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【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(人教A版选修2-1)课时作业 1.3简单的逻辑联结词]


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课时提升作业(六)
简单的逻辑联结词

(30 分钟 50 分) 一、选择题(每小题 3 分,共 18 分) 1.(2014·重庆高考)已知命题 p:对任意 x∈R,总有 的根.则下列命题为真

命题的是 ( A.p∧ q B. p∧q ) D.p∧q ≥0;q:x=1 是方程 x+2=0

C. p∧ q

【解题指南】先判断出命题 p,q 的真假,再利用逻辑联结词进行相关判断. 【解析】选 A.易知命题 p 为真命题,q 为假命题,故 p∧ q 为真命题, p∧q 为假 命题, p∧ q 为假命题,p∧q 为假命题. 2.(2014·驻马店高二检测)若 p∨q 是假命题,则( A.p 是真命题,q 是假命题 B.p,q 均为假命题 C.p,q 至少有一个是假命题 D.p,q 至少有一个是真命题 【解析】选 B.只有当 p,q 均为假命题时,p∨q 才是假命题,故选 B. 3.(2014·广州高二检测)已知命题 p:a2+b2<0(a,b∈R);命题 q:(a-2)2+|b-3|≥ 0(a,b∈R),下列结论正确的是( ) )

A.“p∨q”为真 C.“ p”为假

B.“p∧q”为真 D.“ q”为真

【解析】选 A.显然 p 假 q 真,故“p∨q”为真,“p∧q”为假,“ p”为真,“ q” 为假,故选 A. 4.命题 p:“若 a<b,则 2a<2b”的否命题及命题 p 的否定为( A.否命题:若 a≥b,则 2a≥2b,否定:若 a<b,则 2a≥2b B.否命题:若 a<b,则 2a≥2b,否定:若 a≥b,则 2a≥2b C.否命题:若 2a<2b,则 a<b,否定:若 2a<2b,则 a≥b. D.否命题:若 a>b,则 2a>2b,否定:若 a<b,则 2a>2b. 【解析】选 A.命题“若 a<b,则 2a<2b”的否命题为“若 a≥b,则 2a≥2b”,命题 p 的否定为“若 a<b,则 2a≥2b”. 5.在下列结论中,正确的结论为( ) )

①“p∧q”为真是“p∨q”为真的充分不必要条件; ②“p∧q”为假是“p∨q”为真的充分不必要条件; ③“p∨q”为真是“ p”为假的必要不充分条件; ④“ p”为真是“p∧q”为假的必要不充分条件. A.①② B.①③ C.②④ D.③④

【解析】 选 B.充分理解含逻辑联结词的命题真假的判断方法,对于①,当 p∧q 为 真时,p 与 q 均为真,p∨q 为真,但当 p∨q 为真时,p 与 q 至少有一个为真,但 p∧ q 不一定为真,故是充分不必要条件. 对于②,p∧q 为假,即 p 与 q 中至少有一个为假,则 p∨q 真假不确定,而当 p∨q 为真时,即 p 与 q 中至少有一个为真,则 p∧q 真假不确定,故既不是充分条件也

不是必要条件. 对于③,p∨q 为真,则 p 与 q 至少有一个为真,但 p 真假不确定,但当 p 为假,即 p 为真时,p∨q 一定为真,故是必要不充分条件. 对于④ p 为真,即 p 为假,则 p∧q 为假, 但当 p∧q 为假,即 p 与 q 至少有一个为假时, p 真假不确定,故是充分不必要条 件. 6.命题 p: “方程 x2+2x+a=0 有实数根” ;命题 q: “函数 f(x)=(a2-a)x 是增函数” , 若“p∧q”为假命题,且“p∨q”为真命题,则实数 a 的取值范围是( A.a>0 B.a≥0 C.a>1 D.a≥1 )

【解题指南】先分别求出命题 p,q 为真的充要条件,再分别求出 p,q 为假的充要 条件,利用分类讨论思想求解. 【解析】选 B.命题 p:“方程 x2+2x+a=0 有实数根”的充要条件为Δ=4-4a≥0, 即 a≤1,则 p 为真时,a>1; 命题 q:“函数 f(x)=(a2-a)x 是增函数”的充要条件为 a2-a>0,即 a<0 或 a>1, 则“ q”为真命题时,0≤a≤1. 由“p∧q”为假命题,“p∨q”为真命题,得 p,q 一真一假: 若 p 真 q 假,则 0≤a≤1;若 p 假 q 真,则 a>1. 所以实数 a 的取值范围是 a≥0. 【举一反三】若本题变为“ q”为假命题且“p∨( q)”为真命题,其余条件不变, 则实数 a 的取值范围是 .

【解析】由“ q”为假命题且“p∨( q)”为真命题,得 p 真 q 真,所以实数 a 的 取值范围是 a<0.

答案:a<0

二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 7.(2014 ·郑州高二检测 ) 设有两个命题 :p:|x|+|x-1| ≥m 的解集为 R;q: 函数 f(x)=-(7-3m)x 是减函数,若 p∨q 为真命题,p∧q 为假命题,实数 m 的取值范围 是 .

【解析】若 p 为真命题,则根据绝对值的几何意义可知 m≤1. 若 q 为真命题,则 7-3m>1,所以 m<2,若 p 真 q 假,则 m∈ .若 p 假 q 真,则 1<m<2. 综上所述,1<m<2. 答案:1<m<2 8.已知全集为 R,命题 p:0∈N,q:{0}? ?R Q,则下述判断:①p∧q 为真;②p∨q 为 真;③ p 为真;④ q 为假,其中正确的序号为 .

【解析】由于 N 表示自然数集, ?R Q 表示无理数集,于是 p:0∈N 为真,q:{0}? ?R Q 为假, 所以 p∧q 为假,①错误;p∨q 为真,②正确; p 为假,③错误; q 为真,④错误. 答案:② 9.(2014·杭州高二检测)p: 范围是 ___________. 【解析】p:x<3;q:-1<x<5. 因为 p 且 q 为假命题, 所以 p,q 中至少有一个为假, 所以 x≥3 或 x≤-1. <0,q:x2-4x-5<0,若 p 且 q 为假命题,则 x 的取值

答案:(-≦,-1]∪[3,+≦).

三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 10.分别指出由下列各组命题构成的“p∨q” “p∧q”及“ p”形式,并判断真假: (1)p:2n-1(n∈Z)是奇数,q:2n-1(n∈Z)是偶数. (2)p:a2+b2<0(a∈R,b∈R),q:a2+b2≥0. (3)p:集合中的元素是确定的,q:集合中的元素是无序的. 【解析】(1)p∨q,2n-1(n∈Z)是奇数或是偶数;(真) p∧q:2n-1(n∈Z)既是奇数又是偶数;(假) p:2n-1(n∈Z)不是奇数.(假) (2)p∨q:a2+b2<0,或 a2+b2≥0;(真) p∧q:a2+b2<0,且 a2+b2≥0;(假) p:a2+b2≥0.(真) (3)p∨q:集合中的元素是确定的或是无序的;(真) p∧q:集合中的元素是确定的且是无序的;(真) p 集合中的元素是不确定的.(假). 11.(2014·惠州高二检测)设命题 p:实数 x 满足 x2-4ax+3a2<0,其中 a>0;命题 q: 实数 x 满足 x2-5x+6≤0. (1)若 a=1,且 p∧q 为真,求实数 x 的取值范围. (2)若 p 是 q 成立的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围. 【解题指南】先根据题意化简给出的两个命题:p:a<x<3a,q:2≤x≤3, (1)当 a=1 时,确定 p:1<x<3,再由 p∧q 为真,可知 p,q 均为真,

故所求实数 x 的取值范围就是命题 p,q 所表示的集合的交集. (2)由条件可知,q 是 p 的充分不必要条件,故命题 q 所表示的集合是命题 p 所表 示的集合的真子集,然后借用数轴求解即可. 【解析】(1)由 x2-4ax+3a2<0 得(x-3a)·(x-a)<0,又 a>0,所以 a<x<3a, 当 a=1 时,1<x<3,即 p 为真命题时,实数 x 的取值范围是 1<x<3,由 x2-5x+6≤0 得 2≤x≤3, 所以 q 为真时实数 x 的取值范围是 2≤x≤3. 若 p∧q 为真,则 2≤x<3,所以实数 x 的取值范围是[2,3). (2)设 A={x|a<x<3a},B={x|2≤x≤3}, 由题意可知 q 是 p 的充分不必要条件,则 B A, 所以 ? 1<a<2,所以实数 a 的取值范围是(1,2).

(30 分钟 50 分) 一、选择题(每小题 4 分,共 16 分) 1.(2013·湖北高考)在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次,设命题 p 是 “甲降落在指定范围”,q 是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没 有降落在指定范围”可表示为( A.( p)∨( q) C.( p)∧( q) ) B.p∨( q) D.p∨q

【解题指南】本题考查了逻辑联结词的应用. 【解析】选 A.至少有一位学员没有降落在指定范围指的是甲没有降落在指定范 围或乙没有降落在指定范围,故选 A.

2.(2014·聊城高二检测)设命题 p:函数 y= 在(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数;命 题 q:函数 y= 的图象关于原点对称,则下列判断正确的是( A.p 真 C.p∧q 真 B. q 假 D.p∨q 假 )

【解析】选 B.命题 p 为假命题,命题 q 为真命题,故选 B. 【变式训练】 给出两个命题:p:函数 y=x2-x-1 有两个不同的零点;q:若 <1,则 x>1, 那么在下列四个命题中,真命题是( A.( p)∨q C.( p)∧( q) ) B.p∧q D.( p)∨( q)

【解析】 选 D.对于 p,函数对应的方程 x2-x-1=0 的判别式Δ=(-1)2-4×(-1)=5>0. 可知函数有两个不同的零点,故 p 为真. 当 x<0 时,不等式 <1 恒成立; 当 x>0 时,不等式的解为 x>1. 故不等式 <1 的解为 x<0 或 x>1. 故命题 q 为假命题. 所以只有( p)∨( q)为真,故选 D. 3.已知命题(p∧ q)∧( p∨ q)为真命题,则( A.p,q 都为真 C.p 假,q 真 【解析】选 B. 因为(p∧ q)∧( p∨ q)为真命题, 所以(p∧ q)为真命题,( p∨ q)也为真命题, )

B.p 真,q 假 D.p,q 都为假

因为(p∧ q)为真命题, 所以 p 和 q 都是真命题, 所以 p 真,q 假.此时( p∨ q)也为真命题,符合题意. 【误区警示】解答本题易出现如下错误现象: (1)不知从何处入手,找不到问题突破口. (2)层次不清,推理混乱. (3)步骤不衔接,前后矛盾. (4)对逻辑联结词理解不准,出现知识性错误. 4.(2014·长春高二检测)已知:p:|x-1|≥2,q:x∈Z,若 p∧q, q 同时为假命题, 则满足条件的 x 的集合为( A.{x|x≤-1 或 x≥3,x?Z} B.{x|-1≤x≤3,x?Z} C.{x|x<-1 或 x∈Z} D.{x|-1<x<3,x∈Z} 【解析】选 D.p:x≥3 或 x≤-1,q:x∈Z,由 p∧q, q 同时为假命题知,p 假 q 真, 所以满足-1<x<3 且 x∈Z,故满足条件的集合为{x|-1<x<3,x∈Z}. 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.(2014·广州高二检测)命题 p:2?{1,3},q:2?{x|x2-4=0},则命题 p∧q 是 命题,命题 p∨q 是 命题. )

【解析】命题 p:2?{1,3}是真命题. 因为{x|x2-4=0}={-2,2}, 所以命题 q:2?{x|x2-4=0}是假命题,

所以命题 p∧q 是假命题,命题 p∨q 是真命题. 答案:假 真 6.已知命题 p:x=π 是 y=|sinx|的一条对称轴,q:2π 是 y=|sinx|的最小正周期. 下列命题: ①p∨q;②p∧q;③ p;④ q. 其中真命题的序号是 .

【解析】因为π是 y=|sinx|的最小正周期,所以 q 为假. 又因为 p 为真,所以 p∨q 为真,p∧q 为假, p 为假, q 为真. 答案:①④ 三、解答题(每小题 12 分,共 24 分) 7.(2014·九江高二检测)已知命题 p:不等式 x2+kx+1≥0 对于一切 x∈R 恒成立, 命题 q:已知方程 x2+(2k-1)x+k2=0 有两个大于 1 的实数根,若 p 且 q 为假,p 或 q 为真.求实数 k 的取值范围. 【解析】当 p 为真命题时,Δ=k2-4≤0, 所以,-2≤k≤2. 当 q 为真命题时,令 f(x)=x2+(2k-1)x+k2,方程有两个大于 1 的实数根 ? 即

所以 k<-2. 要使 p 且 q 为假,p 或 q 为真,则 p 真 q 假, 或者是 p 假 q 真.当 p 真 q 假时,-2≤k≤2, 当 p 假 q 真时,k<-2.

综上:k≤2. 8.设命题 p:方程 2x2+x+a=0 的两根 x1,x2 满足 x1<1<x2,命题 q:函数 y=log2(ax-1) 在区间[1,2]内单调递增. (1)若 p 为真命题,求实数 a 的取值范围. (2)试问:p∧q 是否有可能为真命题?若有可能,求出 a 的取值范围;若不可能,请 说明理由. 【解析】(1)若 p 为真命题,令 f(x)=2x2+x+a, 则 f(1)<0,即 3+a<0,所以 a<-3. (2)假设 p∧q 是真命题,则 p,q 均为真命题, 由(1)知 p 真时 a<-3. 当 q 为真命题时,需 显然 p,q 均为真命题时需 此时 a 不存在,故不存在 a 的值使 p∧q 为真命题. 即 a>1.

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