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高三数学专题解析几何解答题的解法


?第二部分

专题八 解析几何解答题的解法

解析几何解答题的解法

试题特点 >> 应试策略 >>

03

07

考题剖析 >>

16

解析几何解答题的解法
试题特点
1.近三年高考各试卷

解析几何考查情况统计

2005年高考各地的16套试卷中,每套试卷均有1道解析几何解
答题试题,涉及椭圆的有9道,涉及双曲线的有2道,涉及抛物线 的有3道,涉及直线与圆的有3道,涉及线性规划的有1道.其中,求

最值的有4道,求参数的取值范围的有4道,求轨迹方程的有5道,
和向量综合的有7道,探索性的问题有5道. 2006年高考各地的18套试卷里,每套都有1道解答试题,涉及 椭圆的有9道,抛物线的有4道,双曲线的有5道.其中求动点的轨迹, 求参数的取值范围是热门话题.重庆的解析几何、数列、不等式证 明相结合的试题比较独特.

解析几何解答题的解法
试题特点

2007年高考各地的19套试卷中,每套都有1道解答题,椭圆的有
10道,双曲线的有2道,抛物线的5道,直线与圆的有2道,涉及到圆 锥曲线中的最值问题、轨迹问题、中点弦问题、存在性问题的探讨, 以及定点定值问题的探讨等. 解析几何解答试题热点的题型是求参数范围或求最值的综合性 问题,探求动点的轨迹问题,有关定值、定点等的证明问题,与向 量综合的探索性问题等.

解析几何解答题的解法
试题特点

2.主要特点
解析几何虽然内容庞杂,但基本问题却只有几个.如①求直线与 圆锥曲线的方程;②求动点的轨迹或轨迹方程;③求特定对象的值;

④求变量的取值范围或最值;⑤不等关系的判定与证明;⑥圆锥曲
线有关性质的探求与证明等.对各类问题,学生应从理论上掌握几种 基本方法,使之在实际应用中有法可依,克服解题的盲目性.如“求

变量的取值范围”,可指导学生掌握三种方法:几
何法(数形结合),函数法和不等式法.

解析几何解答题的解法
试题特点
从宏观上把握解决直线与圆锥曲线问题的解题要点,能帮助 学生易于找到解题切入点,优化解题过程,常用的解题策略有:① 建立适当的平面直角坐标系;②设而不求,变式消元;③利用韦达 定理沟通坐标与参数的关系;④发掘平面几何性质,简化代数运算; ⑤用函数与方程思想沟通等与不等的关系;⑥注意对特殊情形的检 验和补充;⑦充分利用向量的工具作用;⑧注意运算的可行性分析, 等等 运算是解析几何的瓶颈,它严重制约考生得分的高低,甚至

形成心理障碍.教学中要指导学生注重算理、算法,细化运算过程,
转化相关条件,回避非必求量,注意整体代换等运算技能,从能力 的角度提高对运算的认识,反思运算失误的经验教训,不断提高运

算水平.

应试策略

解析几何解答题的解法
应试策略
1.突出解析几何的基本思想 解析几何的实质是用代数方法研究几何问题,通过曲线的方程 研究曲线的性质,因此要掌握求曲线方程的思路和方法,它是解析几 何的核心之一.求曲线的方程的常用方法有两类:

一类是曲线形状明确,方程形式已知(如直线、圆、圆锥曲线的
标准方程等),常用待定系数法求方程. 另一类是曲线形状不明确或不便于用标准形式表示,一般采用

以下方法:

解析几何解答题的解法
应试策略
(1)直译法:将原题中由文字语言明确给出动点所满足的等量关
系直接翻译成由动点坐标表示的等量关系式. (2)代入法:所求动点与已知动点有着相互关系,可用所求动点坐 标(x,y)表示出已知动点的坐标,然后代入已知的曲线方程. (3)参数法:通过一个(或多个)中间变量的引入,使所求点的坐 标之间的关系更容易确立,消去参数得坐标的直接关系便是普通方程. (4)交轨法:动点是两条动曲线的交点构成的,由x,y满足的两个

动曲线方程中消去参数,可得所求方程.故交轨法也属参数法.

解析几何解答题的解法
应试策略
2.熟练掌握直线、圆及圆锥曲线的基本知识

(1)直线和圆
①直线的倾斜角及其斜率确定了直线的方向.需要注意的是:(ⅰ)倾斜 角α的范围是:0≤α<π;(ⅱ)所有的直线必有倾斜角,但未必有斜率.

②直线方程的四种特殊形式,每一种形式都有各自成立的条件,应在
不同的题设条件下灵活使用.如截距式不能表示平行于x轴,y轴以及过原点的 直线,在求直线方程时尤其是要注意斜率不存在的情况.

③讨论点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系时,一般可从代数特征
(方程组解的个数)或几何特征(点或直线到圆心的距离与两圆的圆心距与半 径的关系)去考虑,其中几何特征较为简捷、实用.

解析几何解答题的解法
应试策略
(2)椭圆 ①完整地理解椭圆的定义并重视定义在解题中的应用.椭圆 是平面内到两定点F1,F2的距离之和等于常数2a(2a>|F1F2|)的

动点的轨迹.还有另一种定义(圆锥曲线的统一定义):平面内
到定点的距离和到定直线的距离之比为常数e(0<e<1)的动点轨 迹为椭圆,(顺便指出:e>1,e=1时的轨迹分别为双曲线和抛

物线).

解析几何解答题的解法
应试策略
②椭圆的标准方程有两种形式,决定于焦点所在的坐标轴.焦点 是F(±c,0)时,标准方程为
y x ? 2 a2 b △OFB(B为短轴端点)中.

x2
2

?

y2
2

=1(a>b>0);焦点是F(0,±c)

时,标准方程为

2

2

a b =1(a>b>0).这里隐含a2=b2+c2,此关系体现在

a 2 的本质含义及相互关系,实际上就掌握 ③深刻理解a,b,c,e, c 了几何性质.

解析几何解答题的解法
应试策略
(3)双曲线 ①类比椭圆,双曲线也有两种定义,两种标准方程形式.同样要重

a 2 的本质含 视定义在解题中的运用,要深刻理解几何量a,b,c,e, c 义及其相互间的关系.
②双曲线的渐近线是区别于椭圆的一道“风景线”,其实它是矩
形的两条对角线所在的直线(参照课本).

a2 b2 此关系体现在△OAB(A,B分别为实轴,虚轴的一个端点)中;特别地,
当a=b时的双曲线称为等轴(边)双曲线,其离心率为 2 .

③双曲线

x2

?

y2

=±1(a>0,b>0)隐含了一个附加公式c2=a2+b2.

解析几何解答题的解法
应试策略

(4)抛物线 ①抛物线的定义:平面内到一个定点F和一条定直线l的距离相等 的点的轨迹(F? l).定义指明了抛物线上的点到焦点与准线的距离相 等,并在解题中有突出的运用. ②抛物线方程(标准)有四种形式:y2=±2px和x2=±2py (p>0),选择时必须判定开口与对称轴. ③掌握几何性质,注意分清2p , p ,

p 的几何意义. 2

解析几何解答题的解法
应试策略
3.掌握直线与圆锥曲线的位置关系的研究方法 (1)判断直线l与圆锥曲线C的位置关系,可将直线l的方程代入曲 线C的方程,消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x的一元方程ax2+ bx+c=0,然后利用“Δ”法. (2)有关弦长问题,应用弦长公式及韦达定理,设而不求;有关焦 点弦长问题,要重视圆锥曲线的定义的运用,以简化运算. (3)有关弦的中点问题,除了利用韦达定理外,要注意灵活运用 “点差法”,设而不求,简化运算. (4)有关垂直关系问题,应注意运用斜率关系(或向量方法)及韦达 定理,设而不求,整体处理. (5)有关圆锥曲线关于直线l的对称问题中,若A,A′是对称点,则 应抓住AA′的中点在l上及kAA′·kl=-1这两个关键条件解决问题. (6)有关直线与圆锥曲线的位置关系中的存在性问题,一般采用 “假设反证法”或“假设验证法”来解决.

考题剖析

解析几何解答题的解法
考题剖析
1.(2007·北京清华大学附中模拟题)无论m为任何实数,直线l:y=x+m与

x2 y2 双曲线C: ? 2 =1(b>0)恒有公共点. 2 b (Ⅰ)求双曲线C的离心率e的取值范围;
(Ⅱ)若直线l过双曲线C的右焦点F,与双曲线交于P,Q两点,并且 满足 FP ?

(b2-2)x2-4mx-2(m2+b2)=0 当b2=2,m=0时,直线与双曲线无交点,矛盾
∴b2≠2,∴e≠
2∵直线与双曲线恒有交点,

① ?y ? x ? m ? 2 2 ? x - y ? 1 ② ,得b2x2-2(x+m)2-2b2=0 [解析](Ⅰ)联立 ? 2 b2 ?

1 FQ ,求双曲线C的方程. 5

∴Δ=16m2+8(b2-2)(m2+b2)≥0恒成立∴b2≥2-m2 , m∈R ∴ e ? 2 ?e ? 2

解析几何解答题的解法
考题剖析
(Ⅱ)F(c,0),则直线l的方程y=x-c. 设P(x1,y1),Q(x2,y2)

?y ? x ? c ? 2 联立得(b2-2)y2+2cb2y+b2c2-2b2=0 2 ?x ? y ?1 ? 2 b2 ?
? ? 2cb 2 ? y1 ? y 2 ? 2 b ?2 ∴? ? b 2 c 2 ? 2b 2 ?y ? y ? ? 1 2 b2 ? 2 ?

∵ FP ? 1 FQ

5

1 y 整理得: c 2b 4 b 2 c 2 ? 2b 2 ∴y1= ? 2 2 5 5 9(b ? 2)

解析几何解答题的解法
考题剖析
∵b2>0且c2-2=b2

1 ∴ ? 2 9(b ? 2) 5

b2 ? 2

∴b2=7

x2 y2 所求的双曲线方程为 ? ?1 2 7
[点评] 由于直线与双曲线恒有公共点,可以列出关于字母 b的一个不等式(判别式),从而可以求出双曲线离心率的取值 范围,解决第二问的关键是用好

1 这个条件. FP ? FQ 5

解析几何解答题的解法
考题剖析
2.(2007·湖北省十一校)在直角坐标平面中,△ABC的两个顶点为

A(0,-1),B(0, 1)平面内两点G、M同时满足
① GA ? GB ? GC = 0, ② | MA |?| MB |?| MC | ,③

GM // AB
, 0) , 2

(1)求顶点C的轨迹E的方程;
(2)设P、Q、R、N都在曲线E上 ,定点F的坐标为( 已知

PF // FQ, RF // FN且PF =RF ? 0.求四边形PRQN面积S的最

大值和最小值.

解析几何解答题的解法
考题剖析
[解析](1)设C ( x , y ), ∵ GA ? GB ? 2GO,

x y 由①知 GC ? ?2GO , ∴G为△ABC的重心,∴G( , ) 3 3
由②知M是△ABC的外心,∴M在x轴上

x 由③知M( ,0), 3
由 | MC |?| MA | 即:

x 2 x ( )得 1 ? ( x ? )2 ? y 2 ? 3 3

x 2 +y2=1(x≠0) 化简整理得: 3

解析几何解答题的解法
考题剖析
x2 (2)F( 2 ,0)恰为 +y2=1的右焦点 3 设PQ的斜率为k且k≠0,则直线PQ的方程为y = k ( x -

2)

? ? 由 ? y 2? k ( x 2 2 )

?x ? 3 y ? 3 ? 0

? (3k 2 ? 1) x 2 ? 6 2k 2 x ? 6k 2 ? 3 ? 0

设P(x1,y1),Q(x2 ,y2 )

6 2k 2 6k 2 ? 3 则x1+x2= , x1 ? x2 ? 2 2 3k ? 1 3k ? 1
则|PQ|= 1 ? k 2 ? ( x ? x ) 2 ? 4 x x 1 2 1 2

? 1? k ? (
2

) ? 4? 2 ? 3k ? 1 3k ? 1
2 2

6 2k 2

6k 2 ? 3

2 3 (k 2 ? 1) 3k 2 ? 1

解析几何解答题的解法
∵RN⊥PQ,把k换成 ?

1 2 3 (k ? 1) 得 | RN |? k 3? k2
2

考题剖析

1 6(k 2 ? 1) 2 8 ? 2? ∴S = | PQ | · | RN | ? 1 2 2 (3k 2 ? 1)( k 2 ? 3) 3(k ? 2 ) ? 10 k 1 8 2 1 8 2 ∴ 3(k ? 2 ) ? 10 ? ? k ? 2 ? 2,? ? 16 2?S k 2?S k 3 ∴ ≤S< 2,(当k=±1时取等号). 又当k不存在或k=0时S=2

综上可得

2

[点评]求轨迹方程的实质就是求动点P(x,y)的坐标x,y间的一个直 接关系,所以求轨迹方程问题的关键就是设点,列出动点P所满足的条 件,对于含有向量的,首先要将向量坐标化,最值问题的处理要有函 数的思想,即怎么表示出要求最值的变量,也就是要将函数关系式 列 出 来 , 再 利 用 函 数 方 面 的 知 识 进 行 求 最 值 .

3 ≤S≤2,∴S =2,S = 3 max min 2 2

解析几何解答题的解法
考题剖析
x2 y2 3. (2007·韶关摸底考试)已知椭圆方程为 ? ?1, 2 8 射线y=2x(x≤0)与椭圆的交点为M,过M作倾斜角互补的两条直线,
分别与椭圆交于A、B两点(异于M). (Ⅰ)求证: 直线AB的斜率kAB=2;

(Ⅱ)求△AMB面积的最大值.
[解析](Ⅰ)∵斜率 k存在,不妨设k >0,求出M(-1,-2). 直线MA方程为y+2=k(x+1),直线 MB方程 y+2=-k(x+1)

分别与椭圆方程联立,可解出
x A? ? k 2 ? 4k ? 4 k ?4
2

, xB ? ?

k 2 ? 4k ? 4 k2 ? 4

y A ? y B k ( x A ? x B ? 2) ? ?2 ∴ x A ? xB x A ? xB

∴kAB=2

解析几何解答题的解法
考题剖析
(Ⅱ)设直线AB方程为y=2x+m,与x2+
y 2 =2联立, 4

消去y得8x2+4mx+(m2-8)=0.

|m| 由Δ>0得-4<m<4,且m≠0,点M到 AB的距离为d= 5
m 2 m2 ? 8 5 | AB |? 5 ( ) ? ? 16 ? m 2 2 2 2

设△MAB的面积为S.

∴ S 2 ? 1 | AB |2 d 2 ? 1 m2 (16 ? m2 ) ? 1 ? (16 ) 2 ? 4. 4 16 16 2 当m=±2 2时,得Smax=2. [点评] 本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线 方程、直线与方程的位置关系等解析几何的基础知识和基本思

想方法,考察推理及运算能力.

解析几何解答题的解法
考题剖析
4.(2007·江苏省南通市四星级高中)飞船返回仓顺利到达地球后,

为了及时将航天员救出,地面指挥中心在返回仓预计到达区域安排
三个救援中心(记为A,B,C),B在A的正东方向,相距6 km,C在B 的北偏东30°,相距4 km,P为航天员着陆点,某一时刻A接到P的求

救信号,由于B、C两地比A距P远,因此4 s后,B、C两个救援中心
才同时接收到这一信号,已知该信号的传播速度为1 km/s. (1)求A、C两个救援中心的距离;

(2)求在A处发现P的方向角;
(3)若信号从P点的正上方Q点处发出, 则A、B收到信号的时间差变大还是变小,并证明你的结论.

解析几何解答题的解法
考题剖析
[解析](1)以AB中点为坐标原点,AB所在直线为x轴建 立平面直角坐标系,则A(-3,0),B(3,0),C(5,2 3),
| AC |? (5 ? 3) 2 ? (2 3 ) 2 ? 2 19 km

即A、C两个救援中心的距离为2 19 km (2)∵|PC|=|PB|, ∴P在BC线段的垂直平分线上 又∵|PB|-|PA|=4, ∴P在以A、B为焦点的双曲线的左支上,且|AB|=6
x2 y2 ∴双曲线方程为 ? =1(x<0), BC的垂直平分线的方程为x+ 3 y-7=0 4 5 联立两方程解得:x=-8∴P(-8,5 3 ),kPA=tan∠PAB=- 3

∴∠PAB=120°, 所以P点在A点的北偏西30°处

解析几何解答题的解法
考题剖析
(3)如图,设|PQ|=h,|PB|=x,|PA|=y ∵|QB|-|QA|= x 2 ? h 2 ? y 2 ? h 2

?
又∵

x2 ? y2 x2 ? h2 ? y 2 ? h2
x? y

? ( x ? y) ?

x? y x2 ? h2 ? y 2 ? h2

x2 ? h2 ? y 2 ? h2

? 1 ∴|QB|-|QA|<|PB|-|PA|

| QB | | QA | | PB | | PA | ∴ 即A、B收到信号的时间差变小. ? ? ? 1 1 1 1
[点评]本题是一个以实际意义为背景的解析几何的问题,涉及到求 轨迹、不等式问题的处理,特别是在求轨迹时,要灵活地建立坐标系.

解析几何解答题的解法
考题剖析
5.(2007·上海市宝山区)已知抛物线C:y2=2px(p>0)上任意一点到 焦点F的距离比到y轴的距离大1. (1)求抛物线C的方程; (2)若过焦点F的直线交抛物线于M、N两点,M在第一象限, 且|MF|=2|NF|,求直线MN的方程;

(3)求出一个数学问题的正确结论后,将其作为条件之一,提
出与原来问题有关的新问题,我们把它称为原来问题的一个“逆 向”问题.

例如,原来问题是“若正四棱锥底面边长为4,侧棱长为3,求
该正四棱锥的体积”.求出体积 后,它的一个“逆向”问题可以是
16 ,求侧棱长”; 3

“若正四棱锥底面边长为4,体积为 值”.
3

16 3

也可以是“若正四棱锥的体积为 16 ,求所有侧面面积之和的最小

解析几何解答题的解法
考题剖析
p 现有正确命题:过点A(- , 0 )的直线交抛物线C:y2=2px(p>0) 2 于P、Q 两点,设点P关于x轴的对称点为R,则直线RQ必过焦点F.

试给出上述命题的“逆向”问题,并解答你所给出的“逆向”问 题. [解析](1)y2=4x t 2 ,-t)(t>0),则M(t2,2t),F(1,0). (2)设N ( 4 因为M、F、N共线,则有kFM=kNF,
2 所以 1 2 ,解得t= 2 , 所以k= 2 2 ? 2 2, t ?1 t ?1 2 ?1 4 因而,直线MN的方程是y=2 2 (x-1).

?t

?

2t

解析几何解答题的解法
考题剖析
(3)“逆向问题”一: ①已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F的直线交抛物线
p C于P、Q两点,设点P关于x轴的对称点为R,则直线RQ必过定点A(- ,0). 2 p 证明:设过F的直线为y=k(x- ),P(x1,y1),Q(x2,y2),则R(x1,-y1) 2 ? y 2 ? 2 px 1 ? p2 2x2-(pk2+2p)x+ p2k2=0,所以x x = 由? 得k p , 1 2 4 4 ? y ? k(x ? 2 ) ?
p p p p ) k ( x2 ? ) k ( x1 x2 ? x1 ) k ( x1 ? ) ? y1 2 , 2 ? 2 2 ?k , ? ?? k QA ? ?? RA p p p p p x1 ? x1 ? x2 ? x1 x2 ? x1 x1 ? 2 2 2 2 2 k ( x1 ?

k RA

所以直线RQ必过焦点A.

解析几何解答题的解法
考题剖析
p ,0)的直线交抛物线C于P、Q两点,FP与抛物线交 2 于另一点R,则RQ垂直于x轴.

②过点A(-

③已知抛物线C:y2=2px(p>0),过点B(m,0 )(m>0)的直线交抛 物线C于P、Q两点,设点P关于x轴的对称点为R,则直线RQ必过定点 A(-m,0).

x2 y2 “逆向问题”二:已知椭圆C: ? =1的焦点为F1(-c,0), 2 2 a b F2(c,0),过F2的直线交椭圆C于P、Q两点,设点P关于x轴的对称点为

a 2 , 0 ). R,则直线RQ必过定点A( c

解析几何解答题的解法
考题剖析
x 2 y 2 =1的焦点为 “逆向问题”三:已知双曲线C: ? a2 b2 F1(-c,0),F2(c,0),过F2的直线交双曲线C于P、Q两点,设点P

a 2 , 0). 关于x轴的对称点为R,则直线RQ必过定点A( c
[点评]现在学习越来越主张自主学习,创新学习,本题是一

个开放性十足的题,首先题目给出了“逆向”问题这个概念
要求在自学的基础上进行解答.要求在平时就注意这方面的问题.


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