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原函数与不定积分的概念


一、原函数与不定积分的概念
定义: 如果在区间 I 内,可导函数 F ( x ) 的
导函数为 f ( x ) , ?x ∈ I ,都有 F ′( x ) = f ( x ) 即

或dF ( x ) = f ( x )dx ,那么函数 F ( x ) 就称为 f ( x )
或 f ( x )dx 在区间 I 内原函数.

/>


(sin x ) = cos x




sin x 是cos x 的原函数.

1 (ln x ) = ( x > 0) x 1 ln x 是 在区间( 0,+∞ )内的原函数. x
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原函数存在定理:
如果函数 f ( x ) 在区间 I 内连续,那么在区
间 I 内存在可导函数 F ( x ) ,使?x ∈ I ,都有 F ′( x ) = f ( x ) .

简而言之:连续函数一定有原函数. 问题:(1) 原函数是否唯一? (2) 若不唯一它们之间有什么联系?



(sin x )′ = cos x

(sin x + C ) = cos x
(C 为任意常数)
3



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关于原函数的说明:
(1)若 F ′( x ) = f ( x ) ,则对于任意常数 C ,

F ( x ) + C 都是 f ( x ) 的原函数.
(2)若 F ( x ) 和 G ( x ) 都是 f ( x ) 的原函数, 则 F ( x ) ? G( x ) = C (C 为任意常数).

证 ∵

[F ( x ) ? G ( x )]



= F ′( x ) ? G ′( x ) = f ( x) ? f ( x) = 0

∴ F ( x ) ? G ( x ) = C (C 为任意常数)
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不定积分的定义:
在区间 I 内,函数 f ( x ) 的带有任意常数项
的原函数称为 f ( x ) 在区间 I 内的不定积分,

记为 ∫ f ( x )dx .

∫ f ( x )dx = F ( x ) + C
积 分 号
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被 积 函 数

被 积 表 达 式

积 分 变 量

任 意 常 数
5

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例1 求 ∫ x 5dx .

?x ? x6 ∵ ? ? = x 5 , ∴ ∫ x 5dx = 解 + C. 6 ? 6?
6



1 例2 求 ∫ dx . 2 1+ x ′ 解 ∵ (arctan x ) =

1 , 2 1+ x

1 ∴ ∫ dx = arctan x + C . 2 1+ x
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例3 设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切 线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线方程. 解
设曲线方程为 y = f ( x ),

dy 根据题意知 = 2x , dx 即 f ( x ) 是 2 x 的一个原函数.
∵ ∫ 2 xdx = x + C ,
2

∴ f ( x) = x2 + C ,

由曲线通过点(1,2) ? C = 1,

y = x 2 + 1. 所求曲线方程为
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函数 f ( x ) 的原函数的图形称为 f ( x ) 的积分曲线.

显然,求不定积分得到一积分曲线族. 由不定积分的定义,可知

d ∫ f ( x)dx = f ( x), d[∫ f ( x)dx] = f ( x)dx, dx ∫ F ′( x )dx = F ( x ) + C , ∫ dF ( x ) = F ( x ) + C .
微分运算与求不定积分的运算是“互逆”的. 结论:
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[

]

二、 基本积分表
? +1 ?x ? x ? ? ? = x ? ∫ x dx = 实例 ? + C. ?+1 ? ? + 1? ( ? ≠ ?1)

? +1



启示 能否根据求导公式得出积分公式? 结论
既然积分运算和微分运算是互逆的,因 此可以根据求导公式得出积分公式.
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基 (1) ∫ kdx = kx + C ( k是常数); x ? +1 ? 本 ( 2) ∫ x dx = ? + 1 + C (? ≠ ?1); 积 分 (3) ∫ dx = ln | x | +C ; x 表 dx = ln x + C , 说明: x > 0, ? ∫ (I) x

1 1 ( ? x )′ = , x < 0, [ln( ? x )]′ = ?x x dx dx ? ∫ = ln( ? x ) + C , ∴ ∫ = ln | x | + C , x x
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1 dx = arctan x + C ; ( 4) ∫ 2 1+ x 1 dx = arcsin x + C ; ( 5) ∫ 2 1? x (6) ∫ cos xdx = sin x + C ; (7)

∫ sin xdx = ? cos x + C ;

dx ( 8) ∫ = ∫ sec 2 xdx = tan x + C ; cos 2 x dx (9) ∫ 2 = ∫ csc 2 xdx = ? cot x + C ; sin x
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(10)
(11) (12)

∫ sec x tan xdx = sec x + C ;
∫ csc x cot xdx = ? csc x + C ;
e x dx = e x + C ; ∫
x

a (13) ∫ a dx = + C; ln a
x

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例4 求积分 ∫ x 解

2

xdx .
5 2

∫x

2

x ? +1 ? +C 根据积分公式(2)∫ x dx = ? +1
5 +1 2

xdx = ∫ x dx

x 2 7 = + C = x2 + C. 5 7 +1 2

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三、 不定积分的性质
(1)


[∫ f ( x )dx ± ∫ g( x )dx ] ′ ′ = [∫ f ( x )dx ] ± [∫ g ( x )dx ] = f ( x ) ± g ( x ).

∴ 等式成立.

∫ [ f ( x ) ± g( x )]dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ g( x )dx;


(此性质可推广到有限多个函数之和的情况)
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( 2)

∫ kf ( x )dx = k ∫ f ( x )dx .

( k 是常数, k ≠ 0 )

3 2 ? )dx . 例5 求积分 ∫ ( 2 1+ x 1 ? x2 3 2 ? )dx 解 ∫( 2 2 1+ x 1? x 1 1 = 3∫ dx ? 2 ∫ dx 2 2 1+ x 1? x = 3 arctan x ? 2 arcsin x + C
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1 + x + x2 dx . 例6 求积分 ∫ 2 x (1 + x )


1+ x + x x + (1 + x ) ∫ x(1 + x 2 ) dx = ∫ x(1 + x 2 ) dx
2 2

1? 1 1 ? 1 = ∫? + ?dx = ∫ dx + ∫ dx 2 2 x? 1+ x x ?1+ x

= arctan x + ln | x | +C.

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例7 求积分 解



1 + 2x dx . 2 2 x (1 + x )
2

1 + 2x2 1 + x2 + x2 ∫ x 2 (1 + x 2 )dx = ∫ x 2 (1 + x 2 ) dx

1 1 = ∫ 2 dx + ∫ dx 2 x 1+ x 1 = ? + arctan x + C . x
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1 dx . 例8 求积分 ∫ 1 + cos 2 x


1 1 ∫ 1 + cos 2 x dx = ∫ 1 + (2 cos 2 x ? 1) dx 1 1 1 = ∫ dx = tan x + C . 2 2 cos x 2

说明: 以上几例中的被积函数都需要进行 恒等变形,才能使用基本积分表.

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例 9

已知一曲线 y = f ( x ) 在点 ( x , f ( x )) 处的

切线斜率为sec 2 x + sin x ,且此曲线与 y 轴的交 点为( 0,5),求此曲线的方程.



dy ∵ = sec 2 x + sin x , dx (sec2 x + sin x )dx ∴ y=∫
= tan x ? cos x + C ,
∵ y ( 0 ) = 5,
∴ C = 6,
所求曲线方程为 y = tan x ? cos x + 6.

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四、 小结
F 原函数的概念: ′( x ) = f ( x )

不定积分的概念: f ( x )dx = F ( x ) + C ∫ 基本积分表(I) 求微分与求积分的“互逆”关系 不定积分的性质

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