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数列求和123


数列求和
1、已知数列{ an }的首项 a1

?

2 2an , an ?1 ? ,n=1,2,3,… 3 an ? 1

(1)证明:数列{

1 ? 1 }是等比数列 an

(2)数列{

n }的前 n 项和 S n an

2、已知等差函数{ an }的公差 d>0,且 a2 , a5 满足 a2 ? a5 ? 12, a2 a5 ? 27,数列{ bn }的 前 n 项和为 S n ,且 S n ? 1 ?

1 * bn ( n ? N ) 2

(1)求数列{ an }、{ bn }的通项公式; (2)求 Tn

? b2 ? b4 ? b6 ? ? ? b2n

3、已知数列{

an

} 的 前 n 项 和 S n ? 2n 2 ? 3n , 数 列 { bn } 是 正 项 等 比 数 列 , 满 足

a1 ? ?b1,b3(a2 ? a1 ) ? b1 。
(1)求数列{ an }和{ bn }的通项公式; (2)记 cn

? an · bn ,是否存在正整数

M,使得对一切 n ? N , cn
*

? M 恒成立,若

存在,请求出 M 的最小值;若不存在,求说明理由。

4、已知等差数列{ an }的前 n 项和为 S n ,且 S n ? (1)求数列{ an }的通项公式 (2)设 bn

n2 ? n ? 6 * (n? N ) , 2

?

1 a n a n ?1 ? n

, Tn 为数列{ bn }的前 n 项和,证明 Tn

?

1 * (n? N ) 2

5、已知数列{ an }的前 n 项和为 S n ,且 an (1)求证:数列{

? Sn · S n? ( ,S n ? 0) , a1 ? 。 1 n?2

2 9

1 }为等差数列; Sn

(2)求满足 an ? 0 的自然数 n 的集合。

6、已知{ an }为等差数列,其前 n 项和为 S n (1)若 a4 ? a5 ? 0 ,试验证: S7

? S1 , S6 ? S2 , S5 ? S3 成立,并将其整合为一个等式;

(2)一般的,若存在正整数 k,使 ak

? ak ?1 ? 0 ,我们可将(1)中的我结论作相应

推广,试写出推广后的结论,并判断它是否正确。

7、已知数列{ an }满足递推式 an (1)求 a1

? 2an?1 ? 1(n ? 2) ,其中 a4 ? 15 。

a2 a3 ;

(2)求数列{ an }的通项公式; (3)求数列{ an }的前 n 项和 S n

8、已知等差数列{ an },公差 d 大于 0,且 a2 、 a5 是方程 x ? 12x ? 27 ? 0 的两个根,
2

数列{ bn }的前 n 项和为 Tn 且 Tn

1 ? 1 ? bn 。 2

(1)求数列{ an }、{ bn }的通项公式; (2)记 cn

? an · bn ,求证: cn?1 ? cn

9、数列{ an }的前 n 项和记为 S n , a1 ? 1 , an?1 (1)求{ an }的通项公式; (2)求 S n

? 2S n ? 1(n ? 1)

10、已知实数列{ an }是等比数列,其中 a7 ? 1 ,且 a4 , a5 (1)求数列{ an }的通项公式; (2)数列{ an }的前 n 项和记为 S n ,证明 S n

? 1, a6 成等差数列

? 128(n ? 1,2,3,?)

11、数列{ an }中, a1 ? 2 , an?1 公比不为 1 的等比数列。 (1)求 c 的值; (2)求{ an }的通项公式。

? an ? cn (c 是常数,n=1,2,3,…) ,且 a1 , a2 , a3 成

12、 设{ an }是等差数列, { bn }是各项都为正数的等比数列, 且 a1 ? b1 ? 1 ,a3 ? b5 ? 21,

a5 ? b3 ? 13
(1)求{ an },{ bn }的通项公式;

(2)求数列{

an bn

}的前 n 项和 S n

13、设数列{ an }满足 a1 ? 3a 2 ? 3 a3 ? ? ? 3
2

n ?1

an ?

n * ,a ? N 3

(1)求数列{ an }的通项公式; (2)设 bn

?

n ,求数列{ bn }的前 n 项和 S n an

14、 已知数列{ an }的首项 a1 ? 5 , 前 n 项和为 S n , 且 S n?1 (1)证明:数列{ an (2)令

? 2S n ? n ? 5( n ? N * )

? 1 }是等比数列;

f ( x) ? a1 x ? a2 x 2 ? ?? an x n ,求函数 f ( x) 在点 x=1 处的导数 f ' (1)



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