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2010年浙江省高中数学竞赛卷及评分标准


2010 年浙江省高中数学竞赛试卷
说明:本试卷分为 A 卷和 B 卷:A 卷由本试卷的 22题组成,即 10 道选择题,7 道填空题、3 道解答题和 2 道附加题;B 卷由本试卷的前 20 题组成,即 10 道选 择题,7 道填空题和 3 道解答题。 一、选择题(本大题共有 10 小题,每题只有一个正确答案,将正确答案的序号 填入题干后的括号里,多选、不选、错选均不得

分,每题 5 分,共 50 分) 1.
cos4 x ? sin 4 x ? sin 2 x cos2 x 化简三角有理式 6 的值为( sin x ? cos6 x ? 2 sin 2 x cos2 x

A



A. 1
解答为 A。

B.

sin x ? cos x

C. sin x cos x

D. 1+ sin x cos x

分母=( sin 2 x ? cos2 x)(sin 4 x ? cos4 x ? sin2 x cos2 x) ? 2sin 2 x cos2 x
4 4 ?sin x ? co s x?

s2i x n

2。 c x os

也可以用特殊值法 2. 若 p : ( x2 ? x ? 1) x ? 3 ? 0, q : x ? ?2 ,则

p 是 q 的(

B



A. 充分而不必要条件 C. 充要条件

B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

解答为 B。p 成立 ? x ? ?3 ,所以 p 成立,推不出 q 一定成立。 3. 集合 P={ x x ? R, x ? 3 ? x ? 6 ? 3 },则集合 CR P 为( A. {x x ? 6, 或x ? 3} C. {x x ? ?6, 或x ? 3} 解答:D。 B. {x x ? 6, 或x ? ?3} D. {x x ? ?6, 或x ? ?3} D )

画数轴,由绝对值的几何意义可得 ?6 ? x ? ?3 ,

P ? ? x ? 6 ? x ? ?3? , CR P ? {x x ? ?6, 或x ? ?3} 。

4.

设 a , b 为两个相互垂直的单位向量。已知 OP = a , OQ = b , OR =r a +k b . C )

若△PQR 为等边三角形,则 k,r 的取值为( A. k ? r ?
?1 ? 3 2 1? 3 2

B. k ?

1? 3 1? 3 ,r ? 2 2

C. k ? r ?

D. k ?

?1 ? 3 ?1 ? 3 ,r ? 2 2

解答.C.
2 2

P Q? Q R ?
2 2

P, R
2,解得r=k= 1? 3 。 2

即 r ? (k ? 1) ? (r ? 1) ? k ?

5.

在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,若 AB= 2 BB1,则 CA1 与 C1B 所成的角的大 ) B.75° C.90° D.105°

小是( C A.60°

解答: C。 建立空间直角坐标系, 以 A1B1 所在的直线为 x 轴, 在平面 A1B1C1 上垂直于 A1B1
的直线为 y 轴, BB 1 所在的直线为 z 轴。则 A1 ( 2, 0, 0), C1 (

2 6 2 6 , , 0), C ( , ,1), 2 2 2 2

B(0, 0,1) , CA1 ? (

2 6 2 6 ,? , ?1), C1B ? (? ,? ,1), CA1 ? C1B ? 0 。 2 2 2 2

6.

设 ?an ? , ?bn ? 分别为等差数列与等比数列,且 a1 ? b1 ? 4, a4 ? b4 ? 1,则以 A ) C. a5 ? b5 D. a6 ? b6 B. a3 ? b3

下结论正确的是( A. a2 ? b2 解答:A。

设等差数列的公差为d,等比数列公比为q,由a1 ? b1 ? 4, a4 ? b4 ? 1,得d=-1,q=
3 3 2 4 ; a6 ? ?1, b6 ? 。 2 4

3

2 2

得a2 ? 3, b2 ? 2 3 2; a3 ? 2, b3 ? 3 4; a5 ? 0, b5 ?

7.

若 x ? R? , 则(1 ? 2x)15 的二项式展开式中系数最大的项为( A.第 8 项 B. 第 9 项

D



C. 第 8 项和第 9 项 D. 第 11 项 29 32 r r 2 ,由Tr ? Tr ?1,Tr ? 2 ? Tr ?1 ? ?r? 解答:D. Tr ?1 ? C15 ,r=10,第 11 项最大。 3 3 8. 设 f ( x) ? cos
x 1 1 1 , a ? f (log e ), b ? f (log? ), c ? f (log 1 2 ) ,则下述关系 5 ? e e ?

式正确的是( A. a ? b ? c

D ) 。 b ?c?a B. C. c ? a ? b D. b ? a ? c x ? 解答: D。函数 f ( x) ? cos 为偶函数,在(0, )上, f ( x) ? cos x 为减函数, 5 2

而 log e

1

?

? ? log e ? , log?

1 1 1 ?? , log 1 2 ? 2log e ? , e log e ? e ?

0?

loge ? 2loge ? ? 1 ? ? ? ,所以 b ? a ? c 。 5log e ? 5 5 4

9.

下面为某一立体的三视图,则该立体的体积为( C )

正视图: 半径为 1 的半圆以及高为 1 的矩形

侧视图: 半径为 1 的 以及高为 1 的矩形

1 圆 4

俯视图: 半径为 1 的圆

3? 2? 4? 3? B. C. D. 2 3 3 4 解答:C. 根据题意,该立体图为圆柱和一个 1/4 的球的组合体。
A. 10. 设有算法如下:

如果输入 A=144, B=39,则输出的结果是( B ) A. 144 B. 3 C. 0 D. 12 解答 B (1)A=144,B=39,C=27: (2)A=39,B=27,C=12: (3)A=27,B=12,C=3: (4) A=12,B=3,C=0。所以 A=3。

二、填空题(本大题共有 7 小题,将正确答案填入题干后的横线上,每空 7 分, 共 49 分)
? 2 x ? 2010 ? 所有实数解为 2 11. 满足方程 x ? 2009? 2 x ? 2010? x ? 2009
2010 ? x ? 2011 。

解答 变形得 ( x ? 2010 ? 1) 2 ? ( x ? 2010 ? 1) 2 ? 2 ? 0 ? x ? 2010 ? 1 ,解得
2010 ? x ? 2011 。

12. x ? R, 函数 f ( x) ? 2sin
解答

x x ? 3cos 的最小正周期为12? . 2 3 x x 2 s i n 的周期为 ?4 , 3 co 的周期为 s 6?,所以函数f x 的周期为 ( ) ? 。1 2 2 3

13. 设 P 是圆 x2 ? y 2 ? 36 上一动点,A 点坐标为 ? 20,0? 。当 P 在圆上运动时,线 段 PA 的中点 M 的轨迹方程为 ( x ?10)2 ? y 2 ? 9 . 解答 设 M 的坐标为 ( x, y),设P点坐标为( x0 , y0 ), 则有
x? x0 ? 20 y ,y? 0 2 2

? x0 ? 2x ? 20, y0 ? 2 y ,因为 P 点在圆上,所以 (2 x ? 20)2 ? (2 y)2 ? 36 所以 P 点轨迹
为 ( x ?10)2 ? y 2 ? 9 。

14. 设锐角三角形 ABC 的边 BC 上有一点 D, 使得 AD 把△ABC 分成两个等腰三角 形,试求△ABC 的最小内角的取值范围为 30<x<45 或 22.5<x<30. 解答 如图, (1)AD=AC=BD; (2)DC=AC,AD=BD。
A

B

D (1)

C

A

B

D (2)

C

在 (1) 中, 设最小的角为 x, 则 2x<90,得 x<45,又 x+180-4x<90,得 x>30,所以 30<x<45; 在 (2) 中, 设最小的角为 x, 则 3x<90,得 x<30,又 180-4x<90,得 x>22.5,所以 22.5<x<30

15. 设 z 是虚数, w ? z ?

1 1 ,且 ?1 ? w ? 2 ,则 z 的实部取值范围为 ? ? a ? 1 . z 2

a ? bi b ? 2?b? 2 ? 0 ? b ? 0或a 2 ? b2 ? 1 2 2 a ?b a ? b2 1 2 2 当 b ? 0 ,无解;当 a ? b ? 1 ? ? ? a ? 1 。 2

解答 设 z ? a ? bi ? ?1 ? a ? bi ?

16. 设 f ( x) ? k ( x2 ? x ? 1) ? x4 (1 ? x)4 。如果对任何 x ? [0,1] ,都有 f ( x) ? 0 ,则 k 的最小值为
1 . 192

解答 k ?

1 3 3 1 3 x 4 (1 ? x) 2 因为x 2 ? x ? 1 ? ( x ? ) 2 ? ? , x ? 时x 2 ? x ? 1最小值为 2 2 4 4 2 4 x ? x ?1

分子 x(1 ? x) ?

1 1 1 8 1 , x ? 时,x 4 (1 ? x) 4 取最大值( ) ,所以 k 的最小值为 。 2 2 2 192

17. 设 p, q ? R , f ( x) ? x2 ? p | x | ?q 。当函数 f ( x) 的零点多于 1 个时, f ( x) 在 以其最小零点与最大零点为端点的闭区间上的最大值为 0 或 q.

解答 因为函数 f ( x) ? x2 ? p | x | ?q 为偶函数,由对称性以及图象知道, f ( x) 在 以其最小零点与最大零点为端点的闭区间上的最大值 0 或 q。
三、解答题(本大题共有 3 小题,每题 17 分,共 51 分)

1 1 2 1 2 3 1 2 k ,?, ,? , 18. 设数列 , , , , , ,?, , 1 2 1 3 2 1 k k ?1 1 问: (1)这个数列第 2010 项的值是多少; (2)在这个数列中,第 2010 个值为 1 的项的序号是多少. 1 1 2 1 2 3 1 2 k ,?, ), ? 解(1)将数列分组: ( ), ( , ), ( , , ), ?, ( , 1 2 1 3 2 1 k k ?1 1 因为 1+2+3+…+62=1953;1+2+3+…+63=2016, 57 所以数列的第 2010 项属于第 63 组倒数第 7 个数,即为 。 --------- 10 分 7 (2)由以上分组可以知道,每个奇数组中出现一个 1,所以第 2010 个 1 出现在 第 4019 组,而第 4019 组中的 1 位于该组第 2010 位,所以第 2010 个值为 1 的 项的序号为(1+2+3+…+4018)+2010=809428。 ------------ 17 分

19. 设有红、黑、白三种颜色的球各 10 个。现将它们全部放入甲、乙两个袋子 中, 要求每个袋子里三种颜色球都有, 且甲乙两个袋子中三种颜色球数之积相等。 问共有多少种放法。 解:设甲袋中的红、黑、白三种颜色的球数为 x, y, z ,则有 1 ? x, y, z ? 9 ,且
xyz ? (10 ? x)(10 ? y)(10 ? z )

(*1)

----------------- 5 分 即有
xyz ? 500 ? 50( x ? y ? z) ? 5( xy ? yz ? zx) 。

(*2)

于是有 5 xyz 。因此 x, y, z 中必有一个取 5。不妨设 x ? 5 ,代入(*1)式,得到
y ? z ? 10 。

----------------10 分

此时,y 可取 1,2,…,8,9(相应地 z 取 9,8,…,2,1) ,共 9 种放法。同 理可得 y=5 或者 z=5 时,也各有 9 种放法,但有 x ? y ? z 时二种放法重复。因此 可得共有 9×3-2 = 25 种放法。 ---------------------17 分

20. 已知椭圆

x2 ? y 2 ? 1(a ? 1) , Rt ?ABC 以 A (0,1)为直角顶点,边 AB、BC a2

27 ,求 a 的值。 8 1 解: 不妨设 AB 的方程 y ? kx ? 1?k ? 0? ,则 AC 的方程为 y ? ? x ? 1 。 k

与椭圆交于两点 B、C。若△ABC 面积的最大值为

? y ? kx ? 1 ?2a 2 k ? 2 2 2 2 ? x ? , 由 ? x2 得: ( 1 ? a k ) x ? 2 a kx ? 0 B 2 1 ? a2k 2 ? 2 ? y ?1 ?a
1 ? y ? ? x ?1 ? 2a 2 k ? k 2 2 2 2 , 由? 2 得: (a ? k ) x ? 2a kx ? 0 ? xC ? 2 a ? k2 ? x ? y2 ? 1 ? ? a2
从而有

AB ? 1 ? k 2

2a 2 k 1 2a 2 k , AC ? 1 ? , 1 ? a2k 2 k 2 a2 ? k 2
2

--------5 分

于是 S

?ABC

?

1 k (1 ? k ) 。 AB AC ? 2a 4 ? 2a 4 2 2 2 2 1 2 (1 ? a k )(a ? k ) a 2 (k 2 ? 2 ) ? a 4 ? 1 k

k?

1 k

令t ? k ?

1 ? 2 ,有 k

S

?ABC ?

2a 4t ? a 2t 2 ? (a 2 ? 1)2

2a 4 , (a 2 ? 1) 2 2 a t? t

--------- 10 分

因为 a t ?
2

(a 2 ? 1) 2 a2 ?1 ? 2a(a 2 ? 1), t ? 时等号成立。 t a a2 ?1 a3 , ( S?ABC )max ? 2 , a a ?1
------------- 14 分

因此当 t=



a3 27 3 ? 297 ? ? (a ? 3)(8a 2 ? 3a ? 9) ? 0 ? a ? 3, a ? 2 a ?1 8 16
--------- 17 分

a2 ?1 3 ? 297 ? 2 ? a ? 1 ? 2,? a ? (不合题意,舍去), ? a ? 3. a 16
四、附加题: (本大题共有 2 小题,每题 25 分,共 50 分。 ) 21. 设 D,E,F 分别为△ABC 的三边 BC,CA,AB 上的点。记 ? ? 证明: S?DEF ? ??? S?ABC 。 证明 由

BD CE AF 。 ,? ? ,? ? BC CA AB

S?BFD BD ? BF sin B ? ? ? (1 ? ? ). S?ABC BC ? BA sin B

---------5 分

同理

S?DEC S ? ? (1 ? ? ), ?AEF ? ? (1 ? ? ) 。 S?ABC S?ABC

---------- 10 分

所以,

S?DEF S?ABC ? S?BFD ? S?DEC ? S?AEF ? ? 1 ? ? (1 ? ? ) ? ? (1 ? ? ) ? ? (1 ? ? ) S?ABC S?ABC

= (1 ? ? )(1 ? ? )(1 ? ? ) ? ??? ? ??? , 等号成立 ? ? ? 1或? ? 1或? ? 1。 ----20 分 因此 S?DEF ? ??? S?ABC ,等号成立,当且仅当,D 与 C 重合,或 E 与 A 重合,或 F 与 B 重合。 ----- 25 分

3 22. (1)设 a ? 0 ,平面上的点如其坐标都是整数,则称之为格点。今有曲线 y ? ax 过格

点(n,m) ,记 1 ? x ? n 对应的曲线段上的格点数为 N。证明:
n m ? k? 3 3 ? N ? ?? ak ? ? ? ? mn 。 ? ? ? k ?1 k ?1 ? a ?

(2) 进而设 a 是一个正整数,证明:

??

? k? a 2 3 ? ? n ? (n ? 1)n (3n ? 1) 。 a 4 k ?1 ? ?
an3

(注 [ x ] 表示不超过 x 的最大整数)

证明 (1)考虑区域 0 ? x ? n,0 ? y ? m, 且该区域上的格点为 nm 个。又该区域由区域 E:

0 ? x ? n,0 ? y ? ax3 , 以及区域 F: 0 ? y ? m,0 ? x ? 3

y 组成。 a

在区域 E 上,直线段 x ? k (k ? N ? ,1 ? k ? n) 上的格点为 [ak 3 ] 个, 所以区域 E 上的 格点数为

?
k ?1

n

[ak 3 ] 。

----------------- 5 分

同理区域 F 上的格点数为
n

?
k ?1
3

m

[3

k ]。 a

----------------- 10 分

由容斥原理, N ?

?? ? ak
k ?1

m ? k? 3 ? ? ? ? ? mn 。 ? ? k ?1 ? a ?

-------------------------15 分

(2)当 a 是一个正整数时,曲线 y ? ax3 上的点( k , ak 3 ) (k ? N ? ,1 ? k ? n) 都是格点, 所以(1)中的 N=n。同时, m ? an 。将以上数据代入(1)得
3

?
k ?1

an3

n a k 4 [ ] ? an ? a? k 3 ? n ? n ? (n ? 1) n 2 (3n ? 1) 。 4 a k ?1 3

----------------- 25 分


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