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3.2复数代数形式的四则运算(2课时)


潮阳黄图盛中学高二文科数学备课组

第一课时 3.2.1 复数的代数形式的加减运算 教学要求:掌握复数的代数形式的加、减运算及其几何意义。 教学重点:复数的代数形式的加、减运算及其几何意义 教学难点:加、减运算的几何意义 教学过程: 一、复习准备: 1. 与复数一一对应的有? 2. 试判断下列复数 1 ? 4i,7 ? 2i,6, i, ?2 ? 0i,7i,

0,0 ? 3i 在复平面中落在哪象限?并画出其对应的 向量。 3. 同时用坐标和几何形式表示复数 z1 ? 1 ? 4i与Z 2 ? 7 ? 2i 所对应的向量,并计算 OZ1 ? OZ2 。 向量的加减运算满足何种法则? 4. 类比向量坐标形式的加减运算,复数的加减运算如何? 二、讲授新课: 1.复数的加法运算及几何意义 ①.复数的加法法则: z1 ? a ? bi与Z 2 ? c ? di ,则 Z1 ? Z 2 ? (a ? c) ? (b ? d )i 。 例 1.计算(1) (1 ? 4i)+(7 ? 2i) (2) (7 ? 2i)+(1 ? 4i) (3) [(3 ? 2i)+(?4 ? 3i)] ? (5 ? i) (4) (3 ? 2i)+[(?4 ? 3i) ? (5 ? i)] ②.观察上述计算,复数的加法运算是否满足交换、结合律,试给予验证。 例 2.例 1 中的(1) 、 (3)两小题,分别标出 (1 ? 4i),(7 ? 2i) , (3 ? 2i),(?4 ? 3i),(5 ? i) 所对应的 向量,再画出求和后所对应的向量,看有所发现。 ③复数加法的几何意义:复数的加法可以按照向量的加法来进行(满足平行四边形、三角形法 则) 2 .复数的减法及几何意义:类比实数,规定复数的减法运算是加法运算的逆运算 , 即若 Z1 ? Z ? Z 2 ,则 Z叫做 Z 2减去Z1的差,记作Z ? Z 2 ? Z1 。 ④讨论:若 Z1 ? a ? b, Z 2 ? c ? di ,试确定 Z ? Z1 ? Z 2 是否是一个确定的值? (引导学生用待定系数法,结合复数的加法运算进行推导,师生一起板演) ⑤复数的加法法则及几何意义: (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i ,复数的减法运算也可以按 向量的减法来进行。 (1 ? 4i)-(7 ? 2i) (2) (5 ? 2i)+(?1 ? 4i) ? (2 ? 3i) (3) (3 ? 2i)-[(?4 ? 3i) ? (5 ? i)] 例 3. 计算 (1) 练习:已知复数,试画出 Z ? 2i , Z ? 3 , Z ? (5 ? 4i) ? 2i 2.小结:两复数相加减,结果是实部、虚部分别相加减,复数的加减运算都可以按照向量的加 减法进行。 三、巩固练习: 1.计算 2 ? 3i ? ? ?2 ? 9i ? ? 2 ? i (1) ?8 ? 4i ? ? 5 (2) ? 5 ? 4i ? ? 3i (3) 3 2.若 (3 ? 10i) y ? (2 ? i) x ? 1 ? 9i ,求实数 x, y 的取值。 变式:若 (3 ? 10i) y ? (2 ? i) x 表示的点在复平面的左(右)半平面,试求实数 a 的取值。

?

?

3.三个复数 Z1 , Z 2 , Z3 ,其中 Z1 ? 3 ? i , Z 2 是纯虚数,若这三个复数所对应的向量能构成等 边三角形,试确定 Z 2 , Z 3 的值。 作业:课本 71 页 1、2 题。
1

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第二课时 3.2.2 复数的代数形式的乘除运算 教学要求:掌握复数的代数形式的乘、除运算。 教学重点:复数的代数形式的乘除运算及共轭复数的概念 教学难点:乘除运算 教学过程: 一、复习准备: 1. 复数的加减法的几何意义是什么? 2. 计算 (1)(1 ? 4i)+(7 ? 2i) (2)(5 ? 2i)+(?1 ? 4i) ? (2 ? 3i) (3)(3 ? 2i)-[(?4 ? 3i) ? (5 ? i)] 3. 计算: (1) (1 ? 3) ? (2 ? 3) (2) (a ? b) ? (c ? d ) (类比多项式的乘法引入复数的乘法) 二、讲授新课: 1.复数代数形式的乘法运算 ①.复数的乘法法则: (a ? bi)(c ? di) ? ac ? bci ? adi ? bdi 2 ? (ac ? bd ) ? (ad ? bc)i 。 例 1.计算(1) (1 ? 4i) ? (7 ? 2i) (2) (7 ? 2i) ? (1 ? 4i) (3) [(3 ? 2i) ? (?4 ? 3i)] ? (5 ? i) (4) (3 ? 2i) ?[(?4 ? 3i) ? (5 ? i)] 探究:观察上述计算,试验证复数的乘法运算是否满足交换、结合、分配律? 例 2.1、计算(1) (1 ? 4i) ? (1 ? 4i) (2) (1 ? 4i) ? (7 ? 2i) ? (1 ? 4i) (3) (3 ? 2i)2

2、已知复数 Z ,若,试求 Z 的值。变:若 (2 ? 3i) Z ? 8 ,试求 Z 的值。 ②共轭复数:两复数 a ? bi与a ? bi 叫做互为共轭复数,当 b ? 0 时,它们叫做共轭虚数。 注:两复数互为共轭复数,则它们的乘积为实数。 练习:说出下列复数的共轭复数 3 ? 2i, ?4 ? 3i,5 ? i, ?5 ? 2i,7, 2i 。 ③类比

1? 2 2? 3

?

(1 ? 2)(2 ? 3) (2 ? 3)(2 ? 3)

,试写出复数的除法法则。

2.复数的除法法则: (a ? bi ) ? (c ? di) ?

a ? bi (a ? bi )(c ? di ) ac ? bd bc ? ad ? ? ? i c ? di (c ? di )(c ? di ) c 2 ? d 2 c 2 ? d 2

其中 c ? di 叫做实数化因子 例 3.计算 (3 ? 2i) ? (2 ? 3i) , (1 ? 2i) ? (?3 ? 2i) (师生共同板演一道,再学生练习) 练习:计算

3 ? 2i 3?i , 2 (1 ? 2i ) (1 ? i ) 2 ? 1

2.小结:两复数的乘除法,共轭复数,共轭虚数。 三、巩固练习: 1.计算(1)

? ?1 ? i ?? 2 ? i ?
i3

(2) i ? i 2 ? i 3 ? i 4 ? i 5

(3)

2 ? i3 1 ? 2i

2.若 z1 ? a ? 2i, z2 ? 3 ? 4i ,且

z1 z 为纯虚数,求实数 a 的取值。变: 1 在复平面的下方,求 a 。 z2 z2
2


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