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高中数学北师大版选修1-1课件:第3章 §4 4.1 导数的加法与减法法则


§4 导数的四则运算法则 4.1 导数的加法与减法法则 导数的加法与减法法则 1.文字语言:两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数 的_________. 和(差) 2.数学表达式: [f(x)+g(x)]'=____________ f'(x)+g'(x) [f(x)-g(x)]'=____________ f'(x)-g'(x) 判断:(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若f(x)=a2+2ax+x2,则f'(a)=2a+2x.( ) ) (2)运用法则求导时,不用考虑f'(x),g'(x)是否存在.( (3)导数的和(差)运算法则对三个或三个以上的函数求导仍然 成立.( ) 提示:(1)错误.求导是对自变量的求导,需分清表达式中的 自变量是哪一个,本题中是x,故f'(x)=2x+2a. (2) 错误 . 运用法则求导时, f'(x) , g'(x) 必须都存在,否 则求导无意义. (3)正确.两个函数和(差)的导数运算法则可以推广到有限个 函数的情况,即[f1(x)〒f2(x)〒f3(x)〒?〒fn(x)]' =f'1(x)〒f'2(x)〒f'3(x)〒?〒f'n(x). 答案:(1)〓 (2)〓 (3)√ 【知识点拨】 1.对导数的加减法法则的两点说明 (1) 用求导公式和加减法法则,可以简化运算过程,降低运 算难度. (2) 解决函数求导的问题,应先分析所给函数的结构特点, 选择正确的公式和法则,对较为复杂的求导运算,在求导之 前应先将函数化简,然后求导,以减少运算量. 2.和(差)的导数公式的拓展 (1)若y=f1(x)〒f2(x)〒?〒fn(x), 则y'=f'1(x)〒f'2(x)〒?〒f'n(x). (2)若y=af(x)〒bg(x), 则y'=af'(x)〒bg'(x). (3)若y=f(x)〒c, 则y′=f′(x). 类型 一 导数的加法与减法法则的简单应用 ) 1.下列运算正确的是( A.(ax2-bx+c)'=a(x2)'+bx' B.(sin x-2x2)'=(sin x)'-(2)'(x2)' C.( 3 sin x+cos x)'= 3 (sin x)'+(cos x)′ D.[(x2+1)(x2-1)]'=(x2+1)'·(x2-1)′ 2.求下列函数的导数. (1)y=(x2+1)(2x-1). (2) y ? x x ? 3x. (3) y ? sin cos cos . x 4 x 4 x 2 【解题探究】 1.导数加减法的求导法则可以用语言如何叙述? 2.对于题2中的(2)(3)小题如何化简? 探究提示: 1.可以用语言叙述为两个函数和 (差)的导数等于两个函数导 数的和(差). 2.可以把根式化简成分数指数幂的形式;对于三角函数可以 利用倍角公式进行化简. 【解析】1.选C.A错误.(ax2-bx+c)'=a(x2)'-bx'. B错误.(sin x-2x2)'=(sin x)'-2(x2)'. D错误.[(x2+1)(x2-1)]'=(x4)′. 2.(1)∵y=(x2+1)(2x-1)=2x3-x2+2x-1, ∴y'=2(x3)'-(x2)'+2x'=6x2-2x+2. 3 1 (2) ? y ? x x ? 3 ? x ? 3 , ? y? ? (x )? ? ?3 ? ? ? x 2 ? 3x ln 3. 2 x x x x 2sin cos 2sin cos 4 4 cos x ? 2 2 ? 1 sin x, (3)

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