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高考数学易错题集锦6


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高 中 数 学 易 错 、易 混、易 忘 题 分 类 汇 编 "会而不对,对而不全"一直以来成为制约学生数学成绩提高的重要因素,成为学生挥之不去的痛,如何解决这
个问题对决定学生的高考成败起着至关重要的作用。本文结合笔者的

多年高三教学经验精心挑选学生在考试中常见的 66 个易错、易混、易忘典型题目,这些问题也是高考中的热点和重点,做到力避偏、怪、难,进行精彩剖析并配以近 几年的高考试题作为相应练习,一方面让你明确这样的问题在高考中确实存在,另一方面通过作针对性练习帮你识破 命题者精心设计的陷阱,以达到授人以渔的目的,助你在高考中乘风破浪,实现自已的理想报负。 【易错点 1】忽视空集是任何非空集合的子集导致思维不全面。 例 1、 设 , ,若 ,求实数 a 组成的集合的子集有多少个? 【易错点分析】此题由条件 易知 ,由于空集是任何非空集合的子集,但在解题中极易忽略这种特殊情况而造成求解 满足条件的 a 值产生漏解现象。 解析:集合 A 化简得 ,由 知 故(Ⅰ)当 时,即方程 无解,此时 a=0 符合已知条件(Ⅱ)当 时,即方程 的解为 3 或 5,代入得 或 。综上满足条件的 a 组成的集合为 ,故其子集共有 个。 【知识点归类点拔】 (1)在应用条件 A∪B=B A∩B=A A B时,要树立起分类讨论的数学思想,将集合A是空集 Φ 的情况优先进行讨论. (2)在解答集合问题时,要注意集合的性质"确定性、无序性、互异性"特别是互异性对集合元素的限制。有时需要进 行检验求解的结果是满足集合中元素的这个性质,此外,解题过程中要注意集合语言(数学语言)和自然语言之间的 转化如: , ,其中 ,若 求 r 的取值范围。将集合所表达的数学语言向自然语言进行转化就是:集合 A 表示以原点为 圆心以 2 的半径的圆,集合 B 表示以(3,4)为圆心,以 r 为半径的圆,当两圆无公共点即两圆相离或内含时,求半 径 r 的取值范围。思维马上就可利用两圆的位置关系来解答。此外如不等式的解集等也要注意集合语言的应用。 【练 1】已知集合 、 ,若 ,则实数 a 的取值范围是 。答案: 或 。 【易错点 2】求解函数值域或单调区间易忽视定义域优先的原则。 例 2、已知 ,求 的取值范围 【易错点分析】此题学生很容易只是利用消元的思路将问题转化为关于 x 的函数最值求解,但极易忽略 x、y 满足 这 个条件中的两个变量的约束关系而造成定义域范围的扩大。 解析:由于 得(x+2)2=1- ≤1,∴-3≤x≤-1 从而 x2+y2=-3x2-16x-12= + 因此当 x=-1 时 x2+y2 有最小值 1, 当 x=- 时,x2+y2 有最大值 。故 x2+y2 的取值范围是[1, ] 【知识点归类点拔】事实上我们可以从解析几何的角度来理解条件 对 x、y 的限制,显然方程表示以(-2,0)为中心 的椭圆,则易知-3≤x≤-1, 。此外本题还可通过三角换元转化为三角最值求解。 【练 2】 (05 高考重庆卷)若动点(x,y)在曲线 上变化,则 的最大值为() (A) (B) (C) (D) 答案:A 【易错点 3】求解函数的反函数易漏掉确定原函数的值域即反函数的定义域。 例 3、 是 R 上的奇函数, (1)求 a 的值(2)求的反函数 【易错点分析】求解已知函数的反函数时,易忽略求解反函数的定义域即原函数的值域而出错。 解析: (1)利用 (或 )求得 a=1. (2)由 即 ,设 ,则 由于 故 , ,而 所以 【知识点归类点拔】 (1)在求解函数的反函数时,一定要通过确定原函数的值域即反函数的定义域在反函数的解析式 后表明(若反函数的定义域为 R 可省略) 。 (2)应用 可省略求反函数的步骤,直接利用原函数求解但应注意其自变量和函数值要互换。 【练 3】 (2004 全国理)函数 的反函数是() A、 B、 C、 D、 答案:B
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【易错点 4】求反函数与反函数值错位 例 4、已知函数 ,函数 的图像与 的图象关于直线 对称,则 的解析式为() A、 B、 C、 D、 【易错点分析】解答本题时易由 与 互为反函数,而认为 的反函数是 则 = = 而错选 A。 解析:由 得 从而 再求 的反函数得 。正确答案:B 【知识点分类点拔】函数 与函数 并不互为反函数,他只是表示 中 x 用 x-1 替代后的反函数值。这是因为由求反函数 的过程来看:设 则 , 再将 x、y 互换即得 的反函数为 ,故 的反函数不是 ,因此在今后求解此题问题时一定要谨慎。 【练 4】 (2004 高考福建卷)已知函数 y=log2x 的反函数是 y=f-1(x),则函数 y= f-1(1-x)的图象是() 答案:B 【易错点 5】判断函数的奇偶性忽视函数具有奇偶性的必要条件:定义域关于原点对称。 例 5、 判断函数 的奇偶性。 【易错点分析】此题常犯的错误是不考虑定义域,而按如下步骤求解: 从而得出函数 为非奇非偶函数的错误结论。 解析:由函数的解析式知 x 满足 即函数的定义域为 定义域关于原点对称,在定义域下 易证 即函数为奇函数。 【知识点归类点拔】 (1)函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件,因此在判断函数的奇偶 性时一定要先研究函数的定义域。 (2)函数 具有奇偶性,则 是对定义域内 x 的恒等式。常常利用这一点求解函数中字母参数的值。 【练 5】判断下列函数的奇偶性: ① ② ③ 答案:①既是奇函数又是偶函数②非奇非偶函数③非奇非偶函数 【易错点 6】易忘原函数和反函数的单调性和奇偶性的关系。从而导致解题过程繁锁。 例 6、 函数 的反函数为 ,证明 是奇函数且在其定义域上是增函数。 【思维分析】可求 的表达式,再证明。若注意到 与 具有相同的单调性和奇偶性,只需研究原函数 的单调性和奇偶 性即可。 解析: ,故 为奇函数从而 为奇函数。又令 在 和 上均为增函数且 为增函数,故 在 和 上分别为增函数。故 分 别在 和 上分别为增函数。 【知识点归类点拔】对于反函数知识有如下重要结论: (1)定义域上的单调函数必有反函数。 (2)奇函数的反函数也 是奇函数且原函数和反函数具有相同的单调性。 (3)定义域为非单元素的偶函数不存在反函数。 (4)周期函数不存在 反函数(5)原函数的定义域和值域和反函数的定义域和值域到换。即 。 【练 6】 (99 全国高考题)已知 ,则如下结论正确的是() (1) A、 是奇函数且为增函数 B、 是奇函数且为减函数 C、 是偶函数且为增函数 D、 是偶函数且为减函数 答案:A (2) (2005 天津卷)设 是函数 的反函数,则使 成立的 的取值范围为()A、 B、 C、 D、 答案:A ( 时, 单调增函数,所以 .) 【易错点 7】证明或判断函数的单调性要从定义出发,注意步骤的规范性及树立定义域优先的原则。 例 7、试判断函数 的单调性并给出证明。 【易错点分析】在解答题中证明或判断函数的单调性必须依据函数的性质解答。特别注意定义 中的 的任意性。以及 函数的单调区间必是函数定义域的子集,要树立定义域优先的意识。 解析:由于 即函数 为奇函数,因此只需判断函数 在 上的单调性即可。设 , 由于 故当 时 ,此时函数 在 上 增函数, 同理可证函数 在 上为减函数。 又由于函数为奇函数, 故函数在 为减函数, 为增函数。 在 综上所述: 函数 在 和 上分别为增函数,在 和 上分别为减函数. 【知识归类点拔】 (1)函数的单调性广泛应用于比较大小、解不等式、求参数的范围、最值等问题中,应引起足够重 视。 (2)单调性的定义等价于如下形式: 在 上是增函数 , 在 上是减函数 ,这表明增减性的几何意义:增(减)函数
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的图象上任意两点 连线的斜率都大于(小于)零。 (3) 是一种重要的函数模型,要引起重视并注意应用。但注意本题中不能说 在 上为增函数,在 上为减函数, 在叙述函数的单调区间时不能在多个单调区间之间添加符号"∪"和"或", 【练 7】 (1) (潍坊市统考题) (1)用单调性的定义判断函数 在 上的单调性。 (2)设 在 的最小值为 ,求 的解 析式。 答案: (1)函数在 为增函数在 为减函数。 (2) (2) (2001 天津)设 且 为 R 上的偶函数。 (1)求 a 的值(2)试判断函数在 上的单调性并给出证明。 答案: (1) (2)函数在 上为增函数(证明略) 【易错点 8】在解题中误将必要条件作充分条件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用,导致错误结论。 例 8、 (2004 全国高考卷)已知函数 上是减函数,求 a 的取值范围。 【易错点分析】 是 在 内单调递减的充分不必要条件,在解题过程中易误作是充要条件,如 在 R 上递减,但 。 解析:求函数的导数 (1)当 时, 是减函数,则 故 解得 。 (2)当 时, 易知此时函数也在 R 上是减函数。 (3)当 时,在 R 上存在一个区间在其上有 ,所以当 时,函数 不是减函数,综上,所求 a 的取值范围是 。 【知识归类点拔】若函数 可导,其导数与函数的单调性的关系现以增函数为例来说明:① 与 为增函数的关系: 能推 出 为增函数,但反之不一定。如函数 在 上单调递增,但 ,∴ 是 为增函数的充分不必要条件。② 时, 与 为增函 数的关系:若将 的根作为分界点,因为规定 ,即抠去了分界点,此时 为增函数,就一定有 。∴当 时, 是 为增函数 的充分必要条件。③ 与 为增函数的关系: 为增函数,一定可以推出 ,但反之不一定,因为 ,即为 或 。当函数在某 个区间内恒有 ,则 为常数,函数不具有单调性。∴ 是 为增函数的必要不充分条件。函数的单调性是函数一条重要 性质,也是高中阶段研究的重点,我们一定要把握好以上三个关系,用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决 单调区间的端点问题,都一律用开区间作为单调区间,避免讨论以上问题,也简化了问题。但在实际应用中还会遇到 端点的讨论问题,要谨慎处理。 因此本题在第一步后再对 和 进行了讨论,确保其充要性。在解题中误将必要条件作充分条件或将既不充分与不必要 条件误作充要条件使用而导致的错误还很多,这需要同学们在学习过程中注意思维的严密性。 【练 8】 (2003 新课程)函数 是是单调函数的充要条件是() (1) A、 B、 C、 D、 答案:A (2)是否存在这样的 K 值,使函数 在 上递减,在 上递增? 答案: 。 (提示据题意结合函数的连续性知 ,但 是函数在 上递减,在 上递增的必要条件,不一定是充分条件因此 由 求出 K 值后要检验。 ) 【易错点 9】 应用重要不等式确定最值时, 忽视应用的前提条件特别是易忘判断不等式取得等号时的变量值是否在定义 域限制范围之内。 例 9、 已知:a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+ )2+(b+ )2 的最小值。 错解 :(a+ )2+(b+ )2=a2+b2+ + +4≥2ab+ +4≥4 +4=8∴(a+ )2+(b+ )2 的最小值是 8 【易错点分析】 上面的解答中,两次用到了基本不等式 a2+b2≥2ab,第一次等号成立的条件是 a=b= ,第二次等号成立 的条件 ab= ,显然,这两个条件是不能同时成立的。因此,8 不是最小值。 解析:原式= a2+b2+ + +4=( a2+b2)+( + )+4=[(a+b)2-2ab]+ [( + )2- ]+4 =(1-2ab)(1+ )+4 由 ab≤( )2= 得:1-2ab≥1- = ,且 ≥16,1+ ≥17∴原式≥ ?17+4= (当且仅当 a=b= 时,等号成立)∴(a+ )2+(b+ )2 的最小值是 。 【知识归类点拔】在应用重要不等式求解最值时,要注意它的三个前提条件缺一不可即"一正、二定、三相等",在解 题中容易忽略验证取提最值时的使等号成立的变量的值是否在其定义域限制范围内。 【练 9】 (97 全国卷文 22 理 22)甲、乙两地相距 s km , 汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过 c km/h ,已知汽车 每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度 v(km/h)的平方成正比,比例系数 为 b;固定部分为 a 元。 (1) 把全程运输成本 y(元)表示为速度 v(km/h)的函数,并指出这个函数的定义域; (2) 为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶? 答案为:(1) (2)使全程运输成本最小,当 ≤c 时,行驶速度 v= ;当 >c 时,行驶速度 v=c。 【易错点 10】在涉及指对型函数的单调性有关问题时,没有根据性质进行分类讨论的意识和易忽略对数函数的真数的
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限制条件。 例 10、是否存在实数 a 使函数 在 上是增函数?若存在求出 a 的值,若不存在,说明理由。 【易错点分析】本题主要考查对数函数的单调性及复合函数的单调性判断方法,在解题过程中易忽略对数函数的真数 大于零这个限制条件而导致 a 的范围扩大。 解析:函数 是由 和 复合而成的,根据复合函数的单调性的判断方法(1)当 a>1 时,若使 在 上是增函数,则 在 上 是增函数且大于零。 故有 解得 a>1。 (2)当 a<1 时若使 在 上是增函数, 在 上是减函数且大于零。 不等式组无解。 则 综上所述存在实数 a>1 使得函数 在 上是增函数 【知识归类点拔】要熟练掌握常用初等函数的单调性如:一次函数的单调性取决于一次项系数的符号,二次函数的单 调性决定于二次项系数的符号及对称轴的位置, 指数函数、 对数函数的单调性决定于其底数的范围 (大于 1 还是小于 1) , 特别在解决涉及指、对复合函数的单调性问题时要树立分类讨论的数学思想(对数型函数还要注意定义域的限制) 。 【练 10】 (黄岗三月分统考变式题)设 ,且 试求函数 的的单调区间。 (1) 答案:当 ,函数在 上单调递减在 上单调递增当 函数在 上单调递增在 上单调递减。 (2) (2005 高考天津) 若函数 在区间 内单调递增, 的取值范围是 A、 则 () B、 C、 D、 答案:B.(记 ,则 当 时,要使得 是增函数,则需有 恒成立,所以 .矛盾.排除 C、D 当 时,要使 是函数,则需有 恒成立,所以 .排除 A) 【易错点 11】 用换元法解题时,易忽略换元前后的等价性. 例 11、已知 求 的最大值 【易错点分析】此题学生都能通过条件 将问题转化为关于 的函数,进而利用换元的思想令 将问题变为关于 t 的二次 函数最值求解。但极易忽略换元前后变量的等价性而造成错解, 解析:由已知条件有 且 (结合 )得 ,而 = = 令 则原式= 根据二次函数配方得:当 即 时,原式取得最大值 。 【知识点归类点拔】"知识"是基础,"方法"是手段,"思想"是深化,提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法 的认识和运用,数学素质的综合体现就是"能力",解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从 而使问题得到简化,这叫换元法。换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究 对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理。换元 法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量,可以把分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,或者把条 件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式,把复杂的计算和推证简化。 【练 11】 (高考变式题)设 a>0,000 求 f(x)=2a(sinx+cosx)-sinx?cosx-2a 的最大值和最小值。 (1) 答案:f(x)的最小值为-2a -2 a- ,最大值为 (2)不等式 >ax+ 的解集是(4,b),则 a=________,b=_______。 答案: (提示令换元 原不等式变为关于 t 的一元二次不等式的解集为 ) 【易错点 12】已知 求 时, 易忽略 n=1的情况. 例 12、 (2005 高考北京卷)数列 前 n 项和 且 。 (1)求 的值及数列 的通项公式。 【易错点分析】此题在应用 与 的关系时误认为 对于任意 n 值都成立,忽略了对 n=1 的情况的验证。易得出数列 为 等比数列的错误结论。 解析:易求得 。由 得 故 得 又 , 故该数列从第二项开始为等比数列故 。 【知识点归类点拔】对于数列 与 之间有如下关系: 利用两者之间的关系可以已知 求 。但注意只有在当 适合 时两 者才可以合并否则要写分段函数的形式。 【练 12】 (2004 全国理)已知数列 满足 则数列 的通项为 。 答案: (将条件右端视为数列 的前 n-1 项和利用公式法解答即可) 【易错点 13】利用函数知识求解数列的最大项及前 n 项和最大值时易忽略其定义域限制是正整数集或其子集(从 1 开 始) 例 13、等差数列 的首项 ,前 n 项和 ,当 时, 。问 n 为何值时 最大? 【易错点分析】等差数列的前 n 项和是关于 n 的二次函数,可将问题转化为求解关于 n 的二次函数的最大值,但易忘 记此二次函数的定义域为正整数集这个限制条件。 解析:由题意知 = 此函数是以 n 为变量的二次函数,因为 ,当 时, 故 即此二次函数开口向下,故由 得当 时 取 得最大值,但由于 ,故若 为偶数,当 时, 最大。
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当 为奇数时,当 时 最大。 【知识点归类点拔】数列的通项公式及前 n 项和公式都可视为定义域为正整数集或其子集(从 1 开始)上的函数,因 此在解题过程中要树立函数思想及观点应用函数知识解决问题。特别的等差数列的前 n 项和公式是关于 n 的二次函数 且没有常数项,反之满足形如 所对应的数列也必然是等差数列的前 n 项和。此时由 知数列中的点 是同一直线上,这 也是一个很重要的结论。此外形如前 n 项和 所对应的数列必为一等比数列的前 n 项和。 【练 13】 (2001 全国高考题)设 是等差数列, 是前 n 项和,且 , ,则下列结论错误的是()A、 B、 C、 D、 和 均为 的最大值。 答案:C(提示利用二次函数的知识得等差数列前 n 项和关于 n 的二次函数的对称轴再结合单调性解答) 【易错点 14】解答数列问题时没有结合等差、等比数列的性质解答使解题思维受阻或解答过程繁琐。 例 14、已知关于的方程 和 的四个根组成首项为 的等差数列,求 的值。 【思维分析】注意到两方程的两根之和相等这个隐含条件,结合等差数列的性质明确等差数列中的项是如何排列的。 解析: 不妨设 是方程 的根, 由于两方程的两根之和相等故由等差数列的性质知方程 的另一根是此等差数列的第四项, 而方程 的两根是等差数列的中间两项,根据等差数列知识易知此等差数列为: 故 从而 = 。 【知识点归类点拔】等差数列和等比数列的性质是数列知识的一个重要方面,有解题中充分运用数列的性质往往起到 事半功倍的效果。例如对于等差数列 ,若 ,则 ;对于等比数列 ,若 ,则 ;若数列 是等比数列, 是其前 n 项的 和, ,那么 , , 成等比数列;若数列 是等差数列, 是其前 n 项的和, ,那么 , , 成等差数列等性质要熟练 和灵活应用。 【练 14】 (2003 全国理天津理) 已知方程 和 的四个根组成一个首项为 的等差数列,则 = () A、1 B、 C、 D、 答案:C 【易错点 15】用等比数列求和公式求和时,易忽略公比q=1的情况 例 15、数列 中, , ,数列 是公比为 ( )的等比数列。 (I)求使 成立的 的取值范围; (II)求数列 的前 项的和 . 【易错点分析】对于等比数列的前 n 项和易忽略公比 q=1 的特殊情况,造成概念性错误。再者学生没有从定义出发研 究条件数列 是公比为 ( )的等比数列得到数列奇数项和偶数项成等比数列而找不到解题突破口。使思维受阻。 解: (I)∵数列 是公比为 的等比数列,∴ , ,由 得 ,即 ( ) ,解得 . (II)由数列 是公比为 的等比数列,得 ,这表明数列 的所有奇数项成等比数列,所有偶数项成等比数列,且公比都 是 ,又 , ,∴当 时, ,当 时, . 【知识点归类点拔】本题中拆成的两个数列都是等比数列,其中 是解题的关键,这种给出数列的形式值得关注。另外, 不要以为奇数项、偶数项都成等比数列,且公比相等,就是整个数列成等比数列,解题时要慎重,写出数列的前几项 进行观察就得出正确结论.对等比数列的求和一定要注意其公比为 1 这种特殊情况。高考往往就是在这里人为的设计陷 阱使考生产生对现而不全的错误。 【练 15】 (2005 高考全国卷一第一问)设等比数列 的公比为 q,前 n 项和 (1)求 q 的取值范围。 答案: 【易错点 16】在数列求和中对求一等差数列与一等比数列的积构成的数列的前 n 项和不会采用错项相减法或解答结果 不到位。 例 16、(2003 北京理)已知数列 是等差数列,且 . (1)求数列 的通项公式(2)令 求数列 前项和的公式。 【思维分析】 本题根据条件确定数列 的通项公式再由数列 的通项公式分析可知数列 是一个等差数列和一个等比数列 构成的"差比数列",可用错项相减的方法求和。 解析: (1)易求得 (2)由(1)得 令 (Ⅰ)则 (Ⅱ)用(Ⅰ)减去(Ⅱ) (注意错过一位再相减)得 当 当 时 综上可得: 当 当 时 【知识点归类点拔】一般情况下对于数列 有 其中数列 和 分别为等差数列和等比数列,则其前 n 项和可通过在原数 列的每一项的基础上都乘上等比数列的公比再错过一项相减的方法来求解,实际上课本上等比数列的求和公式就是这
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种情况的特例。 【练 16】 (2005 全国卷一理)已知 当 时,求数列 的前 n 项和 答案: 时 当 时 . 【易错点 17】不能根据数列的通项的特点寻找相应的求和方法,在应用裂项求和方法时对裂项后抵消项的规律不清, 导致多项或少项。 例 17、求 … . 【易错点分析】本题解答时一方面若不从通项入手分析各项的特点就很难找到解题突破口,其次在裂项抵消中间项的 过程中,对消去哪些项剩余哪些项规律不清而导致解题失误。 解:由等差数列的前 项和公式得 ,∴ , 取 , , ,…,就分别得到 ,…,∴ . 【知识归类点拔】"裂项法"有两个特点,一是每个分式的分子相同;二是每项的分母都是两个数(也可三个或更多) 相乘,且这两个数的第一个数是前一项的第二个数,如果不具备这些特点,就要进行转化。同是要明确消项的规律一 般情况下剩余项是前后对称的。常见的变形题除本题外,还有其它形式,例如:求 ,方法还是抓通项,即 ,问题会 很容易解决。另外还有一些类似"裂项法"的题目,如: ,求其前 项和,可通过分母有理化的方法解决。数列求和的 常用方法:公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。 【练 17】 (2005 济南统考)求和 + + +…+ . 答案: … = . 【易错点 18】易由特殊性代替一般性误将必要条件当做充分条件或充要条件使用,缺乏严谨的逻辑思维。 例 18、 (2004 年高考数学江苏卷,20)设无穷等差数列{an}的前 n 项和为 Sn. (Ⅰ)若首项 32 ,公差 ,求满足 的正整数 k; (Ⅱ)求所有的无穷等差数列{an},使得对于一切正整数 k 都有 成立. 【易错点分析】本小题主要考查数列的基本知识,以及运用数学知识分析和解决问题的能力.学生在解第(Ⅱ)时极易根 据条件"对于一切正整数 k 都有 成立"这句话将 k 取两个特殊值确定出等差数列的首项和公差,但没有认识到求解出的 等差数列仅是对已知条件成立的必要条件,但不是条件成立的充分条件。还应进一步的由特殊到一般。 解: (I)当 时 由 ,即 又 . (II)设数列{an}的公差为 d,则在 中分别取 k=1,2,得 由(1)得 当 若 成立 , 若 故所得数列不符合题意.当 若 若 . 综上,共有 3 个满足条件的无穷等差数列: ①{an} : an=0,即 0,0,0,…;②{an} : an=1,即 1,1,1,…; ③{an} : an=2n-1,即 1,3,5,…, 【知识点归类点拔】事实上,"条件中使得对于一切正整数 k 都有 成立."就等价于关于 k 的方程的解是一切正整数又转 化为关于 k 的方程的各项系数同时为零,于是本题也可采用这程等价转化的思想解答,这样做就能避免因忽视充分性 的检验而犯下的逻辑错误。在上述解法中一定要注意这种特殊与一般的关系。 【练 18】 (2000 全国)已知数列 ,其中 ,且数列 为等比数列.求常数 p (1) 答案:p=2 或 p=3(提示可令 n=1,2,3 根据等比中项的性质建立关于 p 的方程,再说明 p 值对任意自然数 n 都成立) 【易错点 19】用判别式判定方程解的个数(或交点的个数)时,易忽略讨论二次项的系数是否为0.尤其是直线与圆 锥曲线相交时更易忽略. 例 19、已知双曲线 ,直线 ,讨论直线与双曲线公共点的个数 【易错点分析】讨论直线与曲线的位置关系,一般将直线与曲线的方程联立,组成方程组,方程组有几解,则直线与 曲线就有几个交点,但在消元后转化为关于 x 或 y 的方程后,易忽视对方程的种类进行讨论而主观的误认为方程就是 二次方程只利用判别式解答。
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解析:联立方程组 消去 y 得到 (1)当 时,即 ,方程为关于 x 的一次方程,此时方程组只有解,即直线与双曲线只 有一个交点。 (2)当 时即 ,方程组只有一解,故直线与双曲线有一个交点(3)当 时,方程组有两个交点此时 且 。 (4)当 时即 或 时方程组无解此时直线与双曲线无交点。 综上知当 或 时直线与双曲线只有一个交点,当 且 。时直线与双曲线有两个交点,当 或 时方程组无解此时直线与 双曲线无交点。 【知识点归类点拔】判断直线与双曲线的位置关系有两种方法:一种代数方法即判断方程组解的个数对应于直线与双 曲线的交点个数另一种方法借助于渐进线的性质利用数形结合的方法解答,并且这两种方法的对应关系如下上题中的 第一种情况对应于直线与双曲线的渐进线平行,此时叫做直线与双曲线相交但只有一个公共点,通过这一点也说明直 线与双曲线只有一个公共点是直线与双曲线相切的必要但不充分条件。第二种情况对应于直线与双曲线相切。通过本 题可以加深体会这种数与形的统一。 【练 19】 (2005 重庆卷)已知椭圆 的方程为 ,双曲线 的左右焦点分别为 的左右顶点,而 的左右顶点分别是 的 (1) 左右焦点。 (1)求双曲线的方程(2)若直线 与椭圆 及双曲线 恒有两个不同的交点,且与 的两个交点 A 和 B 满足 , 其中 O 为原点,求 k 的取值范围。答案: (1) (2) (2)已知双曲线 C: ,过点 P(1,1)作直线 l, 使 l 与 C 有且只有一个公共点,则满足上述条件的直线 l 共有____ 条。答案:4 条(可知 kl 存在时,令 l: y-1=k(x-1)代入 中整理有(4-k2)x2+2k(k-1)x(1-k2)-4=0,∴ 当 4-k2=0 即 k=±2 时,有一个公共点;当 k≠±2 时,由Δ =0 有 ,有一个切点另:当 kl 不存在时,x=1 也和曲线 C 有一个切点∴综上,共有 4 条满足条件的直线) 【易错点 20】易遗忘关于 和 齐次式的处理方法。 例 20、已知 ,求(1) ; (2) 的值. 【思维分析】将式子转化为正切如利用 可将(2)式分子分母除去 即可。 解: (1) ; (2) . 【知识点归类点拔】利用齐次式的结构特点(如果不具备,通过构造的办法得到) ,进行弦、切互化,就会使解题过程 简化。 这些统称为 1 的代换) 常数 "1"的种种代换有着广泛的应用. 【练 20】(2004 年湖北卷理科) . 已知 的值. 答案: (原式可化为 , ) 【易错点 21】解答数列应用题,审题不严易将有关数列的第 n 项与数列的前 n 项和混淆导致错误解答。 例 21、 如果能将一张厚度为 0.05mm 的报纸对拆,再对拆....对拆 50 次后,报纸的厚度是多少?你相信这时报纸的厚度可以 在地球和月球之间建一座桥吗?(已知地球与月球的距离约为 米) 【易错点分析】对拆 50 次后,报纸的厚度应理解一等比数列的第 n 项,易误理解为是比等比数列的前 n 项和。 解析:对拆一次厚度增加为原来的一倍,设每次对拆厚度构成数列 ,则数列 是以 米为首项,公比为 2 的等比数列。 从而对拆 50 次后纸的厚度是此等比数列的第 51 项,利用等比数列的通项公式易得 a51=0.05?10-3?250=5.63?1010, 而地球和月球间的距离为 4?108<5.63?1010 故可建一座桥。 【知识点归类点拔】 以数列为数学模型的应用题曾是高考考查的热点内容之一,其中有很多问题都是涉及到等差或者 等比数列的前 n 项和或第 n 项的问题,在审题过程中一定要将两者区分开来。 【练 21】 (2001 全国高考)从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业,根 据规划,本年度投入 800 万元,以后每年投入将比上年减少 ,本年度当地旅游业收入估计为 400 万元,由于该项建设 对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增加 . (1)设 n 年内(本年度为第一年)总投入为 an 万元,旅游业总收入为 bn 万元,写出 an,bn 的表达式; (2)至少经过几年,旅游业的总收入才能超过总投入 (1)an=800+800?(1- )+…+800?(1- )n-1= 800?(1- )k-1=4000?[1-( )n] bn=400+400?(1+ )+…+400?(1+ )k-1= 400?( )k-1=1600?[( )n-1] (2)至少经过 5 年,旅游业的总收入才能超过总投入
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【易错点 22】单位圆中的三角函数线在解题中一方面学生易对此知识遗忘,应用意识不强,另一方面易将角的三角函 数值所对应的三角函数线与线段的长度二者等同起来,产生概念性的错误。 例 21、下列命题正确的是() A、 、 都是第二象限角,若 ,则 B、 、 都是第三象限角,若 ,则 C、 、 都是第四象限角,若 ,则 D、 、 都 是第一象限角,若 ,则 。 【易错点分析】 学生在解答此题时易出现如下错误: 将象限角简单理解为锐角或钝角或 270 到 360 度之间的角。 (1) (2) 思维转向利用三角函数的单调性,没有应用三角函数线比较两角三角函数值大小的意识而使思维受阻。 解析:A、由三角函数易知此时角 的正切线的数量比角 的正切线的数量要小即 B、同理可知 C、知满足条件的角 的 正切线的数量比角 的正切线的数量要大即 。正确。D、同理可知应为 。 【知识点归类点拔】单位圆的三角函数线将抽象的角的三角函数值同直观的有向线段的数量对应起来,体现了数形结 合的数学思想,要注意一点的就是角的三角函数值是有向线段的数量而不是长度。三角函数线在解三角不等式、比较 角的同名函数值的大小、三角关系式的证明都有着广泛的应用并且在这些方面有着一定的优越性。例如利用三角函数 线易知 , 等。 【练 22】 (2000 全国高考)已知 ,那么下列命题正确的是() A、 若 、都是第一象限角,则 B、若 、都是第二象限角,则 B、 若 、都是第三象限角,则 D、若 、都是第四象限角,则 答案:D 【易错点 23】在利用三角函数的图象变换中的周期变换和相位变换解题时。易将 和 求错。 例 23.要得到函数 的图象,只需将函数 的图象() A、 先将每个 x 值扩大到原来的 4 倍,y 值不变,再向右平移 个单位。 B、 先将每个 x 值缩小到原来的 倍,y 值不变,再向左平移 个单位。 C、 先把每个 x 值扩大到原来的 4 倍,y 值不变,再向左平移个 单位。 D、 先把每个 x 值缩小到原来的 倍,y 值不变,再向右平移 个单位。 【易错点分析】 变换成 是把每个 x 值缩小到原来的 倍,有的同学误认为是扩大到原来的倍,这样就误选 A 或 C,再 把 平移到 有的同学平移方向错了, 有的同学平移的单位误认为是 。 解析:由 变形为 常见有两种变换方式,一种先进行周期变换,即将 的图象上各点的纵坐标不变,横坐标变为原来的 倍得到函数 的图象, 再将函数 的图象纵坐标不变,横坐标向右平移 单位。即得函数 。 或者先进行相位变换,即将 的图象上各点的纵坐标不变,横坐标向右平移 个单位,得到函数 的图象,再将其横坐标 变为原来的 4 倍即得即得函数 的图象。 【知识点归类点拔】利用图角变换作图是作出函数图象的一种重要的方法,一般地由 得到 的图象有如下两种思路: 一先进行振幅变换即由 横坐标不变, 纵坐标变为原来的 A 倍得到 , 再进行周期变换即由 纵 坐标不变,横坐标变为原来的 倍,得到 ,再进行相位变换即由 横坐标向左(右)平移 个单位,即得 ,另种就是先 进行了振幅变换后,再进行相位变换即由 向左(右)平移 个单位,即得到函数 的图象,再将其横坐标变为原来的 倍 即得 。不论哪一种变换都要注意一点就是不论哪一种变换都是对纯粹的变量 x 来说的。 【练 23】 (2005 全国卷天津卷)要得到的图象,只需将函数的图象上所有的点的 A、 横坐标缩短为原来的 倍(纵坐标不变) ,再向左平移 个单位长度。B、横坐标缩短为原来的 倍(纵坐标不变) , 再向左平移 个单位长度。C、横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变) ,再向左平移 个单位长度。D、横坐标伸长为 原来的 2 倍(纵坐标不变) ,再向右平移 个单位长度。 答案:C 【易错点 24】没有挖掘题目中的确隐含条件,忽视对角的范围的限制而造成增解现象。 例 24、已知 , 求 的值。 【易错点分析】本题可依据条件 ,利用 可解得 的值,再通过解方程组的方法即可解得 、 的值。但在解题过程中易 忽视 这个隐含条件来确定角 范围,主观认为 的值可正可负从而造成增解。 解析:据已知 (1)有 ,又由于 ,故有 ,从而 即 (2)联立(1) (2)可得 ,可得 。
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【知识点归类点拔】在三角函数的化简求值过程中,角的范围的确定一直是其重点和难点,在解题过程中要注意在已 有条件的基础上挖掘隐含条件如:结合角的三角函数值的符号、三角形中各内角均在 区间内、与已知角的三角函数值 的大小比较结合三角函数的单调性等。本题中实际上由单位圆中的三角函数线可知若 则必有 ,故必有 。 【练 24】 (1994 全国高考)已知 ,则 的值是 。 答案: 【易错点 25】根据已知条件确定角的大小,没有通过确定角的三角函数值再求角的意识或确定角的三角函数名称不适 当造成错解。 例 25、若 ,且 、 均为锐角,求 的值。 【易错点分析】本题在解答过程中,若求 的正弦,这时由于正弦函数在 区间内不单调故满足条件的角有两个,两个 是否都满足还需进一步检验这就给解答带来了困难,但若求 的余弦就不易出错,这是因为余弦函数在 内单调,满足 条件的角唯一。 解析:由 且 、 均为锐角知解析:由 且 、 均为锐角知 ,则 由 、 均为锐角即 故 【知识点归类点拔】根据已知条件确定角的大小,一定要转化为确定该角的某个三角函数值,再根据此三 角函数值确定角这是求角的必然步骤,在这里要注意两点一就是要结合角的范围选择合适的三角函数名称 同时要注意尽量用已知角表示待求角,这就需要一定的角的变换技巧如: 等。 二是依据三角函数值求角时要注意确定角的范围的技巧。 【练 25】 (1)在三角形 中,已知 ,求三角形的内角 C 的大小。 答案: (提示确定已知角的余弦值,并结合已知条件确定角 A 的范围) (2) (2002 天津理,17)已知 cos(α + )= ≤α < ,求 cos(2α + )的值. 答案: =- 【易错点 26】对正弦型函数 及余弦型函数 的性质:如图象、对称轴、对称中心易遗忘或没有深刻理解其意义。 例 26、如果函数 的图象关于直线 对称,那么 a 等于( ) A. B.- C.1 D.-1 【易错点分析】函数 的对称轴一定经过图象的波峰顶或波谷底,且与 y 轴平行,而对称中心是图象与 x 轴的交点,学 生对函数的对称性不理解误认为当 时,y=0,导致解答出错。 解析: (法一)函数的解析式可化为 ,故 的最大值为 ,依题意,直线 是函数的对称轴,则它通过函数的最大值或最 小值点即 ,解得 .故选 D (法二)依题意函数为 ,直线 是函数的对称轴,故有 ,即: ,而 故 ,从而 故选 D. (法三)若函数关于直线 是函数的对称则必有 ,代入即得 。 【知识点归类点拔】对于正弦型函数 及余弦型函数 它们有无穷多条对称轴及无数多个对称中心,它们的意义是分别 使得函数取得最值的 x 值和使得函数值为零的 x 值,这是它们的几何和代数特征。希望同学们认真学习本题的三种解 法根据具体问题的不同灵活处理。 【练 26】 (2003 年高考江苏卷 18)已知函数 上 R 上的偶函数,其图象关于点 对称,且在区间 上是单调函数, (1) 求 和ω 的值. 答案: 或 。 (2) (2005 全国卷一第 17 题第一问)设函数的 , 图象的一条对称轴是直线 ,求 答案: = 【易错点 27】利用正弦定理解三角形时,若已知三角形的两边及其一边的对角解三角形时,易忽视三角形解的个数。 例 27、在 中, 。求 的面积 【易错点分析】根据三角形面积公式,只需利用正弦定理确定三角形的内角 C,则相应的三角形内角 A 即可确定再利 用 即可求得。但由于正弦函数在区间 内不严格格单调所以满足条件的角可能不唯一,这时要借助已知条件加以检验, 务必做到不漏解、不多解。 解析:根据正弦定理知: 即 得 ,由于 即满足条件的三角形有两个故 或 .则 或 故相应的三角形面积为 或 . 【知识点归类点拔】正弦定理和余弦定理是解三角形的两个重要工具,它沟通了三角形中的边角之间的内在联系,正 弦定理能够解决两类问题(1)已知两角及其一边,求其它的边和角。这时有且只有一解。 (2)已知两边和其中一边的
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对角,求其它的边和角,这是由于正弦函数在在区间 内不严格格单调,此时三角形解的情况可能是无解、一解、两解, 可通过几何法来作出判断三角形解的个数。如:在 中,已知 a,b 和 A 解的情况如下: (1) 当 A 为锐角

(2)若 A 为直角或钝角

【练 27】 (2001 全国)如果满足 , , 的三角表恰有一个那么 k 的取值范围是()A、 B、 C、 D、 或 答案:D 【易错点 28】三角形中的三角函数问题。对三角变换同三角形边、角之间知识的结合的综合应用程度不够。 例 28、 (2005 湖南高考)已知在△ABC 中,sinA(sinB+cosB)-sinC=0,sinB+cos2C=0,求角 A、B、C 的大 (1) 小. 【易错点分析】本题在解答过程中若忽视三角形中三内角的联系及三角形各内角大小范围的限制,易使思维受阻或解 答出现增解现象。 解法一 由 得 所以 即 因为 所以 ,从而 由 知 从而 .由 即 由此得 所以 解法二:由 由 、 ,所以 即 由 得 所以 即 因为 ,所以 由 从而 ,知 B+2C= 不合要求.再由 ,得 所以 2、 (北京市东城区 2005 年高三年级四月份综合练习)在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且 (Ⅰ) 求角 B 的大小(Ⅱ)若 ,求△ABC 的面积. 【思维分析】根据正弦定理和余弦定理将条件化为三角形边的关系或角的关系解答。 (Ⅰ)解法一:由正弦定理 得 将上式代入已知 即 故 A+B+C= , 为三角形的内角, . 解法二:由余弦定理得 将上式代入 整理得 为三角形的内角, . (Ⅱ)将 代入余弦定理 得 【知识点归类点拔】三角形中的三角函数问题一直是高考的热点内容之一。对正余弦定理的考查主要涉及三角形的边 角互化(如判断三角形的形状等,利用正、余弦定理将条件中含有的边和角的关系转化为边或角的关系是解三角形的 常规思路) ,三角形内的三角函数求值、三角恒等式的证明、三角形外接圆的半径等都体现了三角函数知识与三角形知 识的交汇,体现了高考命题的原则。 【练 28】 (2004 年北京春季高考)在 中,a,b,c 分别是 的对边长,已知 a,b,c 成等比数列,且 ,求 的大小 (1) 及 的值。 答案: , (2) (2005 天津)在△ABC 中,∠A、∠B、∠C 所对的边长分别为 a、b、c,设 a、b、c 满足条件 和 。求∠A 和 的 值。 答案: , 【易错点 29】含参分式不等式的解法。易对分类讨论的标准把握不准,分类讨论达不到不重不漏的目的。 例 29、解关于 x 的不等式 >1(a≠1). 【易错点分析】将不等式化为关于 x 的一元二次不等式后,忽视对二次项系数的正负的讨论,导致错解。 解:原不等式可化为: >0,即[(a-1)x+(2-a)](x-2)>0. 当 a>1 时,原不等式与(x- )(x-2)>0 同解.若 ≥2,即 0≤a<1 时,原不等式无解;若 <2,即 a<0 或 a>1,于是
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a>1 时原不等式的解为(-∞, )∪(2,+∞). 当 a<1 时,若 a<0,解集为( ,2);若 0<a<1,解集为(2, ) 综上所述:当 a>1 时解集为(-∞, )∪(2,+∞);当 0<a<1 时,解集为(2, );当 a=0 时,解集为 ;当 a<0 时, 解集为( ,2). 【知识点分类点拔】解不等式对学生的运算化简等价转化能力有较高的要求,随着高考命题原则向能力立意的进一步 转化,对解不等式的考查将会更是热点,解不等式需要注意下面几个问题: (1)熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式(组)的解法. (2)掌握用序轴标根法解高次不等式和分式不等式,特别要注意因式的处理方法. (3)掌握无理不等式的三种类型的等价形式,指数和对数不等式的几种基本类型的解法. (4)掌握含绝对值不等式的几种基本类型的解法. (5)在解不等式的过程中, 要充分运用自己的分析能力, 把原不等式等价地转化为易解的不等式.(6)对于含字母的不等式, 要能按照正确的分类标准,进行分类讨论. 【练 29】 (2005 年江西高考)已知函数 为常数),且方程 有两个实根为 (1)求函数 的解析式; (2)设 ,解关于 的不等式: 答案: ①当 时,解集为 ②当 时,不等式为 解集为 ③当 时,解集为 【易错点 30】求函数的定义域与求函数值域错位 例 30、已知函数 (1)如果函数 的定义域为 R 求实数 m 的取值范围。 (2)如果函数 的值域为 R 求实数 m 的取值范 围。 【易错点分析】此题学生易忽视对 是否为零的讨论,而导致思维不全面而漏解。另一方面对两个问题中定义域为 R 和 值域为 R 的含义理解不透彻导致错解。 解析: (1) 据题意知若函数的定义域为 R 即对任意的 x 值 恒成立, , =0 时, 或 。 令 当 即 经验证当 时适合, 时, 当 据二次函数知识若对任意 x 值函数值大于零恒成立,只需 解之得 或 综上所知 m 的取值范围为 或 。 (2)如果函数 的值域为 R 即对数的真数 能取到任意的正数,令 当 =0 时,即 或 。经验证当 时适合,当 时,据 二次函数知识知要使的函数值取得所有正值只需 解之得 综上可知满足题意的 m 的取值范围是 。 【知识点归类点拔】对于二次型函数或二次型不等式若二次项系数含有字母,要注意对字母是否为零进行讨论即函数 是一次函数还是二次函数不等式是一次不等式还是二次不等式。同时通过本题的解析同学们要认真体会这种函数与不 等式二者在解题中的结合要通过二者的相互转化而获得解题的突破破口。再者本题中函数的定义域和值域为 R 是两个 不同的概念,前者是对任意的自变量 x 的值函数值恒正,后者是函数值必须取遍所有的正值二者有本质上的区别。 【练 30】已知函数 的定义域和值域分别为 R 试分别确定满足条件的 a 的取值范围。答案: (1) 或 (2) 或 【易错点 31】不等式的证明方法。学生不能据已知条件选择相应的证明方法,达不到对各种证明方法的灵活应用程度。 例 31、已知 a>0,b>0,且 a+b=1.求证:(a+ )(b+ )≥ . 【易错点分析】此题若直接应用重要不等式证明,显然 a+ 和 b+ 不能同时取得等号,本题可有如下证明方法。 证法一:(分析综合法)欲证原式,即证 4(ab)2+4(a2+b2)-25ab+4≥0,即证 4(ab)2-33(ab)+8≥0,即证 ab≤ 或 ab≥ 8.∵a>0,b>0,a+b=1,∴ab≥8 不可能成立∵1=a+b≥2 ,∴ab≤ ,从而得证. 证法二:(均值代换法)设 a= +t1,b= +t2.∵a+b=1,a>0,b>0,∴t1+t2=0,|t1|< ,|t2|< 显然当且仅当 t=0,即 a=b= 时,等号成立. 证法三:(比较法)∵a+b=1,a>0,b>0,∴a+b≥2 ,∴ab≤ 证法四:(综合法)∵a+b=1, a>0,b>0,∴a+b≥2 ,∴ab≤ .

证法五:(三角代换法)∵ a>0,b>0,a+b=1,故令 a=sin2α ,b=cos2α ,α ∈(0, ) 【知识点归类点拔】1.不等式证明常用的方法有:比较法、综合法和分析法,它们是证明不等式的最基本的方法.(1)比 较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤,变形的主要方向是因式分解、配方,判断过程必须详细叙述;如果作 差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式,则考虑用判别式法证.
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(2)综合法是由因导果,而分析法是执果索因,两法相互转换,互相渗透,互为前提,充分运用这一辩证关系,可以增 加解题思路,开扩视野. 2.不等式证明还有一些常用的方法:换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法等.换元法主要 有三角代换,均值代换两种,在应用换元法时,要注意代换的等价性.放缩性是不等式证明中最重要的变形方法之一, 放缩要有的放矢,目标可以从要证的结论中考查.有些不等式,从正面证如果不易说清楚,可以考虑反证法.凡是含有" 至少""惟一"或含有其他否定词的命题,适宜用反证法. 证明不等式时,要依据题设、题目的特点和内在联系,选择适当的证明方法,要熟悉各种证法中的推理思维,并掌握 相应的步骤、技巧和语言特点. 【练 31】 (2002 北京文)数列 由下列条件确定: (1) 证明:对于 总有 ,(2)证明:对于 ,总有 . 【易错点 32】函数与方程及不等式的联系与转化。学生不能明确和利用三者的关系在解题中相互转化寻找解题思路。 例 32、已知二次函数 满足 ,且 对一切实数 恒成立. 求 ; 求 的解析式; 求证: 【易错点分析】对条件中的不等关系向等式关系的转化不知如何下手,没有将二次不等式与二次函数相互转化的意识, 解题找不到思路。 解: (1)由已知令 得: (2)令 由 得: 即 则 对任意实数 恒成立就是 对任意实数恒成立,即: 则 (3)由(2)知 故 故原不等式成立. 【知识点归类点拔】函数与方程的思想方法是高中数学的重要数学思想方法函数思想,是指用函数的概念和性质去分 析问题、转化问题和解决问题。方程思想,是从问题的数量关系入手,运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型 (方程、不等式、或方程与不等式的混合组) ,然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解。有时,还实现函 数与方程的互相转化、接轨,达到解决问题的目的。对于不等式恒成立,引入新的参数化简了不等式后,构造二次函 数利用函数的图像和单调性进行解决问题,其中也联系到了方程无解,体现了方程思想和函数思想。一般地,我们在 解题中要抓住二次函数及图像、二次不等式、二次方程三者之间的紧密联系,将问题进行相互转化。 【练 32】 (2005 潍坊三月份统考)已知二次函数 ,满足 ;且对任意实数 x 都有 ;当 时有 (1)求 的值; (2)证 明 (3)当 时,函数 是单调的,求证: 或 (1) (2)运用重要不等式(3)略 【易错点 33】利用函数的的单调性构造不等关系。要明确函数的单调性或单调区间及定义域限制。 例 33、记 ,若不等式 的解集为 ,试解关于 t 的不等式 。 【易错点分析】此题虽然不能求出 a,b,c 的具体值,但由不等式的解集与函数及方程的联系易知 1,3 是方程 的两根,但 易忽视二次函数开口方向,从而错误认为函数在 上是增函数。 解析:由题意知 ,且 故二次函数在区间 上是增函数。又因为 ,故由二次函数的单调性知不等式 等价于 即 故 即 不等式的解为: 。 【知识点分类点拔】函数的单调性实质是就体现了不等关系,故函数与不等式的结合历来都是高考的热点内容,也是 我们解答不等式问题的重要工具,在解题过程中要加意应用意识,如指数不等式、对数不等式、涉及抽象函数类型的 不等式等等都与函数的单调性密切相关。 【练 33】 (2005 辽宁 4 月份统考题)解关于 的不等式 (1) 答案:当 时,解集为 当 时,解集为 当 时解集为 。 (2) (2005 全国卷Ⅱ)设函数 ,求使 ≥的 的 x 取值范围。 答案:x 取值范围是 【易错点 34】数学归纳法的应用。学生易缺乏应用数学归纳法解决与自然数有关问题的意识,忽视其步骤的规范性及 不理解数学归纳法的每一步的意义所在。 例 34、自然状态下的鱼类是一种可再生资源,为持续利用这一资源,需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总 量的影响。用 表示某鱼群在第 n 年年初的总量,n∈N*,且 >0。不考虑其它因素,设在第 n 年内鱼群的繁殖量及捕 捞量都与 成正比,死亡量与 成正比,这些比例系数依次为正常数 a,b,c。 (Ⅰ)求 与 的关系式; (Ⅱ)猜测:当且
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仅当 ,a,b,c 满足什么条件时,每年年初鱼群的总量保持不变?(不要求证明) (Ⅲ)设 a=2,b=1,为保证对任 意 ∈(0,2) ,都有 >0, ,则捕捞强度 b 的最大允许值是多少?证明你的结论。 【易错点分析】本题为数列模型应用题,主要考查数列、不等式和数学归纳法。2005 年高考主要涉及两种类型应用题, 一种类型为概率,另一种为数列。给我们信息:数学越来越贴近生活,数学越来越强调实用性, 我们在备考中要注意对 几种常见模型建模的训练;可见,高考数学越来越注意与函数、不等式、导数、向量等工具结合,这是将来高考的方 向, 【解析】 (I)从第 n 年初到第 n+1 年初,鱼群的繁殖量为 ,被捕捞量为 ,死亡量为 因此 即 。 (II)若每年年初鱼群总量保持不变,则 恒等于 , ,从而由上式得 恒等于零, 故 即 因为 >0,所以 .猜测:当 且仅当 ,且 时,每年年初鱼群的总量保持不变. (Ⅲ)若 b 的值使得 >0, ,由 知 , 特别地,有 . 即 ,而 ∈(0, 2),所以 ,由此猜测 b 的最大允许值是 1. 下 证 当 ∈(0, 2) ,b=1 时,都有 ∈(0, 2), 。 ①当 n=1 时,结论显然成立.②假设当 n=k 时结论成立,即 ∈(0, 2),则当 n=k+1 时, .又因为 .所以 ∈(0, 2),故当 n=k+1 时结论也成立.由①、②可知,对于任意的 ,都有 ∈(0,2).综上所述, 为保证对任意 ∈(0, 2), 都有 >0, ,则捕捞强度 b 的最大允许值是 1. 【知识点归类点拔】归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法。归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两 种。不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质,推断该类事物全体都具有的性质,这种推理方法, 在数学推理论证中是不允许的。完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来。数学归纳法是用来 证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法,在解数学题中有着广泛的应用。它是一个递推的数学论证方法, 论证的第一步是证明命题在 n=1(或 n )时成立,这是递推的基础;第二步是假设在 n=k 时命题成立,再证明 n=k+1 时命题也成立,这是无限递推下去的理论依据,它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般,实际上它使命题的正确 性突破了有限,达到无限。这两个步骤密切相关,缺一不可,完成了这两步,就可以断定"对任何自然数(或 n≥n 且 n∈N)结论都正确"。由这两步可以看出,数学归纳法是由递推实现归纳的,属于完全归纳.运用数学归纳法证明问题 时,关键是 n=k+1 时命题成立的推证,此步证明要具有目标意识,注意与最终要达到的解题目标进行分析比较,以 此确定和调控解题的方向,使差异逐步减小,最终实现目标完成解题。运用数学归纳法,可以证明下列问题:与自然 数 n 有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。 【练 34】 (2005 年全国卷Ⅰ统一考试理科数学) (Ⅰ)设函数 ,求 的最小值; (Ⅱ)设正数 满足 ,证明 答案: (Ⅰ) (Ⅱ)用数学归纳法证明。 (2) (2005 高考辽宁)已知函数 设数列 }满足 ,数列 }满足 (Ⅰ)用数学归纳法证明 ; (Ⅱ)证明 【易错点 35】涉及向量的有关概念、运算律的理解与应用。易产生概念性错误。 例 35、下列命题: ① ② ③ | ? |=| |?| |④若 ∥ ∥ 则 ∥ ⑤ ∥ ,则存在唯一实数λ ,使 ⑥若 ,且 ≠ ,则 ⑦设 是平面内 两向量,则对于平面内任何一向量 ,都存在唯一一组实数 x、y,使 成立。⑧若| + |=| - |则 ? =0。⑨ ? =0,则 = 或 = 真命题个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.3 个以上 【易错点分析】共线向量、向量的数乘、向量的数量积的定义及性质和运算法则等是向量一章中正确应用向量知识解 决有关问题的前提,在这里学生极易将向量的运算与实数的运算等同起来,如认为向量的数量积的运算和实数一样满 足交换律产生一些错误的结论。 解析:①正确。根据向量模的计算 判断。②错误,向量的数量积的运算不满足交换律,这是因为根据数量积和数乘的定 义 表示和向量 共线的向量,同理 表示和向量 共线的向量,显然向量 和向量 不一定是共线向量,故 不一定成立。 ③错误。应为 ④错误。注意零向量和任意向量平行。非零向量的平行性才具有传递性。 ⑤错误。应加条件"非零向 量 "⑥错误。向量不满足消去律。根据数量的几何意义,只需向量 和向量 在向量 方向的投影相等即可,作图易知满 足条件的向量有无数多个。⑦错误。注意平面向量的基本定理的前提有向量 是不共线的向量即一组基底。⑧正确。条 件表示以两向量为邻边的平行四边形的对角线相等,即四边形为矩形。故 ? =0。⑨错误。只需两向量垂直即可。
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答案:B 【知识点归类点拔】在利用向量的有关概念及运算律判断或解题时,一定要明确概念或定理成立的前提条件和依据向 量的运算律解答,要明确向量的运算和实数的运算的相同和不同之处。一般地已知a,b,с 和实数λ ,则向量的数 量积满足下列运算律:①a?b=b?a (交换律)②(λ a) ?b=λ (a?b)=a? b) (数乘结合律)③(a (λ +b)?с =a?с +b?с (分配律)说明: (1)一般地,(a?b)с ≠a(b?с ) (2)a?с =b?с ,с ≠0 a =b(3)有如下常用性质:a2=|a|2, (a+b) (с +d)=a?с +a?d+b?с +b?d,(a+b)2 =a2+2a?b+b2 【练 35】 (2002 上海春,13)若 a、b、c 为任意向量,m∈R,则下列等式不一定成立的是( (1) ) A.(a+b)+c=a+(b+c)B.(a+b) ?c=a?c+b?c C.m(a+b)=ma+mb D.(a?b)c=a(b?c) (2)(2000 江西、山西、天津理,4)设 a、b、c 是任意的非零平面向量,且相互不共线,则 ①(a?b)c-(c?a)b=0 ②|a|-|b|<|a-b| ③(b?c)a-(c?a)b 不与 c 垂直④(3a+2b) (3a-2b)=9|a|2-4|b|2 中,是真命题的有( ) A.①② B.②③ C.③④ D.②④ 答案: (1)D(2)D 【易错点 36】利用向量的加法、减法、数量积等运算的几何意义解题时,数形结合的意识不够,忽视隐含条件。 例 36、四边形 ABCD 中, =a, =b, =с , =d,且a?b=b?с =с ?d=d?a,试问四边形 ABCD 是什么图形? 【易错点分析】 四边形的形状由边角关系确定, 关键是由题设条件演变、 推算该四边形的边角量, 易忽视如下两点: (1) 在四边形中, , , , 是顺次首尾相接向量,则其和向量是零向量,即a+b+с +d=0,应注意这一隐含条件应 用;(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积,因为数量积的定义式中含有边、角两种关系。 解:四边形 ABCD 是矩形,这是因为一方面:由a+b+с +d=0 得a+b=-(с +d) ,即(a+b)2=(с + d)2 即|a|2+2a?b+|b|2=|с |2+2с ?d+|d|2由于a?b=с ?d,∴|a|2+|b| 2=|с |2+|d|2①同理有|a|2+|d|2=|с |2+|b|2②由①②可得|a|=|с |,且| b|=|d|即四边形 ABCD 两组对边分别相等 ∴四边形 ABCD 是平行四边形另一方面,由a?b=b?с ,有b (a-с )=0,而由平行四边形 ABCD 可得a=-с ,代入上式得b?(2a)=0即a?b=0,∴a⊥b也即 AB ⊥BC。综上所述,四边形 ABCD 是矩形 【知识点归类点拔】向量是高考的一个亮点,因为向量知识,向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应 用,而它具有代数形式和几何形式的"双重身份"能融数形于一体,能与中学数学教学内容的许多主干知识综合,形成 知识交汇点,所以高考中应引起足够的重视。基于这一点解决向量有关问题时要树立起数形结合,以形助数的解题思 路。 例如很多重要结论都可用这种思想直观得到: (1) 向量形式的平行四边形定理: (| | +| | ) 2 =| - | +| + | (2)向量形式的三角形不等式:|| |-| ||≤| ± |≤| |+| |(试问:取等号的条件是什么?); (3) 在△ABC 中,若点 P 满足; = 则直线 AP 必经过△ABC 的内心等等有用的结论。 【练 36】 (2003 高考江苏)O 是平面上一 定点,A、B、C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足 则 P 的轨迹一 (1) 定通过△ABC 的 ( ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 (2) (2005 全国卷文科)点 O 是三角形 ABC 所在平面内的一点,满足 ,则点 O 是 的( ) (A)三个内角的角平分线的交点 (B)三条边的垂直平分线的交点 (C) 三条中线的交点 (D)三条高的交点 (3) (2005 全国卷Ⅰ) 的外接圆的圆心为 O,两条边上的高的交点为 H, ,则实数 m = 答案: (1)B (2)D (3)m=1 【易错点 37】忽视向量积定义中对两向量夹角的定义。 例 37、已知 中, ,求 【易错点分析】此题易错误码的认为两向量 和 夹角为三角形 ABC 的内角 C 导致错误答案. 解析:由条件 根据余弦定理知三角形的内角 ,故两向量 和 夹角为 的补角即 ,故据数量积的定义知 . 【知识点归类点拔】 高中阶段涉及角的概念不少,在学习过程中要明确它们的概念及取值范围,如直线的倾斜角的取值范 围是 ,两直线的夹角的范围是 ,两向量的夹角的范围是 ,异面直线所成的角的范围是 ,直线和平面所成的角的范
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围是 二面角的取值范围是 。 【练 37】 (2004 上海春招)在Δ ABC 中,有如下命题,其中正确的是() (1) (2) (3)若 ,则Δ ABC 为等腰三角形(4)若 ,则Δ ABC 为锐角三角形。 A、 (2) (1) B、 (4) (1) C、 (3) (2) D、 (3) (2) (4) 答案:C 【易错点 38】向量数积积性质的应用。 例 38、已知 a、b 都是非零向量,且 a + 3b 与 7a 5b 垂直,a 4b 与 7a 2b 垂直,求 a 与 b 的夹角。 【思维分析】本题应依据两向量夹角公式树立整体求解的思想。 解析:由 (a + 3b)(7a 5b) = 0 ==> 7a2 + 16a b 15b2 = 0 ① (a 4b)(7a 2b) = 0 ==> 7a2 30a b + 8b2 = 0 ②两式 相减:2a b = b2 代入①或②得:a2 = b2 设 a、b 的夹角为 ,则 cos = ∴ = 60 。 【知识点归类点拔】利用向量的数量积的重要性质结合向量的坐标运算可解决涉及长度、角度、垂直等解析几何、立 体几何、代数等问题,要熟记并灵活应用如下性质:设a与b都是非零向量,①a与b的数量积的几何意义是向量a 在向量b方向的单位向量正射影的数量②a⊥b a?b=0③a?a=|a|2或|a|= ④cosθ = ⑤| a?b|≤|a|?|b| 【练 38】 (2005 高考江西卷)已知向量 若 则 与 的夹角为( (1) )A.30° B.60° C.120° D.150°答案:C (2) (2005 浙江卷)已知向量 ≠ ,| |=1,对任意 t∈R,恒有| -t |≥| - |,则 (A) ⊥ (B) ⊥( - ) (C) ⊥( - ) (D) ( + )⊥( - )答案:C 【易错点 39】向量与三角函数求值、运算的交汇 例 39、 , 与 的夹角为θ 1, 与 的夹角为θ 2,且 的值. 【易错点分析】此题在解答过程中,学生要将向量的夹角运算与三角变换结合起来,注意在用已知角表示两组向量的 夹角的过程中,易忽视角的范围而导致错误结论。 解析: 故有 因 ,从而 【知识点归类点拔】当今高考数学命题注重知识的整体性和综合性,重视知识的交汇性,向量是新课程新增内容,具 体代数与几何形式的双重身份。它是新旧知识的一个重要的交汇点,成为联系这些知识的桥梁,因此,向量与三角的 交汇是当今高考命题的必然趋势。高考对三角的考查常常以向量知识为载体,结合向量的夹角、向量的垂直、向量的 模或向量的运算来进行考查学生综合运用知识解决问题的能力。 【练 39】 (2005 高考江西)已知向量 ,令 是否存在实数 ,使 (其中 是 的导函数)?若存在,则求出 的值;若不 (1) 存在,则证明之 答案:存在实数 使等式成立。 (2) (2005 山东卷)已知向量 和 ,且 求 的值.答案: 。 【易错点 40】向量与解三角形的交汇。 例 40、Δ ABC 内接于以 O 为圆心,1 为半径的圆,且 3→OA+4→OB+5→OC=→0 。①求数量积,→OA?→OB , →OB?→OC ,→OC?→OA ;②求Δ ABC 的面积。 【思维分析】第 1 由题意可知 3→OA、4→OB、5→OC 三向量的模,故根据数量积的定义及运算律将一向量移项平方 即可。第 2 问据题意可将已知三角形分割成三个小三角形利用正弦理解答。 解析:①∵|→OA|=|→OB|=|→OC|=1 由 3→OA+4→OB+5→OC=→0 得:3→OA+4→OB=-5→OC 两边平方得:9→ OA2+24→OA?→OB+16→OB2=25→OC2∴→OA?→OB=0 同理:由 4→OB+5→OC=-3→OA 求得→OB?→OC= -45 由 3→OA+5→OC=-4→OB 求得→OA?→OC=-35 ②由→OA?→OB=0,故 =12 |→OA||→OB|=12 由→OB?→OC=-45 得 cos∠BOC=-45 ∴sin∠BOC=-35 ∴ =12 | →OB||→OC|sin∠BOC=310 ,由→OC?→OA=-35 得 cos∠COA=-35 ∴sin∠COA=45 ∴ =12 |→OC||→OA|sin∠ COA=25 即 = + + =12 +310 +25 =65 【知识点归类点拔】本题考查了向量的模、向量的数量积的运算,用于表达三角形的内角、面积。 【练 40】 (2005 全国卷Ⅲ)△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,已知 a,b,c 成等比数列,且 cosB= 。 (1) (1)求 cotA+cotC 的值; (2)设 ,求 的值。 答案: (1) (3) 。 (2)已知向量 =(2,2) ,向量 与向量 的夹角为 ,且 ? =-2,①求向量 ;
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②若 ,其中 A、C 是△ABC 的内角,若三角形的三内角 A、B、C 依次成等差数列,试求| + |的取值范围.答案:① 或 ② 【易错点 41】与向量相结合的三角不等式,学生的综合运用知识解决问题的能力不够。 例 41、已知二次函数 f(x)对任意 x∈R,都有 f(1-x)=f(1+x)成立,设向量→a=(sinx,2),→b=(2sinx,12),→c=(cos2x,1), →d=(1,2),当 x∈[0,π ]时,求不等式 f(→a?→b)>f(→c?→d)的解集. 【易错点分析】易忽视二次函数的开口方向的讨论和三角、向量、函数三者的综合程度不够。 解析:设 f(x)的二次项系数为 m,其图象上的两点为 A(1-x,y1)、B(1+x,y2),因为(1-x)+(1+x)2=1,f(1-x)=f(1+ x),所以 y1=y2 由 x 的任意性得 f(x)的图象关于直线 x=1 对称,若 m>0,则 x≥1 时,f(x)是增函数;若 m<0,则 x≥ 1 时,f(x)是减函数。∵→a?→b=(sinx,2)(2sinx,12)=2sin2x+1≥1,→c?→d=(cos2x,1) ? ?(1,2)=cos2x+2≥1 ∴当 m>0 时,f(→a?→b)>f(→c?→d) f(2sin2x+1)>f(cos2x+2) 2sin2x+1>cos2x+2 1-cos2x+1>cos2x+2 cos2x <0 2kπ + <2x<2kπ + ,k∈z kπ + <x<kπ + ,k∈z∵0≤x≤π ∴ <x< 当 m<0 时,同理可得 0≤x< 或 <x ≤π 综上所述,不等式 f(→a?→b)>f(→c?→d)的解集是:当 m>0 时,为{x| <x< ;当 m>0 时,为{x|0≤x< 或 < x<π 。 【知识点分类点拔】在运用函数的单调性构造不等式时,一定要明确函数在哪个区间或定义域上的单调性如何(不可 忽视定义域的限制) ,通过本题要很好的体会向量、不等式、函数三者的综合,提高自已应用知识解决综合问题的能力。 【练 41】若 在定义域(-1,1)内可导,且 ,点 A(1, ( ));B( (- ),1),对任意 ∈(-1,1)恒有 成立,试在 内求满足 不等式 (sin cos )+ (cos2 )>0 的 的取值范围.答案: ,( )

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