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【2016届走向高考】高三数学一轮(人教B版)基础巩固:第11章 第2节 复数的概念与运算


第十一章

第二节

一、选择题 1+ai 1.(文)(2014· 唐山市二模)已知 a∈R,若 为实数,则 a=( 2-i A.2 1 C.- 2 [答案] D [解析] 1+ai ?1+ai??2+i? ?2-a?+?1+2a?i 1 = = ,由已知得 1+2a=0,∴a=- . 5 5 2 2-i ) B. -2 1 D. 2 )<

br />
1-i (理)(2013· 郑州模拟)设 i 是虚数单位,若复数 为实数,则实数 a 为( 2-ai A.2 1 C.- 2 [答案] A [解析] ∵a∈R, ?1-i??2+ai? = 2-ai ?2-ai??2+ai? 1-i B.-2 1 D. 2



?2+a?+?a-2?i ∈R,∴a=2. 4+a2 )

2.(2014· 唐山市一模)设(2+i) z =3+4i,则 z=( A.1+2i C.2+i [答案] D [解析] ∵ z = ∴z=2-i. 3+4i ?3+4i??2-i? 10+5i = = =2+i, 5 2+i ?2+i??2-i? B.1-2i D.2-i

1 3 3.(文)(2014· 东北三省三校二模)已知复数 z=- + i,则 z +|z|=( 2 2 1 3 A.- - i 2 2 1 3 B.- + i 2 2

)

-1-

1 3 C. + i 2 2 [答案] D

1 3 D. - i 2 2

1 3 1 3 [解析] ∵z=- + i,∴ z =- - i,|z|=1, 2 2 2 2 1 3 ∴ z +|z|= - i. 2 2 (理)(2014· 郑州质检)若复数 z 满足(2-i)z=|1+2i|,则 z 的虚部为( A. 5 5 B. 5 i 5 )

C .1 [答案] A

D .i

5?2+i? 2 5 5 5 5 [解析] ∵(2-i)z=|1+2i|= 5,∴z= = = + i,∴复数 z 的虚部为 . 5 5 5 5 2-i
2 1 ?1+i? 4.(2013· 长沙模拟)已知集合 M={i,i , , },i 是虚数单位,Z 为整数集,则集 i i 2

合 Z∩M 中的元素个数是( A.3 个 C .1 个 [答案] B

) B .2 个 D.0 个

[解析] 由已知得 M={i,-1,-i,2},Z 为整数集, ∴Z∩M={-1,2},即集合 Z∩M 中有 2 个元素. 3-i 2 5.(2014· 豫东、豫北十所名校段测)已知 i 为虚数单位,复数 z 满足 zi=( ) ,则复数 z 1+i 的共轭复数在复平面内对应的点位于( A.第一象限 C.第三象限 [答案] C [解析] C. 6.若 z=cosθ+isinθ(i 为虚数单位),则使 z2=-1 的 θ 值可能是( π A. 6 π B. 4 ) zi=( 3-i 1+i )=
2

) B.第二象限 D.第四象限

?3-i?2 ?1+i?
2



8-6i 8-6i 8-6i ,∴z= 2 = =-4+3i,∴ z =-4-3i,故选 2i 2i -2

-2-

π C. 3 [答案] D

π D. 2

?cos2θ=-1 ? [解析] ∵z2=cos2θ+isin2θ=-1,∴? . ? ?sin2θ=0
∴2θ=2kπ+π (k∈Z), π ∴θ=kπ+ .令 k=0 知,D 正确. 2 二、填空题 7.(文)在复平面内,z=cos10+isin10 的对应点在第______象限. [答案] 三 7π [解析] ∵3π<10< ,∴cos10<0,sin10<0, 2 ∴z 的对应点在第三象限. (理)一个正四面体玩具,它的四个面上标有数字-1,0,1,2,连续抛掷两次,记第一次向下 的面上数字为 a,第二次向下的面上数字为 b,设复数 z=a+bi,则 z 的对应点在第二象限的 概率为________. [答案] 1 8

[解析] 若 z=a+bi 的对应点在第二象限,则 a<0,b>0,这样的点有 2 个,即(-1,1),(- 2 1 1,2),∴所求概率为 P= = . 4×4 8 a+bi 8.(2014· 黑龙江佳木斯第一中学调研)已知 i 为虚数单位,若 =2+i(a,b∈R),则 ab 1+i =________. [答案] 3 [解析] a+bi=(2+i)(1+i)=1+3i, ∵a、b∈R,∴a=1,b=3,∴ab=3. z+2 9. (2014· 江苏东海二中调研)已知 z 是纯虚数, 是实数(i 是虚数单位), 那么 z=________. 1- i [答案] -2i z+2 bi+2 ?bi+2??1+i? 2-b+?2+b?i [解析] 令 z=bi(b∈R 且 b≠0), = = = 是实数,所以 2 1-i 1-i ?1-i??1+i?

-3-

b=-2,z=-2i. 三、解答题 a2-7a+6 10.(2013· 青岛调研)已知复数 z= 2 +(a2-5a-6)i(a∈R),试求实数 a 分别取什 a -1 么值时,z 分别为: (1)实数;(2)纯虚数. [解析] (1)当 z 为实数时,则有
2 ? ?a -5a-6=0, ? 2 ?a -1≠0. ?

?a=-1或a=6 ∴? ∴a=6,即 a=6 时,z 为实数. 1. ?a≠±
a -5a-6≠0, ? ? (2)当 z 为纯虚数时,则有?a -7a+6 =0. ? ? a -1
2 2 2

?a≠-1且a≠6 ? ∴? 1. ? ?a=6且a≠±
∴不存在实数 a 使 z 为纯虚数.

一、选择题 1 3 π π 11.(2014· 山西大学附中月考)设复数 ω1=- + i,ω2=cos +isin ,若 z=ω1· ω2, 2 2 12 12 则复数 z 的虚部为( 1 A.- 2 C.- 2 2 ) 1 B. 2 D. 2 2

[答案] D 2+ 6 6- 2 2+ 6 6- 2 π π 1 3 [解析] 解法 1: cos = , sin = , ∴ω1· ω2=(- + i)· ( + 12 4 12 4 2 2 4 4 i)=- 6+ 2 6- 2 3 2+ 6 3 2- 6 2 2 2 - i+ i- =- + i,∴复数 ω1· ω2 的虚部为 . 8 8 8 8 2 2 2
-4-

解法 2:若 z1=cosα+isinα,z2=cosβ+isinβ,则 z1z2=cosαcosβ-sinαsinβ+i(sinαcosβ+ cosαsinβ)=cos(α+β)+isin(α+β). 1 3 2π 2π π π ∵ω1=- + i=cos +isin ,ω2=cos +isin , 2 2 3 3 12 12 2π π 2π π ∴z=ω1ω2=cos( + )+isin( + ) 3 12 3 12 3π 3π 2 2 2 =cos +isin =- + i,∴z 的虚部为 . 4 4 2 2 2 - 12.已知复数 z1=cosα+isinα,z2=sinβ+icosβ,(α,β∈R),复数 z=z1·z 2 的对应点在第 二象限,则角 α+β 所在象限为( A.第一象限 C.第三象限 [答案] C [解析] ∵z=(cosα+isinα)· (sinβ-icosβ)=sin(α+β)-icos(α+β)的对应点在第二象限, ) B.第二象限 D.第四象限

? ?sin?α+β?<0 ∴? ,∴角 α+β 的终边在第三象限. ?-cos?α+β?>0 ?
13. (2014· 豫东、 豫北十所名校阶段测试)设 i 为虚数单位, 复数 z 的共轭复数为 z , 且( z -1)(1+i)=2i,则复数 z 的模为( A.5 C.2-i [答案] B [解析] 2i?1-i? 2i z -1= = =i+1,∴ z =2+i,∴z=2-i,∴|z|= 5. 2 1+i ) B. 5 D.1

14.(2014· 北京大兴期末)已知复数 z 对应的向量如图所示,则复数 z+1 所对应的向量正 确的是( )

-5-

[答案] A [解析] 由题图可知 z=-2+i, 所以 z+1=-1+i, 则复数 z+1 所对应的向量的坐标为(- 1,1),故 A 正确. 二、填空题 15. (2014· 武汉调研)若复数 z=(m2-7m+15)+(m2-5m+3)i(m∈R, i 为虚数单位)在复平 面内对应的点位于直线 y=-x 上,则 m=________. [答案] 3 [解析] 复数 z 在复平面内对应的点是(m2-7m+15,m2-5m+3),则 m2-5m+3=-(m2 -7m+15),解得 m=3. 5 16.关于 x 的不等式 mx2-nx+p>0(m,n,p∈R)的解集为区间(- ,2),则复数 m+ni 3 所对应的点位于复平面内的第________象限. [答案] 三 5 [解析] ∵mx2-nx+p>0(m、n、p∈R)的解集为(- ,2), 3

? 5 n ∴??-3?+2=m>0, p ?×2= <0. ??-5 3 m
m<0, 三、解答题

∵m<0,∴p>0,n<0.

故复数 m+ni 所对应的点位于复平面内的第三象限.

1 17.设 z 是虚数,ω=z+ 是实数,且-1<ω<2. z (1)求 z 的实部的取值范围; 1-z (2)设 u= ,那么 u 是不是纯虚数?并说明理由. 1+z [解析] (1)设 z=a+bi(a、b∈R,b≠0), a ? ? b ? ? 1 b- 2 ω=a+bi+ = ? a+ 2 2?+? 2?i, a+bi ? a +b ? ? a +b ?
-6-

b ∵ω 是实数,∴b- 2 =0. a +b2 又 b≠0,∴a2+b2=1,ω=2a. 1 ∵-1<ω<2,∴- <a<1, 2

1 ? 即 z 的实部的取值范围是? ?-2,1?. 1-z 1-a-bi 1-a2-b2-2bi b (2)u= = = =- i, 2 2 1+z 1+a+bi ?1+a? +b a+ 1 1 ∵- <a<1,b≠0,∴u 是纯虚数. 2 18.将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为 1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次,记第 一次出现的点数为 a,第二次出现的点数为 b. (1)设复数 z=a+bi(i 为虚数单位),求事件“z-3i 为实数”的概率; a-b+2≥0 ? ? (2)求点 P(a,b)落在不等式组?0≤a≤4 ? ?b≥0

表示的平面区域内(含边界)的概率.

[解析] (1)z=a+bi(i 为虚数单位),z-3i 为实数,则 a+bi-3i=a+(b-3)i 为实数,则 b =3. 1 依题意得 b 的可能取值为 1,2,3,4,5,6,故 b=3 的概率为 . 6 1 即事件“z-3i 为实数”的概率为 . 6 (2)连续抛掷两次骰子所得结果如下表: 1 1 2 3 4 5 6 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

由上表知,连续抛掷两次骰子共有 36 种不同的结果.

-7-

不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示(含边界). 由图知,点 P(a,b)落在四边形 ABCD 内的结果有:(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、 (2,4)、(3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(3,5)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4)、(4,5)、(4,6),共 18 种. 18 1 所以点 P(a,b)落在四边形 ABCD 内(含边界)的概率为 P= = . 36 2

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