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有关重心的一道几何证明题


已知圆内接四边形 ABCD, 证明△ABC,△CDA,△DAB, △BCD 的重心四点共圆。

解: 以圆心 O 为坐标原点,建立复平面,并设 A,B,C,D 四点对应的复数分
别为 Za ,Zb,Zc,Zd.点 P 为复平面上一点,对应的复数为 Zp。 设△ABC,△CDA,△DAB, △BCD 的重心对应的复数分别为 Z1,Z2,Z3,Z4; Zp= Za+Zb+Zc+Zd 。 3
B

A abc

abd O'

D O bcd acd

C

则有 Z1=

|Za|=|Zb|=|Zc|=|Zd|=r, r 为圆 0 的半径。 Za+Zb+Zc Za+Zc+Zd , Z2= 3 3 ,Z3= Za+Zb+Zd 3 , Z4= Zb+Zc+Zd 3

因|Zp-Z1|=|Zp-Z2|=|Zp-Z3|=|Zp-Z4|=

r . 3 r 为半径的圆上。 3

故 Z1,Z2,Z3,Z4 所对应的点在以 P 为圆心,

即△ABC,△CDA,△DAB, △BCD 的重心四点共圆。


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