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福州高级中学2014级数学培优资料 第11讲 点线面之间的基本关系


第 11 讲 点线面之间的基本关系
1. 平面基本性质即三条公理的“文字语言”“符号语言”“图形语言”列表如下: 、 、 公理 1 公理 2 图形 语言 文字 语言 符号 语言 如果一条直线上的两点在 一个平面内, 那么这条直线 在此平面内. A ? l, B ? l ? ??l ?? A ?? , B ?? ? 过不在一条直线上的三点,有 且只有一个平面. 如果两个不

重合的平面有一个公 共点, 那么它们有且只有一条过该 点的公共直线. ?? ? ? ? l P ?? , P ? ? ? ? ?P ? l 公理 3

A, B, C不共线 ? A, B, C确定平面?

? ?相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; ?共面直线 ? 2. 空间两条直线的位置关系: ? ?平行直线:同一平面内,没有公共点; ? ?异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点.

3. 已知两条异面直线 a, b , 经过空间任一点 O 作直线 a? // a, b? // b , a?, b? 所成的锐角 把 (或直角) 叫异面直线 a, b 所成的角(或夹角). a?, b? 所成的角的大小与点 O 的选择无关,为了简便,点 O 通常取在异面直线的一条上; 异面直线所成的角的范围为 (0,90?] ,如果两条异面直线所成的角是直角,则叫两条异面直线垂直,记作 a ? b . 求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步:选点→平移→定角→计算. 4. 直线与平面的位置关系: (1)直线在平面内(有无数个公共点)(2)直线与平面相交(有且只有一个公共 ; 点)(3)直线与平面平行(没有公共点). 分别记作: l ? ? ; l ? ? ? P ; l // ? . ; 5. 两平面的位置关系:平行(没有公共点) ;相交(有一条公共直线).分别记作 ? // ? ; ? ? ? ? l . 【例 1】空间四边形 ABCD 中,E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 上的点,已知 EF 和 GH 交于 P 点,求 证:EF、GH、AC 三线共点. 解:∵P ? EF,EF ? 面 ABC,∴P ? 面 ABC. 同理 P ? 面 ADC.∵ P 在面 ABC 与面 ADC 的交线上, 又 ∵面 ABC∩面 ADC=AC, ∴P ? AC,即 EF、HG、AC 三线共点. 【例 2】 .正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E、F、G、H、K、L 分别是 DC、DD1、A1 D1、 A1 B1、BB1、BC 的中点. 求 证:这六点共面. 证明:连结 BD 和 KF ,因为 E、L 是 CD、CB 的中点,所以 EL // BD . 又 矩形 BDD1 B1 中 KF // BD ,所以 KF // EL , 所以 KF、EL 可确定平面 ? ,所以 E、F、K、L 共面 ? , 同理 EH // KL ,故 E、H、K、L 共面 ? . 又 平面 ? 与平面 ? 都经过不共线的三点 E、K、L , 故 平面 ? 与平面 ? 重合,所以 E、F、G、H、K、L 共面于平面 ? .
B A1 H B1 C1 F G D1

K A E L C D

同理可证 G ?? ,所以,E、F、G、H、K、L 六点共面. (证明共面问题常有如下两个方法:直接法:先确定一个平面,再证明其余元素均在这个平面上;间接法: 先证明这些元素分别在几个平面上,再证明这些平面重合. ) 【例 3】(1) ?ABC 在平面α 外, AB ? ? ? P , BC ? ? ? Q , AC ? ? ? R ,求证:P,Q,R 三点共线. (2)已知四边形 ABCD 中,AB∥CD,四条边 AB,BC,DC,AD(或其延长线)分别与平面 α 相交于 E,F, G,H 四点,求证:四点 E,F,G,H 共线. 证明: (1)根据公理 2 易知 ?ABC 确定平面β ,且与α 有交线 l,根据公理 3 易知,P,Q,R 三点都在直线 l 上, 即三点共线. (2)? AB∥CD, ? AB,CD 确定一个平面 β,易知 AB,BC,DC,AD 都在 β 内,由平面的性质可知四点 E, F,G,H 都在 β 上,因而,E,G,G,H 必都在平面 α 与 β 的交线上,所以四点 E,F,G,H 共线. 【例 4】在一封闭的正方体容器内装满水,M,N 分别是 AA1 与 C1D1 的中点,由于某种原因,在 D,M,N 三点 处各有一个小洞,为使此容器内存水最多,问应将此容器如何放置?此时水的上表面的形状怎样? 解:使过三点 M,N,D 的平面成为水平面时,容器内存水最多,至于水表面的形状,实质上就是过 M,N,D 三点所作正方体的截面的形状. 连结 DM 并延长 DM 交 D1A1 的延长线于 P, 则点 P 既在截面内又在底面 A1B1C1D1 内,连结 PN 交 A1B1 于 E,连 ME,ND,则过 M,N,D 的截面就是四边形 DMEN,易证 ME∥DN 且 ME ? DN, 因而它是一个梯形. 【例 5】已知异面直线 a 和 b 所成的角为 50°,P 为空间一定点,则过点 P 且与 a、b

所成角都是 30°的直线有且仅有( ). A. 1 条 B. 2 条 C. 3 条 D. 4 条 解:过 P 作 a ? ∥a, b ? ∥b,若 P∈a,则取 a 为 a ? ,若 P∈b,则取 b 为 b ? .这时 a ? , b ? 相交于 P 点,它们的 两组对顶角分别为 50°和 130°. 记 a ? , b ? 所确定的平面为β ,那么在平面β 内,不存在与 a ? , b ? 都成 30°的直线. 过点 P 与 a ? , ? 都成 30°角的直线必在平面β 外, 这直线在平面β 的射影是 a ? , ? 所成对顶角的平分线. 其 b b 中射影是 50°对顶角平分线的直线有两条 l 和 l ? ,射影是 130°对顶角平分线的直线不存在.故答案选 B. 【例 6】如图正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E、F 分别为 D1C1 和 B1C1 的中点,P、Q 分别为 AC 与 BD、A1C1 与 EF 的交点. (1)求证:D、B、F、E 四点共面; (2)若 A1C 与面 DBFE 交于点 R,求证:P、Q、R 三点共线. 证明: (1)∵ 正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, BB1 // DD1 ,∴ BD // B1 D1 . E 又 ∵ B1 D1C1 中,E、F 为中点,
D1 C1 Q A1 D A P B
王新敞
奎屯 新疆

F C

1 ∴ EF // B1 D1 . ∴ EF // BD , 即 D、B、F、E 四点共面. 2 (2)∵ Q ?平面AC1 , Q ?平面BE , P ?平面AC1 , P ?平面BE ,
∴ 平面AC1 ? 平面BE ? PQ . 又 AC1 ? 平面BE ? R , ∴

B1

R ?平面AC1 , R ?平面BE , ∴ R ? PQ . 即 P、Q、R 三点共线 【例 7】如图中,正方体 ABCD—A1B1C1D1,E、F 分别是 AD、AA1 的中点. (1)求直线 AB1 和 CC1 所成的角的大小; (2)求直线 AB1 和 EF 所成的角的大小. 解: (1)如图,连结 DC1 , ∵DC1∥AB1, ∴ DC1 和 CC1 所成的锐角∠CC1D 就是 AB1 和 CC1 所成的角. ∵ ∠CC1D=45°, ∴ AB1 和 CC1 所成的角是 45°. (2)如图,连结 DA1、A1C1, ∵ EF∥A1D,AB1∥DC1,∴ ∠A1DC1 是直线 AB1 和 EF 所成的角. 【例 8】已知空间四边形 ABCD 各边长与对角线都相等,求 AB 和 CD 所成的角的大小. 解:分别取 AC、AD、BC 的中点 P 、M 、N . 连接 PM、PN,由三角形的中位线性质 知 PN∥AB,PM∥CD,于是∠MPN 就是异面直线 AB 和 CD 成的角,如右图所示. 连结 MN、DN,设 AB=2,∴ PM=PN=1. 而 AN=DN= 3 ,则 MN⊥AD,AM=1,得 MN= 2 , ∴ MN2=MP2+NP2,∴∠MPN=90°,即异面直线 AB、CD 成 90°角. 【例 9】 设异面直线 a 与 b 所成角为 50°, 为空间一定点, O 试讨论, 过点 O 与 a、 所成的角都是θ (0? ? ? ? 90?) b
的直线 l 有且仅有几条? 解:过点 O 作 a1∥a,b1∥b,则相交直线 a1、b1 确定一平面α . a1 与 b1 夹角为 50°或 130°,设直线 OA 与 a1、b1 均为θ 角, 故当θ <25°时,直线 l 不存在;当θ =25°时,直线 l 有且仅有 1 条; 当 25°<θ <65°时,直线 l 有且仅有 2 条; 当θ =65°时,直线 l 有且仅有 3 条; 当 65°<θ <90°时,直线 l 有且仅有 4 条; 当θ =90°时,直线 l 有且仅有 1 条. 【例 10】在空间四边形 ABCD 中,E、H 分别是 AB、AD 的中点,F、G 分别是 CB、CD 的中点,若 AC + BD = a ,AC ? BD =b,求 EG 2 ? FH 2 .

1 1 解:四边形 EFGH 是平行四边形, EG 2 ? FH 2 =2 ( EF 2 ? FG 2 ) = ( AC 2 ? BD2 ) ? (a2 ? 2b) . 2 2 CF CG 2 【例 11】 已知空间四边形 ABCD 中, 、 分别是 AB、 的中点, 、 分别是 BC、 上的点, E H AD F G CD 且 ? ? . CB CD 3 求证: (1)E、F、G、H 四点共面; (2)三条直线 EF、GH、AC 交于一点. A 1 证明:1)在△ABD 和△CBD 中, ( ∵ E、 分别是 AB 和 CD 的中点,∴ EH // BD. H 2 E H D 2 CF CG 2 又 ∵ ? ? , ∴ FG // BD. ∴ EH∥FG. G 3 CB CD 3 B F C 所以,E、F、G、H 四点共面.

(2)由(1)可知,EH∥FG ,且 EH ? FG,即直线 EF,GH 是梯形的两腰, 所以它们的延长线必相交于一点 P. ∵ AC 是 EF 和 GH 分别所在平面 ABC 和平面 ADC 的交线,而点 P 是上述两平面的公共点, ∴ 由公理 3 知 P ? AC. 所以,三条直线 EF、GH、AC 交于一点. 【例 12】如下图,设△ABC 和△A1B1C1 的三对对应顶点的连线 AA1、BB1、CC1 S AO BO CO 2 相交于一点 O,且 = = = .试求 ?ABC 的值. S?A1B1C1 OA1 OB1 OC1 3 解:依题意,因为 AA1、BB1、CC1 相交于一点 O,且

AO BO CO = = , OA1 OB1 OC1

所以 AB∥A1B1,AC∥A 1 C1,BC∥B1 C 1. 由平移角定理得∠BAC=∠B 1A 1 C 1,∠ABC=∠A1 B1 C 1,△ABC∽△A1B1C1, S 2 4 所以 ?ABC =( )2= . S?A1B1C1 3 9 【例 13】空间四边形 ABCD 中,P、Q、R、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点. (1)求证:四边形 PQRH 是平行四边形; (2)若 AC=BD,则四边形 PQRH 是什么四边形? (3)若 AC⊥BD,则四边形 PQRH 是什么四边形? (4)空间四边形 ABCD 满足什么条件时,PQRH 是正方形? 解: (1)在△ABD 中,P、H 分别为 AB、AD 的中点,即 PH 为中位线. 1 ? ∴ PH // BD ? ? 2 ∴ 四边形 PQRH 为平行四边形 ? ? PH //QR . 1 QR // BD ? ? 同理 2 ? (2)在△ABC 中,P、Q 为 AB、BC 中点,PQ //

1 1 AC, 又 PH // BD,AC=BD. 2 2

∴ PH=PQ. ∴平行四边形 PQRH 为菱形. (3) ∵AC⊥BD, ∴异面直线 AC 与 BD 所成角为直角. ∵ PH∥BD,PQ∥AC, ∴∠HPQ 为 AC 与 BD 所成的角. ∴∠HPQ=90°, 即四边形 PQRH 为矩形 (4)由(2)(3)的证明可知,当 AC=BD 且 AC⊥BD 时,四边形 PQRH 为正方形. 、

一、选择题
1. 【2008 年宁夏文】 12.已知平面 ? ? 平面 ? , ? ? ? ? l ,点 A∈α ,A ? l,直线 AB∥l,直线 AC⊥ l,直线 m∥α ,m∥β ,则下列四种位置关系中,不一定成立的是( ) ... A. AB∥m B. AC⊥m C. AB∥β D. AC⊥β 2. 【2007广东文】6.若 l , m, n 是互不相同的空间直线, ? , ? 是不重合的平面,则下列命题 中为真命题的是 A.若 ? // ? , l ? ? , n ? ? ,则 l // n C. 若 l ? n, m ? n ,则 l // m B.若 ? ? ? ,l ? ? ,则 l ? ? D.若 l ? ? , l // ? , 则? ? ?

二、计算题
1. 【2008 年广东理】 20. (本小题满分 14 分) 如图 5 所示,四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是半径为 R 的圆 的内接四边

形,其中 BD 是圆的直径, ?ABD ? 60 , ?BDC ? 45 。 PD 垂直底面 ABCD , PD ? 2 2 R 。 E,F
? ?

分别是 PB,CD 上的点,且

PE DF ,过点 E 作 BC 的平行线交 PC 于 G . ? EB FC (1)求 BD 与平面 ABP 所成角 ? 的正弦值; (2)证明: △EFG 是直角三角形; PE 1 (3)当 ? 时,求 △EFG 的面积. EB 2

【解析】 (1)在 Rt ?BAD 中,? ?ABD ? 60? ,? AB ? R, AD ? 3R 而 PD 垂直底面 ABCD, PA ?

PD 2 ? AD 2 ? (2 2 R ) 2 ? ( 3R ) 2 ? 11R

PB ? PD 2 ? BD 2 ? (2 2 R ) 2 ? (2 R ) 2 ? 2 3R ,
在 ?PAB 中, PA ? AB ? PB ,即 ?PAB 为以 ?PAB 为直角的直角三角形。
2 2 2

设点 D 到面 PAB 的距离为 H ,由 VP ? ABD ? VD ? PAB 有 PA?AB? ? AB?AD? H PD ,即

H?

AD?PD 3R?2 2 R 2 66 ? ? R PA 11 11R

sin ? ?

H 66 ? ; BD 11

PE PG PE DF PG DF ,而 ,即 ? ? ? ,? GF / / PD ,?GF ? BC , EB GC EB FC GC DC ?GF ? EG ,??EFG 是直角三角形; PE 1 EG PE 1 GF CF 2 (3) ? 时, ? ? , ? ? , EB 2 BC PB 3 PD CD 3
(2) EG / / BC ,? 即 EG ?

1 1 2 2 2 4 2 BC ? ? 2 R ? cos 45? ? R, GF ? PD ? ? 2 2 R ? R, 3 3 3 3 3 3 1 1 2 4 2 4 EG ? ? ? GF R? R ? R2 。 2 2 3 3 9

??EFG 的面积 S?EFG ?

【试题解析】该题考查了主要考查了线面夹角,难度并不是太大,旨在考查考生的对解题技巧的把握和抽 象分析能力。 【高考考点】直线与平面的相互关系、相似三角形的性质。 【易错提醒】解题过程中涉及的量比较多,需小心谨慎、避免出错。 【学科网备考提示】线线关系、线面关系、面面关系是立体集合中的重要内容,对于每一类问题,我们都 要学会用几何法、代数法进行灵活分析解题。 2. 【2008 年广东文】 18. (本小题满分 14 分) 如图 5 所示,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是半径为 R 的圆的 内接四边形, 其 中 BD 是 圆 的 直 径 ,

?ABD ? 60? , ?BDC ? 45? , ?ADP ~ ?BAD 。
(1)求线段 PD 的长;

(2)若 PC ? 11R ,求三棱锥 P-ABC 的体积。 【解析】 (1)? BD 是圆的直径 ? ?BAD ? 90
?

又 ?ADP ~ ?BAD ,

3 ? 2 4R2 ? AD DP AD 2 ? BD sin 60 ? 4 ? 3R ; , DP ? ? ? ? ? ? 1 BA AD BA ? BD sin 30 ? 2R ? 2
(2) 在 Rt ?BCD 中, CD ? BD cos 45 ?
?

2R

?

2 2 2 2 2 2 P D ? C D ?9 R ?2 R ?1 1 R ? P C P D? C D 又 ?PDA ? 90? ?

? PD ? 底面 ABCD
S ?ABC ? 1 AB ?BC s i n 6? 0 ? ? 2
?

45 ??

1 R? 2

? 3 2 1 R ?2 ? ? ? ? 2 2 2 ?

?2 ?? ? 2 ?

? 3 21 R 4

三棱锥 P ? ABC 的体积为 VP ? ABC ? ?S?ABC ?PD ? ?

1 3

1 3

3 ?1 2 3 ?1 3 R ?R? 3 R . 4 4

3. 【2008 年江苏】16.如图,在四面体 ABCD 中, CB ? CD,AD ? BD ,点 E,F 分别是 AB,BD 的 中点.求证: (1)直线 EF // 平面 ACD ; (2)平面 EFC ? 平面 BCD . 【试题解析】 1 问根据线面平行关系的判定定理 , 第 在面 ACD 内找一条直 线和直线 EF 平行即可,第 2 问,需在其中一个平面内找一条直 线和另一个 面垂直,由线面垂直推出面面垂直。 【考点分析】本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置 关系,考查空 间想象能力、推理论证能力。 【标准答案】 证明: (1)在 ?ABD 中, ∵ E、F 分别是 AB,BD 的中点, ∴EF∥AD, ∵AD ? 面 ACD,EF ? 平面 ACD,∴直线 EF∥平面 ACD; (2)在 ?ABD 中, ∵AD⊥BD,EF∥AD, ∴EF⊥BD, 在 ?ACD 中, ∵ CD ? CB ,F 是 BD 的中点, ∴CF⊥BD. 又 EF ? 平面 EFC , CF ? 平面 EFC , EF ? CF ? F ∴BD⊥平面 EFC, ∵BD ? 面 BCD, ∴平面 EFC ? 平面 BCD . 4. 【2008 年宁夏理】 (18) (本小题满分 12 分) 如图,已知点 P 在正方体 ABCD- A?B?C?D? 的对角线 BD? 上, ?PDA ? 60? . (Ⅰ)求 DP 与 CC ? 所成角的大小; (Ⅱ)求 DP 与平面 AA?D?D 所成角的大小. 【试题解析】如图,以D为原点,DA为单位长建立空间直角坐





D?

。 x

y
???? ?

z

则 DA ? (1, 0, 0), CC ' ? (0, 0,1) .

??? ?

连结 BD, B ' D ' 。在平面 BB ' DD ' 中,延长DP交 B ' D ' 于H。 设 DH ? (m, m,1)(m ? 0) ,由已知 ? DH , DA ?? 60? , 由 DH ? DA ?| DH || DA | cos ? DH , DA ? 可得 2m ?

???? ?

???? ??? ? ?

???? ??? ? ?

???? ??? ? ?

???? ??? ? ?

2m 2 ? 1 。解得 m ?

2 。 2

所以 DH ? (

???? ?

2 2 , ,1) . 2 2

2 2 ?0? ? 0 ? 1? 1 ? ???? ????' ? 2, (Ⅰ)因为 2 cos ? DH , CC ?? 2 ? 2 1? 2
所以 ? DH , CC ' ?? 45? , 即DP与 CC ' 所成的角为 45? 。 (Ⅱ)平面 AA' D' D 的一个法向量是 DC ? (0,1, 0) .

? ???? ???? ?

????

2 2 ?0 ? ? 1 ? 1? 0 ???? ???? ? 1, 因为 2 cos ? DH , DC ?? 2 ? 2 1? 2
所以 ? DH , DC ?? 60? . 可得DP与平面 AA' D' D 所成的角为 30? . 【高考考点】本小题主要考查正方体的有关知识,异面直线所成的角和直线与平面所成的角,以及空间向量 的应用,以及空间想象能力. 【易错点】 :对空间向量相关知识掌握不到位或运算出错。 【学科网备考提示】 :空间向量是处理立体几何问题的有利工具,要认真掌握,但要加强运算; 5. 【2008 年山东理】 20. (本小题满分 12 分) 如图,已知四棱锥 P ? ABCD ,底面 ABCD 为菱形, PA ? 平面 ABCD , ?ABC ? 60 , E , F 分别 是 BC , PC 的中点。 (I)证明: AE ? PD ; (II)若 H 为 PD 上的动点, EH 与平面 PAD 所成最大角的正切 求二面角 E ? AF ? C 的余弦值。 【标准答案】 值为
?

???? ???? ?

6 , 2

(Ⅰ)证明:由四边形 ABCD 为菱形, ?ABC ? 60 ,可得 △ABC 为正三角形.
?

因为 E 为 BC 的中点,所以 AE ? BC . 又 BC ∥ AD ,因此 AE ? AD . 因为 PA ? 平面 ABCD , AE ? 平面 ABCD ,所以 PA ? AE . 而 PA ? 平面 PAD , AD ? 平面 PAD 且 PA ? AD ? A , 所以 AE ? 平面 PAD .又 PD ? 平面 PAD , 所以 AE ? PD . (Ⅱ)解:设 AB ? 2 , H 为 PD 上任意一点,连接 AH,EH . 由(Ⅰ)知 AE ? 平面 PAD , 则 ?EHA 为 EH 与平面 PAD 所成的角. 在 Rt△EAH 中, AE ? 3 , 所以 当 AH 最短时, ?EHA 最大, 即 当 AH ? PD 时, ?EHA 最大. 此时

tan ?EHA ?

AE 3 6 ? ? , AH AH 2

因此

AH ? 2 .又 AD ? 2 ,所以 ?ADH ? 45? ,

所以 PA ? 2 . 解法一:因为 PA ? 平面 ABCD , PA ? 平面 PAC , 所以 平面 PAC ? 平面 ABCD . 过 E 作 EO ? AC 于 O ,则 EO ? 平面 PAC , 过 O 作 OS ? AF 于 S ,连接 ES ,则 ?ESO 为二面角 E ? AF ? C 的平面角,

sin 在 Rt△AOE 中, EO ? AE ? 30 ?
?

3 3 , AO ? AE ? 30 ? , cos ? 2 2
?

sin 又 F 是 PC 的中点,在 Rt△ASO 中, SO ? AO? 45 ?
3 9 30 ? ? , 4 8 4

3 2 , 4



SE ? EO 2 ? SO 2 ?

SO 在 Rt△ESO 中, cos ?ESO ? ? SE

3 2 4 ? 15 , 5 30 4

即所求二面角的余弦值为

15 . 5
两两垂直, A 为坐标原点, 以 建立如图所示的空间直角坐标系, E,F 又

解法二: (Ⅰ) A , A 由 知 E A , D P 分别为 BC,PC 的中点,所以

A(0, 0) B( 3, 1,,C ( 31,,D(0, 0) , 0,, ? 0) ,0) 2,
? 3 1 ? P (0, 2),E ( 3, 0) F ? 0, 0,, ? ,, , 1? 2 2 ? ? ?
所以

??? ? ??? ? 3 1 ? ? AE ? ( 3, 0) AF ? ? 0,, 1? ? 2 ,, . 2 ? ? ?

设平面 AEF 的一法向量为 m ? ( x1,y1,z1 ) ,

??? ? ?m ?AE ? 0, ? 则 ? ??? ? ?m ?AF ? 0, ?

? 3 x1 ? 0, ? 因此 ? 3 1 x1 ? y1 ? z1 ? 0. ? ? 2 2

取 z1 ? ?1 ,则 m ? (0, ? 1) , 2, , B D? A C BD ? PA , PA ? AC ? A , 所以 BD ? 平面 AFC , ??? ? 故 BD 为平面 AFC 的一法向量. 因为 又

??? ? BD ? (? 3 ,0, , ) 3

??? ? ??? ? m?BD 2?3 15 所以 cos ? m, ?? . BD ? ??? ? ? 5 5 ? 12 m ?BD
因为 二面角 E ? AF ? C 为锐角, 所以所求二面角的余弦值为

15 . 5

【试题分析】确定点 H 的位置是关键,当 AH ? PD 时, ?EHA 最大。求二面角时可以利用二面角的概 念正确作出平面角进行论证求解,也可以利用向量方法将“形”转化为“数”。为了便于计算可设菱形边长为 2。 【高考考点】 垂直关系的证明与二面角的求解。 【易错提醒】 H 点的位置判断错误,误选 AB 为坐标轴,不能准确表述二面角是两个法向量所成的角或 其补角。 【学科网备考提示】底面是菱形提供了垂直关系的相关信息,这一点还是比较明显的,但也有一些几何体 的底面在发掘有用信息方面就很困难,尤其建立空间坐标系时找不到“落脚”的地方,底面上一些点的坐标 难以迅速求得。另外从探索解题思路的策略上来看,垂直往往是关键的“题眼”,需要我们将其放在优先考 虑的地位.1)面对多个条件,不妨优先选择使用垂直的条件;2)构造辅助线,不妨优先作出垂直的辅助 线(或面);3)对于位置关系的转化,不妨优先使用垂直关系来转化. 6. 【2008 年山东文】 19. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,平面 PAD ? 平面 ABCD , AB ∥ DC , △PAD 是 等 边 三 角 形 , 已 知 BD ? 2 AD ? 8 ,

AB ? 2 DC ? 4 5 .

(Ⅰ)设 M 是 PC 上的一点,证明:平面 MBD ? 平面 PAD ; (Ⅱ)求四棱锥 P ? ABCD 的体积. 【标准答案】 (Ⅰ)证明:在 △ABD 中,由于 AD ? 4 , BD ? 8 , AB ? 4 5 , 所以 AD2 ? BD2 ? AB2 .故 AD ? BD . 又平面 PAD ? 平面 ABCD ,平面 PAD ? 平面 ABCD ? AD ,

BD ? 平面 ABCD , 所以 BD ? 平面 PAD , 又 BD ? 平面 MBD , 故平面 MBD ? 平面 PAD . (Ⅱ)解:过 P 作 PO ? AD 交 AD 于 O , 由于 平面 PAD ? 平面 ABCD , 所以 PO ? 平面 ABCD .因此 PO 为四棱锥 P ? ABCD 的高,


△PAD 是边长为 4 的等边三角形.因此 PO ?

3 ?4 ? 2 3 . 2

在底面四边形 ABCD 中, AB ∥ DC , AB ? 2DC , 所以四边形 ABCD 是梯形,在 Rt△ADB 中,斜边 AB 边上的高为

4?8 8 5 ? , 5 4 5

此即为梯形 ABCD 的高,所以四边形 ABCD 的面积为 S ? 故 VP ? ABCD ?

2 5?4 5 8 5 ? ? 24 . 2 5

1 ? 24 ? 2 3 ? 16 3 . 3

7. 【2007 广东理】19. (本小题满分 14 分) 如图 6 所示,等腰△ABC 的底边 AB ? 6 6 ,高 CD ? 3 。点 E 是线段 BD 上异于点 B、D 的动点。 点 F 在 BC 边上,且 EF ? AB 。现沿 EF 将 ?BEF 折起到 的 位 置 , 使 PE ? AE。 记 BE ? x , V ( x) 表 示 四 棱 锥 的体积. P ? ACFE (1)求 V ( x) 的表达式; (2)当 x 为何值时, V ( x) 取得最大值? (3)当 V ( x) 取得最大值时,求异面直线 AC 与 PF 所成角的余弦值。 【解】本小题主要考查函数、函数极值、导数及其应用、几何体体积、空间异面直线所成的角等基础 知识,考查数形结合的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力、创新能力 (1)? EF ? AB,??EF ? PE. △

PEF

又? EF ? AE,??EF ? AE ? E. 且 PE 在平面 ACFE 外, ∴ PE ? 平面 ACFE。

? EF ? AB,?CD ? AB,

所以四边形 ACFE 的面积

1 1 1 1 S ACFE ? S?ABC ? A?DEF ? ? 6 6 ? 3 ? ? ? x2 ? 9 6 ? ? x2 。 2 2 6 2 6
∴ 四棱锥 P ? ACFE 的体积

1 1 3 VP ? ACFE ? S ACFE ? PE ? 3 6 x ? x 3 6 6
即 V ( x) ? 3 6 x ?

1 6 6

x3 ???(0 ? x ? 3 6). 1 2 6

(2)由(1)知 V ?( x) ? 3 6 ?

x 2 ?. ,

令 V ?( x) ? 0????x ? ??

∵ 当 0 ? x ? ? 时, V ?( x) ? 0?? ,当 6 ? x ? ? ? 时, V ?( x) ? 0?? ∴ 当 BE ? x ? ? 时, V ( x) 有最大值,最大值为 V (6) ? 12 6. (3) (解法一) :如答图 2,以点 E 为坐标原点,向量 EA,??EF , EP 分别为 x, y, z 轴的正向建立空间 直角坐标系。 则 E (0, 0, 0), P(0, 0, 6), F (0, 6, 0), A(6 6 ? 6, 0, 0), C (3 6 ? 6,3, 0) 于是 AC ? (?3 6,3,0) , PF ? (0, 6, ?6).

??? ??? ??? ? ? ?

????

??? ?

AC 与 PF 所成的夹角 ? 的余弦为 ???? ??? ? AC ? PF 3 6 1 cos ? ? ???? ??? ? ? 。 ? 54 ? 9 ? 0 ? 0 ? 6 ? 36 7 AC ? PF
∴异面直线 AC 与 PF 所成角的余弦值为

1 。 7

(解法二) :过点 F 作 FG // AC 交 AE 与点 G,连接 PG,则 ?PFG 为异面直线 AC 与 PF 所成的角。 ? ?ABC 是等腰三角形, ??GBF 也是等腰三角形。 于是, FG ? BF ? PF ? 从而, PG ?

BE 2 ? EF 2 ? 42,

PE 2 ? GE 2 ? BE 2 ? BE 2 ? 6 2.

在 ?GPF 中,根据余弦定理得 cos ?PFG ?

PF 2 ? FG 2 ? PG 2 1 ? . 2 PF ? FG 7

故异面直线 AC 与 PF 所成的角的余弦为 . 8. 【2007 年海南、宁夏理】 18. (本小题满分 12 分) 如图,在三棱锥 S ? ABC 中,侧面 SAB 与侧面 SAC 均为等边三角形, ?BAC ? 90° , O 为 BC 中 点. S (Ⅰ)证明: SO ? 平面 ABC ; (Ⅱ)求二面角 A ? SC ? B 的余弦值. 【证明】 (Ⅰ) 由题设 AB= AC= SB= SC ? SA , 连结 OA ,△ABC

1 7

O
三角形,所以 OA ? OB ? OC ?

C

为等腰直角

2 SA ,且 2

B
2 SA , 2

A

AO ? BC ,又 △SBC 为等腰三角形,故 SO ? BC ,且 SO ?
从而 OA ? SO ? SA .
2 2 2

所以 △SOA 为直角三角形, SO ? AO .

又 AO ? BO ? O . 所以 SO ? 平面 ABC . (Ⅱ)解法一: 取 SC 中点 M ,连结 AM,OM ,由(Ⅰ)知 SO ? OC,SA ? AC , 得 OM ? SC,AM ? SC .

∴?OMA 为二面角 A ? SC ? B 的平面角. , 由 AO ? BC,AO ? SO SO ? BC ? O 得 AO ? 平面 SBC .
所以 AO ? OM ,又 AM ?

3 SA , 2

故 sin ?AMO ?

AO ? AM

2 6 ? . 3 3

所以二面角 A ? SC ? B 的余弦值为 解法二:

3 . 3

以 O 为坐标原点, 射线 OB,OA 分别为 x 轴、y 轴的正半轴, 建立如图的空间直角坐标系 O ? xyz .



B(1 0, ,则 C (?1 0,,A(0,0) S (0,1) . , 0) , 0) 1 ,, 0,
? ? 1 ? ???? ? 1 1 ? ??? ? 1 1 ? ???? ? 1 0, 0, MA 1 , SC ,? SC 的中点 M ? ? , ? , MO ? ? , ? ?, ? ? , ? ?, ? (?1 0, 1) . 2? 2? ? 2 2? ?2 ?2

???? ??? ? ? ???? ??? ? ∴ MO ? SC ? 0, ? SC ? 0 . MA
故 MO ? SC,MA ? SC,< MO, MA ? 等 于 二 面 角

???? ???? ?

A ? SC ? B 的 平 面

角.

???? ???? ? ???? ???? ? MO ? MA 3 , cos ? MO, ?? ???? ???? ? MA ? 3 MO ? MA
3 . 3

所以二面角 A ? SC ? B 的余弦值为

9. 【2007 年海南、宁夏文】 18. (本小题满分 12 分) 如图, A, B, C, D 为空间四点.在 △ABC 中, AB ? 2,AC ? BC ? 轴运动. (Ⅰ)当平面 ADB ? 平面 ABC 时,求 CD ; (Ⅱ)当 △ADB 转动时,是否总有 AB ? CD ?证明你的结论. 【解】 (Ⅰ)取 AB 的中点 E ,连结 DE,CE ,因为 ADB 是等 以 DE ? AB . 当平面 ADB ? 平面 ABC 时,因为平面 ADB ? 平面 ABC ? AB , 所以 DE ? 平面 ABC ,可知 DE ? CE

2 .等边三角形 ADB 以 AB 为

边三角形, 所

, 由已知可得 DE ? 3 EC ? 1 ,
在 Rt△DEC 中, CD ?

DE 2 ? EC 2 ? 2 .

(Ⅱ)当 △ADB 以 AB 为轴转动时,总有 AB ? CD . 证明: (ⅰ)当 D 在平面 ABC 内时,因为 AC= BC,AD ? BD , 所以 C,D 都在线段 AB 的垂直平分线上,即 AB ? CD . (ⅱ)当 D 不在平面 ABC 内时,由(Ⅰ)知 AB ? DE .又因 AC ? BC ,所以 AB ? CE . 又 DE,CE 为相交直线,所以 AB ? 平面 CDE ,由 CD ? 平面 CDE ,得 AB ? CD . 综上所述,总有 AB ? CD . 10. 【2007 年山东理】 (19) (本小题满分 12 分) 如图,在直四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,已知

DC ? DD1 ? 2 AD ? 2 AB , AD ? DC , AB // DC .
(I) 设 E 是 DC 的中点,求证: D1 E // 平面 A1 BD ; (II)求二面角 A1 ? BD ? C1 的余弦值。 【解】 解法一: (I) 连结 BE ,则四边形 DABE 为正方形,

? BE ? AD ? A1D1 ,且 BE // AD // A1D1 ,
∴四边形 A1 D1 EB 为平行四边形,

? D1E // A1B .
又 D1 E ? 平面A1BD,A1B ? 平面A1BD,

? D1E // 平面A1BD.
(II) D 为原点,DA, DC , DD1 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、z 轴建立空间直角坐标系, 以 不妨设 DA ? 1 , 则 D(0, 0, 0), A(1, 0, 0), B(1,1, 0), C1 (0, 2, 2), A1 (1, 0, 2).

???? ? ??? ? ? DA1 ? (1, 0, 2), DB ? (1,1, 0).
设 n ? ( x, y, z ) 为平面 A1 BD 的一个法向量, 由 n ? DA1 , n ? DB 得 ?

?

?

???? ? ?

??? ?

?x ? 2z ? 0 , ? x? y ?0
又 DC1 ? (0, 2, 2), DB ? (1,1, 0)

取 z ? 1,则 n ? (?2, 2,1) .

?

???? ?

??? ?
??

设 m ? ( x1 , y1 , z1 ) 为平面 C1 BD 的一个法向量,由 m ? DC , m ? DB 得 ? 取 z1 ? 1 ,则 m ? (1, ?1,1) . 设 m 与 n 的夹角为 ? ,二面角 A1 ? BD ? C1 为 ? ,显然 ? 为锐角,

??

???? ??

??? ?

? 2 y1 ? 2 z1 ? 0 , ? x1 ? y1 ? 0

??

??

?

?? ? m?n ?3 3 ∴ cos ? ? ?? ? ? ?? . 3 9? 3 m n
∴ cos ? ?

3 . 3

由于该二面角 A1 ? BD ? C1 为锐角,

即所求的二面角 A1 ? BD ? C1 的余弦为 解法二:

3 . 3

(Ⅰ) D 为原点,DA,DC,DD1 所在直线分别为 x 轴,y 轴, 以 所示的空间直角坐标系。 设 DA ? a ,由题意知:

z 轴建立如图

2 2 D(0,0) , A(a,0) , B(a, a, , C (0,a, , C1 (0,a,a) , 0, 0, 0) 2 0) D1 (0, 2a) , E (0, a,0) 0,
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A1 (a, 2a) , 0,

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???? ? ???? ? ??? ? ? D1 E ? (0,a, 2a) , DA1 ? (a, 2a ) , DB ? (a, a, 0) , ? 0,
又 (0,a, 2a) ? (a,a, ? (a,2a) , ? D1 E ? DB ? DA1 ? 0) 0,

???? ?

??? ???? ? ?
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? DA1,DB ? 平面 A1 BD , D1E ? 平面 A1 BD , ? D1 E // 平面 A1 BD
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(Ⅱ)取 DB 的中点 F , DC1 的中点 M ,连结 A1 F , FM , 由(Ⅰ)及题意得知:

?a a ? F ? , ,? , M (0, a, a) , 0 ?2 2 ?

???? ? a a ? ? ???? ? a a ? ? FA1 ? ? , ,a ? , FM ? ? ? , , a ? , ? 2 ?2 2 ? ? 2 2 ?
∴ FM ?DB ? ? ? , ,a ?? a, a, 0) ? 0 (

???? ??? ? a a ? ? FA1 ?DB ? ? , ,a ??(a, a, 0) ? 0 , ? 2 ?2 2 ?
? FA1 ? DB , FM ? DB ,

???? ??? ? ?

? a a ? 2 2

? ?

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?∠A1 FM 为所求二面角的平面角

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2 2 a ? ???? ???? ? ? a , a ,a ?? ? a , ,a ? ? a ? a ? 2a 2 ? ? 2 ?? ? 3 FA1 ?FM 2 2 ?? 2 2 ?? 4 4 ? ? cos∠A1FM ? ???? ???? ? ? ? 2 3 3 2a 6a 3 3a FA1 FM ? 2 2 2

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所以二面角 A1 ? BD ? C1 的余弦值为 解法三:

3 3

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(Ⅰ)证明:如解法一图,连结 AD1 , AE , 设 AD1 ? A1D ? G , AE ? BD ? F ,连结 GF , 由题意知 G 是 A1 D 的中点,又 E 是 CD 的中点,

?四边形 ABED 是平行四边形,故 F 是 AE 的中点,
又 GF ? 平面 A1 BD , D1 E ? 平面 A1 BD , (Ⅱ)如图,在四边形 ABCD 中,设 AD ? a , ? AB ? AD , AD ? DC , AB ∥ DC , 故 BD ?

?在 △ AED1 中, GF // D1E ,
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? D1 E // 平面 A1 BD

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? AD ? AB

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2a ,由(Ⅰ)得 BC 2 ? BE 2 ? EC 2 ? a 2 ? a 2 ? 2a 2 , DC ? 2a ,
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?∠DBC ? 90? ,即 BD ? BC

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又 BD ? BB1 ,

? BD ? 平面 BCC1 B1 ,又 BC1 ? 平面 BCC1 B1 ,

? BD ? BC1 ,
取 DC1 的中点 M ,连结 A1 F , FM , 由题意知:? FM // BC1 , 又 A1 D ? A1 B ,? A1 F ? BD
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? FM ? BD
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?∠A1 FM 为二面角 A1 ? BD ? C1 的平面角

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连结 A1 M ,在 △ A1 FM 中,由题意知:

A1 F ?

3 2 1 1 6 a , FM ? BC1 ? BC 2 ? CC12 ? a, 2 2 2 2

取 D1C1 的中点 H ,连结 A1 H , HM , 在 Rt△ A1 HM 中, ? A1 H ?

2 a HM ? a , ,

? A1M ? 3a

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9 2 3 2 a ? a ? 3a 2 A1 F 2 ? FM 2 ? A1M 2 2 3 2 ? cos∠A1 FM ? ? ? 2 A1 F ?FM 3 3 6 2? a? a 2 2

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?二面角 A1 ? BD ? C1 的余弦值为

3 3

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11. 【2007 年山东文】 20. (本小题满分 12 分) 如图,在直四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,已知 DC ? DD1 ? 2 AD ? 2 AB ,

AD ⊥ DC,AB//DC .
(1)求证: D1C ⊥ AC1 ; (2) E 是 DC 上一点, 设 试确定 E 的位置, D1 E // 平面 A1 BD , 使 并说明理由.

【解】 (1)证明:在直四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 连结 C1 D ,

? DC ? DD1 ,

?四边形 DCC1 D1 是正方形.
? DC1 ⊥ D1C . A1 D1 B1 C1

又 AD ⊥ DC , AD ⊥ DD1,DC ⊥ DD1 ? D ,

? AD ⊥平面 DCC1 D1 , D1C ? 平面 DCC1 D1 ,
? AD ⊥ D1C . ? AD,DC1 ? 平面 ADC1 ,且 AD ⊥ DC1 ? D , ? D1C ⊥ 平面 ADC1 , C 又 AC1 ? 平面 ADC1 , ? D1 C⊥ A 1 .
(2)连结 AD1 ,连结 AE ,设 AD1 ? A1D ? M ,

BD ? AE ? N ,连结 MN ,

?平面 AD1 E ? 平面 A1BD ? MN ,
要使 D1 E ∥ 平面 A1 BD ,须使 MN ∥ D1 E , 又 M 是 AD1 的中点.

? N 是 AE 的中点.

又易知 △ABN ≌△EDN , 即 E 是 DC 的中点.

? AB ? DE .

综上所述,当 E 是 DC 的中点时,可使 D1 E ∥ 平面 A1 BD .

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