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1997年全国高中数学联赛试题


1997 年全国高中数学联合竞赛试卷
(10 月 5 日上午 8:00?10:00)
一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1.已知数列{ xn }满足 xn?1 ? xn ? xn?1 (n≥2),x1 ? a, x2 ? b, 记 Sn ? x1+x2+?+xn,则 下列结论正确的是 (A)x100=-a,S100=2b-a (C)x100=-b,S100=b-a (B)x100=-b,S100?2b-a (D)x100=-a,S100=b-?a

2.如图,正四面体 ABCD 中,E 在棱 AB 上,F 在棱 CD 上,使得

AE ? CF ? ? (0 ? ? ? ??) , EB FD 记 f (?) ? ?? ? ?? 其中 ?? 表示 EF 与 AC 所成的角,??
表示 EF 与 BD 所成的角,则 (A) f (? ) 在 (0,??) 单调增加 (B) f (? ) 在 (0,??) 单调减少 (C) f (? ) 在(0,1)单调增加,而在(1,+ ?) 单调减少 (D) f (? ) 在(0,+ ? )为常数

A E B F C D

3. 设等差数列的首项及公差均为非负整数,项数不少于 3,且各项的和为 972,则这样的 数列共有 (A)2 个 (B)3 个 (C)4 个 (D)5 个 4.在平面直角坐标系中,若方程 m( x ? y ? 2 y ? 1) ? ( x ? 2 y ? 3) 表示的曲线为椭圆, 则 m 的取值范围为 (A)(0,1) (B)(1,+ ?) (C)(0,5) (D)(5,+ ?)
2 2 2 2 ? 1),? ? arcctg (? 5 ) ,则 5.设 f ( x) ? x ? ?x ,? ? arcsin 1 , ? ? arctg5 , ? ? arccos(

(A) f (? ) ? f (? ) ? f (? ) ? f (? ) (C) f (? ) ? f (? ) ? f (? ) ? f (? )

3

(B) f (? ) ? f (? ) ? f (? ) ? f (? ) (D) f (? ) ? f (? ) ? f (? ) ? f (? )

4

3

4

6.如果空间三条直线 a,b,c 两两成异面直线,那么与 a,b,c 都相交的直线有 (A) 0 条 (B) 1 条 (C)多于 1 的有限条 (D) 无穷多条

二、 填空题(每小题 9 分,共 54 分) 1. 设 x,y 为实数,且满足 ? 2. 过双曲线 x ?
2

( x ? 1) ? ?1 ?( x ? 1)3 ? 1997 ,则 x+y ? 3 ( y ? 1) ? 1 ? ( y ? 1) ? 1997

.

的直线 l 恰有 3 条,则 ? =

y2 ? 1 的右焦点作直线 l 交双曲线于 A、B 两点,若实数 ? 使得|AB| ? ? 2
.
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3. 已知复数 z 满足 | 2 z ? 1 | ? 1 ,则 z 的幅角主值范围是

z



4. 已知三棱锥 S?ABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰三角形,SA=SB=SC=2,AB=2, 设 S、A、B、C 四点均在以 O 为球心的某个球面上,则点 O 到平面 ABC 的距离 为 . 5. 设 ABCDEF 为正六边形,一只青蛙开始在顶点 A 处,它每次可随意地跳到相邻两顶点 之一.若在 5 次之内跳到 D 点,则停止跳动;若 5 次之内不能到达 D 点,则跳完 5 次 也停止跳动,那么这只青蛙从开始到停止,可能出现的不同跳法共 种. 6. 设 a ?lgz+lg[x(yz)?1+1],b ?lgx?1+lg(xyz+1),c ?lgy+lg[(xyz)?1+1],记 a,b,c 中 最大数为 M,则 M 的最小值为 . 三、 (本题满分 20 分) 设 x≥y≥z≥

? ,且 x+y+z ? ? ,求乘积 cos x sin y cos z 的最大值和最小值. 12 2

四、(本题满分 20 分) 设双曲线 xy=1 的两支为 C1,C2(如图),正三角形 PQR 的三顶点位于此双曲线上. (1)求证:P、Q、R 不能都在双曲线的同一支上; (2)设 P(?1,?1)在 C2 上, Q、R 在 C1 上,求顶点 Q、R 的坐标.

y

C1 O P(?1,?1)

x

C2

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五、(本题满分 20 分) 设非零复数 a1,a2,a3,a4,a5 满足

? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? a1 a2 a3 a4 ? 1 1 1 1 1 ?a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? 4( ? ? ? ? ) ? S a a2 a3 a4 a5 ? 1
其中 S 为实数且|S|≤2. 求证:复数 a1,a2,a3,a4,a5 在复平面上所对应的点位于同一圆周上.

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