙D+S1. [解析] 设图中阴影面积分别为 S1,S2,令 OA=R,
8
扇形

DOC-S△DOC),S2

由图形知,S1=2(S 扇 ODC-S△ODC) R π·? ?2 2 2 2 1 R 2 πR -2R =2[ - · ( ) ]= , 4 2 2 8 S2=S 扇形 OAB-S⊙D+S1
2 2 2 2 1 2 R 2 πR -2R πR -2R = πR -π·( ) + = , 4 2 8 8

πR2-2R2 4 S1+S2 2 ∴所求概率 P= = =1- . 1 π S扇形OAB πR2 4 [点评] 1.当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时,应考虑使用几何概 型求解; 2.利用几何概型求概率时,关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的计算,有时 需要设出变量,在坐标系中表示所需要的区域. 6 13.在区间(0,1)上任取两个数,则两个数之和小于 的概率是( 5 12 A. 25 17 C. 25 16 B. 25 18 D. 25 )

[答案] C 6 [解析] 设两数为 x、y,则 0<x<1,0<y<1,满足 x+y< 的点在图中阴影部分, 5

9

1 1 1- ×?1- ?2 2 5 17 ∴所求概率为 P= = ,故选 C . 1 25 二、填空题 14.(文)(2013· 大连模拟)在长为 16cm 的线段 AB 上任取一点 M,并以线段 AM 为一边作正方形, 则此正方形的面积介于 25cm2 与 81cm2 之间的概率为________. [答案] 1 4

[解析] 正方形的面积介于 25cm2 与 81cm2 之间,即线段 AM 长介于 5cm 与 9cm 之间,即点 M 4 1 可以在 5~9cm 之间取,长度为 4cm,总长为 16cm,所以,所求概率为 = . 16 4 (理)(2013· 南昌一模)张先生订了一份《南昌晚报》 ,送报人在早上 6:30—7:30 之间把报纸送到他 家,张先生离开家去上班的时间在早上 7:00—8:00 之间,则张先生在离开家之前能拿到报纸的概率 是________. [答案] [解析] 7 8

以横坐标 x 表示报纸送到时间, 以纵坐标 y 表示张先生离家时间, 建立平面直角坐标系, 如图. 因 为随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的,所以符合几何概型的条件.根据题意当 y>x 时, 即只要点落到阴影部分,就表示张先生在离开家之前能拿到报纸,即所求事件 A 发生,所以 P(A)= 1 1 1 1×1- × × 2 2 2 7 = . 8 1×1
10

15.(2013· 南京模拟)在集合 A={2,3}中随机取一个元素 m,在集合 B={1,2,3}中随机取一个元 素 n,得到点 P(m,n),则点 P 落在圆 x2+y2=9 内部的概率为________. [答案] 1 3

[解析] 点 P 的取法有 2×3=6 种, 点 P 在圆内部,则 m2+n2<9, ∴m=2,n=1 或 2. 2 1 ∴所求概率 P= = . 6 3 三、解答题 16.(文)某饮料公司对一名员工进行测试以便确定考评级别,公司准备了两种不同的饮料共 5 杯,其颜色完全相同,并且其中 3 杯为 A 饮料,另外 2 杯为 B 饮料,公司要求此员工一一品尝后, 从 5 杯饮料中选出 3 杯 A 饮料.若该员工 3 杯都选对,测评为优秀;若 3 杯选对 2 杯测评为良好; 否测评为合格.假设此人对 A 和 B 饮料没有鉴别能力. (1)求此人被评为优秀的概率; (2)求此人被评为良好及以上的概率. [解析] 将 5 杯饮料编号为:1,2,3,4,5,编号 1、2、3 表示 A 饮料,编号 4、5 表示 B 饮料,则 从 5 杯饮料中选出 3 杯的所有可能情况为:(123),(124),(125),(134),(135),(145),(234)(235), (245),(345),共有 10 种 令 D 表示此人被评为优秀的事件,E 表示此人被评为良好的事件,F 表示此人被评为良好及以 上的事件,则 1 (1)P(D)= , 10 3 7 (2)P(E)= ,P(F)=P(D)+P(E)= . 5 10 (理)袋子中放有大小和形状相同的小球若干个,其中标号为 0 的小球 1 个,标号为 1 的小球 1 1 个,标号为 2 的小球 n 个.已知从袋子中随机抽取 1 个小球,取到标号是 2 的小球的概率是 . 2 (1)求 n 的值; (2)从袋子中不放回地随机抽取两个小球,记第一次取出的小球标号为 a,第二次取出的小球标 号为 b. ①设事件 A 表示“a+b=2”,求事件 A 的概率; ②在区间[0,2]内任取两个实数 x、y,求事件“x2+y2>(a-b)2 恒成立”的概率. n 1 [解析] (1)由题意可知: = ,解得 n=2. 1+1+n 2 (2)将标号为 2 的小球记作 a1,a2 ①两次不放回抽取小球的所有基本事件为: (0,1), (0, a1), (0, a2), (1,0), (1, a1), (1, a2), (a1,0), (a1,1),(a1,a2),(a2,0),(a2,1),(a2,a1),共 12 个,
11

事件 A 包含的基本事件为:(0,a1),(0,a2),(a1,0),(a2,0),共 4 个. 4 1 ∴P(A)= = . 12 3 ②记“x2+y2>(a-b)2 恒成立”为事件 B,则事件 B 等价于“x2+y2>4”,(x,y)可以看成平面中 的点, 则全部结果所构成的区域 Ω={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤2,x,y∈R},而事件 B 所构成的区域 B= {(x,y)|x2+y2>4,x,y∈Ω}, SB 2×2-π π ∴P(B)= = =1- . SΩ 4 2×2

考纲要求 1.理解古典概型及其概率计算公式. 2.会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率. 3.了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率. 4.了解几何概型的意义. 补充说明 1.求解与角度有关的几何概型的注意点 当涉及射线的转动,扇形中有关落点区域问题时,应以角的大小作为区域度量来计算概率,切 不可用线段代替,这是两种不同的度量手段. 2..求解古典概型概率,首先要找准基本事件,判断的标准就是有限性和等可能性.基本事件 空间中基本事件的计算方法和事件 A 中包含的基本事件计算方法必须保持一致,计数时可以采取一 一列举的方法,也可以采用模型化方法或用计数原理求,并辅以必要的文字说明. 3.注意事件是否互斥;遇到“至多”、“至少”等事件时,注意对立事件概率公式的应用. 备选习题 1.

(2013· 哈尔滨二模)如图的矩形长为 5,宽为 2,在矩形内随机地撒 300 颗黄豆,数得落在阴影部 分的黄豆数为 138 颗,由此我们可以估计出阴影部分的面积约为( 16 A. 5 21 B. 5
12

)

23 C. 5

19 D. 5

[答案] C S 138 23 [解析] 由几何概型的概率公式,得 = ,所以阴影部分面积约为 ,故选 C. 10 300 5 2.从正六边形的 6 个顶点中随机选择 4 个顶点,则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于 ( ) 1 A. 10 1 C. 6 1 B. 8 1 D. 5

[答案] D [解析] 如图正六边形 ABCDEF,从 6 个顶点中随机选择 4 个顶点有 ABCD,ABCE,ABCF, ABDE,ABDF,ACDE,ACDF,ACEF,ADEF,BCDE,BCDF,BCEF,ABEF,BDEF,CDEF 共 15 种选法,基本事件总数为 15,其中四边形是矩形的有 ABDE,BCEF,CDFA 共 3 种,所以所求概 3 1 率为 P= = . 15 5

3.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(他们的六个面分别标有点数 1、2、3、4、5、6),骰子朝上 的面的点数分别为 x、y,则 log2xy=1 的概率为( 1 A. 6 1 C. 12 5 B. 36 1 D. 2 )

[答案] C [解析] 先后抛掷两枚骰子,向上点数共有 6×6=36 种不同结果,其中满足 log2xy=1, 即 y=2x 的情况如下: x=1 时,y=2;x=2 时,y=4;x=3 时,y=6,共 3 种. 3 1 ∴所求概率为 P= = . 36 12 [点评] 注意细微差别,若把题目中的条件 log2xy=1 改为 log2xy>1,则所求概率为( 此时答案为 A 这是因为抛掷两枚骰子共有 62=36 种不同结果,
13

)

∵log2xy>1,∴y>2x. 当 x=1 时,y 有 4 种取法;当 x=2 时,y 有 2 种取法;当 x=3 时,没有 y 满足, ∴满足 y>2x 的取法共有 4+2=6 种, 6 1 故所求概率 P= = . 36 6 若改为 logx2y<1 呢? 4.设 a∈[0,2],b∈[0,4],则函数 f(x)=x2+2ax+b 在 R 上有两个不同零点的概率为________. [答案] [解析] 1 3

∵ f(x) 有两个不同零点,∴ Δ = 4a2 - 4b>0 ,∴ b<a2 ,如图,设点 (a , b) 落在阴影部分 ( 即满足 1 8 0≤a≤2,0≤b≤4 且 b<a2)的事件为 A,由于阴影部分面积 S=?2a2da= a3|2 = , 3 0 3 ?
0

8 3 1 故所求事件 A 的概率 P(A)= = . 2×4 3 5.盒子内装有 10 张卡片,分别写有 1~10 的 10 个整数,从盒子中任取 1 张卡片,记下它的读 数 x,然后放回盒子内,第二次再从盒子中任取 1 张卡片,记下它的读数 y.试求: (1)x+y 是 10 的倍数的概率; (2)xy 是 3 的倍数的概率. [解析] 先后取两次卡片,每次都有 1~10 这 10 个结果,故形成的数对(x,y)共有 100 个. (1)x+y 是 10 的倍数的数对包括以下 10 个:(1,9),(9,1),(2,8),(8,2),(3,7),(7,3),(4,6),(6,4), (5,5),(10,10). 10 故“x+y 是 10 的倍数”的概率为 P1= =0.1. 100 (2)xy 是 3 的倍数,只要 x 是 3 的倍数,或 y 是 3 的倍数,由于 x 是 3 的倍数且 y 不是 3 的倍数 的数对有 21 个,而 x 不是 3 的倍数且 y 是 3 的倍数的数对有 21 个,x 是 3 的倍数且 y 也是 3 的倍数 的数对有 9 个. 故 xy 是 3 的倍数的数对有 21+21+9=51(个).
14

51 故 xy 是 3 的倍数的概率为 P2= =0.51. 100

15


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