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【名师一号】2014-2015学年人教A版高中数学必修2:第三章 直线与方程 单元同步测试]


第三章测试
(时间:120 分钟 总分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题 给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.给出以下命题:①任意一条直线有唯一的倾斜角;②一条直线 的倾斜角可以为-30° ;③倾斜角为 0° 的直线只有一条,即 x 轴;④按 照直线的倾斜角的概念, 直线集合与集合{α|0° ≤α<

;180° }建立了一一对 应的关系.正确的命题的个数是( A.1 C.3 解析 仅有①正确,其他均错. 答案 A ) ) B.2 D.4

2. 过点 A(4, y), B(2, -3)的直线的倾斜角为 135° , 则 y 等于( A.1 C.5 解析 由题意可知 答案 D ) B.-1 D.-5 y+3 =tan135° =-1,∴y=-5. 4-2

2 3.与原点距离为 2 ,斜率为 1 的直线方程为( A.x+y+1=0 或 x+y-1=0 B.x+y+ 2=0 或 x+y- 2=0 C.x-y+1=0 或 x-y-1=0 D.x-y+ 2=0 或 x+y- 2=0

解析

可设直线方程为 y=x+b,则

|b| 2 = 2 ,∴|b|=1,b=± 1, 2

故直线方程为 x-y+1=0 或 x-y-1=0. 答案 C

4.如果点(5,a)在两条平行直线 6x-8y+1=0 和 3x-4y+5=0 之间,则整数 a 的值为( A.5 C.-5 ) B.4 D.-4

解析 由题意可知(5, a)到两平行线间距离之和等于两平行线间的 距离,∴ |30-8a+1| |30-8a+10| |10-1| + = 2 2 ,即 |31 - 8a| + |40 - 8a| 62+82 62+82 6 +8

=9,把选项代入,知 a=4,(a=5 舍去). 答案 B

5.过点(5,2)且在 x 轴上的截距是在 y 轴上的截距的 2 倍的直线方 程是( ) B.2x+y-12=0 或 2x-5y=0 D.x+2y-9=0 或 2x-5y=0

A.2x+y-12=0 C.x-2y-1=0

解析 解法 1:验证知 D 为所求. 2 解法 2:当直线过原点时,设 y=kx,代入点(5,2)求得 k=5, 2 ∴y=5x,即 2x-5y=0; x y 9 当直线不过原点时,可设方程为2a+a=1,代入点(5,2)求得 a=2. ∴方程为 x+2y-9=0. 故所求方程为 x+2y-9=0,或 2x-5y=0. 答案 D

6.直线 2x-y+k=0 与 4x-2y+1=0 的位置关系是( A.平行 C.平行或重合 B.不平行 D.既不平行又不重合

)

解析 因为 2x-y+k=0 与 4x-2y+1=0 可变形为 y=2x+k 和 y 1 1 1 =2x+2,所以当 k=2时,两直线重合;当 k≠2时,两直线平行.故应 选 C. 答案 C )

7.方程 ax+by+c=0 表示倾斜角为锐角的直线,则必有( A.ab>1 C.a>0 且 b<0 B.ab<0 D.a>0 或 b<0

a 解析 由题意知直线的斜率存在,且 k=-b>0,∴ab<0. 答案 B

8.已知点 A(x1,y1),B(x2,y2)在斜率为 k 的直线上,若|AB|=a, 则|y2-y1|等于( A.|ak| C. a 1+k2 ) B.a 1+k2 D. a|k| 1+k2

解析 设 AB 的方程为 y=kx+b, 则 a=|AB|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2 = 1? ? ?1+ 2?|y2-y1|, k? ? ∴|y2-y1|= 答案 D a|k| . 1+k2

9.如图,在同一直角坐标系中表示直线 y=ax 与 y=x+a,正确 的是( )

解析 当 a>0 时,由 y=ax 可知,C、D 错误;又由 y=x+a 又知 A、B 也不正确.当 a<0 时,由 y=ax 可知 A、B 错误;又由 y=x+a 可知 D 也不正确. 答案 C

1 10.已知直线 l:xsinθ+ycosθ=1,点(1,cosθ)到 l 的距离为4,且 π 0≤θ≤2,则 θ 等于( π A.12 π C.4 ) π B.6 π D.3

解析 由点到直线的距离公式,可得 |sinθ+cos2θ-1| 1 1 π 2 2 2 =4,即|sinθ-sin θ|=4,经验证知 θ=6满足题意. sin θ+cos θ 答案 B

11.一条线段的长是 5,它的一个端点 A(2,1),另一端点 B 的横坐 标是-1,则 B 的纵坐标是( A.-3 C.-3 或 5 ) B.5 D.-5 或 3

解析 设点 B 的坐标为(-1, y), 由题意得(-1-2)2+(y-1)2=52, ∴(y-1)2=16.解得 y=5 或-3. 答案 C

12.若 A(-4,2),B(6,-4),C(12,6),D(2,12),下面四个结论正 确的个数是( )

①AB∥CD;②AB⊥AD;③|AC|=|BD|;④AC⊥BD. A.1 个 C.3 个 解析 ①kAB= ∴AB∥CD. 12-2 5 3 ②kAB=-5,kAD= = , 2+4 3 ∵kAB· kAD=-1,∴AB⊥AD. ③ |AC|= ?12+4?2+?6-2?2 = 272 , |BD|= ?2-6?2+?12+4?2= 272. ∴|AC|=|BD|. 6-2 1 12+4 ④kAC= =4,kBD= =-4, 12+4 2-6 ∵kAC· kBD=-1,∴AC⊥BD. 综上知,①、②、③、④均正确.故选 D. 答案 D B.2 个 D.4 个 -4-2 12-6 3 3 =-5,kCD= =-5, 6+4 2-12

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在 题中横线上) 13 .已知 A(a,3) , B(3,3a + 3) 两点间的距离是 5 ,则 a 的值为 ________.

解析

?3-a?2+?3a+3-3?2=5,

8 即(3-a)2+9a2=25,解得 a=-1 或5. 答案 8 -1 或5

14.两条平行直线分别过点 A(6,2)和 B(-3,-1),各自绕 A,B 旋转.若这两条平行线距离取最大时,两直线方程是________. 解析 根据题意,当这两条直线平行旋转到与直线 AB 垂直时,距 离取得最大值. 1 ∵kAB=3, ∴两直线分别为 y-2=-3(x-6)和 y+1=-3(x+3), 即 3x+y-20=0 和 3x+y+10=0. 答案 3x+y-20=0,3x+y+10=0 15.已知直线 l1 与直线 l2:x-3y+6=0 平行,与两坐标轴围成的 三角形面积为 8,则直线 l1 的方程为________. 解析 ∵l1 与 l2 平行,故可设 l1 的方程为 x-3y+m=0.与两坐标 m 轴的交点(0, 3 ),(-m,0). 1 m 由题意可得2|-m× 3 |=8. ∴m=4 3,或 m=-4 3. 答案 x-3y± 4 3 =0

16.设点 P 在直线 x+3y=0 上,且 P 到原点的距离与 P 到直线 x +3y-2=0 的距离相等,则点 P 坐标是________. 解析 ∵点 P 在直线 x+3y=0 上,可设 P 的坐标为(-3a,a).

依题意可得 ?-3a?2+a2= 1 =± 5.

|-3a+3a-2| 4 ,化简得 10a2=10,∴a 2 2 1 +3

1? ? 3 1? ?3 故 P 的坐标为?-5,5?,或?5,-5?.
? ? ? ?

1? ?3 ? 3 1? 答案 ?5,-5?,或?-5,5? ? ? ? ? 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出必要的文字 说明、证明过程或演算步骤) 17.(10 分)已知直线 l 经过点(0,-2),其倾斜角为 60° . (1)求直线 l 的方程; (2)求直线 l 与两坐标轴围成三角形的面积. 解 (1)依题意得斜率 k=tan60° = 3.

又经过点(0,-2),故直线 l 的方程为 y+2= 3(x-0),即 3x-y -2=0. (2)由(1)知, 直线 l: 3x-y-2=0 在 x 轴、 y 轴上的截距分别为 2 3

1 2 2 3 和-2, 故直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 S=2× ×2= 3 . 3 18.(12 分)直线 l 在两坐标轴上的截距相等,且点 P(4,3)到直线 l 的距离为 3 2,求直线 l 的方程. 解 (1)当所求直线经过坐标原点时,设其方程为 y=kx,由点到直

线的距离公式,可得 3 2= 14)x. |4k-3| 3 3 14. 故所求直线的方程为 y = ( - 6± 2 ,解 k=-6± 2 2 1+k

x y (2)当直线不经过坐标原点时,设所求直线为a+a=1,即 x+y-a |4+3-a| =0.由题意可得 =3 2,解 a=1,或 a=13.故所求直线的方程 2 为 x + y - 1 = 0 或 x + y - 13 = 0. 综上,可知所求直线的方程为 y = 3 ? ? ?-6± 14?x,或 x+y-1=0,或 x+y-13=0. 2 ? ? 19.(12 分)当 m 为何值时,直线(2m2+m-3)x+(m2-m)y=4m- 1. π (1)倾斜角为4; (2)在 x 轴上的截距为 1. 解 π (1)倾斜角为4,则斜率为 1.

2m2+m-3 ∴- =1. m2-m 解得 m=1,或 m=-1. 当 m=1 时,m2-m=0,不符合题意. 当 m=-1 时,直线方程为 2x-2y-5=0 符合题意, ∴m=-1. (2)当 y=0 时,x= 4m-1 =1, 2m2+m-3

1 解得 m=-2,或 m=2. 1 当 m=-2,或 m=2 时都符合题意, 1 ∴m=-2,或 m=2. 20.(12 分)求经过直线 l1:3x+4y+5=0 与 l2:2x-3y-8=0 的 交点 M,且满足下列条件的直线方程.

(1)经过原点; (2)与直线 2x+y+5=0 平行; (3)与直线 2x+y+5=0 垂直.
?3x+4y+5=0, ? 解 由? ? ?2x-3y-8=0,

得交点 M 的坐标为(1,-2). (1)直线过原点,可得直线方程为 2x+y=0. (2)直线与 2x+y+5=0 平行,可设为 2x+y+m=0,代入 M(1,- 2),得 m=0. ∴直线方程为 2x+y=0. (3)直线与 2x+y+5=0 垂直, 1 ∴斜率为 k=2,又过点 M(1,-2). 1 故所求方程为 y+2=2(x-1). 即 x-2y-5=0. 21.(12 分)已知两条直线 l1:ax-by+4=0,l2:(a-1)x+y+b= 0.求分别满足下列条件的 a 和 b 的值. (1)求直线 l1 过点(-3,-1),并且直线 l1 与直线 l2 垂直; (2)直线 l1 与 l2 平行,并且坐标原点到 l1,l2 的距离相等. 解 (1)∵l1⊥l2,

∴(a-1)a+(-b)×1=0. 即 a2-a-b=0.① 又点(-3,-1)在 l1 上, ∴-3a+b+4=0.② 由①②解得 a=2,b=2.

(2)∵l1∥l2,且 l2 的斜率为 1-a,∴l1 的斜率也存在,即 b≠0. a a ∴b=1-a.∴b= (a≠1). 1-a 故 l1、l2 的方程分别可以表示为 l1:(a-1)x+y+ l2:(a-1)x+y+ 4?a-1? a =0, a =0. 1-a

∵原点到 l1 和 l2 的距离相等. a-1 a ∴4| a |=| |, 1-a 2 解得 a=2,或 a=3,

?a= , ? ?a=2, ? 因此 或? 3 ?b=-2, ? ?b=2.
22.(12 分)等腰直角三角形斜边所在直线的方程是 3x-y=0,一 1 条直角边所在的直线 l 的斜率为2,且经过点(4,-2),且此三角形的 面积为 10,求此直角三角形的直角顶点的坐标. 解 设直角顶点为 C,C 到直线 y=3x 的距离为 d. 1 则2· d· 2d=10,∴d= 10. 1 1 又 l 的斜率为2,∴l 的方程为 y+2=2(x-4). 即 x-2y-8=0. 设 l′是与直线 y=3x 平行且距离为 10的直线, 则 l′与 l 的交点就是 C 点, 设 l′的方程是 3x-y+m=0,

2



|m| = 10, 10

∴m=± 10,∴l′的方程是 3x-y± 10=0,
? ? ?x-2y-8=0, ?x-2y-8=0, 由方程组? 及? ?3x-y-10=0, ?3x-y+10=0, ? ?

14? 34? ?12 ? 28 得 C 点坐标是? 5 ,- 5 ?,或?- 5 ,- 5 ?.
? ? ? ?


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