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2014届高考数学(文)一轮复习课件(鲁闽皖专用): 函数及其表示(新人教A版)


第一节 函数及其表示

三年16考

高考指数:★★★

1.了解构成函数的要素,会求一些函数的定义域和值域,了解
映射的概念;

2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法表示函
数; 3.了解简单的分段函数,并能简单的应用.

1.函数的概念、定义域及其表示(特别是分段函数)是近几年 高考命题的热点. 2.常和对数、指数函数的性质等相结合考查,有时也会命制 新定义问题. 3.题型主要以选择、填空题为主,属中低档题.

1.函数与映射的概念
函数 数集 建立在两个非空______A 确定 到B上的一种_____的对 定 义 映射 集合 建立在两个非空_____A到B上 确定 的一种_____的对应关系f, 任意 其要求:集合A中的______一 元素x 个______,在集合B中都有 唯一确定 元素y _________的______与之对应 f:A→B

应关系f,其要求:集合
任意 数x A中的_____一个_____, 唯一确定 在集合B中都有________ f(x) 的数_____和它对应

记 法

y=f(x),x∈A

【即时应用】 (1)判断下列对应关系f是否是从A到B的函数.(请在括号中填

“是”或“否”)
①A=R,B={x|x>0},f:x→|x|; ( )

②A=R,B=R,f:x→x2;
③A=Z, B=R,f:x→ x ; ④A=Z,B=Z,f:x→x2-3.

(
( (

)
) )

(2)设A={0,1,2,4},B={ 1 ,0,1,2,6,8},判断下列对应关系
2

是否是A到B的映射.(请在括号中填“是”或“否”) ①f:x→x3-1 ②f:x→(x-1)2 ③f:x→2x-1 ④f:x→2x ( ( ( ( ) ) ) )

【解析】(1)①否,因为A中的元素0在B中没有对应元素;

③否,因为A中的元素为负数时在B中没有对应元素;
②④是,满足函数的定义,是从A到B的函数.

(2)①不是,当A中的x=0,2,4时在B中没有对应元素;
②不是,当A中的x=4时在B中没有对应元素; ③是,满足映射的定义,是从A到B的映射; ④不是,当A中的x=2时在B中没有对应元素. 答案:(1)①否 (2)①否 ②否 ②是 ③否 ③是 ④否 ④是

2.函数的构成要素

值域 定义域 对应关系 函数由_______、______、__________三个要素构成,对函数
y=f(x),x∈A,其中, 取值范围A (1)定义域:自变量x的___________. {f(x)|x∈A} (2)值域:函数值的集合___________.

【即时应用】 (1)判断下列各组函数中,是否是同一函数.(请在括号中填 “是”或“否”) ①f(x)=x与g(x)= ( x )2 ( )

②f(x)=|x|与g(x)=

3

x3

(
(

)
)

? x 2 x>0 ③f(x)=x|x|与 g(x)= ? ? 2 ?-x x<0 ? 2 ④f(x)= x ? 1 与g(t)=t+1(t≠1) x ?1

(

)

(2)函数y=x2-2x的定义域为{0,1,2,3},那么其值域为_____. (3)设集合 A ? {x | y ? x ? 2} ,集合B={y|y=x2,x∈R},则 A∩B=_________.

【解析】(1)①否,函数f(x)与g(x)的定义域不同; ②否,函数f(x)与g(x)的对应关系不同; ③否,函数f(x)与g(x)的定义域不同;
x 2 ? 1 =x+1(x≠1)与g(t)=t+1(t≠1)是同一 ④是,函数f(x)= x ?1

函数. (2)当x取0,1,2,3时,对应的函数y的值依次为0,-1,0,3, 所以其值域为{-1,0,3}.

(3)已知A={x|x-2≥0}={x|x≥2},B={y|y≥0},

?A∩B={x|x≥2}.
答案:(1)①否 (2){-1,0,3} ②否 ③否 ④是

(3){x|x≥2}

3.函数的表示方法 图象法 列表法 解析法 表示函数的常用方法有:________,________和_________.

【即时应用】
(1)下列四个图象是函数f(x)=x+ x 的图象的是________.
x

(2)若 f ( x ? 1) ? x ? 2 x ,则f(x)的解析式为_______.

【解析】(1)≧ f ? x ? ? ? ?
(2)方法一:令t=

x ? 1, x>0 ,?①正确. ? x ? 1, x<0

2 x +1,则x=(t-1) ,t≥1,代入原式有

f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1,
?f(x)=x2-1(x≥1). 方法二:≧ x ? 2 x ? ( x ? 1)2 ? 1, ? f ( x ? 1) ? ( x ? 1)2 ? 1.又 x ? 1 ? 1, ?f(x)=x2-1(x≥1). 答案:(1)① (2)f(x)=x2-1(x≥1)

4.分段函数 对应关系 若函数在其定义域的不同子集上,因_________不同而分别用 几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.

【即时应用】 (1)已知函数f(x)= ? x ? 1, x ? 1 , 则 f (f ( 5 )) =_______. ?
?? x ? 3, x>1
2

?? x ? 2, x ? ?1 (2)设f(x)= ? x 2 , ?1<x<2 , 若f(x)=3,则x=________. ? ?2x, x ? 2 ?

【解析】(1)≧ f ( 5 ) ? ? 5 ? 3 ? 1 ,
2 2 ? f (f ( 5 )) ? f ( 1 ) ? 1 ? 1 ? 3 . 2 2 2 2 2

(2)当x≤-1时,-x+2=3,得x=-1,符合要求; 当-1<x<2时,x2=3,得x=〒 3 ,只有 3 符合要求; 当x≥2时,2x=3,得x= ,不符合要求. 综上可知,x=-1或 3 .
3 2

答案:(1) 3
2

(2)-1或 3

求简单函数的定义域、值域 【方法点睛】1.简单函数定义域的类型及求法 (1)已知函数的解析式,则构造使解析式有意义的不等式(组) 求解. (2)对实际问题:由实际意义及使解析式有意义构成的不等式

(组)求解.

(3)对抽象函数:

①若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f(g(x))的
定义域由不等式a≤g(x)≤b求出. ②若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为 g(x)在x∈[a,b]时的值域. 2.求简单函数值域的方法 (1)观察法;(2)图象观察法;(3)单调性法;(4)分离常数法; (5)均值不等式法;(6)换元法.

lg(x 2 ? 2x) 的定义 【例1】(1)(2012·大连模拟)求函数f(x)= 9 ? x2

域; (2)已知函数f(2x)的定义域是[-1,1],求f(x)的定义域; (3)求下列函数的值域. ①y=x2+2x,x∈[0,3],②y=log3x+logx3-1, ③ y=2x -1.
2

【解题指南】(1)根据解析式,构建使解析式有意义的不等式 组求解即可; (2)要明确2x与f(x)中x的含义,从而构建不等式求解; (3)根据解析式的特点,分别选用①图象观察法;②均值不等

式法;③单调性法求值域.

【规范解答】(1)要使该函数有意义,
x<0或x>2 ? x 2 ? 2x>0 需要 ? 则有:? , , ? ? 2 ??3<x<3 ?9 ? x >0 ?

解得:-3<x<0或2<x<3,

所以所求函数的定义域为 (-3,0)∪(2,3). (2)≧f(2x)的定义域为[-1,1], 即-1≤x≤1,? 1 ≤2x≤2,
2

故f(x)的定义域为[ 1 ,2].
2

(3)①y=(x+1)2-1在[0,3]上的图象如图所示,

由图象知:0≤y≤32+2〓3=15,
所以函数y=x2+2x,x∈[0,3]的值域为[0,15].

②≧ y ? log 3 x ? 1 ? 1 ,定义域为(0,1)∪(1,+≦),
log 3 x

当0<x<1时,y ? ?2 (?log3 x)?(? 1 ) ? 1 ? ?3,
log3 x

当x>1时,y ? 2 log x ? 1 3

log3 x

? 1 ? 1,

综上可知,其值域为(-≦,-3]∪[1,+≦).

③因为x2-1≥-1,又y=2x在R上为增函数, ? y ? 2x ?1 ? 2?1 ? 1 .
2

2

故值域为[ 1 ,+≦).
2

【反思·感悟】1.由解析式求函数的定义域,其实质就是以函 数解析式有意义为准则,列出不等式(组),从而求解. 2.f(g(x))的定义域为[a,b],指的是x的取值范围是[a,b], 而不是g(x)的取值范围是[a,b]. 3.求函数的值域时,若能画出图象,则用图象观察法求解;若 能判断单调性则用单调性法求解;若能满足用基本不等式的条 件,则用基本不等式求解.

分段函数及其应用 【方法点睛】确定与应用分段函数的一般步骤 首先要确定自变量的值属于哪个区间,其次选定相应关系代入计

算求解,特别要注意分段区间端点的取舍,当自变量的值不确定
时,要分类讨论.

【提醒】分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.

【例2】(1)(2012·北京模拟)已知函数 f ? x ? ? ? ?
则f(x)-f(-x)>-1的解集为( )

? x ? 1 (?1 ? x<0) , ?? x ? 1 (0<x ? 1)

(A)(-∞,-1)∪(1,+∞)
(B)[-1, ? )∪(0,1] (C)(-∞,0)∪(1,+∞) (D)[-1, ? ]∪(0,1)
1 2 1 2

(2)已知函数y=f(x)的图象由图中的两条射线和抛物线的一部

分组成,求函数的解析式.

【解题指南】(1)根据每一段的解析式分类求解,再求其并集. (2)已知图象形状,求解析式,可用待定系数法. 【规范解答】 (1)选B.①当-1≤x<0时,0<-x≤1,此时 f(x)=-x-1,f(-x)=-(-x)+1=x+1,

?f(x)-f(-x)>-1化为-2x-2>-1,
得x< ?
1 ,则-1≤x< ? 1 . 2 2

②当0<x≤1时,-1≤-x<0,此时,f(x)=-x+1,f(-x)= -(-x)-1=x-1, ?f(x)-f(-x)>-1化为-x+1-(x-1)>-1,

解得x< 3 ,则0<x≤1.
2

故所求不等式的解集为[-1, ?

1 )∪(0,1]. 2

(2)根据图象,设左侧的射线对应的解析式为y=kx+b(x≤1). ≧点(1,1),(0,2)在射线上,
?k ? b ? 1 解得 ?k ? ?1. ? ? ? , ?b ? 2 ?b ? 2

?左侧射线对应函数的解析式为y=-x+2(x≤1);

同理,x≥3时,函数的解析式为y=x-2(x≥3).
再设抛物线对应的二次函数解析式为y=a(x-2)2+2(1≤x≤3,a <0),

≧点(1,1)在抛物线上,?a+2=1,a=-1, ?1≤x≤3时,函数的解析式为y=-x2+4x-2(1≤x≤3),
1 ?? x ? 2, x< 综上,函数的解析式为 y ? ?? x 2 ? 4x ? 2,1 ? x ? 3. ? ? x ? 2, x>3 ?

【反思·感悟】分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域

是各段值域的并集,最大(小)值是各段最大(小)值中最大(小)
的值.

求函数值

【方法点睛】求函数值的类型及解法
(1)f(g(x))型:遵循先内后外的原则;

(2)分段函数型:根据自变量值所在区间对应求值,不确定时
要分类讨论; (3)已知函数性质型:对具有奇偶性、周期性、对称性的函数 求值,要用好其函数性质,将待求值调节到已知区间上求解; (4)抽象函数型:对于抽象函数求函数值,要用好抽象的函数 关系,适当赋值,从而求得待求函数值.

【例3】已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数, 且对任意实数x都有xf(x+1)=(1+x)f(x),求
5 f (f的值. ( )) 2

【解题指南】求解该题,需知道f(x),f(x+1)满足的关系式,
将f(x+1)用f(x)表示,然后再给x赋值,先求出 f ( 5 ) ,再求
2 5 f (f ( )) 的值. 2

【规范解答】若x≠0,则有 f ? x ? 1? ? 1 ? x f ? x ?, 取x= ? 1 ,
x

2

1 则有 f ( 1 ) ? f (? 1 ? 1) ? 2 ?f (? 1 ) ? ?f (? 1 ) ? ?f ( 1 ). 1 2 2 2 2 2 ? 2 1?

(≧f(x)是偶函数,? f (? 1 ) ? f ( 1 )). 由此得 f ( 1 ) ? 0,
2 2 2

于是,f ( 5 ) ? f ( 3 ? 1) ?
2 2
1 ? 5f ( ) ? 0, 2

1?

3 1 1? 2 f ( 3 ) ? 5 f ( 3 ) ? 5 f ( 1 ? 1) ? 5 ( 2 )f ( 1 ) 3 2 3 2 3 2 3 1 2 2 2

若x=0,则0〓f(0+1)=(1+0)f(0),有f(0)=0, ? f (f ( 5 )) ? f ? 0 ? ? 0.
2

【反思·感悟】对于这类给出函数所满足的抽象性质,但又不 知道函数解析式的求值问题,求解时应根据该抽象的函数关系 的结构特征,结合待求值的特点,给变量赋予特殊值,从而使 问题具体化、简单化,达到求出函数值的目的.

【创新探究】与函数有关的新定义问题
【典例】(2011·广东高考)设f(x),g(x),h(x)是R上的任意 实值函数,如下定义两个函数 ? f ? g ? (x) 和(f·g)(x);对任 意x∈R,? f ? g ? (x) =f(g(x));(f·g)(x)=f(x)g(x).则下列等 式恒成立的是( )

? A ? ? ? f ? g ??h ? ? x ? ? ? ? f ?h ? ? ? g?h ? ? (x) ? B ? ? ? f ?g ? ? h ? ? x ? ? ? ? f ? h ??? g ? h ? ? (x) ? C ? ? ? f ? g ? ? h ? ? x ? ? ? ? f ? h ? ? ? g ? h ? ? (x) ? D ? ? ? f ?g ??h ? ? x ? ? ? ? f ?h ??? g?h ? ? (x)
【解题指南】根据新的定义逐个选项验证其真伪,从而作 出判断.

【规范解答】选B.根据新函数的定义分析如下表, 选项 分析
((f ? g)?h) ? x ? ? ? f ? g ?? x ? h(x) ? f ?g ? x ?? h ? x ?;

结论

A

((f ?h) ? (g ?h))(x) ? (f ?h)((g ?h)(x)) ? (f ?h)(g(x)h(x)) ? f ? g ? x ? h ? x ?? h ?g ? x ? h ? x ??;

等式

不恒成立

选项

分析
((f ?g) ? h) ? x ? ? (f ?g) ? h ? x ? ? ? f ? h ? x ?? g ? h ? x ??;

结论

B

((f ? h)?(g ? h)) ? x ? ? (f ? h) ? x ? (g ? h) ? x ? ? f ? h ? x ?? g ? h ? x ??;

等式 恒成立

选项

分析
((f ? g) ? h) ? x ? ? (f ? g) ? h ? x ? ? ? f g ? h ? x ?? ;

结论

?

?

C

((f ? h) ? (g ? h)) ? x ? ? (f ? h)((g ? h) ? x ?) ? (f ? h) g ? h ? x ? ? ? f h g ? h ? x ?? ;

等式 不恒成立

??

?

??

?

选项

分析

结论

((f ?g)?h) ? x ? ? (f ?g) ? x ? h ? x ? ? f ? x ? g ? x ? h ? x ?;

D

((f ?h)?(g ?h)) ? x ? ? (f ?h) ? x ? (g ?h) ? x ? ? f ? x ? h ? x ? g ? x ? h ? x ?.

等式 不恒成立

【阅卷人点拨】通过对本题的深入研究,我们可以得到以下创 新点拨和备考建议: 本题有以下创新点:


新 点

(1)本题为新定义问题,命题背景、题目设置新颖.
(2)考查内容创新:本题是将新定义的两个函数用 于辨别与之有关的等式是否恒成立问题,主要考查



对新定义抽象函数的理解,需要考生有较强的理解
能力、推理论证能力和抽象概括能力.

对于这类与函数有关的新定义、新运算试题,我们 在备考2013年高考中,要高度关注以下几点:


考 建 议

(1)熟练掌握函数有关的概念、运算;
(2)强化对该类试题的训练,能正确理解所给的新 定义、新运算,会类比函数有关的定义、运算熟练 求解; (3)平时的学习中要注重训练对所学数学知识的应 用能力及转化与化归的能力.

1.若 f ? x ? ?

1 , 则f(x)的定义域为( log 1 (2x ? 1)
2

)

(A)( ? 1 ,0) 2
2

(C)( ? 1 ,0)∪(0,+∞)

2 (D)( ? 1 ,2) 2

(B)( ? 1 ,+∞)

【解析】选C.要使函数f(x)有意义,
?x ? 0 ?2x ? 1 ? 0 ? 则需 ? , 即 ? 1, ?log 1 ? 2x ? 1? ? 0 ?x ? ? 2 ? 2 ? ? ?f(x)的定义域为( ? 1 ,0)∪(0,+≦). 2

2.(2011·北京高考)根据统计,一名工人组装第x件某产品
? ? 所用的时间(单位:分钟)为 f ? x ? ? ? ? ? ? ? c ,x<A x (A,c为常数), c ,x ? A A

已知工人组装第4件产品用时30分钟,组装第A件产品用时15分 钟,那么c和A的值分别是( )

(A)75,25
(C)60,25

(B)75,16
(D)60,16

c ? f ? 4 ? ? ? 30 ? 2 【解析】选D.当A>4时, ? , ? c ?f ? A ? ? ? 15 ? A ?

解得c=60,A=16;
? ?f ? 4 ? ? 当A≤4时,? ? ?f ? A ? ? ? ? c ? 30 A ,无解. c ? 15 A

1 3.(2011·江苏高考)已知实数a≠0,函数 f ? x ? ? ?2x ? a, x< , ?

若f(1-a)=f(1+a),则a的值为_______.

?? x ? 2a, x ? 1

【解析】当a>0时,1-a<1,1+a>1,由f(1-a)=f(1+a)可得

2-2a+a=-1-a-2a,解得a= ? 3 ,不合题意;
2

当a<0时,1-a>1,1+a<1,由f(1-a)=f(1+a)可得-1+a-2a=

2+2a+a,解得 a ? ? 3 .
4

答案:? 3
4

4.(2011·湖南高考)给定k∈N*,设函数f:N*→N*满足:对 于任意大于k的正整数n,f(n)=n-k.

(1)设k=1,则其中一个函数f在n=1处的函数值为_______;
(2)设k=4,且当n≤4时,2≤f(n)≤3,则不同的函数f的个 数为________.

【解析】(1)本题定义的函数有两个条件,一是定义域和值域都 是正整数,二是对于任意大于k的正整数n,f(n)=n-k.那么n=1时 只要满足函数值是正整数即可,所以答案是a(a为正整数). (2)≧k=4,?n>4的正整数都一一对应,只要对n≤4的进行定义, 又≧f(n)=2或f(n)=3,?f(1)=2或3,f(2)=2或3,f(3)=2或3, f(4)=2或3,所以f的个数为:2〓2〓2〓2=16.

答案:(1)a(a为正整数)

(2)16


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