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文科一轮学案4.5和角公式、倍角公式和半角公式


第四章

三角函数、解三角形

学案 4.4.函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及应用
自主预习案
【双基梳理】 1.和角公式 cos(α-β)= cos(α+β)= sin(α-β)=s sin(α+β)= tan(α-β)= tan(α+β)= 2.倍角公式 sin 2α= cos 2α= tan 2α= 3.半角公式 α cos =± 2 sin tan α =± 2 α =± 2 1+cos α α ,(C ) 2 2 1-cos α α ,(S ) 2 2 1-cos α α .(T ) 1+cos α 2 = ,(S2α) = ,T2α) ,(C2α) , (Cα-β) , (Cα+β) , (Sα-β) , (Sα+β) , (Tα-β) , (Tα+β)
自主复习 夯实基础

α (根号前的正负号,由角 所在象限确定) 2 4.公式的逆用、变形等 (1)tan α± tan β=tan(α± β)(1?tan αtan β); 1+cos 2α 1-cos 2α (2)cos2α= ,sin2α= ; 2 2 π? (3)1+sin 2α=(sin α+cos α)2,1-sin 2α=(sin α-cos α)2,sin α± cos α= 2sin? 4? . ?α±

【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)存在实数 α,β,使等式 sin(α+β)=sin α+sin β 成立.( (2)在锐角△ABC 中,sin Asin B 和 cos Acos B 大小不确定.( (3)公式 tan(α+β)= 成立.( ) )
-1-

) )

tan α+tan β 可以变形为 tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β),且对任意角 α,β 都 1-tan αtan β

(4)存在实数 α,使 tan 2α=2tan α.(

第四章

三角函数、解三角形

(5)两角和与差的正弦、余弦公式中的角 α,β 是任意的.(

)
典例剖析 考点突破

考点探究案
考点一 三角函数公式的基本应用 例1 3 π (1)已知 sin α= ,α∈( ,π),则 5 2 cos 2α π 2sin?α+ ? 4 = .

π ? (2)设 sin 2α=-sin α,α∈? ?2,π?,则 tan 2α 的值是

.

π π 1 变式训练:(1)若 α∈( ,π),tan(α+ )= ,则 sin α 等于( 2 4 7 3 A. 5 3 C.- 5 4 B. 5 4 D.- 5 )

)

π 3 π (2)已知 cos(x- )=- ,则 cos x+cos(x- )的值是( 6 3 3 2 3 A.- 3 C.-1 2 3 B.± 3 D.± 1

考点二 三角函数公式的灵活应用 例2 A. 2 1 C. 2 cos 15° +sin 15° (2)求值: = cos 15° -sin 15° 变式训练: (1)在斜三角形 ABC 中,sin A=- 2cos B· cos C,且 tan B· tan C=1- 2,则角 A 的值为(
-2-

(1)sin(65° -x)cos(x-20° )+cos(65° -x)· cos(110° -x)的值为( B. D. . 2 2 3 2

)

)

第二章

函数与基本初等函数

π A. 4 π C. 2

π B. 3 3π D. 4 )

π (2)函数 f(x)=2sin2( +x)- 3cos 2x 的最大值为( 4 A.2 C.2+ 3 B.3 D.2- 3

考点三:角的变换问题 例3 2 5 A. 25 2 5 2 5 C. 或 25 5 (1)设 α、β 都是锐角,且 cos α= 5 3 ,sin(α+β)= ,则 cos β 等于( 5 5 )

2 5 B. 5 D. 5 5 或 5 25 .

π 4 7π (2)已知 cos(α- )+sin α= 3,则 sin(α+ )的值是 6 5 6

π π π 3 ? 1 ? π β? ? β? 变式训练:若 0<α< ,- <β<0,cos? ?4+α?=3,cos?4-2?= 3 ,则 cos?α+2?等于( 2 2 A. 3 3 B.- D.- 3 3 6 9

)

5 3 C. 9

当堂达标 cos 40° 1.化简 等于( cos 25° 1-sin 40° A.1 B. 3 C. 2 ) ) ) D.2

sin α+cos α 1 2.若 = ,则 tan 2α 等于( sin α-cos α 2

1 1 3.(2015· 重庆)若 tan α= ,tan(α+β)= ,则 tan β 等于( 3 2 1 A. 7 1 B. 6 5 C. 7 5 D. 6 .

4.(教材改编)sin 347° cos 148° +sin 77° cos 58° = π 4 π 5.设 α 为锐角,若 cos(α+ )= ,则 sin(2α+ )的值为 6 5 12

.

-3-

第四章

三角函数、解三角形

巩固提高案
1. cos 85° +sin 25° cos 30° 等于( cos 25° 3 2 B. 2 2 1 C. 2 ) D.1 )

日积月累 提高自我

A.-

π π 3 7 2.若 θ∈[ , ],sin 2θ= ,则 sin θ 等于( 4 2 8 3 A. 5 4 B. 5 C. 7 4 3 D. 4 ) B.- 3 D.- 3 3

sin 2θ 3.若 tan θ= 3,则 等于( 1+cos 2θ A. 3 C. 3 3

4.已知 α 为第二象限角,sin α+cos α= A.- C. 5 9 5 3

3 ,则 cos 2α 等于( 3 5 9

)

B.- D. 5 3

π 1 π 2 β- ?= ,那么 tan?α+ ?等于( 5.已知 tan(α+β)= ,tan? 4 ? ? 4 ? 4? 5 13 A. 18 3 C. 22 6. sin250° = 1+sin 10° . 13 B. 22 1 D. 6

)

7.已知 α、β 均为锐角,且 cos(α+β)=sin(α-β),则 tan α= π 8.函数 f(x)=sin(2x- )-2 2sin2x 的最小正周期是 4 π ?π-α?=-1,α∈?π,π?. +α?· 9.已知 cos? cos ?6 ? ?3 ? ? 3 2? 4 (1)求 sin 2α 的值; (2)求 tan α- 1 的值. tan α .

.

π ? α α 6 10.已知 α∈? ?2,π?,且 sin 2+cos 2= 2 . (1)求 cos α 的值; π ? 3 ,π (2)若 sin(α-β)=- ,β∈? 2 ?,求 cos β 的值. ? 5

-4-

第二章

函数与基本初等函数

-5-

第四章

三角函数、解三角形

学案 4.4.函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及应用
自主预习案
【双基梳理】 1.和角公式 cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β, (Cα-β) cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β, (Cα+β) sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β, sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β, tan(α-β)= tan(α+β)= 2.倍角公式 sin 2α=2sin αcos α,(S2α) cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α,(C2α) 2tan α tan 2α= .(T ) 1-tan2α 2α 3.半角公式 α cos =± 2 sin tan α =± 2 α =± 2 1+cos α α ,(C ) 2 2 1-cos α α ,(S ) 2 2 1-cos α α .(T ) 1+cos α 2 tan α-tan β , 1+tan αtan β tan α+tan β . 1-tan αtan β (Tα-β) (Tα+β) (Sα-β) (Sα+β)
自主复习 夯实基础

α (根号前的正负号,由角 所在象限确定) 2 4.公式的逆用、变形等 (1)tan α± tan β=tan(α± β)(1?tan αtan β); 1+cos 2α 1-cos 2α (2)cos2α= ,sin2α= ; 2 2

-6-

第二章

函数与基本初等函数

π α± ?. (3)1+sin 2α=(sin α+cos α)2,1-sin 2α=(sin α-cos α)2,sin α± cos α= 2sin? 4 ? ?

【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)存在实数 α,β,使等式 sin(α+β)=sin α+sin β 成立.( √ ) (2)在锐角△ABC 中,sin Asin B 和 cos Acos B 大小不确定.( × (3)公式 tan(α+β)= 成立.( × ) ) )

tan α+tan β 可以变形为 tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β),且对任意角 α,β 都 1-tan αtan β

(4)存在实数 α,使 tan 2α=2tan α.( √

(5)两角和与差的正弦、余弦公式中的角 α,β 是任意的.( √ )

考点探究案
考点一 三角函数公式的基本应用 例1 3 π (1)已知 sin α= ,α∈( ,π),则 5 2 cos 2α π 2sin?α+ ? 4 = .

典例剖析 考点突破

π ? (2)设 sin 2α=-sin α,α∈? ?2,π?,则 tan 2α 的值是 答案 解析 7 (1)- 5 (1) (2) 3 = cos2α-sin2α 2 2 2? sin α+ cos α? 2 ?2 ?

.

cos 2α

π α+ ? 2sin? ? 4?

=cos α-sin α, π ? 3 4 ∵sin α= ,α∈? ?2,π?,∴cos α=-5. 5 7 ∴原式=- . 5 (2)∵sin 2α=2sin αcos α=-sin α, π ? 1 ∴cos α=- ,又 α∈? ?2,π?, 2 ∴sin α= 3 ,tan α=- 3, 2

-2 3 2tan α ∴tan 2α= = = 3. 1-tan2α 1-?- 3?2

-7-

第四章

三角函数、解三角形

π π 1 变式训练:(1)若 α∈( ,π),tan(α+ )= ,则 sin α 等于( 2 4 7 3 A. 5 3 C.- 5 4 B. 5 4 D.- 5 )

)

π 3 π (2)已知 cos(x- )=- ,则 cos x+cos(x- )的值是( 6 3 3 2 3 A.- 3 C.-1 答案 解析 (1)A (2)C π tan α+1 1 (1)∵tan(α+ )= = , 4 1-tan α 7 2 3 B.± 3 D.± 1

3 sin α ∴tan α=- = , 4 cos α 4 ∴cos α=- sin α. 3 又∵sin2α+cos2α=1, 9 ∴sin2α= . 25 π 3 又∵α∈( ,π),∴sin α= . 2 5 π (2)cos x+cos(x- ) 3 1 3 =cos x+ cos x+ sin x 2 2 3 3 = cos x+ sin x 2 2 = 3( 3 1 cos x+ sin x) 2 2

π = 3cos(x- )=-1. 6

考点二 三角函数公式的灵活应用 例2 (1)sin(65° -x)cos(x-20° )+cos(65° -x)· cos(110° -x)的值为( )

-8-

第二章

函数与基本初等函数

A. 2 1 C. 2 cos 15° +sin 15° (2)求值: = cos 15° -sin 15° 答案 解析 (1)B (2) 3

B. D. .

2 2 3 2

(1) 原式= sin(65° - x)cos(x - 20° ) + cos(65° - x)· cos[90° - (x - 20° )] = sin(65° - x)cos(x - 20° )+

cos(65° -x)sin(x-20° )=sin[(65° -x)+(x-20° )] =sin 45° = 2 .故选 B. 2

1+tan 15° tan 45° +tan 15° (2)原式= = 1-tan 15° 1-tan 45° tan 15° =tan(45° +15° )= 3.

变式训练: (1)在斜三角形 ABC 中,sin A=- 2cos B· cos C,且 tan B· tan C=1- 2,则角 A 的值为( π A. 4 π C. 2 π B. 3 3π D. 4 ) )

π (2)函数 f(x)=2sin2( +x)- 3cos 2x 的最大值为( 4 A.2 C.2+ 3 答案 解析 (1)A (2)B B.3 D.2- 3

(1)由题意知:sin A=- 2cos B· cos C=sin(B+C)=sin B· cos C+cos B· sin C,在等式- 2cos

B· cos C=sin B· cos C+cos B· sin C 两边同除以 cos B· cos C 得 tan B+tan C=- 2,又 tan(B+C)= tan B+tan C π =-1=-tan A,所以 A= . 4 1-tan Btan C π? π (2)f(x)=1-cos 2( +x)- 3cos 2x=sin 2x- 3cos 2x+1=2sin? ?2x-3?+1,可得 f(x)的最大值是 3. 4

考点三:角的变换问题 例3 2 5 A. 25 (1)设 α、β 都是锐角,且 cos α= 5 3 ,sin(α+β)= ,则 cos β 等于( 5 5 )

2 5 B. 5
-9-

第四章

三角函数、解三角形

2 5 2 5 C. 或 25 5

D.

5 5 或 5 25 .

π 4 7π (2)已知 cos(α- )+sin α= 3,则 sin(α+ )的值是 6 5 6 答案 解析 4 (1)A (2)- 5 2 5 (1)依题意得 sin α= 1-cos2α= , 5

4 cos(α+β)=± 1-sin2?α+β?=± . 5 又 α,β 均为锐角,所以 0<α<α+β<π,cos α>cos(α+β). 4 5 4 因为 > >- , 5 5 5 4 所以 cos(α+β)=- . 5 于是 cos β=cos[(α+β)-α] =cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α 4 5 3 2 5 2 5 =- × + × = . 5 5 5 5 25 π 4 (2)∵cos(α- )+sin α= 3, 6 5 ∴ 3 3 4 cos α+ sin α= 3, 2 2 5

1 3 4 3( cos α+ sin α)= 3, 2 2 5 π 4 3sin( +α)= 3, 6 5 π 4 ∴sin( +α)= , 6 5 7π π 4 ∴sin(α+ )=-sin( +α)=- . 6 6 5

π π β β π π 1 3 +α?= ,cos? - ?= ,则 cos?α+ ?等于( 变式训练:若 0<α< ,- <β<0,cos? 4 4 2 ? ? 3 ? ? 3 ? 2? 2 2 A. 3 3 B.- D.- 3 3 6 9

)

5 3 C. 9 答案 C

β π π β α+ ?=cos?? +α?-? - ?? 解析 cos? ? 2? ??4 ? ?4 2?? π π β π π β +α?cos? - ?+sin? +α?sin? - ?, =cos? ?4 ? ?4 2? ?4 ? ?4 2?
- 10 -

第二章

函数与基本初等函数

π π π 3π ∵0<α< ,∴ < +α< , 2 4 4 4 π ? 2 2 ∴sin? ?4+α?= 3 . π π π β π 又- <β<0,则 < - < , 2 4 4 2 2 π β? 6 ∴sin? ?4-2?= 3 . β? 1 3 2 2 6 5 3 故 cos? ?α+2?=3× 3 + 3 × 3 = 9 .

当堂达标 cos 40° 1.化简 等于( cos 25° 1-sin 40° A.1 答案 C cos 40° 解析 原式= cos 25° 1-cos 50° = cos 40° cos 40° = = 2. cos 25° · 2sin 25° 2 sin 50° 2 ) 4 D. 3 B. 3 C. 2 ) D.2

sin α+cos α 1 2.若 = ,则 tan 2α 等于( sin α-cos α 2 3 A.- 4 答案 B 3 B. 4 4 C.- 3

sin α+cos α 1 tan α+1 1 解析 由 = ,等式左边分子、分母同除 cos α 得, = ,解得 tan α=-3, sin α-cos α 2 tan α-1 2 2tan α 3 则 tan 2α= 2 = . 1-tan α 4 1 1 3.(2015· 重庆)若 tan α= ,tan(α+β)= ,则 tan β 等于( 3 2 1 A. 7 答案 A 解析 tan?α+β?-tan α tan β=tan[(α+β)-α]= 1+tan?α+β?tan α 1 B. 6 5 C. 7 5 D. 6 )

1 1 - 2 3 1 = = . 1 1 7 1+ × 2 3 4.(教材改编)sin 347° cos 148° +sin 77° cos 58° =
- 11 -

.

第四章

三角函数、解三角形

答案 解析

2 2 sin 347° cos 148° +sin 77° cos 58°

=sin(270° +77° )cos(90° +58° )+sin 77° cos 58° =(-cos 77° )· (-sin 58° )+sin 77° cos 58° =sin 58° cos 77° +cos 58° sin 77° =sin(58° +77° )=sin 135° = 2 . 2 .

π 4 π 5.设 α 为锐角,若 cos(α+ )= ,则 sin(2α+ )的值为 6 5 12 答案 17 2 50

π 4 解析 ∵α 为锐角,cos(α+ )= , 6 5 π π 2π? , , ∴α+ ∈? 6 ?6 3 ? π 3 ∴sin(α+ )= , 6 5 π π π 24 ∴sin(2α+ )=2sin(α+ )cos(α+ )= , 3 6 6 25 π π 7 ∴cos(2α+ )=2cos2(α+ )-1= , 3 6 25 π π π ∴sin(2α+ )=sin(2α+ - ) 12 3 4 = 2 π π 17 2 [sin(2α+ )-cos(2α+ )]= . 2 3 3 50

巩固提高案
1. cos 85° +sin 25° cos 30° 等于( cos 25° 3 2 B. 2 2 1 C. 2 ) D.1

日积月累 提高自我

A.-

答案 C 3 sin 5° + sin 25° 2 解析 原式= cos 25° sin?30° -25° ?+ = 3 1 sin 25° cos 25° 2 2 1 = = . cos 25° cos 25° 2 )

π π 3 7 2.若 θ∈[ , ],sin 2θ= ,则 sin θ 等于( 4 2 8 3 A. 5 4 B. 5 C. 7 4 3 D. 4

- 12 -

第二章

函数与基本初等函数

答案 D 3 7 解析 由 sin 2θ= 和 sin2θ+cos2θ=1,得 8 3+ 7 2 3 7 (sin θ+cos θ)2= +1=( ), 8 4 3+ 7 π π 又 θ∈[ , ],∴sin θ+cos θ= . 4 2 4 3- 7 3 同理,sin θ-cos θ= ,∴sin θ= . 4 4 sin 2θ 3.若 tan θ= 3,则 等于( 1+cos 2θ A. 3 C. 3 3 ) B.- 3 D.- 3 3

答案 A 解析 sin 2θ 2sin θcos θ = =tan θ= 3. 1+cos 2θ 1+2cos2θ-1 3 ,则 cos 2α 等于( 3 5 9 )

4.已知 α 为第二象限角,sin α+cos α= A.- C. 5 9 5 3

B.- D. 5 3

答案 A 解析 由 sin α+cos α= 2 ∴2sin αcos α=- . 3 ∵α 为第二象限角,∴sin α>0,cos α<0, ∴sin α-cos α= ?sin α-cos α?2 = 1-2sin αcos α= 15 . 3 3 1 两边平方得 1+2sin αcos α= , 3 3

∴cos 2α=(cos α+sin α)(cos α-sin α) = 3 ? 5 15? × =- . 3 ?- 3 ? 3 )

π 1 π 2 β- ?= ,那么 tan?α+ ?等于( 5.已知 tan(α+β)= ,tan? 4 4? ? ? ? 5 4 13 A. 18 3 C. 22 13 B. 22 1 D. 6
- 13 -

第四章

三角函数、解三角形

答案 C π π 解析 因为 α+ +β- =α+β, 4 4 π π β- ? , 所以 α+ =(α+β)-? ? 4? 4 π? ? ? π?? 所以 tan? ?α+4?=tan??α+β?-?β-4?? 3 = . π 22 ? 1+tan?α+β?tan? ?β-4? . π β- ? tan?α+β?-tan? ? 4?



6.

sin250° = 1+sin 10° 1 2

答案 解析 =

1-cos 100° sin250° = 1+sin 10° 2?1+sin 10° ?

1-cos?90° +10° ? 1+sin 10° 1 = = . 2?1+sin 10° ? 2?1+sin 10° ? 2 .

7.已知 α、β 均为锐角,且 cos(α+β)=sin(α-β),则 tan α= 答案 1 解析 根据已知条件: cos αcos β-sin αsin β=sin αcos β-cos αsin β, cos β(cos α-sin α)+sin β(cos α-sin α)=0, 即(cos β+sin β)(cos α-sin α)=0. 又 α、β 为锐角,则 sin β+cos β>0, ∴cos α-sin α=0, ∴tan α=1. π 8.函数 f(x)=sin(2x- )-2 2sin2x 的最小正周期是 4 答案 π 2 2 sin 2x- cos 2x- 2(1-cos 2x) 2 2 .

解析 ∵f(x)= =

2 2 π sin 2x+ cos 2x- 2=sin(2x+ )- 2, 2 2 4

2π ∴最小正周期 T= =π. 2 π ? cos?π-α?=-1,α∈?π,π?. 9.已知 cos? ?6+α?· ?3 ? ? 3 2? 4 (1)求 sin 2α 的值; (2)求 tan α- 1 的值. tan α
- 14 -

第二章

函数与基本初等函数



π ? ?π-α? +α · (1)cos? cos 6 ? ? ?3 ?

π ?π+α? +α?· =cos? sin 6 ? ? ?6 ? π 1 1 2α+ ?=- , = sin? 3 ? 2 ? 4 π 1 2α+ ?=- . 即 sin? 3? ? 2 π π? π ? 4π? ∵α∈? ?3,2?,∴2α+3∈?π, 3 ? π? 3 ∴cos? ?2α+3?=- 2 , π? π? ∴sin 2α=sin?? ?2α+3?-3

?

?

π? π? π π ? =sin? ?2α+3?cos 3-cos?2α+3?sin 3 1 = . 2 π π? 2π , ,∴2α∈? ,π?, (2)∵α∈? 3 2 ? ? ?3 ? 1 3 又由(1)知 sin 2α= ,∴cos 2α=- . 2 2
2 2 1 sin α cos α sin α-cos α ∴tan α- = - = tan α cos α sin α sin αcos α

3 - 2 -2cos 2α = =-2× =2 3. sin 2α 1 2 π ? α α 6 10.已知 α∈? ?2,π?,且 sin 2+cos 2= 2 . (1)求 cos α 的值; π ? 3 (2)若 sin(α-β)=- ,β∈? ?2,π?,求 cos β 的值. 5 解 (1)因为 sin α α 6 +cos = , 2 2 2

1 两边同时平方,得 sin α= . 2 π 3 又 <α<π,所以 cos α=- . 2 2 π π (2)因为 <α<π, <β<π, 2 2 π π π 所以-π<-β<- ,故- <α-β< . 2 2 2 3 4 又 sin(α-β)=- ,得 cos(α-β)= . 5 5
- 15 -

第四章

三角函数、解三角形

cos β=cos[α-(α-β)] =cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β) =- 3 4 1 ? 3? × + × - 2 5 2 ? 5?

4 3+3 =- . 10

- 16 -


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考研数学必备公式之倍角公式与半角公式
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倍角公式与半角公式复习
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