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高中数学(必修5)知识结构框图


高中数学(必修 5)知识结构框图

高中数学(必修 5) 知识结构框图
第一章
任 意 三 角 形 的 边 角 关 系

解三角形
正 弦 定 理

a b c ? ? sin A sin B sin C
解 三 角 形

距离问题

高度距



余 弦 定 理

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A b2 ? c 2 ? a 2 ? 2ca cos B c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C

角度问题

几何计算问题

b2 ? c2 ? a 2 cos A ? 2bc 2 c ? a 2 ? b2 cos B ? 2ca 2 a ? b2 ? c 2 cos C ? 2ab

三角形面积公式:

1 ab sin C 2 1    ? bc sin A 2 1    ? ca sin B 2 S ?

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第二章

数列
定义: an?1 ? an ? d

等差中项: A ?

a?b 2

等 差 数 列

通项: an ? a1 ? (n ?1)d 若 m ? n ? p ? q 则:

am ? an ? ap ? aq
前 n 项和:

Sn ?


n(a1 ? an ) 2 n(n ? 1) Sn ? na1 ? d 2



定义:

an?1 ? q(q ? 0) an

数 列 的 应 用

等比中项: G ? ab
2

等 比 数 列

通项: an ? a1q n?1 若 m ? n ? p ? q 则:

am ? an ? a p ? aq

前 n 项和: Sn ? na1   (q ? 1)

Sn ?

a1 (1 ? q n ) a1 ? an q ? (q ? 1) 1? q 1? q

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第三章

不等式
不等式基本性质: (1) a ? b ? b ? a (反身性) (2) a ? b, b ? c ? a ? c (传递性) (3) a ? b ? a ? c ? b ? c (平移性) (4) a ? b, c ? 0 ? ac ? bc; a ? b, c ? 0 ? ac ? bc(伸缩性) (5) a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d (叠加性) (6) a ? b ? 0 , c ? d ? 0 ? ac ? bd (叠乘性) (7) a ? b ? 0 ? an ? bn (n ? N *, n≥2)(乘方性) (8) a ? b ? 0 ? n a ? n b (n ? N*, n≥2) (开方性)

一元 一次 不等 式

ax ? b ? 0(a ? 0) ax ? b ? 0(a ? 0)
三 个 “ 二 次” 之 间 的 关 系 P77

不 等 关 系

不 等 式

一元 二次 不等 式

ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)

二 元 一 次 不 等 式 (组)

不等式表示的平面区域 P84 约束条件; 目标函数; 可行域; 最优解。

简单的线性规划问题

基 本 不 等 式

ab≤

a?b (a ? 0, b ? 0) 2

最 值 问 题

一“正” ; 二“定” ; 三“相等。

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第1讲 第1章

§ 1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征
图例 圆 柱 (1)两底面相互平行; (2)侧面的母 线平行于圆柱的轴; (3)是以矩形的一边所在直线为旋转 轴, 其余三边旋转形成的曲面所围成的 几何体. (1)底面是圆; (2)是以直角三角形 的一条直角边所在的直线为旋转轴, 其 余两边旋转形成的曲面所围成的几何 体. (1)两底面相互平行; (2)是用一个平行于圆锥底面的平面 去截圆锥,底面和截面之间的部分.

¤知识要点: 结 构 特 征 棱 柱 (1)两底面相互平行, 其余各面都是平行四边 形; (2)侧棱平行且相等. (1)底面是多边形,各 侧面均是三角形; (2)各侧面有一个公共 顶点.

棱 锥

圆 锥

棱 台

( 1 )两底面相互平行; (2)是用一个平行于棱 圆 锥底面的平面去截棱锥, 台 底面和截面之间的部分.



(1)球心到球面上各点的距离相等; (2)是以半圆的直径所在直线为 旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体.

第2讲 § 1.1.2 简单组合体的结构特征 ¤例题精讲: 【例 1】在四棱锥的四个侧面中,直角三角形最多可有(

).

A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 选 D. 【例 2】已知球的外切圆台上、下底面的半径分别为 r , R ,求球的半径. 解 :圆 台 轴截 面为 等 腰梯 形, 与 球 的大 圆 相切 , 由此 得梯 形 腰 长 为 R+r , 梯 形的 高即 球 的 直径 为

(r ? R)2 ? (R ? r)2 ? 2 rR ,
所以,球的半径为 rR .

第4讲

§ 1.2.3 空间几何体的直观图

¤知识要点: “直观图”最常用的画法是斜二测画法,由其规则能画出水平放置的直观图,其实质就是在坐 标系中确定点的位置的画法. 基本步骤如下: (1) 建系:在已知图形中取互相垂直的 x 轴和 y 轴,得到直 角坐标系 xoy ,直观图中画成斜坐标系 x ' o ' y ' ,两轴夹角为 45 ? .(2)平行不变:已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段,在直观图中分别画成平行于 x’或 y’轴的线段.(3)长度规则:已知图形中平行于 x 轴的线段, 在直观图中保持长度不变;平行于 y 轴的线段,长度为原来的一半.

第5讲

§ 1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积

¤学习目标:了解棱柱、棱锥、台的表面积的计算公式(不要求记忆公式) ;能运用柱、锥、台的表面积进 行计算和解决有关实际问题. ¤知识要点: 表面积相关公式 表面积相关公式 棱柱 棱锥 棱台

S全 ? S侧 ? 2S底, 其中S侧 ? l侧棱长 c直截面周长

圆柱 圆锥 圆台

S全 ? 2? r 2 ? 2? rh (r:底面半径,h:高) S全 ? ? r 2 ? ? rl
(r:底面半径,l:母线长)

S全 ? S侧 ? S底 S全 ? S侧 ? S上底 ? S下底

S全 ? ? (r '2 ? r 2 ? r ' l ? rl )
(r:下底半径,r ’:上底半径,l:母线长)

第6讲 § 1.3.1 柱体、锥体、台体的体积
¤知识要点:1. 体积公式: 体积公式 棱柱 棱锥 体积公式 圆柱 圆锥

V ? S底 h高

1 V ? S底 h高 3
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V ? ? r 2h 1 V ? ? r 2h 3

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棱台

1 V ? (S '? S ' S ? S )h 3

圆台

1 V ? ? (r '2 ? r ' r ? r 2 )h 3

2. 柱、椎、台之间,可以看成一个台体进行变化,当台体的上底面逐渐收缩为一个点时,它就成了锥体; 当台体的上底面逐渐扩展到与下底面全等时,它就成了柱体. 因而体积会有以下的关系:

1 1 S '? 0 S '? S ? V台 ? (S '? S ' S ? S )h ??? ? V柱 ? S h . V锥 ? S h ??? 3 3 第7讲 § 1.3.2 球的体积和表面积
¤知识要点:1. 表面积: S球面 ? 4? R
2

(R:球的半径).

2. 体积: V球面 ?

4 3 ?R . 3

第8讲

§ 2.1.1 平面

¤知识要点: 1. 点 A 在直线上 , 记作 A ? a ;点 A 在平面 ? 内 , 记作 A ? ? ;直线 a 在平面 ? 内 , 记作 a ?? . 2. 平面基本性质即三条公理的“文字语言” 、 “符号语言” 、 “图形语言”列表如下: 公理 1 公理 2 公理 3 图形 语言 如果一条直线上的两点在 过不在一条直线上的三点,有 一个平面内, 那么这条直线 且只有一个平面. 在此平面内. A ? l, B ? l ? A, B, C不共线 ? 符号 ??l ?? 语言 A ?? , B ?? ? A, B, C确定平面? 3.公理 2 的三条推论: 推论 1 经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面; 推论 2 经过两条相交直线,有且只有一个平面; 推论 3 经过两条平行直线,有且只有一个平面. 文字 语言 ¤知识要点:
? ?相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; ?共面直线 ? 1.空间两条直线的位置关系: ? ?平行直线:同一平面内,没有公共点; ? ?异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点. 2. 已知两条异面直线 a , b , 经过空间任一点 O 作直线 a ? // a, b? // b , 把 a?, b? 所成的锐角 (或直角) 叫异面直线 a , b 所成的角(或夹角). a?, b? 所成的角的大小与点 O 的选择无关,为了简便,点 O 通常取在异面直线的一条上;异面直线所成的角的范围为 (0,90?] ,如果两条异面直线所成的角 是直角,则叫两条异面直线垂直,记作 a ? b . 求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步: 选点→平移→定角→计算.

如果两个不重合的平面有一个公 共点, 那么它们有且只有一条过该 点的公共直线.

?? ? ? l P ?? , P ? ? ? ? ?P ? l

第9讲 § 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系

§ 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定 ¤知识要点:1. 对于两条不重合的直线 l1 、 l2 ,其斜率分别为 k1 、 k 2 ,有:
(1) l1 // l2 ? k1 ? k2 ; (2) l1 ? l2 ? k1 ? k2 ? ?1 . 2. 特例: 两条直线中一条斜率不存在时, 另一条斜率也不存在时, 则它们平行, 都垂直于 x 轴; ….

第 19 讲

第 20 讲

§ 3.2.1 直线的点斜式方程

¤知识要点: 1. 点斜式:直线 l 过点 P0 ( x0 , y0 ) ,且斜率为 k,其方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) . 2. 斜截式:直线 l 的斜率为 k,在 y 轴上截距为 b,其方程为 y ? kx ? b . 3. 点斜式和斜截式不能表示垂直 x 轴直线. 若直线 l 过点 P0 ( x0 , y0 ) 且与 x 轴垂直,此时它的倾斜 角为 90°,斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示,这时的直线方程为 x ? x0 ? 0 ,或 x ? x0 . 4. 注意:

y ? y0 ? k 与 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) 是不同的方程,前者表示的直线上缺少一点 P0 ( x0 , y0 ) , x ? x0

后者才是整条直线.
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第 21 讲
¤知识要点:

§ 3.2.2 直线的两点式方程
y ? y1 x ? x1 ? , y2 ? y1 x2 ? x1

1. 两点式:直线 l 经过两点 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) ,其方程为

x y ? ?1. a b 3. 两点式不能表示垂直 x、y 轴直线;截距式不能表示垂直 x、y 轴及过原点的直线. x1 ? x2 y1 ? y2 4. 线段 P , ). 1P 2 中点坐标公式 ( 2 2 第 22 讲 § 3.2.3 直线的一般式方程
2. 截距式:直线 l 在 x、y 轴上的截距分别为 a、b,其方程为 ¤知识要点: Ax ? By ? C ? 0 , 1. 一般式: 注意 A、 B 不同时为 0. 直线一般式方程 Ax ? By ? C ? 0 ( B ? 0) 化为斜截式方程 y ? ?

A C A C x ? ,表示斜率为 ? ,y 轴上截距为 ? 的直线. B B B B l : Ax ? By ? C ? 0 2 与直线 平 行 的 直 线 , 可 设 所 求 方 程 为 Ax ? By ? C ' ? 0 ; 与 直 线

Ax ? By ? C ? 0 垂直的直线,可设所求方程为 Bx ? Ay ? C ' ? 0 . 过点 P( x0 , y0 ) 的直线可写为

A( x ? x0 ) ? B( y ? y0 ) ? 0 .
经过点 M 0 ,且平行于直线 l 的直线方程是 A( x ? x0 ) ? B( y ? y0 ) ? 0 ; 经过点 M 0 ,且垂直于直线 l 的直线方程是 B( x ? x0 ) ? A( y ? y0 ) ? 0 . 3. 已 知 直 线 l1 , l2 的 方 程 分 别 是 : l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 ( A1 , B1 不 同 时 为 0 ) ,

l2 : A ? 0 ( A2 , B2 不同时为 0) ,则两条直线的位置关系可以如下判别: 2 x?B 2 y ?C 2
(1) l1 ? l2 ? A1 A2 ? B1 B2 ? 0 ; 如果 A2 B2C2 ? 0 时,则 l1 // l2 ? (2) l1 // l2 ? A1 B2 ? A2 B1 ? 0, AC 1 2 ? A2 B 1 ?0; (3) l1 与 l2 重合 ? A1 B2 ? A2 B1 ? 0, AC 1 2 ? A 2B 1 ? 0 ; (4) l1 与 l 2 相交 ? A 1 B2 ? A 2B 1 ? 0.

A1 B1 C1 A B C ? ? ; l1 与 l2 重合 ? 1 ? 1 ? 1 ; l1 与 l2 相交 A2 B2 C2 A2 B2 C2

?

A1 B1 ? . A2 B2

第 23 讲

§ 3.3.1 两条直线的交点坐标

? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 ¤知识要点:1. 一般地,将两条直线的方程联立,得到二元一次方程组 ? . 若 ? A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 方程组有惟一解, 则两条直线相交, 此解就是交点的坐标; 若方程组无解, 则两条直线无公共点, 此时两条直线平行;若方程组有无数解,则两条直线有无数个公共点,此时两条直线重合. 2. 方程 ? ( A1 x ? B1 y ? C1 ) ? ( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 为直线系,所有的直线恒过一个定点,其定点就
是 A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 与 A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 的交点.

第 24 讲 § 3.3.2 两点间的距离 P ( x , ¤ 知 识 要 点 : 1. 平 面 内 两 点 1 1 y1 ) , P2 ( x2 , y2 ) , 则 两 点 间 的 距 离 为 :
2 2 | PP 1 2 |? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) .

特别地,当 P 1, P 2 所在直线与 x 轴平行时, | PP 1, P 2 所在直线与 y 轴平行时, 1 2 |?| x1 ? x2 | ;当 P
2 | PP 1, P 2 在直线 y ? kx ? b 上时, | PP 1 2 |?| y1 ? y2 | ;当 P 1 2 |? 1 ? k | x1 ? x2 | . 2. 坐标法解决问题的基本步骤是: (1)建立坐标系,用坐标表示有关量; ( 2)进行有关代数运 算; (3)把代数运算的结果“翻译”成几何关系. 第 25 讲 § 3.3.3 点到直线的距离及两平行线距离 | Ax0 ? By0 ? C | ¤知识要点:1. 点 P( x0 , y0 ) 到直线 l : Ax ? By ? C ? 0 的距离公式为 d ? . A2 ? B 2 2. 利 用 点 到 直 线 的 距 离 公 式 , 可 以 推 导 出 两 条 平 行 直 线 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 ,

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, 推 导 过 程 为 : 在 直 线 l2 上 任 取 一 点 A2 ? B 2 P( x0 , y0 ) , 则 A 0 x ? B0 y ? 2C 0 ? , 即 A 0 x ? B0 y ? ? .2C 这 时 点 P( x0 , y0 ) 到 直 线 | Ax0 ? By0 ? C1 | | C1 ? C2 | ? . l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 的距离为 d ? A2 ? B 2 A2 ? B 2 第 26 讲 第 4 章 § 4.1.1 圆的标准方程 ¤知识要点:1. 圆的标准方程:方程 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 (r ? 0) 表示圆心为 A(a,b) ,半径 长为 r 的圆. 2. 求圆的标准方程的常用方法: (1)几何法:根据题意,求出圆心坐标与半径,然后写出 标准方程; (2)待定系数法:先根据条件列出关于 a、b、r 的方程组,然后解出 a、b、r,再代入标准 方程.

l2 : Ax ? By ? C2 ? 0 之 间 的 距 离 公 式 d ?

| C1 ? C2 |

第 27 讲
是 (?

§ 4.1.2 圆的一般方程

¤知识要点:1. 圆的一般方程:方程 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D 2 ? E 2 ? 4 F ? 0 )表示圆心

D E 1 , ? ) ,半径长为 D2 ? E 2 ? 4F 的圆. 2. 轨迹方程是指点动点 M 的坐标 ( x, y ) 满足 2 2 2
第 28 讲 § 4.2.1 直线与圆的位置关系

的关系式.

¤知识要点:1. 直线与圆的位置关系及其判定: 方法一:方程组思想,由直线与圆的方程组成 的方程组,消去 x 或(y) ,化为一元二次方程,由判别式符号进行判别; | Aa ? Bb ? C | 方法二:利用圆心( a , b )到直线 Ax ? By ? C ? 0 的距离 d ? ,比较 d 与 r 的大小. A2 ? B 2 (1)相交 ? d ? r ? ? ? 0 ; (2)相切 ? d ? r ? ? ? 0 ; (3)相离 ? d ? r ? ? ? 0 . 2. 直线与圆的相切研究,是高考考查的重要内容. 同时,我们要熟记直线与圆的各种方程、几何 | Ax0 ? By0 ? C | 性质,也要掌握一些常用公式,例如点线距离公式 d ? A2 ? B 2

§ 4.2.2 圆与圆的位置关系 ¤知识要点:两圆的位置关系及其判定: 设两圆圆心分别为 O1 , O2 ,半径分别为 r1 , r2 ,则: ( 1 ) 两 圆 相 交 ?| r1 ? r2 |?| O1O2 |? r1 ? r2 ; ( 2 ) 两 圆 外 切 ?| O1O2 |? r1 ? r2 ; (3)两圆内切
?| O1O2 |?| r1 ? r2 | ;

第 29 讲

第 30 讲

§ 4.2.3 直线与圆的方程的应用

¤知识要点:坐标法:建立适当的直角坐标系后,借助代数方法把要研究的几何问题,转化为坐 标之间的运算,由此解决几何问题

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