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新高中数学竞赛讲义


高中数学竞赛讲义(一) ──集合与简易逻辑 一、基础知识 定义 1 一般地,一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合,简称集,用大写字

母来表示; 集合中的各个对象称为元素, 用小写字母来表示, 元素 在集合 A 中, 称 属于 A, 记为 ,否则称 不属于 A,记作 。例如,通常用 N,Z,Q,B,Q+分别表示自然数 来表示。

、整数集、有理数集、实数集、正有理数集,不含任何元素的集合称为空集,用 集合分有限集和无限集两种。

集合的表示方法有列举法:将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表 示集合的方法,如{1,2,3};描述法:将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方 法。例如{有理数}, 定义 2 分别表示有理数集和正实数集。

子集: 对于两个集合 A 与 B, 如果集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的元素, ,例如 。规定空集是任何集合的子集,如果 A 是 B 的

则 A 叫做 B 的子集,记为

子集,B 也是 A 的子集,则称 A 与 B 相等。如果 A 是 B 的子集,而且 B 中存在元素不属于 A, 则 A 叫 B 的真子集。 定义 3 定义 4 定义 5 定义 6 定义 7 交集, 并集, 补集,若 差集, 集合 记作闭区间 定理 1 (1) (3) (4)
1

称为 A 在 I 中的补集。 。 记作开区间 ,R 记作 ,集合

集合的性质:对任意集合 A,B,C,有: (2) ;

【证明】这里仅证(1)、(3),其余由读者自己完成。 (1)若 ,则 ;反之, 或 (3)若 又 ,所以 定理 2 法中有 ,即 且 ,则 ,即 ,即 或 ,所以 或 ,所以 , ,且 或 ,则 ,所以 或 或 ,即 ,即 且

,反之也有 种不同的方法,第二类办

加法原理:做一件事有 类办法,第一类办法中有

种不同的方法,?,第 类办法中有 种不同的方法。

种不同的方法,那么完成这件事一共有

定理 3

乘法原理:做一件事分 个步骤,第一步有

种不同的方法,第二步有

种不 种不同

同的方法,?,第 步有 的方法。 二、方法与例题

种不同的方法,那么完成这件事一共有

1.利用集合中元素的属性,检验元素是否属于集合。 例1 (1) (2) (3)若 [证明](1)因为 (2)假设 相同的奇偶性,所以 成立,所以 (3)设
2

设 ; ; ,则 ,且

,求证:

,所以 ,使 ,由于 和 有

,则存在

是奇数或 4 的倍数,不可能等于

,假设不

,则

(因为

)。 ,再证 ,则 A=B。

2.利用子集的定义证明集合相等,先证 例2 设 A,B 是两个集合,又设集合 M 满足

,求集合 M(用 A,B 表示)。 【解】先证 所以 再证 2)若 综上, 3.分类讨论思想的应用。 例3 ,求 【解】依题设, 因为 因为 则 或 综上所述, ,所以 , 所以 ,解得 或 ; 或 。 ,再由 ,所以 , 若 , 则 解得 ,所以 或 , 或 3。 , 若 , ,若 ,则 ; , 若 , 则 。所以 1) 若 , 则 ; ,若 ,因为 ,所以 ,

或 2,所以 , 即

4.计数原理的应用。 例4 集合 A,B,C 是 I={1,2,3,4,5,6,7,8,9,0}的子集,(1)若 ,

求有序集合对(A,B)的个数;(2)求 I 的非空真子集的个数。

3

【解】(1)集合 I 可划分为三个不相交的子集;A\B,B\A,

中的每个元素恰属

于其中一个子集,10 个元素共有 310 种可能,每一种可能确定一个满足条件的集合对,所以 集合对有 310 个。 (2)I 的子集分三类:空集,非空真子集,集合 I 本身,确定一个子集分十步,第一步, 1 或者属于该子集或者不属于,有两种;第二步,2 也有两种,?,第 10 步,0 也有两种, 由乘法原理,子集共有 5.配对方法。 例 5 给定集合 的 个子集: , 满足任何两个子集的交集非空, 个,非空真子集有 1022 个。

并且再添加 I 的任何一个其他子集后将不再具有该性质,求 的值。 【解】将 I 的子集作如下配对:每个子集和它的补集为一对,共得 在这 个子集中,因此, 对,每一对不能同

;其次,每一对中必有一个在这 个子集中出现,否则,若 ,则 。 ,从而可以在 个子集中

有一对子集未出现,设为 C1A 与 A,并设 再添加 ,与已知矛盾,所以 。综上,

6.竞赛常用方法与例问题。 定理 4 容斥原理;用 表示集合 A 的元素个数,则 ,需要 xy 此结论可以推广

到 个集合的情况,即

定义 8

集合的划分:若

,且

,则这些

子集的全集叫 I 的一个 -划分。 定理 5 最小数原理:自然数集的任何非空子集必有最小数。

4

定理 6

抽屉原理:将

个元素放入

个抽屉,必有一个抽屉放有不少于

个元素,也必有一个抽屉放有不多于 放有无穷多个元素。 例6

个元素;将无穷多个元素放入 个抽屉必有一个抽屉

求 1,2,3,?,100 中不能被 2,3,5 整除的数的个数。 , ,由容斥原理,

【解】 记

, 所以不能被 2, 5 整除的数有 3, 个。 例7 S 是集合{1,2,?,2004}的子集,S 中的任意两个数的差不等于 4 或 7,问 S 中

最多含有多少个元素? 【解】将任意连续的 11 个整数排成一圈如右图所示。由题目条件可知每相邻两个数至多 有一个属于 S,将这 11 个数按连续两个为一组,分成 6 组,其中一组只有一个数,若 S 含有 这 11 个数中至少 6 个,则必有两个数在同一组,与已知矛盾,所以 S 至多含有其中 5 个数。 又因为 2004=182×11+2,所以 S 一共至多含有 182×5+2=912 个元素,另一方面,当 时,恰有 少含有 912 个元素。 例8 求所有自然数 ,使得存在实数 满足: ,且 S 满足题目条件,所以最

【解】



时, 。下证当

;当

时,

;当 满足条件。

时,

时,不存在



,则

5

所以必存在某两个下标

,使得

,所以



,即

,所以







(ⅰ)若 ,设 考虑 ,有 ,则 或

,考虑

,有



,即

,导致矛盾,故只有 ,即 ,则 ,设 ,则 ,又推出矛盾, 所以

,推出矛盾,设 故当

时,不存在满足条件的实数。

(ⅱ)若 这时 ,即 =3,于是

,考虑 ,推出矛盾,故

,有 。考虑

或 ,有 ,所以 或

,即



,矛盾。因此 ,所以 。故当



这又矛盾,所以只有 例9

时,不存在满足条件的实数。

设 A={1,2,3,4,5,6},B={7,8,9,??,n},在 A 中取三个数,B 中取两 , 求 的最小值。

个数组成五个元素的集合 【解】 设 B 中每个数在所有 ( ),则 在 }

中最多重复出现 次,则必有 出现的所有

。若不然,数

出现 次

中,至少有一个 A 中的数出现 3 次,不妨设它是 1, ,其中 ,为满足题意

就有集合{1, 的集合。 20 个

必各不相同,但只能是 2,3,4,5,6 这 5 个数,这不可能,所以 中,B 中的数有 40 个,因此至少是 10 个不同的,所以 。当 时,如

下 20 个集合满足要求: {1,2,3,7,8}, {1,2,4,12,14}, {1,2,5,15,16}, {1,2,6,9,10},

{1,3,4,10,11}, {1,3,5,13,14}, {1,3,6,12,15}, {1,4,5,7,9},
6

{1,4,6,13,16}, {1,5,6,8,11}, {2,3,6,14,16}, {2,4,5,8,10}, 13}, {3,4,5,12,16}, {3,4,6,8,9}, 15}。

{2,3,4,13,15}, {2,3,5,9,11}, {2,4,6,7,11}, {2,5,6,12,

{3,5,6,7,10},

{4,5,6,14,

例 10 集合{1,2,?,3n}可以划分成 个互不相交的三元集合 求满足条件的最小正整数

,其中



【解】 设其中第 个三元集为

则 1+2+?+

所以 所以 ,当

。当 为偶数时,有

,所以

,当 为奇数时,有



时,集合{1,11,4},{2,13,5},{3,15,6},{9,12,7},{10,14,

8}满足条件,所以 的最小值为 5。 三、基础训练题 1.给定三元集合 2.若集合 3.集合 4.已知集合 组成的集合 P=___________。 5.已知 6.若非空集合 S 满足 有___________个。 7.集合 8.若集合 ___________。
7

,则实数 的取值范围是___________。 中只有一个元素,则 =___________。 的非空真子集有___________个。 ,若 ,则由满足条件的实数

,且 ,且若

,则常数 的取值范围是___________。 ,则 ,那么符合要求的集合 S

之间的关系是___________。 ,其中 , 且 ,若 ,则 A 中元素之和是

9.集合 合为___________。 10.集合 ___________。

,且

,则满足条件的

值构成的集

,则

11. 已知 S 是由实数构成的集合, 且满足 1) S 中至少含有多少个元素?说明理由。 12.已知 的取值范围。 四、高考水平训练题 1. 已知集合

)若

,则

。如果



,又 C 为单元素集合,求实数

, A=B, 且 则

___________,

___________。

2. ,则 3.已知集合 取值范围是___________。 ___________。 ,当 时,实数 的

4.若实数 为常数,且 5.集合 ___________。 6.集合 ___________。 7.集合 ,若

___________。 ,则

,则

中的最小元素是

,且 A=B,则

___________。

8

8.已知集合 ___________。 9.设集合 问:是否存在 ,使得

,且

,则

的取值范围是

, ,并证明你的结论。 含有 4 个元素,试求同时满足下列条件的集合 。 ,若

10.集合 A 和 B 各含有 12 个元素,

C 的个数:1)

且 C 中含有 3 个元素;2)

11.判断以下命题是否正确:设 A,B 是平面上两个点集, 对任何 ,都有 ,则必有 ,证明你的结论。

五、联赛一试水平训练题

1.已知集合 是___________。 2.集合 素个数的最大值是___________。 3.已知集合 ___________。 4.已知集合 八边形的顶点所构成的集合,则 5.集合 则集合 M 与 N 的关系是___________。 6.设集合 元素最多有___________个。 7. 非空集合 集合是___________。
9

,则实数

的取值范围

的子集 B 满足:对任意的

,则集合 B 中元

,其中

,且

,若 P=Q,则实数

,若 ___________。 ,集合

是平面上正



,集合 A 满足:

,且当

时,

,则 A 中

, ?则使

成立的所有 的

8.已知集合 A,B,aC(不必相异)的并集 元组(A,B,C)个数是___________。 9. 已知集合 何值时,

, 则满足条件的有序三

, 问: 当 取 为恰有 2 个元素的集合?说明理由,若改为 3 个元素集合,结论如何? ,并且 C 的元素乘积等于 B 的元素和。 , 则 恰有一个成立, 并且若 ,

10.求集合 B 和 C,使得 11. 是 Q 的子集且满足: S 若 则 ,试确定集合 S。

12.集合 S={1,2,3,4,5,6,7,8,9,0}的若干个五元子集满足:S 中的任何两个 元素至多出现在两个不同的五元子集中,问:至多有多少个五元子集? 六、联赛二试水平训练题 1. ,则 是三个非空整数集,已知对于 1,2,3 的任意一个排列 。求证: 中必有两个相等。 , ,如果 ,

2.求证:集合{1,2,?,1989}可以划分为 117 个互不相交的子集 使得(1)每个 恰有 17 个元素;(2)每个 中各元素之和相同。

3.某人写了 封信,同时写了 个信封,然后将信任意装入信封,问:每封信都装错的 情况有多少种? 4.设 同的元素,求集合 5.设 S 是由 偶数。 6.对于整数 ,求出最小的整数 的任一个 ,使得对于任何正整数 ,集合 是 20 个两两不同的整数,且整合 中不同元素个数的最小可能值。 个人组成的集合。求证:其中必定有两个人,他们的公共朋友的个数为 中有 201 个不

元子集中,均有至少 3 个两两互质的元素。

7.设集合 S={1,2,?,50},求最小自然数 ,使 S 的任意一个 元子集中都存在两个 不同的数 a 和 b,满足 。
10

8.集合

,试作出 X 的三元子集族&,满足:

(1)X 的任意一个二元子集至少被族&中的一个三元子集包含; (2) 9.设集合 。 ,求最小的正整数 ,使得对 A 的任意一个 14-分划

,一定存在某个集合

,在

中有两个元素 a 和 b 满足



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高中数学精神讲义(二) ──二次函数与命题 一、基础知识 1.二次函数:当 轴为直线 x=0 时,y=ax2+bx+c 或 f(x)=ax2+bx+c 称为关于 x 的二次函数,其对称 ,下同。

,另外配方可得 f(x)=a(x-x0)2+f(x0),其中 x0=-

2.二次函数的性质:当 a>0 时,f(x)的图象开口向上,在区间(-∞,x0]上随自变量 x 增大函数值减小(简称递减),在[x0, -∞)上随自变量增大函数值增大(简称递增)。当

a<0 时,情况相反。
3.当 a>0 时,方程 f(x)=0 即 ax2+bx+c=0?①和不等式 ax2+bx+c>0?②及 ax2+bx+c<0? ③与函数 f(x)的关系如下(记△=b2-4ac)。

11

1)当△>0 时,方程①有两个不等实根,设 x1,x2(x1<x2),不等式②和不等式③的解集分 别是{x|x<x1 或 x>x2}和{x|x1<x<x2},二次函数 f(x)图象与 x 轴有两个不同的交点,f(x)还可 写成 f(x)=a(x-x1)(x-x2). 2)当△=0 时,方程①有两个相等的实根 x1=x2=x0= ,不等式②和不等式③的解集分别

是{x|x

}和空集

,f(x)的图象与 x 轴有唯一公共点。 .f(x)图象与 x 轴

3)当△<0 时,方程①无解,不等式②和不等式③的解集分别是 R 和 无公共点。 当 a<0 时,请读者自己分析。 4.二次函数的最值:若 a>0,当 x=x0 时,f(x)取最小值 f(x0)=

,若 a<0,则当

x=x0=

时,f(x)取最大值 f(x0)=

.对于给定区间[m,n]上的二次函数

f(x)=ax2+bx+c(a>0),当 x0∈[m, n]时,f(x)在[m, n]上的最小值为 f(x0); 当 x0<m 时。f(x)
在[m, n]上的最小值为 f(m);当 x0>n 时,f(x)在[m, n]上的最小值为 f(n)(以上结论由二 次函数图象即可得出)。 定义 1 能判断真假的语句叫命题,如“3>5”是命题,“萝卜好大”不是命题。不含逻

辑联结词“或”、“且”、“非”的命题叫做简单命题,由简单命题与逻辑联结词构成的命 题由复合命题。 注1 “p 或 q”复合命题只有当 p,q 同为假命题时为假,否则为真命题;“p 且 q”复

合命题只有当 p,q 同时为真命题时为真,否则为假命题;p 与“非 p”即“p”恰好一真一 假。 定义 2 原命题:若 p 则 q(p 为条件,q 为结论);逆命题:若 q 则 p;否命题:若非 p

则 q;逆否命题:若非 q 则非 p。 注2 注3 原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。 反证法的理论依据是矛盾的排中律,而未必是证明原命题的逆否命题。
12

定义 3 如果已知 p 不

如果命题“若 p 则 q”为真,则记为 p

q 否则记作 p q.在命题“若 p 则 q”中, q但q

q,则 p 是 q 的充分条件;如果 q

p,则称 p 是 q 的必要条件;如果 p q但p

p,则称 p 是 q 的充分非必要条件;如果 p 不 q且q p,则 p 是 q 的充要条件。

q,则 p 称为 q 的必要非充分条

件;若 p

二、方法与例题 1.待定系数法。 例1 设方程 x2-x+1=0 的两根是α ,β ,求满足 f(α )=β ,f(β )=α ,f(1)=1 的二次函数

f(x).
【解】 设 f(x)=ax2+bx+c(a 0),

则由已知 f(α )=β ,f(β )=α 相减并整理得(α -β )[(α +β )a+b+1]=0, 因为方程 x2-x+1=0 中△ 0, 所以α β ,所以(α +β )a+b+1=0.

又α +β =1,所以 a+b+1=0. 又因为 f(1)=a+b+c=1, 所以 c-1=1,所以 c=2. 又 b=-(a+1),所以 f(x)=ax2-(a+1)x+2. 再由 f(α )=β 得 aα 2-(a+1)α +2=β , 所以 aα 2-aα +2=α +β =1,所以 aα 2-aα +1=0. 即 a(α 2-α +1)+1-a=0,即 1-a=0, 所以 a=1, 所以 f(x)=x2-2x+2. 2.方程的思想。 例2 已知 f(x)=ax2-c 满足-4?f(1)?-1, -1?f(2)?5,求 f(3)的取值范围。 因为-4?f(1)=a-c?-1,

【解】

所以 1?-f(1)=c-a?4.
13

又-1?f(2)=4a-c?5, f(3)= f(2)- f(1),

所以 ×(-1)+ ?f(3)? ×5+ ×4, 所以-1?f(3)?20. 3.利用二次函数的性质。 例3 已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R, a 0),若方程 f(x)=x 无实根,求证:方

程 f(f(x))=x 也无实根。 【证明】若 a>0,因为 f(x)=x 无实根,所以二次函数 g(x)=f(x)-x 图象与 x 轴无公共点 且开口向上,所以对任意的 x∈R,f(x)-x>0 即 f(x)>x,从而 f(f(x))>f(x)。 所以 f(f(x))>x,所以方程 f(f(x))=x 无实根。 注:请读者思考例 3 的逆命题是否正确。 4.利用二次函数表达式解题。 例4 设二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程 f(x)=x 的两根 x1, x2 满足 0<x1<x2< ,

(Ⅰ)当 x∈(0, x1)时,求证:x<f(x)<x1; (Ⅱ)设函数 f(x)的图象关于 x=x0 对称,求证:x0< 【证明】 因为 x1, x2 是方程 f(x)-x=0 的两根,所以 f(x)-x=a(x-x1)(x-x2), 即 f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x. (Ⅰ)当 x∈(0, x1)时,x-x1<0, x-x2<0, a>0,所以 f(x)>x. 其次 f(x)-x1=(x-x1)[a(x-x2)+1]=a(x-x1)[x-x2+ 综上,x<f(x)<x1. (Ⅱ)f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x=ax2+[1-a(x1+x2)]x+ax1x2, 所以 x0= , ]<0,所以 f(x)<x1.

14

所以



所以 5.构造二次函数解题。 例5 大。 【证明】 方程化为 2a2x2+2ax+1-a2=0. 已知关于 x 的方程(ax+1)2=a2(a-x2), a>1,求证:方程的正根比 1 小,负根比-1

构造 f(x)=2a2x2+2ax+1-a2,

f(1)=(a+1)2>0, f(-1)=(a-1)2>0, f(0)=1-a2<0, 即△>0,
所以 f(x)在区间(-1,0)和(0,1)上各有一根。 即方程的正根比 1 小,负根比-1 大。 6.定义在区间上的二次函数的最值。

例6

当 x 取何值时,函数 y=

取最小值?求出这个最小值。

【解】 y=1-

,令

u,则 0<u?1。

y=5u2-u+1=5
即 x= 3 时,ymin=

,

且当

.

例7

设变量 x 满足 x +bx?-x(b<-1),并且 x +bx 的最小值是 由 x2+bx?-x(b<-1),得 0?x?-(b+1).

2

2

,求 b 的值。

【解】

ⅰ)- ?-(b+1), b?-2 时, 2+bx 的最小值为即 x (舍去)。 ⅱ) -

, 所以 b2=2, 所以

>-(b+1),即 b>-2 时,x2+bx 在[0,-(b+1)]上是减函数,
15

所以 x +bx 的最小值为 b+1,b+1=-

2

,b=-

.

综上,b=-

.

7.一元二次不等式问题的解法。

例8

已知不等式组

①②的整数解恰好有两个,求 a 的取值范围。

【解】

因为方程 x2-x+a-a2=0 的两根为 x1=a, x2=1-a,

若 a?0,则 x1<x2.①的解集为 a<x<1-a,由②得 x>1-2a. 因为 1-2a?1-a,所以 a?0,所以不等式组无解。 若 a>0,ⅰ)当 0<a< 时,x1<x2,①的解集为 a<x<1-a.

因为 0<a<x<1-a<1,所以不等式组无整数解。 ⅱ)当 a= 时,a=1-a,①无解。

ⅲ)当 a>

时,a>1-a,由②得 x>1-2a,

所以不等式组的解集为 1-a<x<a. 又不等式组的整数解恰有 2 个, 所以 a-(1-a)>1 且 a-(1-a)?3, 所以 1<a?2,并且当 1<a?2 时,不等式组恰有两个整数解 0,1。 综上,a 的取值范围是 1<a?2. 8.充分性与必要性。 例9 设定数 A,B,C 使得不等式 ①

A(x-y)(x-z)+B(y-z)(y-x)+C(z-x)(z-y)?0

对一切实数 x,y,z 都成立,问 A,B,C 应满足怎样的条件?(要求写出充分必要条件, 而且限定用只涉及 A,B,C 的等式或不等式表示条件)
16

【解】

充要条件为 A,B,C?0 且 A2+B2+C2?2(AB+BC+CA). ②

先证必要性,①可改写为 A(x-y)2-(B-A-C)(y-z)(x-y)+C(y-z)2?0

若 A=0,则由②对一切 x,y,z∈R 成立,则只有 B=C,再由①知 B=C=0,若 A 0,则因为 ②恒成立,所以 A>0,△=(B-A-C)2(y-z)2-4AC(y-z)2?0 恒成立,所以(B-A-C)2-4AC?0,即

A2+B2+C2?2(AB+BC+CA)
同理有 B?0,C?0,所以必要性成立。 再证充分性,若 A?0,B?0,C?0 且 A2+B2+C2?2(AB+BC+CA), 1)若 A=0,则由 B2+C2?2BC 得(B-C)2?0,所以 B=C,所以△=0,所以②成立,①成立。 2)若 A>0,则由③知△?0,所以②成立,所以①成立。 综上,充分性得证。 9.常用结论。 定理 1 若 a, b∈R, |a|-|b|?|a+b|?|a|+|b|. 因为-|a|?a?|a|,-|b|?b?|b|,所以-(|a|+|b|)?a+b?|a|+|b|,

【证明】

所以|a+b|?|a|+|b|(注:若 m>0,则-m?x?m 等价于|x|?m). 又|a|=|a+b-b|?|a+b|+|-b|, 即|a|-|b|?|a+b|.综上定理 1 得证。 定理 2 (证略) 注 定理 2 可以推广到 n 个正数的情况,在不等式证明一章中详细论证。 若 a,b∈R, 则 a2+b2?2ab;若 x,y∈R+,则 x+y?

三、基础训练题 1.下列四个命题中属于真命题的是________,①“若 x+y=0,则 x、y 互为相反数”的 逆命题;②“两个全等三角形的面积相等”的否命题;③“若 q?1,则 x2+x+q=0 有实根” 的逆否命题;④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题。

17

2.由上列各组命题构成“p 或 q”,“p 且 q”,“非 p”形式的复合命题中,p 或 q 为 真,p 且 q 为假,非 p 为真的是_________.①p;3 是偶数,q:4 是奇数;②p:3+2=6,q:③p:a ∈(a,b),q:{a} {a,b}; ④ p: Q R, q: N=Z.

3. 当|x-2|<a 时,不等式|x2-4|<1 成立,则正数 a 的取值范围是________. 4. 不等式 ax2+(ab+1)x+b>0 的解是 1<x<2,则 a, b 的值是____________. 5. x 1 且 x 2 是 x-1 的__________条件,而-2<m<0 且 0<n<1 是关于 x 的方程

x2+mx+n=0 有两个小于 1 的正根的__________条件.
6.命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的逆命题是_________. 7.若 S={x|mx2+5x+2=0}的子集至多有 2 个,则 m 的取值范围是_________.

8. R 为全集,A={x|3-x?4}, B=

, 则(CRA)∩B=_________.

9. 设 a, b 是整数,集合 A={(x,y)|(x-a)2+3b?6y},点(2,1)∈A,但点(1,0) A, (3,2) A 则 a,b 的值是_________. 10.设集合 A={x||x|<4}, B={x|x2-4x+3>0},则集合{x|x∈A 且 x A∩B}=_________. 11. 求使不等式 ax2+4x-1?-2x2-a 对任意实数 x 恒成立的 a 的取值范围。

12.对任意 x∈[0,1],有 四、高考水平训练题

①②成立,求 k 的取值范围。

1.若不等式|x-a|<x 的解集不空,则实数 a 的取值范围是_________. 2.使不等式 x2+(x-6)x+9>0 当|a|?1 时恒成立的 x 的取值范围是_________. 3.若不等式-x +kx-4<0 的解集为 R,则实数 k 的取值范围是_________. 4.若集合 A={x||x+7|>10}, B={x||x-5|<k},且 A∩B=B,则 k 的取值范围是_________. 5.设 a1、a2, b1、b2, c1、c2 均为非零实数,不等式 a1x2+b1x+c1>0 和 a2x2+b2x+c2>0 解集分
2

别为 M 和 N,那么“

”是“M=N”的_________条件。

18

6.若下列三个方程 x2+4ax-4a+3=0, x2+(a-1)x+a2=0, x2+2ax-2a=0 中至少有一个方程有 实根,则实数 a 的取值范围是_________. 7. 已知 p, q 都是 r 的必要条件, 是 r 的充分条件, 是 s 的充分条件, r 是 q 的_________ s q 则 条件。 8.已知 p: |1|?2, q: x2-2x+1-m2?0(m>0),若非 p 是非 q 的必要不充分条件,

则实数 m 的取值范围是_________. 9.已知 a>0,f(x)=ax +bx+c,对任意 x∈R 有 f(x+2)=f(2-x),若 f(1-2x )<f(1+2x-x ), 求 x 的取值范围。 10.已知 a, b, c∈R, f(x)=ax2+bx+c, g(x)=ax+b, 当|x|?1 时,|f(x)|?1, (1)求证:|c|?1; (2)求证:当|x|?1 时,|g(x)|?2; (3)当 a>0 且|x|?1 时,g(x)最大值为 2,求 f(x). 11.设实数 a,b,c,m 满足条件: 有一根 x0 满足 0<x0<1. 五、联赛一试水平训练题 1.不等式|x|3-2x2-4|x|+3<0 的解集是_________. =0, a?0,m>0, 且 求证: 方程 ax +bx+c=0
2 2 2 2

2.如果实数 x, y 满足:
2

,那么|x|-|y|的最小值是_________.

3.已知二次函数 f(x)=ax +bx+c 的图象经过点(1,1),(3,5),f(0)>0,当函数的 最小值取最大值时,a+b2+c3=_________. 4. 已知 f(x)=|1-2x|, x∈[0,1],方程 f(f(f)(x)))=

x 有_________个实根。

5. 若关于 x 的方程 4x2-4x+m=0 在[-1, 1]上至少有一个实根, m 取值范围是_________. 则 6.若 f(x)=x4+px3+qx2+x 对一切 x∈R 都有 f(x)?x 且 f(1)=1,则 p+q2=_________.
19

7. 对一切 x∈R,f(x)=ax +bx+c(a<b)的值恒为非负实数,则 _________. 8. 函数 f(x)=ax2+bx+c 的图象如图, 且 =、<)

2

的最小值为

=b-2ac. 那么 b2-4ac_________4.(填>、

9.若 a<b<c<d,求证:对任意实数 t -1, 关于 x 的方程(x-a)(x-c)+t(x-b)(x-d)=0 都 有两个不等的实根。 10.某人解二次方程时作如下练习:他每解完一个方程,如果方程有两个实根,他就给 出下一个二次方程:它的常数项等于前一个方程较大的根,x 的系数等于较小的根,二次项 系数都是 1。证明:这种练习不可能无限次继续下去,并求最多能延续的次数。 11.已知 f(x)=ax2+bx+c 在[0,1]上满足|f(x)|?1,试求|a|+|b|+|c|的最大值。

六、联赛二试水平训练题 1.设 f(x)=ax2+bx+c,a,b,c∈R, a>100,试问满足|f(x)|?50 的整数 x 最多有几个? 2.设函数 f(x)=ax2+8x+3(a<0),对于给定的负数 a,有一个最大的正数 l(a),使得在整 个区间[0,l(a)]上,不等式|f(x)|?5 都成立。求 l(a)的最大值及相应 a 的值。 , 求 f=y-x2 的最大值。

3.设 x1,x2,?,xn∈[a, a+1],且设 x=

, y=

4.F(x)=ax2+bx+c,a,b,c∈R, 且|F(0)|?1,|F(1)|?1,|F(-1)|?1,则对于|x|?1,求 |F(x)|的最大值。 5.已知 f(x)=x2+ax+b,若存在实数 m,使得|f(m)|? 大值和最小值。 6.设二次函数 f(x)=ax2+bx+c (a,b,c∈R, a 0)满足下列条件: 1)当 x∈R 时,f(x-4)=f(2-x),且 f(x)?x; ,|f(m+1)|? ,求△=a2-4b 的最

2)当 x∈(0, 2)时,f(x)?

;
20

3)f(x)在 R 上最小值为 0。 求最大的 m(m>1),使得存在 t∈R,只要 x∈[1, m]就有 f(x+t)?x. 7.求证:方程 3ax2+2bx-(a+b)=0(b 0)在(0,1)内至少有一个实根。 8. a,b,A,B∈R+, a<A, b<B, n 个正数 a1, a2,?,an 位于 a 与 A 之间, 个正数 b1, b2,?,bn 设 若 n 位于 b 与 B 之间,求证:

9.设 a,b,c 为实数,g(x)=ax2+bx+c, |x|?1,求使下列条件同时满足的 a, b, c 的值: (ⅰ) =381;

(ⅱ)g(x)max=444; (ⅲ)g(x)min=364.

高中数学竞赛讲义(三) ──函数 一、基础知识 定义 1 映射,对于任意两个集合 A,B,依对应法则 f,若对 A 中的任意一个元素 x,在

B 中都有唯一一个元素与之对应,则称 f: A→B 为一个映射。
定义 2 为单射。 定义 3 满射,若 f: A→B 是映射且对任意 y∈B,都有一个 x∈A 使得 f(x)=y,则称 f: A 单射,若 f: A→B 是一个映射且对任意 x, y∈A, x y, 都有 f(x) f(y)则称之

→B 是 A 到 B 上的满射。 定义 4 一一映射,若 f: A→B 既是单射又是满射,则叫做一一映射,只有一一映射存

在逆映射,即从 B 到 A 由相反的对应法则 f-1 构成的映射,记作 f-1: A→B。

21

定义 5

函数,映射 f: A→B 中,若 A,B 都是非空数集,则这个映射为函数。A 称为它

的定义域,若 x∈A, y∈B,且 f(x)=y(即 x 对应 B 中的 y),则 y 叫做 x 的象,x 叫 y 的原 象。集合{f(x)|x∈A}叫函数的值域。通常函数由解析式给出,此时函数定义域就是使解析 式有意义的未知数的取值范围,如函数 y=3 定义 6 -1 的定义域为{x|x?0,x∈R}.

反函数,若函数 f: A→B(通常记作 y=f(x))是一一映射,则它的逆映射 f-1: A

→B 叫原函数的反函数,通常写作 y=f-1(x). 这里求反函数的过程是:在解析式 y=f(x)中反 解 x 得 x=f-1(y),然后将 x, y 互换得 y=f-1(x),最后指出反函数的定义域即原函数的值域。 例如:函数 y= 定理 1 定理 2 定义 7 的反函数是 y=1(x 0).

互为反函数的两个函数的图象关于直线 y=x 对称。 在定义域上为增(减)函数的函数,其反函数必为增(减)函数。 函数的性质。

(1)单调性:设函数 f(x)在区间 I 上满足对任意的 x1, x2∈I 并且 x1< x2,总有

f(x1)<f(x2)(f(x)>f(x2)),则称 f(x)在区间 I 上是增(减)函数,区间 I 称为单调增(减)
区间。 (2)奇偶性:设函数 y=f(x)的定义域为 D,且 D 是关于原点对称的数集,若对于任意的

x∈D,都有 f(-x)=-f(x),则称 f(x)是奇函数;若对任意的 x∈D,都有 f(-x)=f(x),则称 f(x)是偶函数。奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称。
(3)周期性:对于函数 f(x),如果存在一个不为零的常数 T,使得当 x 取定义域内每一 个数时,f(x+T)=f(x)总成立,则称 f(x)为周期函数,T 称为这个函数的周期,如果周期中 存在最小的正数 T0,则这个正数叫做函数 f(x)的最小正周期。 定义 8 如果实数 a<b,则数集{x|a<x<b, x∈R}叫做开区间,记作(a,b),集合{x|a

?x?b,x∈R}记作闭区间[a,b],集合{x|a<x?b}记作半开半闭区间(a,b],集合{x|a?x<b} 记作半闭半开区间[a, b),集合{x|x>a}记作开区间(a, +∞),集合{x|x?a}记作半开半 闭区间(-∞,a].

22

定义 9

函数的图象, 点集{(x,y)|y=f(x), x∈D}称为函数 y=f(x)的图象, 其中 D 为 f(x)

的定义域。通过画图不难得出函数 y=f(x)的图象与其他函数图象之间的关系(a,b>0);(1) 向右平移 a 个单位得到 y=f(x-a)的图象; (2) 向左平移 a 个单位得到 y=f(x+a)的图象; (3) 向下平移 b 个单位得到 y=f(x)-b 的图象;(4)与函数 y=f(-x)的图象关于 y 轴对称;(5) 与函数 y=-f(-x)的图象关于原点成中心对称;(6)与函数 y=f-1(x)的图象关于直线 y=x 对 称;(7)与函数 y=-f(x)的图象关于 x 轴对称。 定理 3 复合函数 y=f[g(x)]的单调性, 记住四个字: “同增异减” 例如 y= 。 , u=2-x

在(-∞,2)上是减函数,y= 函数。

在(0,+∞)上是减函数,所以 y=

在(-∞,2)上是增

注:复合函数单调性的判断方法为同增异减。这里不做严格论证,求导之后是显然的。 二、方法与例题 1.数形结合法。 例1 求方程|x-1|= 的正根的个数.

【解】 分别画出 y=|x-1|和 y= 正根。

的图象,由图象可知两者有唯一交点,所以方程有一个

例2

求函数 f(x)=

的最大值。

23

【解】 f(x)= (0,1),则 f(x)表示动点 P 到点 A 和 B 距离的差。

,记点 P(x, x?2),A(3,2),B

因为|PA|-|PA|?|AB|= 时等号成立。 所以 f(x)max= 2.函数性质的应用。

,当且仅当 P 为 AB 延长线与抛物线 y=x2 的交点

例3

设 x, y∈R,且满足

,求 x+y.

【解】

设 f(t)=t3+1997t,先证 f(t)在(-∞,+∞)上递增。事实上,若 a<b,则

f(b)-f(a)=b3-a3+1997(b-a)=(b-a)(b2+ba+a2+1997)>0,所以 f(t)递增。
由题设 f(x-1)=-1=f(1-y),所以 x-1=1-y,所以 x+y=2. 例4 围。 【解】 因为 f(x) 是奇函数,所以 f(1-a2)=-f(a2-1),由题设 f(1-a)<f(a2-1)。 奇函数 f(x)在定义域(-1,1)内是减函数,又 f(1-a)+f(1-a2)<0,求 a 的取值范

又 f(x)在定义域(-1,1)上递减,所以-1<1-a<a2-1<1,解得 0<a<1。 例5 设 f(x)是定义在 (-∞, +∞) 上以 2 为周期的函数, k∈Z, 用 Ik 表示区间(2k-1, 对

2k+1],已知当 x∈I0 时,f(x)=x2,求 f(x)在 Ik 上的解析式。 【解】 设 x∈Ik,则 2k-1<x?2k+1,

所以 f(x-2k)=(x-2k)2. 又因为 f(x)是以 2 为周期的函数, 所以当 x∈Ik 时,f(x)=f(x-2k)=(x-2k)2. 例6 解方程:(3x-1)( )+(2x-3)(
24

+1)=0.

【解】 m(

令 m=3x-1, n=2x-3,方程化为 +1)+n( +1)=0. ①

若 m=0,则由①得 n=0,但 m, n 不同时为 0,所以 m 0, n 0. ⅰ)若 m>0,则由①得 n<0,设 f(t)=t( +1),则 f(t)在(0,+∞)上是增函数。又

f(m)=f(-n),所以 m=-n,所以 3x-1+2x-3=0,所以 x=

ⅱ)若 m<0,且 n>0。同理有 m+n=0,x=

,但与 m<0 矛盾。

综上,方程有唯一实数解 x= 3.配方法。 例7 求函数 y=x+ 的值域。

【解】

y=x+

=

[2x+1+2

+1]-1

=

(

+1)-1?

-1=-

.

当 x=-

时,y 取最小值-

,所以函数值域是[-

,+∞)。

4.换元法。 例8 求函数 y=( + + +2)( +1),x∈[0,1]的值域。 ?4,所以 ?u?2,

【解】令

=u,因为 x∈[0,1],所以 2?u2=2+2

所以

?

?2,1?

?2,所以 y= ,8]。

,u2∈[

+2,8]。

所以该函数值域为[2+ 5.判别式法。 例9 求函数 y=

的值域。

25

【解】由函数解析式得(y-1)x2+3(y+1)x+4y-4=0. ① 当 y 1 时,①式是关于 x 的方程有实根。 所以△=9(y+1)2-16(y-1)2?0,解得 ?y?1.

又当 y=1 时,存在 x=0 使解析式成立, 所以函数值域为[ 6.关于反函数。 例 10 若函数 y=f(x)定义域、 值域均为 R, 且存在反函数。 f(x)在(-∞,+ ∞)上递增, 若 ,7]。

求证:y=f-1(x)在(-∞,+ ∞)上也是增函数。 【证明】设 x1<x2, 且 y1=f-1(x1), y2=f-1(x2),则 x1=f(y1), x2=f(y2),若 y1?y2,则因为

f(x)在(-∞,+ ∞)上递增,所以 x1?x2 与假设矛盾,所以 y1<y2。
即 y=f-1(x)在(-∞,+ ∞)递增。 ,解方程:f(x)=f-1(x).

例 11

设函数 f(x)=

【解】 首先 f(x)定义域为(-∞,-

)∪[-

,+∞);其次,设 x1, x2 是定义域内变

量,且 x1<x2<-

;

=

>0,

所以 f(x)在(-∞,-

)上递增,同理 f(x)在[-

,+∞)上递增。

在方程 f(x)=f-1(x)中,记 f(x)=f-1(x)=y,则 y?0,又由 f-1(x)=y 得 f(y)=x,所以 x? 0,所以 x,y∈[,+∞).

若 x y,设 x<y,则 f(x)=y<f(y)=x,矛盾。 同理若 x>y 也可得出矛盾。所以 x=y. 即 f(x)=x,化简得 3x5+2x4-4x-1=0, 即(x-1)(3x4+5x3+5x2+5x+1)=0,
26

因为 x?0,所以 3x4+5x3+5x2+5x+1>0,所以 x=1. 三、基础训练题 1.已知 X={-1, 0, 1}, Y={-2, -1, 0, 1, 2},映射 f:X→Y 满足:对任意的 x∈X,它 在 Y 中的象 f(x)使得 x+f(x)为偶数,这样的映射有_______个。 2.给定 A={1,2,3},B={-1,0,1}和映射 f:X→Y,若 f 为单射,则 f 有_______个; 若 f 为满射,则 f 有_______个;满足 f[f(x)] =f(x)的映射有_______个。 3. 若直线 y=k(x-2)与函数 y=x2+2x 图象相交于点 (-1, , -1) 则图象与直线一共有_______ 个交点。 4.函数 y=f(x)的值域为[ ],则函数 g(x)=f(x)+ 的值域为_______。

5.已知 f(x)=

,则函数 g(x)=f[f(x)]的值域为_______。

6.已知 f(x)=|x+a|,当 x?3 时 f(x)为增函数,则 a 的取值范围是_______。 7.设 y=f(x)在定义域( ,2)内是增函数,则 y=f(x2-1)的单调递减区间为_______。
-1

8.若函数 y= (x)存在反函数 y= 线_______对称。 9.函数 f(x)满足 10. 函数 y=

(x),则 y=

-1

(x)的图象与 y=- (-x)的图象关于直

=1-

,则 f(

)=_______。

, x∈(1, +∞)的反函数是_______。

11.求下列函数的值域:(1)y=

; (2)y=

;

(3)y=x+2 12. 已知

; (4) y= 定义在 R 上,对任意 x∈R, f(x)=f(x+2),且 f(x)是偶函数,又当 x

∈[2,3]时,f(x)=x,则当 x∈[-2,0]时,求 f(x)的解析式。 四、高考水平训练题
27

1.已知 a∈ _______。

, f(x)定义域是(0,1],则 g(x)=f(x+a)+f(x-a)+f(x)的定义域为

2.设 0?a<1 时,f(x)=(a-1)x2-6ax+a+1 恒为正值。则 f(x)定义域为_______。 3.映射 f: {a, b, c, d}→{1,2,3}满足 10<f(a)·f(b)·f(c)·f(d)<20,这样的映 射 f 有_______个。 4.设函数 y=f(x)(x∈R)的值域为 R,且为增函数,若方程 f(x)=x 解集为 P,f[f(x)]=x 解集为 Q,则 P,Q 的关系为:P_______Q(填=、 、 )。

5.下列函数是否为奇函数:(1)f(x)=(x-1) (x)= ;(4)y=

;(2)g(x)=|2x+1|-|2x-1| ; (3)

6. 设函数 y=f(x)(x∈R 且 x 0),对任意非零实数 x1, x2 满足 f(x1x2)=f(x1)+f(x2),又

f(x)在(0,+∞)是增函数,则不等式 f(x)+f(x- )?0 的解集为_______。

7. 函数 f(x)=

, 其中 P, 为 R 的两个非空子集, M 又规定 f(P)={y|y=f(x), ,则 f(P) ∩f(M)= ;②若

x∈P}, f(M)={y|y=f(x), x∈M},给出如下判断:①若 P∩M= P∩M
, f(P) ∩f(M) 则

; ③若 P∪M=R, 则 f(P) ∪f(M)=R; ④若 P∪M R, f(P) ∪ 则

f(M) R. 其中正确的判断是_______。
8.函数 y=f(x+1)的反函数是 y=f-1(x+1),并且 f(1)=3997,则 f(1998)= _______。 9.已知 y=f(x)是定义域为[-6,6]的奇函数,且当 x∈[0,3]时是一次函数,当 x∈[3, 6]时是二次函数,又 f(6)=2,当 x∈[3,6]时,f(x)?f(5)=3。求 f(x)的解析式。 10.设 a>0,函数 f(x)定义域为 R,且 f(x+a)= 函数。 ,求证:f(x)为周期

28

11.设关于 x 的方程 2x -tx-2=0 的两根为α ,β (α <β ),已知函数 f(x)=

2

,(1)

求 f(α )、f(β );(2)求证:f(x)在[α ,β ]上是增函数;(3)对任意正数 x1, x2,求证:

<2|α -β |.

五、联赛一试水平训练题 1.奇函数 f(x)存在函数 f-1(x),若把 y=f(x)的图象向上平移 3 个单位,然后向右平移 2 个单位后,再关于直线 y=-x 对称,得到的曲线所对应的函数是________. 2.若 a>0,a 1,F(x)是奇函数,则 G(x)=F(x) 是________(奇偶性).

3.若

=x,则下列等式中正确的有________.①F(-2-x)=-2-F(x);②F(-x)=

;③F(x-1)=F(x);④F(F(x))=-x. 4.设函数 f:R→R 满足 f(0)=1,且对任意 x,y∈R,都有 f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2, 则 f(x)=________. 5. 已知 f(x)是定义在 R 上的函数, (1)=1, f 且对任意 x∈R 都有 f(x+5)?f(x)+5, f(x+1) ?f(x)+1。若 g(x)=f(x)+1-x,则 g(2002)= ________.

6. 函数 f(x)=

的单调递增区间是________.

7. 函数 f(x)= 8. 函数 y=x+

的奇偶性是:________奇函数,________偶函数(填是,非)。 的值域为________.

9.设 f(x)=

,

对任意的 a∈R,记 V(a)=max{f(x)-ax|x∈[1, 3]}-min{f(x)-ax|x∈[1, 3]},试求 V(a) 的最小值。
29

10.解方程组:

(在实数范围内)

11.设 k∈N+, f: N+→N+满足:(1)f(x)严格递增;(2)对任意 n∈N+, 有 f[f(n)]=kn, 求证:对任意 n∈N+, 都有 六、联赛二试水平训练题 1. 求证: 恰有一个定义在所有非零实数上的函数 f, 满足:1) ( 对任意 x≠0, f(x)=x· f (2)对所有的 x≠-y 且 xy≠0,有 f(x)+f(y)=1+f(x+y). 2.设 f(x)对一切 x>0 有定义,且满足: (ⅰ)f(x)在(0,+∞)是增函数;(ⅱ)任意 x>0,

n?f(n)?



f(x)f

=1,试求 f(1).

3. f:[0,1]→R 满足:(1)任意 x∈[0, 1], f(x)?0;(2)f(1)=1;(3)当 x, y, x+y ∈[0, 1]时,f(x)+f(y)?f(x+y),试求最小常数 c,对满足(1),(2),(3)的函数 f(x) 都有 f(x)?cx. 4. 试求 f(x,y)=6(x2+y2)(x+y)-4(x2+xy+y2)-3(x+y)+5(x>0, y>0)的最小值。 5.对给定的正数 p,q∈(0, 1),有 p+q>1?p2+q2,试求 f(x)=(1-x) + 在[1-q,p]上的最大值。

6.已知 f: (0,1)→R 且 f(x)=

.

当 x∈

时,试求 f(x)的最大值。

7. 函数 f(x)定义在整数集上, 且满足 f(n)=

, f(100)的值。 求

30

8.函数 y=f(x)定义在整个实轴上,它的图象在围绕坐标原点旋转角 证:方程 f(x)=x 恰有一个解;(2)试给出一个具有上述性质的函数。

后不变。(1)求

9.设 Q+是正有理数的集合,试构造一个函数 f: Q+→Q+,满足这样的条件:

f(xf(y))=

x, y∈Q+.

高中数学竞赛讲义(四) ──几个初等函数的性质 一、基础知识 1.指数函数及其性质:形如 y=ax(a>0, a 1)的函数叫做指数函数,其定义域为 R,值域 为(0,+∞),当 0<a<1 时,y=ax 是减函数,当 a>1 时,y=ax 为增函数,它的图象恒过定点 (0,1)。

2.分数指数幂:



3.对数函数及其性质:形如 y=logax(a>0, a 1)的函数叫做对数函数,其定义域为(0, +∞),值域为 R,图象过定点(1,0)。当 0<a<1,y=logax 为减函数,当 a>1 时,y=logax 为增函数。 4.对数的性质(M>0, N>0); 1)ax=M

x=logaM(a>0, a 1);

2)loga(MN)= loga M+ loga N; 3)loga( )= loga M- loga N;4)loga Mn=n loga M;,

5)loga

=

loga M;6)aloga M=M; 7) loga b=

(a,b,c>0, a, c 1).

31

5. 函数 y=x+ (a>0)的单调递增区间是 和 。(请读者自己用定义证明)



,单调递减区间为

6. 连续函数的性质: a<b, f(x)在[a, b]上连续, f(a)· (b)<0, f(x)=0 在 a,b) 若 且 f 则 ( 上至少有一个实根。 二、方法与例题 1.构造函数解题。 例1 已知 a, b, c∈(-1, 1),求证:ab+bc+ca+1>0.

【证明】 设 f(x)=(b+c)x+bc+1 (x∈(-1, 1)),则 f(x)是关于 x 的一次函数。 所以要证原不等式成立,只需证 f(-1)>0 且 f(1)>0(因为-1<a<1). 因为 f(-1)=-(b+c)+bc+1=(1-b)(1-c)>0,

f(1)=b+c+bc+a=(1+b)(1+c)>0,
所以 f(a)>0,即 ab+bc+ca+1>0. 例2 (柯西不等式)若 a1, a2,?,an 是不全为 0 的实数,b1, b2,?,bn∈R,则 )·( )?( )2,等号当且仅当存在 R,使 ai= , i=1, 2, ?, n



时成立。 【证明】 令 f(x)= ( )x2-2( )x+ = ,

因为

>0,且对任意 x∈R, f(x)?0,

所以△=4(

)-4(

)(

)?0.

展开得(

)(

)?(

)2。 ,使 ai= , i=1, 2, ?, n。

等号成立等价于 f(x)=0 有实根,即存在

例3

设 x, y∈R+, x+y=c, c 为常数且 c∈(0, 2],求 u=
32

的最小值。

【解】u=

=xy+

?xy+

+2·

=xy+

+2.

令 xy=t,则 0<t=xy?

,设 f(t)=t+ ,0<t?

因为 0<c?2,所以 0<

?1,所以 f(t)在

上单调递减。

所以 f(t)min=f(

)=

+

,所以 u?

+

+2.

当 x=y=

时,等号成立. 所以 u 的最小值为

+

+2.

2.指数和对数的运算技巧。 例4 设 p, q∈R+且满足 log9p= log12q= log16(p+q),求 的值。

【解】

令 log9p= log12q= log16(p+q)=t,则 p=9 t , q=12 t , p+q=16t,

所以 9 t +12 t =16 t,即 1+

记 x=

,则 1+x=x2,解得



>0,所以

=

例5

对于正整数 a, b, c(a?b?c)和实数 x, y, z, w, ax=by=cz=70w, 若 且



求证:a+b=c. 【证明】 所以 由 ax=by=cz=70w 取常用对数得 xlga=ylgb=zlgc=wlg70.

lga= lg70,

lgb=

lg70,

lgc= lg70,

相加得

(lga+lgb+lgc)=

lg70,由题设
33



所以 lga+lgb+lgc=lg70,所以 lgabc=lg70. 所以 abc=70=2×5×7. 若 a=1,则因为 xlga=wlg70,所以 w=0 与题设矛盾,所以 a>1. 又 a?b?c,且 a, b, c 为 70 的正约数,所以只有 a=2, b=5, c=7. 所以 a+b=c. 例6 已知 x 1, ac 1, a 1, c 1. 且 logax+logcx=2logbx,求证 c2=(ac)logab. 由题设 logax+logcx=2logbx,化为以 a 为底的对数,得

【证明】

, 因为 ac>0, ac 1,所以 logab=logacc2,所以 c2=(ac)logab. 注:指数与对数式互化,取对数,换元,换底公式往往是解题的桥梁。 3.指数与对数方程的解法。 解此类方程的主要思想是通过指对数的运算和换元等进行化简求解。值得注意的是函数 单调性的应用和未知数范围的讨论。 例7 解方程:3x+4 x +5 x =6 x.

【解】 方程可化为

=1。设 f(x)=

, 则 f(x)在(-

∞,+∞)上是减函数,因为 f(3)=1,所以方程只有一个解 x=3.

例8

解方程组:

(其中 x, y∈R+).

【解】

两边取对数,则原方程组可化为

①②

把①代入②得(x+y)2lgx=36lgx,所以[(x+y)2-36]lgx=0. 由 lgx=0 得 x=1,由(x+y)2-36=0(x, y∈R+)得 x+y=6, 代入①得 lgx=2lgy,即 x=y2,所以 y2+y-6=0. 又 y>0,所以 y=2, x=4.

34

所以方程组的解为 例9

.

已知 a>0, a 1,试求使方程 loga(x-ak)=loga2(x2-a2)有解的 k 的取值范围。

【解】由对数性质知,原方程的解 x 应满足 若①、②同时成立,则③必成立,

.①②③

故只需解 由①可得 2kx=a(1+k2), ④

.

当 k=0 时,④无解;当 k 0 时,④的解是 x=

,代入②得

>k.

若 k<0,则 k2>1,所以 k<-1;若 k>0,则 k2<1,所以 0<k<1. 综上,当 k∈(-∞,-1) ∪(0, 1)时,原方程有解。

三、基础训练题 1.命题 p: “(log23)x-(log53)x?(log23)-y-(log53)-y”是命题 q:“x+y?0”的_________ 条件。 2.如果 x1 是方程 x+lgx=27 的根,x2 是方程 x+10x=27 的根,则 x1+x2=_________. 3.已知 f(x)是定义在 R 上的增函数,点 A(-1,1),B(1,3)在它的图象上,y=f-1(x) 是它的反函数,则不等式|f-1(log2x)|<1 的解集为_________。 4.若 log2a <0,则 a 取值范围是_________。

5. 命题 p: 函数 y=log2

在[2, +∞) 上是增函数; 命题 q: 函数 y=log2(ax2-4x+1)

的值域为 R,则 p 是 q 的_________条件。 6.若 0<b<1, a>0 且 a 1,比较大小:|loga(1-b)|_________|loga(1+b). 7.已知 f(x)=2+log3x, x∈[1, 3],则函数 y=[f(x)]2+f(x2)的值域为_________。
35

8.若 x=

,则与 x 最接近的整数是_________。

9.函数

的单调递增区间是_________。

10.函数 f(x)=

的值域为_________。

11.设 f(x)=lg[1+2x+3 x +?+(n-1) x +n x·a],其中 n 为给定正整数, n?2, a∈R.若

f(x)在 x∈(-∞,1]时有意义,求 a 的取值范围。
12.当 a 为何值时,方程 四、高考水平训练题 =2 有一解,二解,无解?

1.函数 f(x)=

+lg(x2-1)的定义域是_________.

2.已知不等式 x2-logmx<0 在 x∈

时恒成立,则 m 的取值范围是_________.

3.若 x∈{x|log2x=2-x},则 x2, x, 1 从大到小排列是_________. 4. 若 f(x)=ln ,则使 f(a)+f(b)=

_________.

5. 命题 p: 函数 y=log2

在[2, +∞) 上是增函数; 命题 q: 函数 y=log2(ax2-4x+1)

的值域为 R,则 p 是 q 的_________条件. 6.若 0<b<1, a>0 且 a 1,比较大小:|loga(1-b)| _________|loga(1+b)|. 7.已知 f(x)=2+log3x, x∈[1, 3],则函数 y=[f(x)]2+f(x2)的值域为_________.

8.若 x=

,则与 x 最接近的整数是_________.

9.函数 y=

的单调递增区间是_________.
36

10.函数 f(x)=

的值域为_________.

11.设 f(x)=lg[1+2x+3 x +?+(n-1) x +n x·a],其中 n 为给定正整数,n?2,a∈R。若

f(x) 在 x∈(-∞,1]时有意义,求 a 的取值范围。
12.当 a 为何值时,方程 四、高考水平训练题 =2 有一解,二解,无解?

1.函数 f(x)=

+lg(x2-1)的定义域是__________.

2.已知不等式 x2-logmx<0 在 x∈

时恒成立,则 m 的取值范围是 ________.

3.若 x∈{x|log2x=2-x},则 x2, x, 1 从大到小排列是________. 4.若 f(x)=ln ,则使 f(a)+f(b)= 成立的 a, b 的取值范围是________.

5.已知 an=logn(n+1),设 的值为_________.

,其中 p, q 为整数,且(p ,q)=1,则 p·q

6.已知 x>10, y>10, xy=1000,则(lgx)·(lgy)的取值范围是________. 7.若方程 lg(kx)=2lg(x+1)只有一个实数解,则实数 k 的取值范围是________.

8.函数 f(x)=

的定义域为 R,若关于 x 的方程 f?2(x)+bf(x)+c=0 有 7

个不同的实数解,则 b, c 应满足的充要条件是________. (1)b<0 且 c>0;(2)b>0 且 c<0;(3)b<0 且 c=0;(4)b?0 且 c=0。 9.已知 f(x)= 奇偶性).

x, F(x)=f(x+t)-f(x-t)(t 0),则 F(x)是________函数(填

37

10.已知 f(x)=lg

,若

=1,

=2,其中|a|<1, |b|<1,则

f(a)+f(b)=________.
11.设 a∈R,试讨论关于 x 的方程 lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)的实数解的个数。 12.设 f(x)=|lgx|,实数 a, b 满足 0<a<b, f(a)=f(b)=2f (1)a4+2a2-4a+1=0, b4-4b3+2b2+1=0;(2)3<b<4. 13.设 a>0 且 a 1, f(x)=loga(x+ )(x?1),(1)求 f(x)的反函数 f-1(x);(2) ,求证:

若 f-1(n)<

(n∈N+),求 a 的取值范围。

五、联赛一试水平训练题 1.如果 log2[log (log2x)]= log3[log (log3x)]= log5[log (log5z)]=0,那么将 x, y, z 从小到大排列为___________. 2.设对任意实数 x0> x1> x2> x3>0,都有 log 恒成立,则 k 的最大值为___________. 3.实数 x, y 满足 4x2-5xy+4y2=5,设 S=x2+y2,则 的值为___________. 1993+ log 1993+ log 1993> klog

1993

4.已知 0<b<1, 00<α <450,则以下三个数:x=(sinα )logbsina, y=(cosα ) logbsina, z=(sin α ) logbsina 从小到大排列为___________. 5.用[x]表示不超过 x 的最大整数,则方程 lg2x-[lgx]-2=0 的实根个数是___________. 6.设 a=lgz+lg[x(yz)-1+1], b=lgx-1+lg[xyz+1], c=lgy+lg[(xyz)-1+1],记 a, b, c 中 的最大数为 M,则 M 的最小值为___________. 7.若 f(x)(x∈R)是周期为 2 的偶函数,当 x∈[0,1]时,f(x)= ,则 ,

由小到大排列为___________.
38

8.不等式

+2>0 的解集为___________.

9.已知 a>1, b>1,且 lg(a+b)=lga+lgb,求 lg(a-1)+lg(b-1).

10.(1)试画出由方程

所确定的函数 y=f(x)图象。

(2)若函数 y=ax+

与 y=f(x)的图象恰有一个公共点,求 a 的取值范围。 ]+[ ]+?+[ ]=[log2n]+[log3n]+?+[lognn]。

11. 对于任意 n∈N+(n>1), 试证明: [ 六、联赛二试水平训练题

1.设 x, y, z∈R+且 x+y+z=1,求 u=

的最小值。

2.当 a 为何值时,不等式 log 解(a>1 且 a 1)。

·log5(x2+ax+6)+loga3?0 有且只有一个

3.f(x)是定义在(1,+∞)上且在(1,+∞)中取值的函数,满足条件;对于任何 x, y>1 及 u, v>0, f(xuyv)?[f(x)] [f(y)] ①都成立,试确定所有这样的函数 f(x).

4. 求所有函数 f:R→R,使得 xf(x)-yf(x)=(x-y)f(x+y)①成立。 5.设 m?14 是一个整数,函数 f:N→N 定义如下:

f(n)=

,

求出所有的 m,使得 f(1995)=1995. 6.求定义在有理数集上且满足下列条件的所有函数 f:

f(x+y)=f(x)+f(y)+f(x)·f(y), x, y∈Q.
7. 是否存在函数 f(n), 将自然数集 N 映为自身, 且对每个 n>1, f(n)=f(f(n-1))+f(f(n+1)) 都成立。

39

8.设 p, q 是任意自然数,求证:存在这样的 f(x) ∈Z(x)(表示整系数多项式集合),

使对 x 轴上的某个长为

的开区间中的每一个数 x, 有

9. 设α , 为实数, β 求所有 f: R+→R, 使得对任意的 x,y∈R+, f(x)f(y)=y2· f 成立。

高中数学竞赛讲义(五) ──数列 一、基础知识 定义 1 数列,按顺序给出的一列数,例如 1,2,3,?,n,?. 数列分有穷数列和无

穷数列两种,数列{an}的一般形式通常记作 a1, a2, a3,?,an 或 a1, a2, a3,?,an?。其中

a1 叫做数列的首项,an 是关于 n 的具体表达式,称为数列的通项。
定理 1 定义 2 若 Sn 表示{an}的前 n 项和,则 S1=a1, 当 n>1 时,an=Sn-Sn-1. 等差数列,如果对任意的正整数 n,都有 an+1-an=d(常数),则{an}称为等差数

列,d 叫做公差。若三个数 a, b, c 成等差数列,即 2b=a+c,则称 b 为 a 和 c 的等差中项, 若公差为 d, 则 a=b-d, c=b+d. 定理 2 S n= 等差数列的性质:1)通项公式 an=a1+(n-1)d;2)前 n 项和公式: ;3)an-am=(n-m)d,其中 n, m 为正整数;4)若 n+m=p+q,则

an+am=ap+aq;5)对任意正整数 p, q,恒有 ap-aq=(p-q)(a2-a1);6)若 A,B 至少有一个不为
零,则{an}是等差数列的充要条件是 Sn=An2+Bn.

定义 3 比。

等比数列,若对任意的正整数 n,都有

,则{an}称为等比数列,q 叫做公

40

定理 3

等比数列的性质:1)an=a1qn-1;2)前 n 项和 Sn,当 q 1 时,Sn=

;当

q=1 时,Sn=na1;3)如果 a, b, c 成等比数列,即 b2=ac(b 0),则 b 叫做 a, c 的等比中项;
4)若 m+n=p+q,则 aman=apaq。 定义 4 极限,给定数列{an}和实数 A,若对任意的 >0,存在 M,对任意的 n>M(n∈N),

都有|an-A|< ,则称 A 为 n→+∞时数列{an}的极限,记作 定义 5 无穷递缩等比数列,若等比数列{an}的公比 q 满足|q|<1,则称之为无穷递增等

比数列,其前 n 项和 Sn 的极限(即其所有项的和)为 定理 3

(由极限的定义可得)。

第一数学归纳法:给定命题 p(n),若:(1)p(n0)成立;(2)当 p(n)时 n=k 成

立时能推出 p(n)对 n=k+1 成立,则由(1),(2)可得命题 p(n)对一切自然数 n?n0 成立。

竞赛常用定理 定理 4 第二数学归纳法:给定命题 p(n),若:(1)p(n0)成立;(2)当 p(n)对一切 n

?k 的自然数 n 都成立时(k?n0)可推出 p(k+1)成立,则由(1),(2)可得命题 p(n)对 一切自然数 n?n0 成立。 定理 5 对于齐次二阶线性递归数列 xn=axn-1+bxn-2,设它的特征方程 x2=ax+b 的两个根为 β ,则 xn=c1an-1+c2β
n-1 n-1

α ,β :(1)若α

,其中 c1, c2 由初始条件 x1, x2 的值确定;(2)若α =

β ,则 xn=(c1n+c2) α 二、方法与例题

,其中 c1, c2 的值由 x1, x2 的值确定。

1.不完全归纳法。 这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律,当然结论未必都是正确的,但却是人 类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为:特殊→猜想→数学归纳法证明。 例1 试给出以下几个数列的通项(不要求证明);1)0,3,8,15,24,35,?;2)

1,5,19,65,?;3)-1,0,3,8,15,?。 【解】1)an=n2-1;2)an=3n-2n;3)an=n2-2n.
41

例2

已知数列{an}满足 a1=

,a1+a2+?+an=n an, n?1,求通项 an.

2

【解】

因为 a1=

,又 a1+a2=22·a2,

所以 a2=

,a3=

,猜想

(n?1).

证明;1)当 n=1 时,a1=

,猜想正确。2)假设当 n?k 时猜想成立。
2

当 n=k+1 时,由归纳假设及题设,a1+ a1+?+a1=[(k+1) -1] ak+1,, 所以 =k(k+2)ak+1,



=k(k+2)ak+1,

所以

=k(k+2)ak+1,所以 ak+1=

由数学归纳法可得猜想成立,所以

例3

设 0<a<1,数列{an}满足 an=1+a, an-1=a+ 证明更强的结论:1<an?1+a.

,求证:对任意 n∈N+,有 an>1.

【证明】

1)当 n=1 时,1<a1=1+a,①式成立; 2)假设 n=k 时,①式成立,即 1<an?1+a,则当 n=k+1 时,有

由数学归纳法可得①式成立,所以原命题得证。 2.迭代法。 数列的通项 an 或前 n 项和 Sn 中的 n 通常是对任意 n∈N 成立, 因此可将其中的 n 换成 n+1 或 n-1 等,这种办法通常称迭代或递推。

42

例4

数列{an}满足 an+pan-1+qan-2=0, n?3,q 0,求证:存在常数 c,使得 ·an+

【证明】

·an+1+

(pan+1+an+2)+

=an+2·(-qan)+ ). + =0,取 c=0 即可.

=

+an(pqn+1+qan)]=q( 若 若 等比数列。 所以 + = ·qn. =0,则对任意 n, 0,则{ +

}是首项为

,公式为 q 的

取 综上,结论成立。 例5

·

即可.

已知 a1=0, an+1=5an+

,求证:an 都是整数,n∈N+.

【证明】

因为 a1=0, a2=1,所以由题设知当 n?1 时 an+1>an. 移项、平方得 ①

又由 an+1=5an+

当 n?2 时,把①式中的 n 换成 n-1 得 ② 因为 an-1<an+1,所以①式和②式说明 an-1, an+1 是方程 x2-10anx+ 韦达定理得 an+1+ an-1=10an(n?2). 再由 a1=0, a2=1 及③式可知,当 n∈N+时,an 都是整数。 3.数列求和法。 数列求和法主要有倒写相加、裂项求和法、错项相消法等。 例6 已知 an= (n=1, 2, ?),求 S99=a1+a2+?+a99.

,即

-1=0 的两个不等根。由

43

【解】 因为 an+a100-n=

+

=



所以 S99=

例7

求和:

+?+

【解】

一般地,



所以 Sn=

例8

已知数列{an}满足 a1=a2=1,an+2=an+1+an, Sn 为数列

的前 n 项和,求证:Sn<2。

【证明】

由递推公式可知,数列{an}前几项为 1,1,2,3,5,8,13。

因为





所以





由①-②得



所以


44

又因为 Sn-2<Sn 且

>0,

所以

Sn, 所以



所以 Sn<2,得证。 4.特征方程法。 例9 已知数列{an}满足 a1=3, a2=6, an+2=4n+1-4an,求 an. 由特征方程 x2=4x-4 得 x1=x2=2.

【解】

故设 an=(α +β n)·2n-1,其中 所以α =3,β =0, 所以 an=3·2n-1. 例 10 【解】



已知数列{an}满足 a1=3, a2=6, an+2=2an+1+3an,求通项 an. 由特征方程 x2=2x+3 得 x1=3, x2=-1,

所以 an=α ·3n+β ·(-1)n,其中



解得α =

,β



所以

·3]。

5.构造等差或等比数列。 例 11 正数列 a0,a1,?,an,?满足 =2an-1(n?2)且 a0=a1=1,求通项。

【解】





=1,



令 bn=

+1,则{bn}是首项为

+1=2,公比为 2 的等比数列,
45

所以 bn=

+1=2n,所以

=(2n-1)2,

所以 an=

·

?

·

·a0=

注:

C1·C2·?·Cn.

例 12

已知数列{xn}满足 x1=2, xn+1=

,n∈N+, 求通项。

【解】

考虑函数 f(x)=

的不动点,由

=x 得 x=

因为 x1=2, xn+1= 又 +2?

,可知{xn}的每项均为正数。 ,所以 xn+1? (n?1)。又

Xn+1-

=

=

,



Xn+1+

=

=

,



由①÷②得







>0,

由③可知对任意 n∈N+,

>0 且

,

所以

是首项为

,公比为 2 的等比数列。

所以

·

,所以



解得

·


46

注:本例解法是借助于不动点,具有普遍意义。 三、基础训练题 1. 数列{xn}满足 x1=2, xn+1=Sn+(n+1), 其中 Sn 为{xn}前 n 项和, n?2 时, n=_________. 当 x

2. 数列{xn}满足 x1=

,xn+1=

,则{xn}的通项 xn=_________.

3. 数列{xn}满足 x1=1,xn=

+2n-1(n?2),则{xn}的通项 xn=_________.

4. 等差数列{an}满足 3a8=5a13,且 a1>0, Sn 为前 n 项之和,则当 Sn 最大时,n=_________. 5. 等比数列{an}前 n 项之和记为 Sn,若 S10=10,S30=70,则 S40=_________. 6. 数列{xn}满足 xn+1=xn-xn-1(n?2),x1=a, x2=b, Sn=x1+x2+?+ xn,则 S100=_________. 7. 数列{an}中,Sn=a1+a2+?+an=n2-4n+1 则|a1|+|a2|+?+|a10|=_________.

8. 若

,并且 x1+x2+?+ xn=8,则 x1=_________.

9. 等差数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn,若

,则

=_________.

10. 若 n!=n(n-1)?2·1, 则

=_________.

11. an}是无穷等比数列, n 为正整数, 若{ a 且满足 a5+a6=48, log2a2· 2a3+ log2a2· 2a5+ log log

log2a2·log2a6+ log2a5·log2a6=36,求

的通项。 }是公比为 q 的等比数列,且 b1=1,

12.已知数列{an}是公差不为零的等差数列,数列{

b2=5, b3=17, 求:(1)q 的值;(2)数列{bn}的前 n 项和 Sn。

四、高考水平训练题

47

1.已知函数 f(x)= 则 a2006=_____________.

,若数列{an}满足 a1=

,an+1=f(an)(n∈N+),

2.已知数列{an}满足 a1=1, an=a1+2a2+3a3+?+(n-1)an-1(n?2),则{an}的通项

a n=
3. 若 an=n2+

. , 且{an}是递增数列,则实数 的取值范围是__________.

4. 设正项等比数列{an}的首项 a1=

, 前 n 项和为 Sn, 且 210S30-(210+1)S20+S10=0,则

an=_____________.
5. 已知 ,则 a 的取值范围是______________.

6.数列{an}满足 an+1=3an+n(n ∈N+) ,存在_________个 a1 值,使{an}成等差数列;存在 ________个 a1 值,使{an}成等比数列。

7.已知 ____________.

(n ∈N+),则在数列{an}的前 50 项中,最大项与最小项分别是

8.有 4 个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个 数的和中 16,第二个数与第三个数的和是 12,则这四个数分别为____________. 9. 设{an}是由正数组成的数列,对于所有自然数 n, an 与 2 的等差中项等于 Sn 与 2 的等 比中项,则 an=____________. 10. 在公比大于 1 的等比数列中, 最多连续有__________项是在 100 与 1000 之间的整数. 11.已知数列{an}中,an 0,求证:数列{an}成等差数列的充要条件是 (n?2)①恒成立。
48

12.已知数列{an}和{bn}中有 an=an-1bn, bn=

(n?2), 当 a1=p, b1=q(p>0, q>0)且

p+q=1 时,(1)求证:an>0, bn>0 且 an+bn=1(n∈N);(2)求证:an+1=
列 13.是否存在常数 a, b, c,使题设等式 1·22+2·32+?+n·(n+1)2= (an2+bn+c)

;(3)求数

对于一切自然数 n 都成立?证明你的结论。 五、联赛一试水平训练题 1.设等差数列的首项及公差均为非负整数,项数不少于 3,且各项和为 972,这样的数列 共有_________个。

2.设数列{xn}满足 x1=1, xn= 3. 设数列{an}满足 a1=3, an>0,且

,则通项 xn=__________. ,则通项 an=__________.

4. 已知数列 a0, a1, a2, ?, an, ?满足关系式(3-an+1)·(6+an)=18,且 a0=3,则 =__________. 5. 等比数列 a+log23, a+log43, a+log83 的公比为=__________. 6. 各项均为实数的等差数列的公差为 4,其首项的平方与其余各项之和不超过 100,这 样的数列至多有__________项.

7. 数列{an}满足 a1=2, a2=6, 且

=2,则

________.

49

8. 数列{an} 称为等差比数列,当且仅当此数列满足 a0=0, {an+1-qan}构成公比为 q 的等 比数列,q 称为此等差比数列的差比。那么,由 100 以内的自然数构成等差比数列而差比大 于 1 时,项数最多有__________项.

9.设 h∈N+,数列{an}定义为:a0=1, an+1= 在大于 0 的整数 n,使得 an=1?

。问:对于怎样的 h,存

10.设{ak}k?1 为一非负整数列,且对任意 k?1,满足 ak?a2k+a2k+1,(1)求证:对任意正 整数 n,数列中存在 n 个连续项为 0;(2)求出一个满足以上条件,且其存在无限个非零项 的数列。 11.求证:存在唯一的正整数数列 a1,a2,?,使得

a1=1, a2>1, an+1(an+1-1)=

六、联赛二试水平训练题 1.设 an 为下述自然数 N 的个数:N 的各位数字之和为 n 且每位数字只能取 1,3 或 4,求 证:a2n 是完全平方数,这里 n=1, 2,?. 2.设 a1, a2,?, an 表示整数 1,2,?,n 的任一排列,f(n)是这些排列中满足如下性质 的排列数目:①a1=1; ②|ai-ai+1|?2, i=1,2,?,n-1。 试问 f(2007)能否被 3 整除? 3.设数列{an}和{bn}满足 a0=1,b0=0,且

求证:an (n=0,1,2,?)是完全平方数。 4.无穷正实数数列{xn}具有以下性质:x0=1,xi+1<xi (i=0,1,2,?),

50

(1)求证:对具有上述性质的任一数列,总能找到一个 n?1,使 3.999 均成立;

?

(2)寻求这样的一个数列使不等式

<4 对任一 n 均成立。

5.设 x1,x2,?,xn 是各项都不大于 M 的正整数序列且满足 xk=|xk-1-xk-2|(k=3,4,?,n)①. 试问这样的序列最多有多少项?

6.设 a1=a2= ,且当 n=3,4,5,?时,an=

,

(ⅰ)求数列{an}的通项公式;(ⅱ)求证:

是整数的平方。

7.整数列 u0,u1,u2,u3,?满足 u0=1,且对每个正整数 n, un+1un-1=kuu,这里 k 是某个固定 的正整数。如果 u2000=2000,求 k 的所有可能的值。

8.求证:存在无穷有界数列{xn},使得对任何不同的 m, k,有|xm-xk|? 9.已知 n 个正整数 a0,a1,?,an 和实数 q,其中 0<q<1,求证:n 个实数 b0,b1,?,bn 和满 足:(1)ak<bk(k=1,2,?,n);

(2)q<

<

(k=1,2,?,n);

(3)b1+b2+?+bn<

(a0+a1+?+an).

高中数学竞赛讲义(六) ──三角函数 一、基础知识

51

定义 1

角,一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向,

则角为正角,若旋转方向为顺时针方向,则角为负角,若不旋转则为零角。角的大小是任意 的。 定义 2 角度制,把一周角 360 等分,每一等价为一度,弧度制:把等于半径长的圆弧

所对的圆心角叫做一弧度。360 度=2π 弧度。若圆心角的弧长为 L,则其弧度数的绝对值| α |= ,其中 r 是圆的半径。 三角函数,在直角坐标平面内,把角α 的顶点放在原点,始边与 x 轴的正半轴重

定义 3

合,在角的终边上任意取一个不同于原点的点 P,设它的坐标为(x,y),到原点的距离为 r,则正弦函数 sinα = ,余弦函数 cosα = ,正切函数 tanα = ,余切函数 cotα = ,正割

函数 secα =

,余割函数 cscα =

定理 1

同角三角函数的基本关系式,倒数关系:tanα =

,sinα =

,cosα

=

; 商数关系: α = tan

; 乘积关系: α ×cosα =sinα ,cotα ×sin tan

α =cosα ;平方关系:sin2α +cos2α =1, tan2α +1=sec2α , cot2α +1=csc2α . 定理 2 诱导公式(Ⅰ)sin(α +π )=-sinα , cos(π +α )=-cosα , tan(π +α )=tanα ,

cot(π +α )=cotα ;(Ⅱ)sin(-α )=-sinα , cos(-α )=cosα , tan(-α )=-tanα , cot(α )=cotα ; (Ⅲ)sin(π -α )=sinα , cos(π -α )=-cosα , tan=(π -α )=-tanα , cot(π α )=-cotα ; (Ⅳ)sin 不变,符号看象限)。 定理 3 正弦函数的性质,根据图象可得 y=sinx(x∈R)的性质如下。单调区间:在区 =cosα , cos =sinα , tan =cotα (奇变偶



上为增函数, 在区间

上为减函数, 最小正周期为 2 .

52

奇偶数. 有界性:当且仅当 x=2kx+

时,y 取最大值 1,当且仅当 x=3k -

时, y 取最小值

-1。对称性:直线 x=k + 这里 k∈Z. 定理 4

均为其对称轴,点(k , 0)均为其对称中心,值域为[-1,1]。

余弦函数的性质, 根据图象可得 y=cosx(x∈R)的性质。 单调区间: 在区间[2kπ ,

2kπ +π ]上单调递减,在区间[2kπ -π , 2kπ ]上单调递增。最小正周期为 2π 。奇偶性:偶 函数。对称性:直线 x=kπ 均为其对称轴,点 均为其对称中心。有界性:当且仅

当 x=2kπ 时,y 取最大值 1;当且仅当 x=2kπ -π 时,y 取最小值-1。值域为[-1,1]。这里

k ∈Z .
定理 5 正切函数的性质: 由图象知奇函数 y=tanx(x kπ + )在开区间(kπ , kπ + )

上为增函数, 最小正周期为 π ,值域为(-∞,+∞),点(kπ ,0),(kπ + 其对称中心。 定理 6 两角和与差的基本关系式:cos(α β )=cosα cosβ

,0)均为

sinα sinβ ,sin(α

β )=sinα cosβ 定理 7

cosα sinβ ; tan(α

β )=

和差化积与积化和差公式:

sinα +sinβ =2sin

cos

,sinα -sinβ =2sin

cos

,

cosα +cosβ =2cos

cos

, cosα -cosβ =-2sin

sin

,

sinα cosβ =

[sin(α +β )+sin(α -β )],cosα sinβ =

[sin(α +β )-sin(α -β )],

cosα cosβ = [cos(α +β )+cos(α -β )],sinα sinβ =- [cos(α +β )-cos(α -β )].
定理 8 倍角公式:sin2α =2sinα cosα , cos2α =cos2α -sin2α =2cos2α -1=1-2sin2α ,
53

tan2α =

定理 9

半角公式:sin

=

,cos

=

,

tan

=

=

定理 10

万能公式:

,

,

定理 11

辅助角公式:如果 a, b 是实数且 a2+b2 0,则取始边在 x 轴正半轴,终边经过

点(a, b)的一个角为β ,则 sinβ =

,cosβ =

,对任意的角α .

asinα +bcosα =
定理 12

sin(α +β ).

正弦定理:在任意△ABC 中有

,其中 a, b, c 分别是

角 A,B,C 的对边,R 为△ABC 外接圆半径。 定理 13 的对边。 定理 14 图象之间的关系:y=sinx 的图象经上下平移得 y=sinx+k 的图象;经左右平移 , 得到 y=sin ( ) 余弦定理:在任意△ABC 中有 a2=b2+c2-2bcosA,其中 a,b,c 分别是角 A,B,C

得 y=sin(x+ )的图象 (相位变换)纵坐标不变, ; 横坐标变为原来的

的图象(周期变换);横坐标不变,纵坐标变为原来的 A 倍,得到 y=Asinx 的图象(振幅变 换);y=Asin(

x+ )( >0)的图象(周期变换);横坐标不变,纵坐标变为原来的 A 倍,

54

得到 y=Asinx 的图象(振幅变换);y=Asin(

x+ )( ,

>0)(|A|叫作振幅)的图象向右平



个单位得到 y=Asin x 的图象。

定义 4

函数 y=sinx

的反函数叫反正弦函数,记作 y=arcsinx(x∈[-1,

1]),函数 y=cosx(x∈[0, π ]) 的反函数叫反余弦函数,记作 y=arccosx(x∈[-1, 1]). 函 数 y=tanx 的反函数叫反正切函数。 记作 y=arctanx(x∈[-∞, +∞]). y=cosx(x

∈[0, π ])的反函数称为反余切函数,记作 y=arccotx(x∈[-∞, +∞]). 定理 15 三角方程的解集,如果 a∈(-1,1),方程 sinx=a 的解集是

{x|x=nπ +(-1)narcsina, n∈Z}。方程 cosx=a 的解集是{x|x=2kx arccosa, k∈Z}. 如果 a ∈R,方程 tanx=a 的解集是{x|x=kπ +arctana, k∈Z}。恒等式:arcsina+arccosa= ;

arctana+arccota=

.

定理 16



,则 sinx<x<tanx.

二、方法与例题 1.结合图象解题。 例1 求方程 sinx=lg|x|的解的个数。

【解】在同一坐标系内画出函数 y=sinx 与 y=lg|x|的图象(见图),由图象可知两者有 6 个交点,故方程有 6 个解。 2.三角函数性质的应用。 例2 设 x∈(0, π ), 试比较 cos(sinx)与 sin(cosx)的大小。 若 ,则 cosx?1 且 cosx>-1,所以 cos ,

【解】

所以 sin(cosx) ?0,又 0<sinx?1, 所以 cos(sinx)>0, 所以 cos(sinx)>sin(cosx).
55



,则因为 sinx+cosx= sin(x+

(sinxcos

+sin

cosx)=

)?

<



所以 0<sinx<

-cosx<



所以 cos(sinx)>cos(

-cosx)=sin(cosx).

综上,当 x∈(0,π )时,总有 cos(sinx)<sin(cosx).

例3

已知α ,β 为锐角,且 x·(α +β ,则 x>0,由α >

)>0,求证:

【证明】

若α +β >

-β >0 得 cosα <cos(

-β )=sinβ ,

所以 0<

<1,又 sinα >sin(

-β )=cosβ , 所以 0<

<1,

所以

若α +β <

,则 x<0,由 0<α <

-β <

得 cosα >cos(

-β )=sinβ >0,

所以

>1。又 0<sinα <sin(

-β )=cosβ ,所以

>1,

所以

,得证。

注:以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式,值得注意的是角的讨论。 3.最小正周期的确定。 例4 求函数 y=sin(2cos|x|)的最小正周期。

【解】 首先,T=2π 是函数的周期(事实上,因为 cos(-x)=cosx,所以 co|x|=cosx); 其次,当且仅当 x=kπ + 时,y=0(因为|2cosx|?2<π ),

56

所以若最小正周期为 T0,则 T0=mπ , m∈N+,又 sin(2cos0)=sin2 sin(2cosπ ),所以

T0=2π 。
4.三角最值问题。 例5 已知函数 y=sinx+ ,求函数的最大值与最小值。

【解法一】

令 sinx=

,

则有 y=

因为

,所以



所以

?1,

所以当

,即 x=2kπ -

(k∈Z)时,ymin=0,



,即 x=2kπ +

(k∈Z)时,ymax=2. ,

【解法二】

因为 y=sinx+

=2(因为(a+b)2?2(a2+b2)), 且|sinx|?1? ,所以 0?sinx+ ?2,

所以当

=sinx,即 x=2kπ +

(k∈Z)时, ymax=2,



=-sinx,即 x=2kπ -

(k∈Z)时, ymin=0。

例6

设 0< <π ,求 sin

的最大值。

【解】因为 0< <π ,所以

,所以 sin

>0, cos

>0.

57

所以 sin

(1+cos )=2sin

·cos2

=

?

=

当且仅当 2sin2

=cos2

, 即 tan

=

,

=2arctan

时,sin

(1+cos )取得最大



。 例7 若 A,B,C 为△ABC 三个内角,试求 sinA+sinB+sinC 的最大值。 因为 sinA+sinB=2sin

【解】

cos

, ①

sinC+sin

,



又因为

,③

由①,②,③得 sinA+sinB+sinC+sin

?4sin

,

所以 sinA+sinB+sinC?3sin

=

,

当 A=B=C=

时,(sinA+sinB+sinC)max=

.

注:三角函数的有界性、|sinx|?1、|cosx|?1、和差化积与积化和差公式、均值不等 式、柯西不等式、函数的单调性等是解三角最值的常用手段。 5.换元法的使用。 例8 求 的值域。
58

【解】

设 t=sinx+cosx=

因为 所以 又因为 t2=1+2sinxcosx,

所以 sinxcosx=

,所以



所以

因为 t -1,所以

,所以 y -1.

所以函数值域为

例9

已知 a0=1, an=

(n∈N+),求证:an>

.

【证明】 由题设 an>0,令 an=tanan, an∈

,则

an=

因为

,an∈

,所以 an=

,所以 an=

又因为 a0=tana1=1,所以 a0=

,所以

·



又因为当 0<x<

时,tanx>x,所以

注:换元法的关键是保持换元前后变量取值范围的一致性。

59

另外当 x∈ 证明是很容易的。

时,有 tanx>x>sinx,这是个熟知的结论,暂时不证明,学完导数后,

6.图象变换:y=sinx(x∈R)与 y=Asin(

x+ )(A,

,

>0).

由 y=sinx 的图象向左平移 个单位,然后保持横坐标不变,纵坐标变为原来的 A 倍,然

后再保持纵坐标不变, 横坐标变为原来的

,得到 y=Asin(

x+ )的图象;也可以由 y=sinx

的图象先保持横坐标不变, 纵坐标变为原来的 A 倍, 再保持纵坐标不变, 横坐标变为原来的



最后向左平移 例 10

个单位,得到 y=Asin( 已知 f(x)=sin(

x+ )的图象。

例 10

x+ )( >0, 0? ?π )是 R 上的偶函数,其图象关于



对称,且在区间

上是单调函数,求 和

的值。 + )=sin(-

【解】 由 f(x)是偶函数, 所以 f(-x)=f(x), 所以 sin( sinx=0,对任意 x∈R 成立。 又 0? ?π ,解得 = ,

x+ ), 所以 cos

因为 f(x)图象关于

对称,所以

=0。

取 x=0,得

=0,所以 sin

所以

(k∈Z),即

=

(2k+1) (k∈Z).

又 >0,取 k=0 时,此时 f(x)=sin(2x+

)在[0,

]上是减函数;

取 k=1 时,

=2,此时 f(x)=sin(2x+

)在[0,

]上是减函数;

60

取 k=2 时,

?

,此时 f(x)=sin(

x+

)在[0,

]上不是单调函数,

综上,

=

或 2。

7.三角公式的应用。 已知 sin(α -β )= , (α +β )=sin , α -β ∈ 且 , +β ∈ α

例 11



求 sin2α ,cos2β 的值。 【解】 因为 α -β ∈ ,所以 cos(α -β )=-

又因为 α +β ∈ 所以

,所以 cos(α +β )=

sin2α =sin[(α +β )+(α -β )]=sin(α +β )cos(α -β )+cos(α +β )sin(α -β )=

,

cos2β =cos[(α +β )-(α -β )]=cos(α +β )cos(α -β )+sin(α +β )sin(α -β )=-1.
例 12 已知△ABC 的三个内角 A,B,C 成等差数列,且 ,试求

的值。

【解】

因为 A=1200-C,所以 cos

=cos(600-C),

又由于

=



所以

=0。

61

解得





又 例 13

>0,所以 求证:tan20 +4cos70 .



【解】

tan20 +4cos70 =

+4sin20

三、基础训练题 1. 已知锐角 x 的终边上一点 A 的坐标为(2sin3, -2cos3), x 的弧度数为___________。 则

2.适合 3.给出下列命题: (1)若 α

-2cscx 的角的集合为___________。 β ,则 sinα

sinβ ; (2)若 sinα

sinβ ,则 α

β;

(3)若 sinα >0,则 α 为第一或第二象限角; (4)若 α 为第一或第二象限角,则 sinα >0. 上述四个命题中,正确的命题有__________个。 4.已知 sinx+cosx= (x∈(0, π )),则 cotx=___________。

5. 简谐振动 x1=Asin

和 x2=Bsin
1

叠加后得到的合振动是 x=___________。
2

6.已知 3sinx-4cosx=5sin(x+
3

)=5sin(x-

)=5cos(x+

3

)=5cos(x-

4

),则

1



2





4

分别是第________象限角。
62

7.满足 sin(sinx+x)=cos(cosx-x)的锐角 x 共有________个。

8.已知

,则

=___________。

9.

=___________。

10.cot15 cos25 cot35 cot85 =___________。

11.已知 α ,β ∈(0, π ), tan

, sin(α +β )=

,求 cosβ 的值。

12.已知函数 f(x)= 四、高考水平训练题

在区间

上单调递减,试求实数 m 的取值范围。

1.已知一扇形中心角是 a,所在圆半径为 R,若其周长为定值 c(c>0),当扇形面积最大 时,a=__________. 2. 函数 f(x)=2sinx(sinx+cosx)的单调递减区间是__________. 3. 函数 的值域为__________.

4. 方程

=0 的实根个数为__________.

5. 若 sina+cosa=tana, a

,则

__________a(填大小关系).

6. (1+tan1 )(1+tan2 )?(1+tan44 )(1+tan45 )=__________.

7. 若 0<y?x<

且 tanx=3tany,则 x-y 的最大值为__________.

8.

=__________.

9.

·cos

·cos

·cos

·cos

=__________.

10. cos271 +cos71 cos49 +cos249 =__________.

63

11. 解方程:sinx+2sin2x=3+sin3x. 12. 求满足 sin(x+sinx)=cos(x-cosx)的所有锐角 x.

13. 已知 f(x)=

(kA 0, k∈Z, 且 A∈R), (1) 试求 f(x)的最大值和最小值;

(2)若 A>0, k=-1,求 f(x)的单调区间;(3)试求最小正整数 k,使得当 x 在任意两个整 数(包括整数本身)间变化时,函数 f(x)至少取得一次最大值和一次最小值。

五、联赛一试水平训练题(一) 1.若 x, y∈R,则 z=cosx2+cosy2-cosxy 的取值范围是____________. 2.已知圆 x2+y2=k2 至少盖住函数 f(x)= 数 k 的取值范围是____________. 3.f( )=5+8cos +4cos2 +cos3 的最小值为____________. 4. 方程 sinx+ 的一个最大值点与一个最小值点,则实

cosx+a=0 在 (0, ) 2π 内有相异两实根 α , , α +β =____________. β 则

5.函数 f(x)=|tanx|+|cotx|的单调递增区间是____________. 6.设 sina>0>cosa, 且 sin >cos ,则 的取值范围是____________.

7.方程 tan5x+tan3x=0 在[0,π ]中有__________个解. 8.若 x, y∈R, 则 M=cosx+cosy+2cos(x+y)的最小值为____________. 9.若 0< < , m∈N+, 比较大小:(2m+1)sinm (1-sin )__________1-sin2m+1 .

10.cot70 +4cos70 =____________.

11. 在方程组

中消去 x, y,求出关于 a, b, c 的关系式。

64

12.已知 α ,β ,γ 值。

,且 cos2α +cos2β +cos2γ =1,求 tanα tanβ tanγ 的最小

13.关于 x, y 的方程组 不相等,求 sinα +sinβ +sinγ 的值。

有唯一一组解,且 sinα , sinβ , sinγ 互

14.求满足等式 sinxy=sinx+siny 的所有实数对(x, y), x, y 联赛一试水平训练题(二)

.

1.在平面直角坐标系中,函数 f(x)=asinax+cosax(a>0)在一个最小正周期长的区间上 的图象与函数 g(x)= 的图象所围成的封闭图形的面积是__________.

2. 若

, y=tan 则

-tan

+cos

的最大值是__________.

3.在△ABC 中,记 BC=a, CA=b, AB=c, 若 9a2+9b2-19c2=0,则

=__________.

4.设 f(x)=x2-π x, α =arcsin , β =arctan

, γ =arccos

, δ =arccot

, 将

f(α ), f(β ), f(γ ), f(δ )从小到大排列为__________.
5.logsin1cos1=a, logsin1tan1=b, logcos1sin1=c, logcos1tan1=d。将 a, b, c, d 从小到大 排列为__________. 6.在锐角△ABC 中,cosA=cosα sinβ , cosB=cosβ sinγ , cosC=cosγ sinα ,则

tanα ·tanβ ·tanγ =__________.
7.已知矩形的两边长分别为 tan 和 1+cos (0< <π ),且对任何 x∈R,

f(x)=sin ·x2+

·x+cos ?0,则此矩形面积的取值范围是__________.

8.在锐角△ABC 中,sinA+sinB+sinC 的取值范围是__________.

65

9.已知当 x∈[0, 1],不等式 x2cos -x(1-x)+(1-x)2sin >0 恒成立,则 的取值范围是 __________. 10.已知 sinx+siny+sinz=cosx+cosy+cosz=0,则 cos2x+ cos2y+ cos2z=__________. 11.已知 a1, a2, ?,an 是 n 个实常数,考虑关于 x 的函数:f(x)=cos(a1+x)+

cos(a2+x)

+?+

cos(an+x)。求证:若实数 x1, x2 满足 f(x1)=f(x2)=0,则存在整数 m,使得 x2-x1=mπ .

12.在△ABC 中,已知

,求证:此三角形中有一个内角为



13.求证:对任意自然数 n, 均有|sin1|+|sin2|+?+|sin(3n-1)|+|sin3n|>

.

六、联赛二试水平训练题 1. 已知 x>0, y>0, 且 x+y<π , 求证: w(w-1)sin(x+y)+w(sinx-siny)+siny>0① (w∈R) . 2. 已知 a 为锐角,n?2, n∈N+,求证: ?2n-2 +1.

3. 设 x1, x2,?, xn,?, y1, y2,?, yn,?满足 x1=y1= 求证:2<xnyn<3(n?2).

, xn+1=xn+

, yn+1=



4.已知 α ,β ,γ 为锐角,且 cos2α +cos2β +cos2γ =1,求证;

π <α +β +γ <π .

5.求实数 a 的取值范围,使得对任意实数 x 和任意

,恒有(x+3+2sin

cos )2+(x+asin +asin )2?

6. 设 n, m 都是正整数,并且 n>m,求证:对一切 x 3|sinnx-cosnx|.

都有 2|sinnx-cosnx|?

7.在△ABC 中,求 sinA+sinB+sinC-cosA-cosB-cosC 的最大值。
66

8.求的有的实数 a, 使 cosa, cos2a, cos4a, ?, cos2na, ?中的每一项均为负数。 ,tan
n

9.已知
1

i

1

tan
1

2

?tan
2

n

=2 , n∈N+, 若对任意一组满足上述条件的
n



2

,?,

都有 cos

+cos

+?+cos

?λ ,求 λ 的最小值。

高中数学竞赛讲义(七) ──解三角形 一、基础知识 在本章中约定用 A,B,C 分别表示△ABC 的三个内角,a, b, c 分别表示它们所对的各边 长, 为半周长。

1.正弦定理:

=2R(R 为△ABC 外接圆半径)。

推论 1:△ABC 的面积为 S△ABC= 推论 2:在△ABC 中,有 bcosC+ccosB=a. 推论 3:在△ABC 中,A+B= ,解 a 满足 ,则 a=A.

正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到,这里不再给出,下证推论。先证推论 1,由正 弦函数定义,BC 边上的高为 bsinC,所以 S△ABC= ;再证推论 2,因为 B+C= -A,所

以 sin(B+C)=sinA,即 sinBcosC+cosBsinC=sinA,两边同乘以 2R 得 bcosC+ccosB=a;再证推 论 3,由正弦定理 ,所以
67

,即 sinasin( -A)=sin( -a)sinA,

等价于

[cos( -A+a)-cos( -A-a)]=

[cos( -a+A)-cos( -a-A)],等价于 cos(

-A+a)=cos( -a+A),因为 0< -A+a, -a+A< . 所以只有 -A+a= -a+A,所以 a=A,得证。

2.余弦定理:a2=b2+c2-2bccosA 结论。

,下面用余弦定理证明几个常用的

( 1 ) 斯 特 瓦 特 定 理 : 在 △ ABC 中 , D 是 BC 边 上 任 意 一 点 , BD=p , DC=q , 则 AD2= 【证明】

(1) 因为 c2=AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos ① , ② ,

所以 c2=AD2+p2-2AD·pcos 同理 b2=AD2+q2-2AD·qcos 因为 ADB+ ADC= , ADC=0,

所以 cos

ADB+cos

所以 q×①+p×②得 qc2+pb2=(p+q)AD2+pq(p+q),即 AD2=

注:在(1)式中,若 p=q,则为中线长公式

( 2 ) 海 伦 公 式 : 因 为

b2c2sin2A=

b2c2

(1-cos2A)=

b2c2

[(b+c) -a2][a2-(b-c) 2]=p(p-a)(p-b)(p-c).

这里 所以 S△ABC= 二、方法与例题

68

1.面积法。 例 1 (共线关系的张角公式)如图所示,从 O 点发出的三条射线满足 , 另外 OP, OQ, 的长分别为 u, w, v,这里 α , ,α +β ∈(0, OR β 则 P,Q,R 的共线的充要条件是 ),

【证明】P,Q,R 共线

(α +β )=

uwsinα +

vwsinβ

,得证。 2.正弦定理的应用。 例2 如图所示,△ABC 内有一点 P,使得 BPCBAC= CPACBA= APBACB。

求证:AP·BC=BP·CA=CP·AB。 【证明】 过点 P 作 PD BC,PE AC,PF AB,垂足分别为 D,E,F,则 P,D,C,E; PDE+ PDF= PCA+ PBA= BPCBAC。

P, A, P, B, 三组四点共圆, E, F; D, F 所以 由题设及 所以 所以 BPC+ BPCCPA+ BAC= APB=3600 可得 CPACBA=

EDF=

BAC+

CBA+

ACB=1800。

APB-

ACB=600。

EDF=600,同理

DEF=600,所以△DEF 是正三角形。 ACB=APsin BAC=BPsin ABC, 两边同时乘以△ABC

所以 DE=EF=DF, 由正弦定理, CDsin

的外接圆直径 2R,得 CP·BA=AP·BC=BP·AC,得证: 例3 PA BC。 【证明】 延长 PA 交 GD 于 M, 如图所示,△ABC 的各边分别与两圆⊙O1,⊙O2 相切,直线 GF 与 DE 交于 P,求证:

因为 O1G

BC,O2D

BC,所以只需证

69

由正弦定理



所以

另一方面,



所以



所以

,所以 PA//O1G,

即 PA BC,得证。 3.一个常用的代换:在△ABC 中,记点 A,B,C 到内切圆的切线长分别为 x, y, z,则 a=y+z, b=z+x, c=x+y. 例4 在△ABC 中,求证:a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c) ?3abc. 令 a=y+z, b=z+x, c=x+y,则

【证明】

abc=(x+y)(y+z)(z+x)

=8xyz=(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c) =a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)-2abc. 所以 a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c) ?3abc. 4.三角换元。 例5 设 a, b, c∈R+,且 abc+a+c=b,试求 的最大值。

【解】

由题设

,令 a=tanα , c=tanγ , b=tanβ ,

则 tanβ =tan(α +γ ), P=2sinγ sin(2α +γ )+3cos2γ ?



70

当且仅当 α +β =

,sinγ = ,即 a=

时,Pmax=

例6

在△ABC 中,若 a+b+c=1,求证: a2+b2+c2+4abc<

【证明】

设 a=sin2α cos2β , b=cos2α cos2β , c=sin2β , β

.

因为 a, b, c 为三边长,所以 c<

, c>|a-b|,

从而

,所以 sin2β >|cos2α ·cos2β |.

因为 1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca), 所以 a2+b2+c2+4abc=1-2(ab+bc+ca-2abc). 又 ab+bc+ca-2abc=c(a+b)+ab(1-2c) =sin2β cos2β +sin2α cos2α ·cos4β ·cos2β = [1-cos22β +(1-cos22α )cos4β cos2β ]

=

+

cos2β (cos4β -cos22α cos4β -cos2β )

>

+

cos2β (cos4β -sin4β -cos2β )=

.

所以 a2+b2+c2+4abc< 三、基础训练题

1. 在△ABC 中, AB 为最长边, sinAsinB= 边 且 2.在△ABC 中,若 AB=1,BC=2,则 3. 在△ABC 中, a=4, b+c=5, tanC+tanB+

, cosAcosB 的最大值为__________. 则

的取值范围是__________. tanCtanB, 则△ABC 的面积为__________. =__________.

4.在△ABC 中,3sinA+4cosB=6, 3cosA+4sinB=1,则

71

5.在△ABC 中,“a>b”是“sinA>sinB”的__________条件. 6.在△ABC 中,sinA+cosA>0, tanA-sinA<0,则角 A 的取值范围是__________. 7.在△ABC 中,sinA= ,cosB= ,则 cosC=__________.

8.在△ABC 中,“三边 a, b, c 成等差数列”是“tan

”的__________条件.

9.在△ABC 中,若 sinC=2cosAsinB,则三角形形状是__________. 10.在△ABC 中,tanA·tanB>1,则△ABC 为__________角三角形. 11.三角形有一个角是 600,夹这个角的两边之比是 8:5,内切圆的面积是 12 ,求这 个三角形的面积。 12.已知锐角△ABC 的外心为 D,过 A,B,D 三点作圆,分别与 AC,BC 相交于 M,N 两点。 求证:△MNC 的外接圆半径等于△ABD 的外接圆半径。 13.已知△ABC 中,sinC= 四、高考水平训练题 1.在△ABC 中,若 tanA= , tanB= ,且最长边长为 1,则最短边长为__________. ,试判断其形状。

2.已知 n∈N+,则以 3,5,n 为三边长的钝角三角形有________个. 3.已知 p, q∈R+, p+q=1,比较大小:psin2A+qsin2B__________pqsin2C. 4.在△ABC 中,若 sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC,则△ABC 为__________角三角 形. 5.若 A 为△ABC 的内角,比较大小: __________3.

6.若△ABC 满足 acosA=bcosB,则△ABC 的形状为__________. 7.满足 A=600,a= , b=4 的三角形有__________个.

72

8.设 为三角形最小内角,且 acos __________.

2

+sin

2

-cos

2

-asin

2

=a+1,则 a 的取值范围是

9.A,B,C 是一段笔直公路上的三点,分别在塔 D 的西南方向,正西方向,西偏北 300 方向,且 AB=BC=1km,求塔与公路 AC 段的最近距离。 10.求方程 的实数解。

11.求证: 五、联赛一试水平训练题 1.在△ABC 中,b2=ac,则 sinB+cosB 的取值范围是____________. 2.在△ABC 中,若 ,则△ABC 的形状为____________.

3 . 对 任 意 的△ABC, ____________. 4.在△ABC 中,

-(cotA+cotB+cotC) ,则 T 的最大值为

的最大值为____________. ,C,D 为动点,且

5.平面上有四个点 A,B,C,D,其中 A,B 为定点,|AB|=

|AD|=|DC|=|BC|=1。记 S△ABD=S,S△BCD=T,则 S2+T2 的取值范围是____________. 6.在△ABC 中,AC=BC, ACO=____________. 7.在△ABC 中,A?B?C? 值为__________. 8.在△ABC 中,若 c-a 等于 AC 边上的高 h,则 =____________. ,则乘积 的最大值为____________,最小 ,O 为△ABC 的一点, , ABO=300,则

73

9.如图所示,M,N 分别是△ABC 外接圆的弧

,AC 中点,P 为 BC 上的动点,PM 交 AB

于 Q,PN 交 AC 于 R,△ABC 的内心为 I,求证:Q,I,R 三点共线。 10.如图所示,P,Q,R 分别是△ABC 的边 BC,CA,AB 上一点,且 AQ+AR=BR+BP=CQ+CP。 求证:AB+BC+CA?2(PQ+QR+RP)。 11. 在△ABC 外作三个等腰三角形△BFC, △ADC, △AEB, BF=FC, 使 CD=DA, AE=EB, ADC=2 BAC, AEB=2 ABC, BFC=2 ACB,并且 AF,BD,CE 交于一点,试判断△ABC 的形状。

六、联赛二试水平训练题 1.已知等腰△ABC,AB=AC,一半圆以 BC 的中点为圆心,且与两腰 AB 和 AC 分别相切于 点 D 和 G,EF 与半圆相切,交 AB 于点 E,交 AC 于点 F,过 E 作 AB 的垂线,过 F 作 AC 的垂 线,两垂线相交于 P,作 PQ BC,Q 为垂足。求证: ,此处 = B。

2.设四边形 ABCD 的对角线交于点 O,点 M 和 N 分别是 AD 和 BC 的中点,点 H1,H2(不重 合)分别是△AOB 与△COD 的垂心,求证:H1H2 MN。

3.已知△ABC,其中 BC 上有一点 M,且△ABM 与△ACM 的内切圆大小相等,求证: ,此处 (a+b+c), a, b, c 分别为△ABC 对应三边之长。 ABC= AED=900, BAC= EAD,BD 与 CE 交于点 O,求

4.已知凸五边形 ABCDE,其中 证:AO BE。

5.已知等腰梯形 ABCD,G 是对角线 BD 与 AC 的交点,过点 G 作 EF 与上、下底平行,点 E 和 F 分别在 AB 和 CD 上,求证: AFB=900 的充要条件是 AD+BC=CD。 PAQ= QAR= RAS,求证:AR(AP+AR)

6.AP,AQ,AR,AS 是同一个圆中的四条弦,已知 =AQ(AQ+AS)。

7.已知一凸四边形的边长依次为 a, b, c, d,外接圆半径为 R,如果 a2+b2+c2+d2=8R2, 试问对此四边形有何要求?

74

8.设四边形 ABCD 内接于圆,BA 和 CD 延长后交于点 R,AD 和 BC 延长后交于点 P, B, C 指的都是△ABC 的内角,求证:若 AC 与 BD 交于点 Q,则

A,

9.设 P 是△ABC 内一点,点 P 至 BC,CA,AB 的垂线分别为 PD,PE,PF(D,E,F 是垂 足),求证:PA·PB·PC?(PD+PE)·(PE+PF)·(PF+PD),并讨论等号成立之条件。

高中数学竞赛讲义(八) ──平面向量 一、基础知识 定义 1 既有大小又有方向的量,称为向量。画图时用有向线段来表示,线段的长度表示

向量的模。向量的符号用两个大写字母上面加箭头,或一个小写字母上面加箭头表示。书中 用黑体表示向量,如 a. |a|表示向量的模,模为零的向量称为零向量,规定零向量的方向是 任意的。零向量和零不同,模为 1 的向量称为单位向量。 定义 2 方向相同或相反的向量称为平行向量(或共线向量),规定零向量与任意一个非

零向量平行和结合律。 定理 1 向量的运算,加法满足平行四边形法规,减法满足三角形法则。加法和减法都满

足交换律和结合律。 定理 2 定理 3 非零向量 a, b 共线的充要条件是存在实数 0,使得 a= f

平面向量的基本定理,若平面内的向量 a, b 不共线,则对同一平面内任意向是

c,存在唯一一对实数 x, y,使得 c=xa+yb,其中 a, b 称为一组基底。
75

定义 3

向量的坐标,在直角坐标系中,取与 x 轴,y 轴方向相同的两个单位向量 i, j

作为基底,任取一个向量 c,由定理 3 可知存在唯一一组实数 x, y,使得 c=xi+yi,则(x, y) 叫做 c 坐标。 定义 4 向 量 的 数 量 积 , 若 非 零 向 量 a, b 的 夹 角 为 , 则 a, b 的 数 量 积 记 作

a·b=|a|·|b|cos =|a|·|b|cos<a, b>,也称内积,其中|b|cos 叫做 b 在 a 上的投影(注: 投影可能为负值)。 定理 4 平面向量的坐标运算:若 a=(x1, y1), b=(x2, y2),

1.a+b=(x1+x2, y1+y2), a-b=(x1-x2, y1-y2), 2.λ a=(λ x1, λ y1), a·(b+c)=a·b+a·c,

3.a·b=x1x2+y1y2, cos(a, b)= 4. a//b 定义 5 x1y2=x2y1, a b x1x2+y1y2=0.

(a, b 0),

若点 P 是直线 P1P2 上异于 p1,p2 的一点,则存在唯一实数 λ ,使



λ 叫P分

所成的比, O 为平面内任意一点,则 若

。由此可得若 P1,P,

P2 的坐标分别为(x1, y1), (x, y), (x2, y2),则 定义 6 移|a|= 设 F 是坐标平面内的一个图形,将 F 上所有的点按照向量 a=(h, k)的方向,平 个单位得到图形 ,这一过程叫做平移。设 p(x, y)是 F 上任意一点,平移



上对应的点为 定理 5

,则

称为平移公式。

对于任意向量 a=(x1, y1), b=(x2, y2), |a·b|?|a|·|b|,并且|a+b|?|a|+|b|. 因为|a|2 ·|b|2-|a·b|2= -(x1x2+y1y2)2=(x1y2-x2y1)2?0,又

【证明】

|a·b|?0, |a|·|b|?0, 所以|a|·|b|?|a·b|.
76

由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|?|a|+|b|. 注:本定理的两个结论均可推广。1)对 n 维向量,a=(x1, x2,?,xn),b=(y1, y2, ?, yn), 同样 有 |a· b|?|a| · |b| , 化简即为 柯西不 等式: (x1y1+x2y2+?+xnyn)2?0,又|a·b|?0, |a|·|b|?0, 所以|a|·|b|?|a·b|. 由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|?|a|+|b|. 注:本定理的两个结论均可推广。1)对 n 维向量,a=(x1, x2,?,xn), b=(y1, y2, ?, yn), 同样 有 |a· b|?|a| · |b| , 化简即为 柯西不 等式: (x1y1+x2y2+?+xnyn)2。 2)对于任意 n 个向量,a1, a2, ?,an,有| a1, a2, ?,an|?| a1|+|a2|+?+|an|。 二、方向与例题 1.向量定义和运算法则的运用。 例1 设 O 是正 n 边形 A1A2?An 的中心,求证:

【证明】 记

,若

,则将正 n 边形绕中心 O 旋转

后与

原正 n 边形重合,所以 不变,这不可能,所以 例2 给定△ABC,求证:G 是△ABC 重心的充要条件是

【证明】必要性。如图所示,设各边中点分别为 D,E,F,延长 AD 至 P,使 DP=GD,则

又因为 BC 与 GP 互相平分, 所以 BPCG 为平行四边形,所以 BG PC,所以 所以 充分性。若 为 ,则 同理 BG 平分 CA。
77

,延长 AG 交 BC 于 D,使 GP=AG,连结 CP,则 ,所以 GB CP,所以 AG 平分 BC。



所以 G 为重心。 例 3 在 凸 四 边 形 ABCD 中 , P 和 Q 分 别 为 对 角 线 BD 和 AC 的 中 点 , 求 证 :

AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2。 【证明】 因为 所以 = = 又因为 同理 , , 由①,②,③可得 。得证。 2.证利用定理 2 证明共线。 例4 △ABC 外心为 O,垂心为 H,重心为 G。求证:O,G,H 为共线,且 OG:GH=1:2。 首先 ② ③ · ① 如图所示,结结 BQ,QD。 ,

【证明】

=

其次设 BO 交外接圆于另一点 E,则连结 CE 后得 CE 又 AH BC,所以 AH//CE。 又 EA AB,CH 所以 所以
78

AB,所以 AHCE 为平行四边形。



所以 所以 与

, 共线,所以 O,G,H 共线。

所以 OG:GH=1:2。 3.利用数量积证明垂直。 例5 给定非零向量 a, b. 求证:|a+b|=|a-b|的充要条件是 a (a+b)2=(a-b)2 b. a·b=0 a b.

【证明】|a+b|=|a-b| 例6

a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2

已知△ABC 内接于⊙O,AB=AC,D 为 AB 中点,E 为△ACD 重心。求证:OE 设 ,

CD。

【证明】









所以

a·(b-c).

(因为|a|2=|b|2=|c|2=|OH|2)

又因为 AB=AC,OB=OC,所以 OA 为 BC 的中垂线。 所以 a·(b-c)=0. 所以 OE 4.向量的坐标运算。 例7 已知四边形 ABCD 是正方形,BE//AC,AC=CE,EC 的延长线交 BA 的延长线于点 F, CD。

求证:AF=AE。

79

【证明】 如图所示,以 CD 所在的直线为 x 轴,以 C 为原点建立直角坐标系,设正方形 边长为 1,则 A,B 坐标分别为(-1,1)和(0,1),设 E 点的坐标为(x, y),则 y-1), 又因为 ,因为 ,所以-x-(y-1)=0. =(x,

,所以 x2+y2=2.

由①,②解得

所以

设 所以 所以

,则 ,即 F =4+

。由

和 ,

共线得

,所以 AF=AE。

三、基础训练题 1 . 以 下 命 题 中 正 确 的 是 __________. ① a=b 的 充 要 条 件 是 |a|=|b| , 且 a//b ; ② (a·b)·c=(a·c)·b;③若 a·b=a·c,则 b=c;④若 a, b 不共线,则 xa+yb=ma+nb 的充 要条件是 x=m, y=n;⑤若 在 b=(-3, 4)上的投影为-4。 2. 已知正六边形 ABCDEF, 在下列表达式中: ① ④ 与 ,相等的有__________. ; ② ; ③ ; ,且 a, b 共线,则 A,B,C,D 共线;⑥a=(8, 1)

3.已知 a=y-x, b=2x-y, |a|=|b|=1, a·b=0,则|x|+|y|=__________. 4.设 s, t 为非零实数,a, b 为单位向量,若|sa+tb|=|ta-sb|,则 a 和 b 的夹角为 __________. 5. 已知 a, b 不共线, 条件. =a+kb, =la+b, “kl-1=0” “M, P 共线” 则 是 N, 的__________

80

6.在△ABC 中,M 是 AC 中点,N 是 AB 的三等分点,且 ,则 λ =__________. 7.已知 __________. 8. 已知 不 共 线 ,点 C 分 所 成 的 比为 2,

,BM 与 CN 交于 D,若

,则

=b, a·b=|a-b|=2, 当△AOB 面积最大时, 与 b 的夹角为__________. a ,

9.把函数 y=2x2-4x+5 的图象按向量 a 平移后得到 y=2x2 的图象,c=(1, -1), 若 c·b=4,则 b 的坐标为__________. 10.将向量 a=(2, 1)绕原点按逆时针方向旋转

得到向量 b,则 b 的坐标为__________. 与 的夹

11.在 Rt△BAC 中,已知 BC=a,若长为 2a 的线段 PQ 以点 A 为中点,试问 角 取何值时 的值最大?并求出这个最大值。

12.在四边形 ABCD 中, 判断四边形 ABCD 的形状。

,如果 a·b=b·c=c·d=d·a,试

四、高考水平训练题 1.点 O 是平面上一定点,A,B,C 是此平面上不共线的三个点,动点 P 满足

则点 P 的轨迹一定通过△ABC 的________心。 2.在△ABC 中, 3. 非零向量 ,且 a·b<0,则△ABC 的形状是__________. , 若点 B 关于 所在直线对称的点为 B1, 则 =__________.

4 . 若 O 为 △ ABC 的 内 心 , 且 __________. 5 . 设 O 点在 △ ABC 内部,且 __________.

, 则 △ ABC 的 形 状 为

,则 △AOB 与△ AOC 的面积 比 为

81

6. 是△ABC 所在平面上一点, P 若 心. 7.已知 __________.

, P 是△ABC 的__________ 则

,则|

|的取值范围是

8.已知 a=(2, 1), b=(λ , 1),若 a 与 b 的夹角为锐角,则 λ 的取值范围是__________. 9.在△ABC 中,O 为中线 AM 上的一个动点,若 AM=2,则 __________. 10.已知集合 M={a|a=(1, 2)+ λ (3, 4), λ ∈R},集合 N={a|a=(-2, -2)+ λ (4, 5), λ ∈R},mj M N=__________. 的最小值为

11. 设 G 为△ABO 的重心,过 G 的直线与边 OA 和 OB 分别交于 P 和 Q,已知 ,△OAB 与△OPQ 的面积分别为 S 和 T,

(1)求 y=f(x)的解析式及定义域;(2)求

的取值范围。 成公差

12.已知两点 M(-1,0),N(1,0),有一点 P 使得 小于零的等差数列。 (1)试问点 P 的轨迹是什么?(2)若点 P 坐标为(x0, y0), tan . 为 与

的夹角,求

五、联赛一试水平训练题 1.在直角坐标系内,O 为原点,点 A,B 坐标分别为(1,0),(0,2),当实数 p, q 满足 时,若点 C,D 分别在 x 轴,y 轴上,且 ,则直线 CD 恒过

一个定点,这个定点的坐标为___________. 2.p 为△ABC 内心,角 A,B,C 所对边长分别为 a, b, c. O 为平面内任意一点, 则 =___________(用 a, b, c, x, y, z 表示).
82

3. 已知平面上三个向量 a, b, c 均为单位向量, 且两两的夹角均为 1200, 若|ka+b+c|>1(k ∈R),则 k 的取值范围是___________. 4.平面内四点 A,B,C,D 满足 有___________个. 5 . 已 知 A1A2A3A4A5 是 半 径 为 r 的 ⊙ O 内 接 正 五 边 形 , P 为 ⊙ O 上 任 意 一 点 , 则 取值的集合是___________. 6.O 为△ABC 所在平面内一点,A,B,C 为△ABC 的角,若 sinA· +sinC· ,则点 O 为△ABC 的___________心. (a-b)”的___________条件. +sinB· ,则 的取值

7.对于非零向量 a, b, “|a|=|b|”是“(a+b) 8.在△ABC 中, 三边长之比|a|:|b|:|c|=____________. 9.已知 P 为△ABC 内一点,且

,又(c·b):(b·a):(a·c)=1:2:3,则△ABC

,CP 交 AB 于 D,求证:

10.已知△ABC 的垂心为 H,△HBC,△HCA,△HAB 的外心分别为 O1 ,O2 ,O3 ,令 ,求证:(1)2p=b+c-a;(2)H 为△O1O2O3 的外心。 11.设坐标平面上全部向量的集合为 V,a=(a1, a2)为 V 中的一个单位向量,已知从 V 到 的变换 T,由 T(x)=-x+2(x·a)a(x∈V)确定, (1)对于 V 的任意两个向量 x, y, 求证:T(x)·T(y)=x·y; (2)对于 V 的任意向量 x,计算 T[T(x)]-x; (3)设 u=(1, 0); 六、联赛二试水平训练题 1.已知 A,B 为两条定直线 AX,BY 上的定点,P 和 R 为射线 AX 上两点,Q 和 S 为射线 BY 上的两点, 为定比,M,N,T 分别为线段 AB,PQ,RS 上的点, ,若 ,求 a.

为另一定比,试问 M,N,T 三点的位置关系如何?证明你的结论。

83

2.已知 AC,CE 是正六边形 ABCDEF 的两条对角线,点 M,N 分别内分 AC,CE,使得 AM: AC=CN:CE=r,如果 B,M,N 三点共线,求 r. 3.在矩形 ABCD 的外接圆的弧 AB 上取一个不同于顶点 A,B 的点 M,点 P,Q,R,S 是 M 分别在直线 AD,AB,BC,CD 上的射影,求证:直线 PQ 与 RS 互相垂直。 4.在△ABC 内,设 D 及 E 是 BC 的三等分点,D 在 B 和 F 之间,F 是 AC 的中点,G 是 AB 的中点,又设 H 是线段 EG 和 DF 的交点,求比值 EH:HG。 5.是否存在四个平面向量,两两不共线,其中任何两个向量之和均与其余两个向量之和 垂直? 6.已知点 O 在凸多边形 A1A2?An 内,考虑所有的 自然数,求证:其中至少有 n-1 个不是锐角。 7.如图,在△ABC 中,O 为外心,三条高 AD,BE,CF 交于点 H,直线 ED 和 AB 交于点 M, FD 和 AC 交于点 N,求证:(1)OB DF,OC DE,(2)OH MN。 AiOAj,这里的 i, j 为 1 至 n 中不同的

8.平面上两个正三角形△A1B1C1 和△A2B2C2 ,字母排列顺序一致,过平面上一点 O 作 ,求证△ABC 为正三角形。 9.在平面上给出和为 的向量 a, b, c, d,任何两个不共线,求证:

|a|+|b|+|c|+|d|?|a+d|+|b+d|+|c+d|.

高中数学竞赛讲义(八) ──平面向量 一、基础知识 定义 1 既有大小又有方向的量,称为向量。画图时用有向线段来表示,线段的长度表示

向量的模。向量的符号用两个大写字母上面加箭头,或一个小写字母上面加箭头表示。书中
84

用黑体表示向量,如 a. |a|表示向量的模,模为零的向量称为零向量,规定零向量的方向是 任意的。零向量和零不同,模为 1 的向量称为单位向量。 定义 2 方向相同或相反的向量称为平行向量(或共线向量),规定零向量与任意一个非

零向量平行和结合律。 定理 1 向量的运算,加法满足平行四边形法规,减法满足三角形法则。加法和减法都满

足交换律和结合律。 定理 2 定理 3 非零向量 a, b 共线的充要条件是存在实数 0,使得 a= f

平面向量的基本定理,若平面内的向量 a, b 不共线,则对同一平面内任意向是

c,存在唯一一对实数 x, y,使得 c=xa+yb,其中 a, b 称为一组基底。 定义 3 向量的坐标,在直角坐标系中,取与 x 轴,y 轴方向相同的两个单位向量 i, j

作为基底,任取一个向量 c,由定理 3 可知存在唯一一组实数 x, y,使得 c=xi+yi,则(x, y) 叫做 c 坐标。 定义 4 向 量 的 数 量 积 , 若 非 零 向 量 a, b 的 夹 角 为 , 则 a, b 的 数 量 积 记 作

a·b=|a|·|b|cos =|a|·|b|cos<a, b>,也称内积,其中|b|cos 叫做 b 在 a 上的投影(注: 投影可能为负值)。 定理 4 平面向量的坐标运算:若 a=(x1, y1), b=(x2, y2),

1.a+b=(x1+x2, y1+y2), a-b=(x1-x2, y1-y2), 2.λ a=(λ x1, λ y1), a·(b+c)=a·b+a·c,

3.a·b=x1x2+y1y2, cos(a, b)= 4. a//b x1y2=x2y1, a b x1x2+y1y2=0.

(a, b 0),

85

定义 5

若点 P 是直线 P1P2 上异于 p1,p2 的一点,则存在唯一实数 λ ,使



λ 叫P分

所成的比, O 为平面内任意一点,则 若

。由此可得若 P1,P,

P2 的坐标分别为(x1, y1), (x, y), (x2, y2),则 定义 6 移|a|= 设 F 是坐标平面内的一个图形,将 F 上所有的点按照向量 a=(h, k)的方向,平 个单位得到图形 ,这一过程叫做平移。设 p(x, y)是 F 上任意一点,平移



上对应的点为 定理 5

,则

称为平移公式。

对于任意向量 a=(x1, y1), b=(x2, y2), |a·b|?|a|·|b|,并且|a+b|?|a|+|b|. 因为|a|2 ·|b|2-|a·b|2= -(x1x2+y1y2)2=(x1y2-x2y1)2?0,又

【证明】

|a·b|?0, |a|·|b|?0, 所以|a|·|b|?|a·b|. 由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|?|a|+|b|. 注:本定理的两个结论均可推广。1)对 n 维向量,a=(x1, x2,?,xn),b=(y1, y2, ?, yn), 同样 有 |a · b|?|a| · |b| ,化简即 为柯西不 等式: (x1y1+x2y2+?+xnyn)2?0,又|a·b|?0, |a|·|b|?0, 所以|a|·|b|?|a·b|. 由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|?|a|+|b|. 注:本定理的两个结论均可推广。1)对 n 维向量,a=(x1, x2,?,xn), b=(y1, y2, ?, yn), 同样 有 |a · b|?|a| · |b| ,化简即 为柯西不 等式: (x1y1+x2y2+?+xnyn)2。 2)对于任意 n 个向量,a1, a2, ?,an,有| a1, a2, ?,an|?| a1|+|a2|+?+|an|。 二、方向与例题 1.向量定义和运算法则的运用。
86

例1

设 O 是正 n 边形 A1A2?An 的中心,求证:

【证明】 记

,若

,则将正 n 边形绕中心 O 旋转

后与

原正 n 边形重合,所以 不变,这不可能,所以 例2 给定△ABC,求证:G 是△ABC 重心的充要条件是

【证明】必要性。如图所示,设各边中点分别为 D,E,F,延长 AD 至 P,使 DP=GD,则

又因为 BC 与 GP 互相平分, 所以 BPCG 为平行四边形,所以 BG PC,所以 所以 充分性。若 为 ,则 同理 BG 平分 CA。 所以 G 为重心。 例 3 在 凸 四 边 形 ABCD 中 , P 和 Q 分 别 为 对 角 线 BD 和 AC 的 中 点 , 求 证 : ,延长 AG 交 BC 于 D,使 GP=AG,连结 CP,则 ,所以 GB CP,所以 AG 平分 BC。 因

AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2。 【证明】 因为 所以 = = 又因为 同理 , ,
87

如图所示,结结 BQ,QD。 ,

· ①

② ③

由①,②,③可得 。得证。 2.证利用定理 2 证明共线。 例4 △ABC 外心为 O,垂心为 H,重心为 G。求证:O,G,H 为共线,且 OG:GH=1:2。 首先

【证明】

=

其次设 BO 交外接圆于另一点 E,则连结 CE 后得 CE 又 AH 又 EA 所以 所以 所以 所以 与 , 共线,所以 O,G,H 共线。 , BC,所以 AH//CE。 AB,CH AB,所以 AHCE 为平行四边形。

所以 OG:GH=1:2。 3.利用数量积证明垂直。 例5 给定非零向量 a, b. 求证:|a+b|=|a-b|的充要条件是 a (a+b) =(a-b)
2 2 2 2 2

b.
2

【证明】|a+b|=|a-b| 例6

a +2a·b+b =a -2a·b+b

a·b=0

a

b.

已知△ABC 内接于⊙O,AB=AC,D 为 AB 中点,E 为△ACD 重心。求证:OE 设 ,

CD。

【证明】





88





所以

a·(b-c).

(因为|a|2=|b|2=|c|2=|OH|2)

又因为 AB=AC,OB=OC,所以 OA 为 BC 的中垂线。 所以 a·(b-c)=0. 所以 OE 4.向量的坐标运算。 例7 已知四边形 ABCD 是正方形,BE//AC,AC=CE,EC 的延长线交 BA 的延长线于点 F, CD。

求证:AF=AE。 【证明】 如图所示,以 CD 所在的直线为 x 轴,以 C 为原点建立直角坐标系,设正方形 边长为 1,则 A,B 坐标分别为(-1,1)和(0,1),设 E 点的坐标为(x, y),则 y-1), 又因为 ,因为 ,所以-x-(y-1)=0. =(x,

,所以 x2+y2=2.

由①,②解得

所以

设 所以 所以

,则 ,即 F =4+

。由

和 ,

共线得

,所以 AF=AE。

三、基础训练题
89

1 . 以 下 命 题 中 正 确 的 是 __________. ① a=b 的 充 要 条 件 是 |a|=|b| , 且 a//b ; ② (a·b)·c=(a·c)·b;③若 a·b=a·c,则 b=c;④若 a, b 不共线,则 xa+yb=ma+nb 的充 要条件是 x=m, y=n;⑤若 在 b=(-3, 4)上的投影为-4。 2. 已知正六边形 ABCDEF, 在下列表达式中: ① ④ 与 ,相等的有__________. ; ② ; ③ ; ,且 a, b 共线,则 A,B,C,D 共线;⑥a=(8, 1)

3.已知 a=y-x, b=2x-y, |a|=|b|=1, a·b=0,则|x|+|y|=__________. 4.设 s, t 为非零实数,a, b 为单位向量,若|sa+tb|=|ta-sb|,则 a 和 b 的夹角为 __________. 5. 已知 a, b 不共线, 条件. 6.在△ABC 中,M 是 AC 中点,N 是 AB 的三等分点,且 ,则 λ =__________. 7.已知 __________. 8. 已知 =b, a· b=|a-b|=2,当△AOB 面积最大时, 与 b 的夹角为__________. a , 不 共 线 ,点 C 分 所 成 的 比为 2 , ,则 ,BM 与 CN 交于 D,若 =a+kb, =la+b, “kl-1=0” “M, P 共线” 则 是 N, 的__________

9.把函数 y=2x2-4x+5 的图象按向量 a 平移后得到 y=2x2 的图象,c=(1, -1), 若 c·b=4,则 b 的坐标为__________. 10.将向量 a=(2, 1)绕原点按逆时针方向旋转

得到向量 b,则 b 的坐标为__________. 与 的夹

11.在 Rt△BAC 中,已知 BC=a,若长为 2a 的线段 PQ 以点 A 为中点,试问 角 取何值时 的值最大?并求出这个最大值。

12.在四边形 ABCD 中, 判断四边形 ABCD 的形状。
90

,如果 a·b=b·c=c·d=d·a,试

四、高考水平训练题 1.点 O 是平面上一定点,A,B,C 是此平面上不共线的三个点,动点 P 满足

则点 P 的轨迹一定通过△ABC 的________心。 2.在△ABC 中, 3. 非零向量 ,且 a·b<0,则△ABC 的形状是__________. , 若点 B 关于 所在直线对称的点为 B1, 则 =__________.

4 . 若 O 为 △ ABC 的 内 心 , 且 __________. 5 . 设 O 点在 △ ABC 内部,且 __________. 6. 是△ABC 所在平面上一点, P 若 心. 7.已知 __________.

, 则 △ ABC 的 形 状 为

,则 △AOB 与△ AOC 的面积 比 为

, P 是△ABC 的__________ 则

,则|

|的取值范围是

8.已知 a=(2, 1), b=(λ , 1),若 a 与 b 的夹角为锐角,则 λ 的取值范围是__________. 9.在△ABC 中,O 为中线 AM 上的一个动点,若 AM=2,则 __________. 10.已知集合 M={a|a=(1, 2)+ λ (3, 4), λ ∈R},集合 N={a|a=(-2, -2)+ λ (4, 5), λ ∈R},mj M N=__________. 的最小值为

11. 设 G 为△ABO 的重心,过 G 的直线与边 OA 和 OB 分别交于 P 和 Q,已知 ,△OAB 与△OPQ 的面积分别为 S 和 T,

(1)求 y=f(x)的解析式及定义域;(2)求

的取值范围。

91

12.已知两点 M(-1,0),N(1,0),有一点 P 使得 小于零的等差数列。 (1)试问点 P 的轨迹是什么?(2)若点 P 坐标为(x0, y0), tan . 为 与

成公差

的夹角,求

五、联赛一试水平训练题 1.在直角坐标系内,O 为原点,点 A,B 坐标分别为(1,0),(0,2),当实数 p, q 满足 时,若点 C,D 分别在 x 轴,y 轴上,且 ,则直线 CD 恒过

一个定点,这个定点的坐标为___________. 2.p 为△ABC 内心,角 A,B,C 所对边长分别为 a, b, c. O 为平面内任意一点, 则 =___________(用 a, b, c, x, y, z 表示).

3. 已知平面上三个向量 a, b, c 均为单位向量, 且两两的夹角均为 1200, 若|ka+b+c|>1(k ∈R),则 k 的取值范围是___________. 4.平面内四点 A,B,C,D 满足 有___________个. 5 . 已 知 A1A2A3A4A5 是 半 径 为 r 的 ⊙ O 内 接 正 五 边 形 , P 为 ⊙ O 上 任 意 一 点 , 则 取值的集合是___________. 6.O 为△ABC 所在平面内一点,A,B,C 为△ABC 的角,若 sinA· +sinC· ,则点 O 为△ABC 的___________心. (a-b)”的___________条件. +sinB· ,则 的取值

7.对于非零向量 a, b, “|a|=|b|”是“(a+b) 8.在△ABC 中, 三边长之比|a|:|b|:|c|=____________. 9.已知 P 为△ABC 内一点,且

,又(c·b):(b·a):(a·c)=1:2:3,则△ABC

,CP 交 AB 于 D,求证:

92

10.已知△ABC 的垂心为 H,△HBC,△HCA,△HAB 的外心分别为 O1 ,O2 ,O3 ,令 ,求证:(1)2p=b+c-a;(2)H 为△O1O2O3 的外心。 11.设坐标平面上全部向量的集合为 V,a=(a1, a2)为 V 中的一个单位向量,已知从 V 到 的变换 T,由 T(x)=-x+2(x·a)a(x∈V)确定, (1)对于 V 的任意两个向量 x, y, 求证:T(x)·T(y)=x·y; (2)对于 V 的任意向量 x,计算 T[T(x)]-x; (3)设 u=(1, 0); 六、联赛二试水平训练题 1.已知 A,B 为两条定直线 AX,BY 上的定点,P 和 R 为射线 AX 上两点,Q 和 S 为射线 BY 上的两点, 为定比,M,N,T 分别为线段 AB,PQ,RS 上的点, ,若 ,求 a.

为另一定比,试问 M,N,T 三点的位置关系如何?证明你的结论。 2.已知 AC,CE 是正六边形 ABCDEF 的两条对角线,点 M,N 分别内分 AC,CE,使得 AM: AC=CN:CE=r,如果 B,M,N 三点共线,求 r. 3.在矩形 ABCD 的外接圆的弧 AB 上取一个不同于顶点 A,B 的点 M,点 P,Q,R,S 是 M 分别在直线 AD,AB,BC,CD 上的射影,求证:直线 PQ 与 RS 互相垂直。 4.在△ABC 内,设 D 及 E 是 BC 的三等分点,D 在 B 和 F 之间,F 是 AC 的中点,G 是 AB 的中点,又设 H 是线段 EG 和 DF 的交点,求比值 EH:HG。 5.是否存在四个平面向量,两两不共线,其中任何两个向量之和均与其余两个向量之和 垂直? 6.已知点 O 在凸多边形 A1A2?An 内,考虑所有的 自然数,求证:其中至少有 n-1 个不是锐角。 7.如图,在△ABC 中,O 为外心,三条高 AD,BE,CF 交于点 H,直线 ED 和 AB 交于点 M, FD 和 AC 交于点 N,求证:(1)OB DF,OC DE,(2)OH MN。 AiOAj,这里的 i, j 为 1 至 n 中不同的

93

8.平面上两个正三角形△A1B1C1 和△A2B2C2 ,字母排列顺序一致,过平面上一点 O 作 ,求证△ABC 为正三角形。 9.在平面上给出和为 的向量 a, b, c, d,任何两个不共线,求证:

|a|+|b|+|c|+|d|?|a+d|+|b+d|+|c+d|.

高中数学竞赛讲义(十) ──直线与圆的方程 一、基础知识 1.解析几何的研究对象是曲线与方程。解析法的实质是用代数的方法研究几何.首先是 通过映射建立曲线与方程的关系,即如果一条曲线上的点构成的集合与一个方程的解集之间 存在一一映射,则方程叫做这条曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线。如 x2+y2=1 是以原 点为圆心的单位圆的方程。 2.求曲线方程的一般步骤:(1)建立适当的直角坐标系;(2)写出满足条件的点的集合; (3)用坐标表示条件,列出方程;(4)化简方程并确定未知数的取值范围;(5)证明适合方 程的解的对应点都在曲线上,且曲线上对应点都满足方程(实际应用常省略这一步)。 3.直线的倾斜角和斜率:直线向上的方向与 x 轴正方向所成的小于 1800 的正角,叫做它 的倾斜角。规定平行于 x 轴的直线的倾斜角为 00,倾斜角的正切值(如果存在的话)叫做该 直线的斜率。根据直线上一点及斜率可求直线方程。 4.直线方程的几种形式:(1)一般式:Ax+By+C=0;(2)点斜式:y-y0=k(x-x0);(3)

斜截式:y=kx+b;(4)截距式:

;(5)两点式:

;(6)法线式

方程:xcosθ +ysinθ =p(其中θ 为法线倾斜角,|p|为原点到直线的距离);(7)参数式:
94

(其中θ 为该直线倾斜角),t 的几何意义是定点 P0(x0, y0)到动点 P(x, y) 的有向线段的数量(线段的长度前添加正负号,若 P0P 方向向上则取正,否则取负)。 5.到角与夹角:若直线 l1, l2 的斜率分别为 k1, k2,将 l1 绕它们的交点逆时针旋转到与 l2 重合所转过的最小正角叫 l1 到 l2 的角; 1 与 l2 所成的角中不超过 900 的正角叫两者的夹角。 l

若记到角为θ ,夹角为α ,则 tanθ =

,tanα =

.

6.平行与垂直:若直线 l1 与 l2 的斜率分别为 k1, k2。且两者不重合,则 l1//l2 的充要条 件是 k1=k2;l1 l2 的充要条件是 k1k2=-1。 。

7.两点 P1(x1, y1)与 P2(x2, y2)间的距离公式:|P1P2|=

8.点 P(x0, y0)到直线 l: Ax+By+C=0 的距离公式:



9.直线系的方程:若已知两直线的方程是 l1:A1x+B1y+C1=0 与 l2:A2x+B2y+C2=0,则过 l1, l2 交 点 的 直 线 方 程 为 A1x+B1y+C1+ λ (A2x+B2y+C2=0 ; 由 l1 与 l2 组 成 的 二 次 曲 线 方 程 为 (A1x+B1y+C1)(A2x+B2y+C2)=0;与 l2 平行的直线方程为 A1x+B1y+C=0( ).

10. 二元一次不等式表示的平面区域, 若直线 l 方程为 Ax+By+C=0. 若 B>0, Ax+By+C>0 则 表示的区域为 l 上方的部分,Ax+By+C<0 表示的区域为 l 下方的部分。 11.解决简单的线性规划问题的一般步骤:(1)确定各变量,并以 x 和 y 表示;(2) 写出线性约束条件和线性目标函数;(3)画出满足约束条件的可行域;(4)求出最优解。 12.圆的标准方程:圆心是点(a, b),半径为 r 的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,其

参数方程为

(θ 为参数)。

13 . 圆 的 一 般 方 程 : x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0) 。 其 圆 心 为

,半径为

。若点 P(x0, y0)为圆上一点,则过点 P 的切线方程为

95

① 14.根轴:到两圆的切线长相等的点的轨迹为一条直线(或它的一部分),这条直线叫 两圆的根轴。给定如下三个不同的圆:x2+y2+Dix+Eiy+Fi=0, i=1, 2, 3. 则它们两两的根轴方 程 分 别 为 (D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0; (D2-D3)x+(E2-E3)y+(F2-F3)=0;

(D3-D1)x+(E3-E1)y+(F3-F1)=0。不难证明这三条直线交于一点或者互相平行,这就是著名的蒙 日定理。 二、方法与例题 1.坐标系的选取:建立坐标系应讲究简单、对称,以便使方程容易化简。 例1 ∠CDE。 [证明] 见图 10-1,以 A 为原点,AC 所在直线为 x 轴,建立直角坐标系。设点 B,C 坐 , ①直线 AE,所 在Δ ABC 中,AB=AC,∠A=900,过 A 引中线 BD 的垂线与 BC 交于点 E,求证:∠ADB=

标分别为(0,2a),(2a,0),则点 D 坐标为(a, 0)。直线 BD 方程为 BC 方程为 x+y=2a,

②设直线 BD 和 AE 的斜率分别为 k1, k2,则 k1=-2。因为 BD

以 k1k2=-1.所以

, 所以直线 AE 方程为

, 由

解得点 E 坐标为



所以直线 DE 斜率为
0

因为 k1+k3=0.

所以∠BDC+∠EDC=180 ,即∠BDA=∠EDC。 例2 半径等于某个正三角形高的圆在这个三角形的一条边上滚动。 证明: 三角形另两条

边截圆所得的弧所对的圆心角为 600。 [证明] 以 A 为原点,平行于正三角形 ABC 的边 BC 的直线为 x 轴,建立直角坐标系见图

10-2,设⊙D 的半径等于 BC 边上的高,并且在 B 能上能下滚动到某位置时与 AB,AC 的交点 分别为 E,F,设半径为 r,则直线 AB,AC 的方程分别为
96

,

.设⊙D 的方程为

(x-m)2+y2=r2.①设点 E,F 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则 入①并消去 y 得

,分别代

所以 x1, x2 是方程 4x2-2mx+m2-r2=0 的两根。

由韦达定理

,所以

|EF|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(x1-x2)2+3(x1-x2)2 =4(x1+x2)2-4x1x2=m2-(m2-r2)=r2. 所以|EF|=r。所以∠EDF=60 。 2.到角公式的使用。 例3 设双曲线 xy=1 的两支为 C1,C2,正Δ PQR 三顶点在此双曲线上,求证:P,Q,R 不
0

可能在双曲线的同一支上。 [证明] 假设 P,Q,R 在同一支上,不妨设在右侧一支 C1 上,并设 P,Q,R 三点的坐标

分别为

且 0<x1<x2<x3. 记∠RQP=θ ,它是直线 QR 到 PQ 的角,由假

设知直线 QR,PQ 的斜率分别为



由到角公式 所以θ 为钝角,与Δ PQR 为等边三角形矛盾。所以命题成立。 3.代数形式的几何意义。 例4 求函数 的最大值。

97

[解]

因为

表示动点 P(x, x2)到两定点

A(3, 2), B(0, 1)的距离之差,见图 10-3,当 AB 延长线与抛物线 y=x2 的交点 C 与点 P 重合 时,f(x)取最大值|AB|= 4.最值问题。 例5 已知三条直线 l1: mx-y+m=0, l2: x+my-m(m+1)=0, l3: (m+1)x-y+m+1=0 围成Δ ABC,

求 m 为何值时,Δ ABC 的面积有最大值、最小值。 [解]记 l1, l2, l3 的方程分别为①,②,③。在①,③中取 x=-1, y=0,知等式成立,所 以 A(-1, 0)为 l1 与 l3 的交点;在②,③中取 x=0, y=m+1,等式也成立,所以 B(0, m+1)为 l2 与 l3 的 交 点 。 设 l1, l2 斜 率 分 别 为 k1, k2, 若 m 0 , 则 k1?k2= , SΔ

ABC

=

, 由 点 到 直 线 距 离 公 式 |AC|=



|BC|=



所以 SΔ ABC=

。因为 2m?m2+1,所以 SΔ ABC?

。又因为-m2-1

?2m,所以

,所以 SΔ ABC?

当 m=1 时,(SΔ ABC)max= 5.线性规划。

;当 m=-1 时,(SΔ ABC)min=

.

例6

设 x, y 满足不等式组

(1)求点(x, y)所在的平面区域; (2)设 a>-1,在(1)区域里,求函数 f(x,y)=y-ax 的最大值、最小值。

[解] (1)由已知得


98

解得点(x, y)所在的平面区域如图 10-4 所示,其中各直线方程如图所示。AB:y=2x-5; CD:y=-2x+1;AD:x+y=1;BC:x+y=4. (2) f(x, y)是直线 l: y-ax=k 在 y 轴上的截距,直线 l 与阴影相交,因为 a>-1,所以 它过顶点 C 时,f(x, y)最大,C 点坐标为(-3,7),于是 f(x, y)的最大值为 3a+7. 如果 -1<a?2,则 l 通过点 A(2,-1)时,f(x, y)最小,此时值为-2a-1;如果 a>2,则 l 通过 B (3,1)时,f(x, y)取最小值为-3a+1. 6.参数方程的应用。 例7 如图 10-5 所示,过原点引直线交圆 x2+(y-1)2=1 于 Q 点,在该直线上取 P 点,使 P

到直线 y=2 的距离等于|PQ|,求 P 点的轨迹方程。

[解]

设直线 OP 的参数方程为

(t 参数)。

代入已知圆的方程得 t2-t?2sinα =0. 所以 t=0 或 t=2sinα 。所以|OQ|=2|sinα |,而|OP|=t. 所以|PQ|=|t-2sinα |,而|PM|=|2-tsinα |. 所以|t-2sinα |=|2-tsinα |. 化简得 t=2 或 t=-2 或 sinα =-1. 当 t=±2 时,轨迹方程为 x2+y2=4;当 sinα =1 时,轨迹方程为 x=0. 7.与圆有关的问题。 例8 点 A,B,C 依次在直线 l 上,且 AB=ABC,过 C 作 l 的垂线,M 是这条垂线上的动

点,以 A 为圆心,AB 为半径作圆,MT1 与 MT2 是这个圆的切线,确定Δ AT1T2 垂心 的轨迹。 [解] 见图 10-6,以 A 为原点,直线 AB 为 x 轴建立坐标系,H 为 OM 与圆的交点,N 为

T1T2 与 OM 的交点,记 BC=1。 以 A 为圆心的圆方程为 x2+y2=16,连结 OT1,OT2。因为 OT2 同理 OT1//HT2,又 OT1=OT2,所以 OT1HT2 是菱形。所以 2ON=OH。 又因为 OM T1T2,OT1 MT1,所以 ON?OM。设点 H 坐标为(x,y)。 MT2,T1H MT2,所以 OT2//HT1,

点 M 坐标为(5, b),则点 N 坐标为

,将坐标代入
99

=ON?OM,再由



在 AB 上取点 K,使 AK= 例9

AB,所求轨迹是以 K 为圆心,AK 为半径的圆。

已知圆 x2+y2=1 和直线 y=2x+m 相交于 A,B,且 OA,OB 与 x 轴正方向所成的角是α

和β ,见图 10-7,求证:sin(α +β )是定值。 [证明] 过 D 作 OD AB 于 D。则直线 OD 的倾斜角为 ,因为 OD AB,所以

2?

,

所以 例 10 最小值。

。所以 已知⊙O 是单位圆,正方形 ABCD 的一边 AB 是⊙O 的弦,试确定|OD|的最大值、

[解] 以单位圆的圆心为原点,AB 的中垂线为 x 轴建立直角坐标系,设点 A,B 的坐标分 别为 A(cosα ,sinα ),B(cosα ,-sinα ),由题设|AD|=|AB|=2sinα ,这里不妨设 A 在 x 轴上 方, 则α ∈(0,π ).由对称性可设点 D 在点 A 的右侧 (否则将整个图形关于 y 轴作对称即可) , 从而点 D 坐标为(cosα +2sinα ,sinα ), 所以|OD|=

=

因为

,所以



时,|OD|max=

+1;当

时,|OD|min=

例 11 当 m 变化且 m≠0 时,求证:圆(x-2m-1)2+(y-m-1)2=4m2 的圆心在一条定直线上, 并求这一系列圆的公切线的方程。
100

[证明]



消去 m 得 a-2b+1=0.故这些圆的圆心在直线 x-2y+1=0 上。设公切

线 方 程 为 y=kx+b , 则 由 相 切 有 2|m|= (-4k-3)m2+2(2k-1)(k+b-1)m+(k+b-1)2=0 对一切 m≠0 成立

,对一切 m≠0 成立。即

所以 x=1. 三、基础训练题



当 k 不存在时直线为 x=1。所以公切线方程 y=



1.已知两点 A(-3,4)和 B(3,2),过点 P(2,-1)的直线与线段 AB 有公共点,则该直线的 倾斜角的取值范围是__________. 2.已知θ ∈[0,π ],则 的取值范围是__________.

3.三条直线 2x+3y-6=0, x-y=2, 3x+y+2=0 围成一个三角形,当点 P(x, y)在此三角形 边上或内部运动时,2x+y 的取值范围是__________. 4.若三条直线 4x+y=4, mx+y=0, 2x-3my=4 能围成三角形,则 m 的范围是__________. 5.若λ ∈R。直线(2+λ )x-(1+λ )y-2(3+2λ )=0 与点 P(-2,2)的距离为 d,比较大小: d__________ .

6.一圆经过 A(4,2), B(-1,3)两点,且在两个坐标轴上的 四个截距的和为 14,则此圆 的方程为__________. 7.自点 A(-3,3)发出的光线 l 射到 x 轴上被 x 轴反射,其反射光线所在的直线与圆 C: x2+y2-4x-4y+7=0 相切,则光线 l 所在的方程为__________. 8.D2=4F 且 E≠0 是圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0 与 x 轴相切的__________条件. 9.方程|x|-1= 表示的曲线是__________.

101

10.已知点 M 到点 A(1,0),B(a,2)及到 y 轴的距离都相等,若这样的点 M 恰好有 一个,则 a 可能值的个数为__________. 11.已知函数 S=x+y,变量 x, y 满足条件 y2-2x?0 和 2x+y?2,试求 S 的最大值和最小 值。 12.A,B 是 x 轴正半轴上两点,OA=a,OB=b(a<b),M 是 y 轴正半轴上的动点。 (1)求∠AMB 的最大值; (2)当∠AMB 取最大值时,求 OM 长; (3)当∠AMB 取最大值时,求过 A,B,M 三点的圆的半径。 四、高考水平训练题 1.已知Δ ABC 的顶点 A(3,4),重心 G(1,1),顶点 B 在第二象限,垂心在原点 O,则点 B 的坐标为__________. 2.把直线 绕点(-1,2)旋转 300 得到的直线方程为__________.

3.M 是直线 l: 段 AB 上满足

上一动点,过 M 作 x 轴、y 轴的垂线,垂足分别为 A,B,则在线 的点 P 的轨迹方程为__________.

4.以相交两圆 C1:x2+y2+4x+y+1=0 及 C2:x2+y2+2x+2y+1=0 的公共弦为直径的圆的方程为 __________. 5.已知 M={(x,y)|y= ,a>0},N={(x,y)|(x-1)2+(y)2=a2,a>0}.M N ,a

的最大值与最小值的和是__________. 6. x2+y2+x-6y+m=0 与直线 x+2y-3=0 交于 P, 两点, 为原点, 圆 Q O OP OQ, m=__________. 则

7. 已知对于圆 x2+(y-1)2=1 上任意一点 P(x,y), x+y+m?0 恒成立, 范围是__________. 使 m 8.当 a 为不等于 1 的任何实数时,圆 x2-2ax+y2+2(a-2)y+2=0 均与直线 l 相切,则直线 l 的方程为__________. 9.在Δ ABC 中,三个内角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c,若 lgsinA,lgsinB, lgsinC 成等差数列,那么直线 xsin2A+ysinA=a 与直线 xsin2B+ysinC=c 的位置关系是__________.
102

10.设 A={(x,y)|0?x?2,0?y?2},B={(x,y)|x?10,y?2,y?x-4}是坐标平面 xOy 上

的点集,C=

所围成图形的面积是__________.

11.求圆 C1:x2+y2+2x+6y+9=0 与圆 C2:x2+y2-6x+2y+1=0 的公切线方程。 12.设集合 L={直线 l 与直线 y=2x 相交,且以交点的横坐标为斜率}。 (1)点(-2,2)到 L 中的哪条直线的距离最小? (2)设 a∈R+,点 P(-2, a)到 L 中的直线的距离的最小值设为 dmin,求 dmin 的表达式。 13.已知圆 C:x +y -6x-8y=0 和 x 轴交于原点 O 和定点 A,点 B 是动点,且∠OBA=90 , OB 交⊙C 于 M,AB 交⊙C 于 N。求 MN 的中点 P 的轨迹。 五、联赛一试水平训练题 1.在直角坐标系中纵横坐标都是有理数的点称为有理点。若 a 为无理数,过点(a,0)的 所有直线中,每条直线上至少存在两个有理点的直线有_______条。 2.等腰Δ ABC 的底边 BC 在直线 x+y=0 上,顶点 A(2,3),如果它的一腰平行于直线 x-4y+2=0,则另一腰 AC 所在的直线方程为__________. 3.若方程 2mx2+(8+m2)xy+4my2+(6-m)x+(3m-4)y-3=0 表示表示条互相垂直的直线,则 m=__________. 4.直线 x+7y-5=0 分圆 x2+y2=1 所成的两部分弧长之差的绝对值是__________. 5.直线 y=kx-1 与曲线 y= 有交点,则 k 的取值范围是__________.
2 2 0

6.经过点 A(0,5)且与直线 x-2y=0, 2x+y=0 都相切的圆方程为__________. 7.在直角坐标平面上,同时满足条件:y?3x, y? __________. 8.平面上的整点到直线 的距离中的最小值是__________. x, x+y?100 的整点个数是

9.y=lg(10-mx2)的定义域为 R,直线 y=xsin(arctanm)+10 的倾斜角为__________.

10.已知 f(x)=x2-6x+5,满足
103

的点(x,y)构成图形的面积为__________.

11.已知在Δ ABC 边上作匀速运动的点 D,E,F,在 t=0 时分别从 A,B,C 出发,各以一 定速度向 B,C,A 前进,当时刻 t=1 时,分别到达 B,C,A。 (1)证明:运动过程中Δ DEF 的重心不变; (2)当Δ DEF 面积取得最小值时,其值是Δ ABC 面积的多少倍? 12.已知矩形 ABCD,点 C(4,4),点 A 在圆 O:x2+y2=9(x>0,y>0)上移动,且 AB,AD 两边 始终分别平行于 x 轴、y 轴。求矩形 ABCD 面积的最小值,以及取得最小值时点 A 的坐标。 13.已知直线 l: y=x+b 和圆 C:x2+y2+2y=0 相交于不同两点 A,B,点 P 在直线 l 上,且 满足|PA|?|PB|=2,当 b 变化时,求点 P 的轨迹方程。 六、联赛二试水平训练题 1.设点 P(x,y)为曲线|5x+y|+|5x-y|=20 上任意一点,求 x2-xy+y2 的最大值、最小值。 2.给定矩形Ⅰ(长为 b,宽为 a),矩形Ⅱ(长为 c、宽为 d),其中 a<d<c<b,求证: 矩形Ⅰ能够放入矩形Ⅱ的充要条件是:(ac-bd)2+(ad-bc)2?(a2-b2)2. 3.在直角坐标平面内给定凸五边形 ABCDE,它的顶点都是整点,求证:见图 10-8,A1, B1,C1,D1,E1 构成的凸五边形内部或边界上至少有一个整点。 4.在坐标平面上,纵横坐标都是整数的点称为整点,试证:存在一个同心圆的集合,使 得:(1)每个整点都在此集合的某一圆周上;(2)此集合的每个圆周上,有且只有一个整 点。 5.在坐标平面上,是否存在一个含有无穷多条直线 l1,l2,?,ln,?的直线族,它满足 条件:(1)点(1,1)∈ln,n=1,2,3,?;(2)kn+1?an-bn,其中 kn+1 是 ln+1 的斜率,an 和 bn 分别是 ln 在 x 轴和 y 轴上的截距,n=1,2,3,?;(3)knkn+1?0, n=1,2,3,?.并证明你的结 论。 6.在坐标平面内,一圆交 x 轴正半径于 R,S,过原点的直线 l1,l2 都与此圆相交,l1 交 圆于 A,B,l2 交圆于 D,C,直线 AC,BD 分别交 x 轴正半轴于 P,Q,求证:

104

高中数学竞赛讲义(十一) ──圆锥曲线 一、基础知识 1.椭圆的定义,第一定义:平面上到两个定点的距离之和等于定长(大于两个定点之间 的距离)的点的轨迹,即|PF1|+|PF2|=2a (2a>|F1F2|=2c). 第二定义:平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数 e(0<e<1) 的点的轨迹(其中定点不在定直线上),即 (0<e<1). 第三定义:在直角坐标平面内给定两圆 c1: x2+y2=a2, c2: x2+y2=b2, a, b∈R+且 a≠b。从 原点出发的射线交圆 c1 于 P,交圆 c2 于 Q,过 P 引 y 轴的平行线,过 Q 引 x 轴的平行线,两 条线的交点的轨迹即为椭圆。 2.椭圆的方程,如果以椭圆的中心为原点,焦点所在的直线为坐标轴建立坐标系,由定 义可求得它的标准方程,若焦点在 x 轴上,列标准方程为 (a>b>0),

参数方程为

( 为参数)。

105

若焦点在 y 轴上,列标准方程为 (a>b>0)。 3.椭圆中的相关概念,对于中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆 , a 称半长轴长,b 称半短轴长,c 称为半焦距,长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分 别为(±a, 0), (0, ±b), (±c, 0);与左焦点对应的准线(即第二定义中的定直线)为 ,与右焦点对应的准线为 知 0<e<1. 椭圆有两条对称轴,分别是长轴、短轴。 4.椭圆的焦半径公式:对于椭圆 1(a>b>0), F1(-c, 0), F2(c, 0)是它的两焦 ;定义中的比 e 称为离心率,且 ,由 c2+b2=a2

点。若 P(x, y)是椭圆上的任意一点,则|PF1|=a+ex, |PF2|=a-ex. 5.几个常用结论:1)过椭圆上一点 P(x0, y0)的切线方程为 ; 2)斜率为 k 的切线方程为 3)过焦点 F2(c, 0)倾斜角为θ 的弦的长为 。 6.双曲线的定义,第一定义: 满足||PF1|-|PF2||=2a(2a<2c=|F1F2|, a>0)的点 P 的轨迹; 第二定义:到定点的距离与到定直线距离之比为常数 e(>1)的点的轨迹。 7.双曲线的方程:中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线方程为 ,
106



参数方程为

( 为参数)。

焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程为 。 8.双曲线的相关概念,中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线 (a, b>0), a 称半实轴长,b 称为半虚轴长,c 为半焦距,实轴的两个端点为(-a, 0), (a, 0). 左、 右焦点为 F1(-c,0), F2(c, 0),对应的左、右准线方程分别为 离心率 ,

由 a2+b2=c2 知 e>1。两条渐近线方程为

,双曲线



有相同的

渐近线,它们的四个焦点在同一个圆上。若 a=b,则称为等轴双曲线。 9.双曲线的常用结论,1)焦半径公式,对于双曲线 ,F1(-c,0), F2(c, 0)

是它的两个焦点。 P(x,y)是双曲线上的任一点, P 在右支上, 设 若 则|PF1|=ex+a, |PF2|=ex-a; 若 P(x,y)在左支上,则|PF1|=-ex-a,|PF2|=-ex+a. 2) 过焦点的倾斜角为θ 的弦长是 。

10.抛物线:平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线, 点 F 叫焦点,直线 l 叫做抛物线的准线。若取经过焦点 F 且垂直于准线 l 的直线为 x 轴,x 轴与 l 相交于 K,以线段 KF 的垂直平分线为 y 轴,建立直角坐标系,设|KF|=p,则焦点 F 坐 标为 ,准线方程为 ,标准方程为 y2=2px(p>0),离心率 e=1.

11.抛物线常用结论:若 P(x0, y0)为抛物线上任一点, 1)焦半径|PF|= ;

107

2)过点 P 的切线方程为 y0y=p(x+x0); 3)过焦点倾斜角为θ 的弦长为 。

12.极坐标系,在平面内取一个定点为极点记为 O,从 O 出发的射线为极轴记为 Ox 轴, 这样就建立了极坐标系,对于平面内任意一点 P,记|OP|=ρ ,∠xOP=θ ,则由(ρ ,θ )唯 一确定点 P 的位置,(ρ ,θ )称为极坐标。 13. 圆锥曲线的统一定义: 到定点的距离与到定直线的距离的比为常数 e 的点 P, 0<e<1, 若 则点 P 的轨迹为椭圆;若 e>1,则点 P 的轨迹为双曲线的一支;若 e=1,则点 P 的轨迹为抛 物线。这三种圆锥曲线统一的极坐标方程为 二、方法与例题 1.与定义有关的问题。 例 1 已知定点 A(2,1),F 是椭圆 的左焦点,点 P 为椭圆上的动点,当 。

3|PA|+5|PF|取最小值时,求点 P 的坐标。 [解] 见图 11-1,由题设 a=5, b=4, c= =3, .椭圆左准线的方程为

,又因为

,所以点 A 在椭圆内部,又点 F 坐标为(-3,0),过 P 作 PQ

垂直于左准线,垂足为 Q。由定义知

,则 |PF|=|PQ|。

所以 3|PA|+5|PF|=3(|PA|+ |PF|)=3(|PA|+|PQ|)?3|AM|(AM

左准线于 M)。

所以当且仅当 P 为 AM 与椭圆的交点时,3|PA|+5|PF|取最小值,把 y=1 代入椭圆方程得

,又 x<0,所以点 P 坐标为

例2

已知 P,

为双曲线 C:

右支上两点, F1K=∠KF1Q.

延长线交右准线于 K,PF1 延

长线交双曲线于 Q,(F1 为右焦点)。求证:∠
108

[证明]

记右准线为 l,作 PD

l 于 D,

于 E,因为

//PD,则



又由定义

,所以 =∠KF1Q。

,由三角形外角平分线定理知,

F1K 为∠PF1P 的外角平分线,所以∠ 2.求轨迹问题。 例3

已知一椭圆及焦点 F,点 A 为椭圆上一动点,求线段 FA 中点 P 的轨迹方程。 利用定义,以椭圆的中心为原点 O,焦点所在的直线为 x 轴,建立直角坐标 =1(a>b>0).F 坐标为(-c, 0).设另一焦点为 。连结 ,OP,

[解法一]

系,设椭圆方程:



。所以|FP|+|PO|=

(|FA|+|A

|)=a.

所以点 P 的轨迹是以 F,O 为两焦点的椭圆(因为 a>|FO|=c),将此椭圆按向量 m=(

,0)

平移,得到中心在原点的椭圆:

。由平移公式知,所求椭圆的方程为

[解法二]

相关点法。设点 P(x,y), A(x1, y1),则

,即 x1=2x+c, y1=2y.

又因为点 A 在椭圆

上,所以

代入得关于点 P 的方程为

。它表示中心为 例4

,焦点分别为 F 和 O 的椭圆。

长为 a, b 的线段 AB,CD 分别在 x 轴,y 轴上滑动,且 A,B,C,D 四点共圆,求

此动圆圆心 P 的轨迹。

109

[解] 设 P(x, y)为轨迹上任意一点,A,B,C,D 的坐标分别为 A(x-

,0), B(x+

,0),

C(0, y- ), D(0, y+

), 记 O 为原点,由圆幂定理知|OA|?|OB|=|OC|?|OD|,用坐标表示



,即 当 a=b 时,轨迹为两条直线 y=x 与 y=-x; 当 a>b 时,轨迹为焦点在 x 轴上的两条等轴双曲线; 当 a<b 时,轨迹为焦点在 y 轴上的两条等轴双曲线。 例5 在坐标平面内,∠AOB= ,AB 边在直线 l: x=3 上移动,求三角形 AOB 的外心的轨

迹方程。 [解] 设∠xOB=θ ,并且 B 在 A 的上方, 则点 A, 坐标分别为 B(3, 3tanθ ),A(3,3tan(θ B 。

)),设外心为 P(x,y),由中点公式知 OB 中点为 M

由外心性质知

再由



×tanθ =-1。结合上式有

?tanθ =





tanθ +

=





110

所 以 tan θ -

=

两边平方,再将①,②代入得

。即为所求。 3.定值问题。 例6 过双曲线 (a>0, b>0)的右焦点 F 作 B1B2 轴,交双曲线于 B1,B2 两点,

B2 与左焦点 F1 连线交双曲线于 B 点,连结 B1B 交 x 轴于 H 点。求证:H 的横坐标为定值。 [证明] 设点 B,H,F 的坐标分别为(asecα ,btanα ), (x0, 0), (c, 0),则 F1,B1,B2 ), (c, ),因为 F1,H 分别是直线 B2F,BB1 与 x 轴的交

的坐标分别为(-c, 0), (c, 点,所以



所以



由①得

代入上式得



(定值)。

注:本例也可借助梅涅劳斯定理证明,读者不妨一试。

111

例7

设抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,经过点 F 的直线交抛物线于 A,B 两点,点 C 在

准线上,且 BC//x 轴。证明:直线 AC 经过定点。

[证明]



, 则

, 焦点为

, 所以







。 由 于

, 所 以

?y2-

y1=0,即

=0。因为

,所以



所以

,即

。所以

,即直线 AC 经过原点。

例8 定值。

椭圆

上有两点 A,B,满足 OA

OB,O 为原点,求证:



[证明]

设|OA|=r1,|OB|=r2,且∠xOA=θ ,∠xOB=

, 则点 A, 的坐标分别为 A(r1cos B

θ , r1sinθ ),B(-r2sinθ ,r2cosθ )。由 A,B 在椭圆上有







①+②得 4.最值问题。 例9

(定值)。

设 A,B 是椭圆 x2+3y2=1 上的两个动点,且 OA

OB(O 为原点),求|AB|的最大值

与最小值。

112

[解]

由题设 a=1,b=

,记|OA|=r1,|OB|=r2,

,参考例 8 可得

=4。设

m=|AB|2=

,

因为

,且 a2>b2,所以

,所以 b?r1

?a,同理 b?r2?a.所以

。又函数 f(x)=x+



上单调递减,在

上单

调递增,所以当 t=1 即|OA|=|OB|时,|AB|取最小值 1;当



时,|AB|取最大值



例 10

设一椭圆中心为原点,长轴在 x 轴上,离心率为 ,试求这个椭圆的方程。

,若圆 C:

1

上点与这椭圆上点的最大距离为

[解]

设 A,B 分别为圆 C 和椭圆上动点。由题设圆心 C 坐标为

,半径|CA|=1,因

为|AB|?|BC|+|CA|=|BC|+1,所以当且仅当 A,B,C 共线,且|BC|取最大值时,|AB|取最大 值 ,所以|BC|最大值为

因为

;所以可设椭圆半长轴、半焦距、半短轴长分别为 2t,

,t,椭圆方程为

, 并设点 B 坐标为 B(2tcosθ ,tsinθ ), 则|BC|2=(2tcosθ )2+

=3t2sin2

θ -3tsinθ +

+4t2=-3(tsinθ +

)2+3+4t2.



,则当 sinθ =-1 时,|BC|2 取最大值 t2+3t+

,与题设不符。

若 t> ,则当 sinθ =

时,|BC|2 取最大值 3+4t2,由 3+4t2=7 得 t=1.

所以椭圆方程为



113

5.直线与二次曲线。 例 11 [解] 若抛物线 y=ax2-1 上存在关于直线 x+y=0 成轴对称的两点,试求 a 的取值范围。 抛物线 y=ax2-1 的顶点为(0,-1),对称轴为 y 轴,存在关于直线 x+y=0 对称两点 (-y1,-x1),满足 y1=a 且 -x1=a(-y1)2-1 ,相减 得

的 条 件 是 存 在一对点 P(x1,y1),

x1+y1=a(

),因为 P 不在直线 x+y=0 上,所以 x1+y1≠0,所以 1=a(x1-y1),即 x1=y1+

所以 所求。 例 12

此方程有不等实根,所以

,求得

,即为

若直线 y=2x+b 与椭圆

相交,(1)求 b 的范围;(2)当截得弦长最大

时,求 b 的值。 [ 解 ] 二 方 程 联 立 得 17x2+16bx+4(b2-1)=0. 由 Δ >0 , 得 <b< ;设两交点为

P(x1,y1),Q(x2,y2), 由韦达定理得|PQ|= 最大。 三、基础训练题

。 所以当 b=0 时, |PQ|

1.A 为半径是 R 的定圆⊙O 上一定点,B 为⊙O 上任一点,点 P 是 A 关于 B 的对称点,则 点 P 的轨迹是________. 2.一动点到两相交直线的距离的平方和为定值 m2(>0),则动点的轨迹是________. 3. 椭圆 上有一点 P, 它到左准线的距离是 10, 它到右焦点的距离是________.

4.双曲线方程

,则 k 的取值范围是________.

5.椭圆 ________.

,焦点为 F1,F2,椭圆上的点 P 满足∠F1PF2=600,则Δ F1PF2 的面积是

114

6.直线 l 被双曲线 ________.

所截的线段 MN 恰被点 A(3,-1)平分,则 l 的方程为

7.Δ ABC 的三个顶点都在抛物线 y2=32x 上,点 A(2,8),且Δ ABC 的重心与这条抛物 线的焦点重合,则直线 BC 的斜率为________. 8.已知双曲线的两条渐近线方程为 3x-4y-2=0 和 3x+4y-10=0,一条准线方程为 5y+4=0, 则双曲线方程为________. 9.已知曲线 y =ax,与其关于点(1,1)对称的曲线有两个不同的交点,如果过这两个 交点的直线的倾斜角为 450,那么 a=________. 10.P 为等轴双曲线 x2-y2=a2 上一点,
2

的取值范围是________.

11.已知椭圆

与双曲线

有公共的焦点 F1,F2,设 P 是它们的一个

焦点,求∠F1PF2 和Δ PF1F2 的面积。 12.已知(i)半圆的直径 AB 长为 2r;(ii)半圆外的直线 l 与 BA 的延长线垂直,垂 足为 T,设|AT|=2a(2a< );(iii)半圆上有相异两点 M,N,它们与直线 l 的距离|MP|,

|NQ|满足

求证:|AM|+|AN|=|AB|。

13.给定双曲线 线段 P1P2 的中点的轨迹方程。 四、高考水平测试题

过点 A(2,1)的直线 l 与所给的双曲线交于点 P1 和 P2,求

1.双曲线与椭圆 x2+4y2=64 共焦点,它的一条渐近线方程是 准方程是_________.

=0,则此双曲线的标

2.过抛物线焦点 F 的直线与抛物线相交于 A,B 两点,若 A,B 在抛物线准线上的射影分 别是 A1,B1,则∠A1FB1=_________.
115

3.双曲线

的一个焦点为 F1,顶点为 A1,A2,P 是双曲线上任一点,以|PF1|为

直径的圆与以|A1A2|为直径的圆的位置关系为_________. 4.椭圆的中心在原点,离心率 ,一条准线方程为 x=11,椭圆上有一点 M 横坐标为

-1,M 到此准线异侧的焦点 F1 的距离为_________. 5.4a2+b2=1 是直线 y=2x+1 与椭圆 恰有一个公共点的_________条件.

6.若参数方程 直线的方程是_________.

(t 为参数)表示的抛物线焦点总在一条定直线上,这条

7.如果直线 y=kx+1 与焦点在 x 轴上的椭圆 _________. 8.过双曲线

总有公共点,则 m 的范围是

的左焦点,且被双曲线截得线段长为 6 的直线有_________条.

9.过坐标原点的直线 l 与椭圆

相交于 A,B 两点,若以 AB 为直径的圆恰

好通过椭圆的右焦点 F,则直线 l 的倾斜角为_________. 10.以椭圆 x2+a2y2=a2(a>1)的一个顶点 C(0,1)为直角顶点作此椭圆的内接等腰直角三 角形 ABC,这样的三角形最多可作_________个. 11.求椭圆 上任一点的两条焦半径夹角θ 的正弦的最大值。

12.设 F,O 分别为椭圆

的左焦点和中心,对于过点 F 的椭圆的任意弦 AB,

点 O 都在以 AB 为直径的圆内,求椭圆离心率 e 的取值范围。 13.已知双曲线 C1: 焦点 F1。
116

(a>0),抛物线 C2 的顶点在原点 O,C2 的焦点是 C1 的左

(1)求证:C1,C2 总有两个不同的交点。 (2)问:是否存在过 C2 的焦点 F1 的弦 AB,使Δ AOB 的面积有最大值或最小值?若存在, 求直线 AB 的方程与 SΔ AOB 的最值,若不存在,说明理由。 五、联赛一试水平训练题 1.在平面直角坐标系中,若方程 m(x2+y2+2y+1)=(x-2y+3)2 表示的曲线为椭圆,则 m 的取 值范围是_________. 2.设 O 为抛物线的顶点,F 为焦点,且 PQ 为过 F 的弦,已知|OF|=a,|PQ|=b,Δ OPQ 面 积为_________. 3.给定椭圆 ,如果存在过左焦点 F 的直线交椭圆于 P,Q 两点,且 OP OQ,

则离心率 e 的取值范围是_________. 4.设 F1,F2 分别是双曲线 (a>b>0)的左、右焦点,P 为双曲线上的动点,过

F1 作∠F1PF2 平分线的垂线,垂足为 M,则 M 的轨迹为_________. 5.Δ ABC 一边的两顶点坐标为 B(0, )和 C(0, ),另两边斜率的乘积为 ,

若点 T 坐标为(t,0)(t∈R+),则|AT|的最小值为_________. 6.长为 l(l<1)的线段 AB 的两端点在抛物线 y=x2 上滑动,则线段 AB 的中点 M 到 x 轴的 最短距离等于_________. 7.已知抛物线 y2=2px 及定点 A(a,b),B(-a,0),ab≠0,b2≠2pa,M 是抛物线上的点,设直 线 AM,BM 与抛物线的另一个交点分别为 M1,M2,当 M 变动时,直线 M1M2 恒过一个定点,此定 点坐标为_________. 8.已知点 P(1,2)既在椭圆 内部(含边界),又在圆 x2+y2= 外部

(含边界),若 a,b∈R+,则 a+b 的最小值为_________.

117

9.已知椭圆

的内接Δ ABC 的边 AB,AC 分别过左、右焦点 F1,F2,椭圆的左、

右顶点分别为 D,E,直线 DB 与直线 CE 交于点 P,当点 A 在椭圆上变动时,试求点 P 的轨迹。 10.设曲线 C1: (a 为正常数)与 C2:y2=2(x+m)在 x 轴上方有一个公共点 P。

(1)求实数 m 的取值范围(用 a 表示); (2)O 为原点,若 C1 与 x 轴的负半轴交于点 A,当 0<a< 时,试求Δ OAP 面积的最大值 (用 a 表示)。 11.已知直线 l 过原点,抛物线 C 的顶点在原点,焦点在 x 轴正半轴上,若点 A(-1,0) 和 B(0,8)关于 l 的对称点都在 C 上,求直线 l 和抛物线的方程。 六、联赛二试水平训练题 1.在四边形 ABCD 中,对角线 AC 平分∠BAD,在 CD 上取一点 E,BE 与 AC 相交于 F,延 长 DF 交 BC 于 G,求证:∠GAC=∠EAC。 2.求证:在坐标平面上不存在一条具有奇数个顶点,每段长都为 1 的闭折线,它的每个 顶点坐标都是有理数。 3.以 B0 和 B1 为焦点的椭圆与Δ AB0B1 的边 ABi 交于 Ci(i=0,1),在 AB0 的延长线上任取点 P0,以 B0 为圆心,B0P0 为半径作圆弧 交 C1B0 的延长线于 Q0;以 C1 为圆心,C1Q0 为半径作

圆弧 Q0P1 交 B1A 的延长线于 P1;B1 为圆心,B1P1 为半径作圆弧 P1Q1 交 B1C0 的延长线于 Q1;以 C0 为圆心,C0Q1 为半径作圆弧 Q1 ,交 AB0 的延长线于 。求证:(1)点 与点 P0 重合,且

圆弧 P0Q0 与 P0Q1 相内切于 P0;(2)P0,Q0,P1,Q1 共圆。 4.在坐标平面内,从原点出发以同一初速度 v0 和不同发射角(即发射方向与 x 轴正向之 间 的夹角)α (α ∈[0,π ],α ≠ )射出的质点,在重力的作用下运动轨迹是抛物线,所有

这些抛物线组成一个抛物线族,若两条抛物线在同一个交点处的切线互相垂直,则称这个交

118

点为正交点。 证明: 此抛物线族的所有正交点的集合是一段椭圆弧, 并求此椭圆弧的方程 (确 定变量取值范围)。 5.直角Δ ABC 斜边为 AB,内切圆切 BC,CA,AB 分别于 D,E,F 点,AD 交内切圆于 P 点。 若 CP BP,求证:PD=AE+AP。 CD,点 A 为 BD 中点,点 Q 在 BC 上,AC=CQ,又在 BQ 上找一点 R,使 BR=2RQ,

6.已知 BC

CQ 上找一点 S,使 QS=RQ,求证:∠ASB=2∠DRC。

高中数学竞赛讲义(十一)答案 基础训练题 1.圆。设 AO 交圆于另一点 以 P 在以 为直径的圆上。 是 A 关于 的对称点。则因为 AB ,所

2 . 圆 或 椭 圆 。 设 给 定 直 线 为 y= ± kx(k>0),P(x,y) 为 轨 迹 上 任 一 点 , 则

。化简为 2k x +2y =m (1+k ). 当 k≠1 时,表示椭圆;当 k=1 时,表示圆。 3.12.由题设 a=10,b=6,c=8,从而 P 到左焦点距离为 10e=10× 的距离为 20-8=12。 4.-2<k<2 或 k<5.由(|k|-2)(5-k)<0 解得 k>5 或-2<k<2. 5. 设 两 条 焦 半 径 分 别 为 m,n , 则 因 为 |F1F2|=12,m+n=20. 由 余 弦 定 理 得 =8,所以 P 到右焦点

2

2

2

2

2

122=m2+n2-2mncos600,即(m+n) 2-3mn=144.所以



119

6 . 3x+4y-5=0. 设 M(x1,y1),N(x2,y2) , 则

两 式 相 减 得

-(y1+y2)(y1-y2)=0. 由

,得

。故 方 程

y+1=

(x-3).

7.-4.设 B(x1,y1),C(x2,y2),则

=0 ,所以 y1+y2=-8 ,故直线 BC 的斜率为

8.

=1。由渐近线交点为双曲线中心,解方程组

得中心

为(2,1),又准线为

,知其实轴平行于 y 轴,设其方程为

=1。其渐近

线方程为

=0。所以 y-1=

(x-1).由题设

,将双曲线沿向量 m=(-2,-1)平

移后中心在原点,其标准方程为

=1 。 由 平 移 公 式

平移后准线为

,再结合

,解得 a2=9,b2=16,故双曲线为

=1。

9.2.曲线 y2=ax 关于点(1,1)的对称曲线为(2-y)2=a(2-x),



得 y2-2y+2-a=0,故 y1+y2=2,从而

=

=1,所以 a=2.

10.(2,

]。设 P(x1,y1)及

,由|PF1|=ex1+a

120

,|PF2|=ex1-a,|PF1|+|PF2|=2ex1, 所以

,即

。因

,所以

,所以

即 2<t?2

. =4c2,

11.解:由对称性,不妨设点 P 在第一象限,由题设|F1F2|2=4 又根据椭圆与双曲线定义

解得|PF1|=a1+a2,|PF2|=a1-a2. 在Δ F1PF2 中,由余弦定理

从而

又 sin∠F1PF2=

所以 12.解:以直线 AB 为 x 轴,AT 的中垂线为 y 轴建立直角坐标系,则由定义知 M,N 两点 既在抛物线 y2=4ax 上,又在圆[x-(a+r)]2+y2=r2 上,两方程联立得 x2+(2a-2r)x+2ra+a2=0,设 点 M,N 坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则 x1+x2=2r-2a.又|AM|=|MP|=x1+a,|AN|=|NP|=x2+a. |AB|=2r,所以 |AM|+|AN|=x1+x2+2a=2r=|AB|. 得证。 13.解:若直线 l 垂直于 x 轴,因其过点 A(2,1),根据对称性,P1P2 的中点为(2,0)。
121

若 l 不垂直于 x 轴,设 l 的方程为 y-1=k(x-2),即 y=kx+1-2k. ①

将①代入双曲线方程消元 y 得 (2-k2)x2+2k(2k-1)x-(4k2-4k+3)=0. 这里 ②

且Δ =[2k(2k-1)]2+4(2-k)2(4k2-4k+3)=8(3k2-4k+3)>0,

设 x1,x2 是方程②的两根,由韦达定理 ③ 由①,③得 y1+y2=kx1+(1-2k)+kx2+(1-2k) ④

=k(x1+x2)+2(1-2k)=

设 P1P2 的中点 P 坐标(x,y),由中点公式及③,④得

消去 k 得

点(2,0)满足此方程,故这就是点 P 的轨迹方程。 高考水平测试题 1. 由椭圆方程得焦点为 ,设双曲线方程 ,渐近线为

由题设

,所以 a2=3b2,又

,c2=a2+b2. 所以 b2=12, a2=36.

2. 900。见图 1,由定义得|FA|=|AA1|,|FB|=|BB1|,有∠1=∠BFB1,∠2=∠AFA1,又∠1= ∠3,∠2=∠4,所以∠3+∠4=∠BFB1+∠AFA1=900。

122

3. 相切, P(x,y)在左支上, F1 为左焦点,2 为右焦点, 为 PF1 中点, 若 设 F M 则|MO|=

|PF2|=

(a-ex),又|PF1|=-a-ex,所以两圆半径之和 当 P(x,y)在右支上时,同理得两圆内切。 4.

(-a-ex)+a=

(a-ex)=|MO|,所以两圆外切。

与 F1 对应的另一条准线为 x=-11,因|MF1|与 M 到直线 x=-11 距离 d1 之比为 e,且

d1=|xm+11|=10.所以

,所以|MF1|= ①

5.充要。将 y=2x+1 代入椭圆方程得(b2+4a2)x2+4a2x+a2 (1-b2)=0.

若Δ =(4a2) 2-4(b2+4a2)a2 (1-b2)=0,则直线与椭圆仅有一个公共点,即 b2+4a2=1;反之, 4a2+b2=1,直线与椭圆有一个公共点。

6.y=2(x-1)。消去参数得(y-2m) 2=4(x-m),焦点为

它在直线 y=2(x-1)上。

7.1?m<5。直线过定点(0,1),所以 0 ?m<5。

?1.又因为焦点在 x 轴上,所以 5>m,所以 1

8.3.双曲线实轴长为 6,通径为 4,故线段端点在异支上一条,在同支上有二条,一共 有三条。 9. 或 。设直线 l: y=kx 与椭圆交于 A(x1,y1),B(x2,y2),把 y=kx 代入椭圆方程得

(1+3k2)x2-6x+3=0,由韦达定理得 ①

② 因 F(1,0),AF BF,所以(x1-1)(x2-1)+y1y2=0,即 ③
123

x1x2-(x1+x2)+1+k2x1x2=0.

把①,②代入③得

,所以倾斜角为



10.3.首先这样的三角形一定存在,不妨设 A,B 分别位于 y 轴左、右两侧,设 CA 斜率 为 k(k>0),CA 的直线方程为 y=kx+1,代入椭圆方程为(a2k2+1)x2+2a2kx=0,得 x=0 或

,于是

,|CA|=

由题设,同理可得|CB|= (k-1)[k2-(a2-1)k+1]=0, 解得 k=1 或 k2-(a2-1)k+1]=0。① 时,①无解;当

,利用|CA|=|CB|可得

对于①,当 1<a< 故最多有 3 个。 11.解

时,k=1;当 a>

时,①有两个不等实根,

设焦点为 F1,F2,椭圆上任一点为 P(x0,y0),∠F1PF2=θ ,根据余弦定理得

|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|?|PF2|cosθ , 又|PF1|+|PF2|=2a,则 4c =(2a) -2|PF1|?|PF2|(1+cosθ ),再将|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0 及 a2=b2+c2 代入得 4b2=2(a2-e2 )(1+cosθ ).
2 2

于是有

由 0

,得

,所以

。因θ ∈[0,π ],所以

cosθ 为减函数,故 0

当 2b2>a2 即

时,

,arccos

,sinθ 为增函数,

sinθ 取最大值 则 sinθ 最大值为 1。

; 2b2?a2 时, 当 arccos

,θ ∈[0,π ],

124

12.解

设 A(x1,y1),B(x2,y2),若 AB 斜率不为 0,设为 k,直线 AB 方程为 y=k(x+c),代

入椭圆方程并化简得 (b2+a2k2)x2+2a2k2cx+a2 (k2c2-b2)=0. ①

则 x1,x2 为方程①的两根,由韦达定理得 ②



因为 y1y2=k2(x1+c)(x2+c),再由②,③得

所以

=x1x2+y1y2=

,O 点在以 AB 为直径的圆内, 等价

<0,

即 k2(a2c2-b4)-a2b2<0 对任意 k∈R 成立, 等价于 a2c2-b2?0,即 ac-b2?0,即 e2+e-1?0.所以 0<e ?

若斜率不存在,问题等价于 13.解 (1)由双曲线方程得 的距离 ,抛物线 ① 把①代入 C1 方程得 ②



,综上 ,所以 F1( ,0),抛物线焦点到准线

Δ =64a2>0,所以方程②必有两个不同实根,设为 x1,x2,由韦达定理得 x1x2=-a2<0,所以② 必有一个负根设为 x1,把 x1 代入①得 y2= C1,C2 总有两个不同交点。 ,所以 (因为 x1≠0),所以

125

(2) 设过 F1(

,0)的直线 AB 为 my=(x+

a),由

得 y2+4

may-12a2=0,

因为Δ =48m2a2+48a2>0,设 y1,y2 分别为 A,B 的纵坐标,则 y1+y2=

,y1y2=-12a2.所以

(y1-y2)2=48a2(m2+1).所以 SΔ AOB=

|y1-y2|?|OF1|=

a?

a?

,当

且仅当 m=0 时,SΔ AOB 的面积取最小值;当 m→+∞时,SΔ AOB→+∞,无最大值。所以存在过 F 的直线 x= 使Δ AOB 面积有最小值 6a2.

联赛一试水平训练题

1.m>5.由已知得

,说明(x,y)到定点(0,-1)与到定直线 x-2y+3=0

的距离比为常数

,由椭圆定义

<1,所以 m>5.

2.

因为 b=|PQ|=|PF|+|QF|=

,所以

。所

以 SΔ OPQ= absinθ =

.

3.

。 设点 P 坐标为(r1cosθ ,r1sinθ ),点 Q 坐标为(-r2sinθ ,r2cosθ ), 因为 P,

Q 在椭圆上,可得

,RtΔ OPQ 斜边上的高为

?|OF|=c.

所以 a2b2?c2(a2+b2),解得

?e<1.

4. 以 O 为圆心, a 为半径的圆。延长 F1M 交 PF2 延长线于 N ,则 |F2N|=|PN|-|PF2|=|PF1|-|PF2|=2a,所以|OM|=a.

F2N , 而

126

5.t∈(0,1]时|AT|min=

,t>1 时|AT|min=|t-2|.由题设 kAB?kAC=-

,设 A(x,y),则

(x

≠ 0) , 整 理 得

=1(x

≠ 0)

, 所 以

|AT|2=(x-t)2+y2=(x-t)2+ x=2t,|AT|取最小值

(x-2t)2+2-t2. 因 为 |x| ? 2, 所 以 当 t ∈ (0,1] 时 取 。当 t>1 时,取 x=2,|AT|取最小值|t-2|.

6.

设 点 M(x0,y0) , 直 线 AB 倾 斜 角 为 θ , 并 设 A(x0-

),

B(x0+

),因为 A,B 在抛物线上,所以



② 由①,②得 2x0cosθ =sinθ . ③

所以

因为 l2<1,所以函数 f(x)=

.在(0,1]在递减,

所以

。当 cosθ =1 即 l 平行于 x 轴时,距离取最小值

7.



,由 A,M,M1 共线得 y1=



同理 B,M,M2 共线得 三式中消去 y1,y2 得

,设(x,y)是直线 M1M2 上的点,则 y1y2=y(y1+y2)-2px,将以上

y02(2px-by)+y0?2pb(a-x)+2pa(by-2pa)=0. 当 x=a,y= 时上式恒成立,即定点为
127

8.

。由题设

且 a +2b ?15,解得 5?b ?6.

2

2

2

所以 a+b?

(t=b2-4∈[1,2]),而

,又 t?2 可得上式 成立。 9.解 设 A(2cosθ , ), B(2cosα , sinα ),C(2cosβ , sinβ ),这里α ≠

β ,则过 A,B 的直线为 lAB: F1(-1,0),代入有 (sinθ -sinα )?(1+2cosθ )=2

,由于直线 AB 过点 sinθ (cosθ -cosα ),即 2sin(α -

θ )=sin θ -sin α =2

?

, 故





?





lBD:

?(x+2)=

, 同理得

。 CE: l

(x-2)=

?(x-2).

两直线方程联立,得 P 点坐标为

,消去

得点 P(x,y)在椭



上(除去点(-2,0),(2,0)).

128

10.解

(1)由

消去 y 得 x2+2a2x+2a2m-a2=0,①设 f(x)=x2+2a2x+2a2m-a2,

问题(1)转化为方程①在 x∈(-a,a)上有唯一解或等根。只需讨论以下三种情况: 10. =0, Δ 得 , 此时 xp=-a2, 当且仅当-a<-a2<a 即 0<a<1 时适合;0。 2 f(a)?f(-a)<0,

当且仅当-a<m<a 时适合;30。f(-a)=0 得 m=a,此时 xp=a-2a2,当且仅当-a<a-2a2<a 即 0<a<1 时适合。令 f(a)=0 得 m=-a,此时 xp=-a-2a2.由于-a-2a2<-a,从而 m≠-a.综上当 0<a<1 时, 或-a<m?a;当 a?1 时,-a<m<a.

(2)Δ OAP 的面积

因为 0<a<

,故当-a<m?a 时,0<-a +

2

,由唯

一性得 xp=-a2+.当 m=a 时,xp 取最小值。由于 xp>0,从而

时取值最大,此时

,故

;当

时,xp=-a2,yp=

,此时



下比较



的大小。令

,得

,故当 0<a? 时,

,此时 此时

;当

时,有



11.解:设 A,B 关于 l 的对称点分别为 A1(x2,y2),B1(x1,y1),则 AA1 中点 l 上, 所以 y2=k(x2-1) ①



又 l AA1,所以

② 由①,②得
129

同理,由 BB1 中点

在 l 上,且 l

BB1,解得

设抛物线方程为 y2=2px,将 A1,B1 坐标代入并消去 p 得 k2-k-1=0.

所以

,由题设 k>0,所以

,从而

所以直线 l 的方程为 联赛二试水平训练题

,抛物线 C 的方程为

1. A 为原点, 以 直线 AC 为 x 轴, 建立直角坐标系, C(c,0),F(f,0),D(xD,kxD),B(xB,-kxB), 设 则直线 DF 的方程为



直线 BC 的方程为 c×①-f×②得



(c-f)x+



③表示一条直线,它过原点,也过 DF 与 BC 的交点 G,因而③就是直线 AG 的方程。 同理 ,直线 AE 的方程为

(c-f)x+



③,④的斜率互为相反数,所以∠GAC=∠EAC。

130

2.证明

假设这样的闭折线存在,不妨设坐标原点是其中一个顶点,记它为 A0,其他顶

点坐标为:

,?,

,其中

都是既约分数,并记 An+1=A0.若 p

与 q 奇偶性相同,则记 p≡q,否则记 p≠q,下面用数学归纳法证明。 bk≡1,dk≡1(k=1,2,?,n),ak+ck≠ak-1+ck-1(k=1,2,?,n,n+1)。

当 k=1 时, 由 反之亦然(即 b1 被 d1 整除)。 因此 b1=±d1,从而

, 得

,因为 a1,b1 互质, 所以 d1 被 b1 整除,

不可能都是偶数(否则 b1 也是偶数,与互质矛

盾);不可能都是奇数,因为两个奇数的平方和模 8 余 2 不是 4 的倍数,也不可能是完全平 方数,因此,a1≠c1,b1≡d1≡1,并且 a1+c1≠0=a0+c0.

设结论对 k=1,2,?,m-1?n 都成立,令

这里

是既约分数,因为每一段的长为 1,所以

=1,与 k=1 情况类似:a

≡c,d≡b≡1,又因为 子,bm≡1.

,分数

既约,所以 bm 是 bbm-1 的一个因

同理可知 dm≡1,又 am≡abm-1+bam-1(同理 cm≡cdm-1+dcm-1). 因 此 (am+cm-am-1-cm-1) ≡ (abm-1+bam-1+cdm-1+dcm-1-am-1-cm-1) ≡ am-1(b-1)+abm-1+cm-1(d-1)+cdm-1 ≡ a+c≡1. 所以 am+cm≠am-1+cm-1,结论成立,于是在顶点数 n+1 为奇数时,an+1+cn+1≠a0+c0,故折线不 可能是闭的。 3.证明 (1)由已知 B0P0=B0Q0,并由圆弧 P0Q0 和 Q0P0,Q0P1 和 P1Q1,P1Q1 和 Q1P1 分别相内 ,四式相加,利 与点 P0

切于点 Q0,P1,Q1,得 C1B0+B0Q0=C1P1,B1C1+C1P1=B1C0+C0Q1 以及 C0Q1=C0B0+ 用 B1C1+C1B0=B1C0+C0B0,以及 。在 B0P0 或其延长线上,有 B0P0=B0

,从而可知点

131

重合。 由于圆弧 Q1P0 的圆心 C0, 圆弧 P0Q0 的圆心 B0 以及 P0 在同一直线上, 所以圆弧 Q1P0 和 P0Q0 相内切于点 P0。 (2)现分别过点 P0 和 P1 引上述相应相切圆弧的公切线 P0T 和 P1T 交于点 T。又过点 Q1 引 相应相切圆弧的公切线 R1S1,分别交 P0T 和 P1T 于点 R1 和 S1,连接 P0Q1 和 P1Q1,得等腰Δ P0Q1R1 和Δ P1Q1S1,由此得∠P0Q1P1=π -∠P0Q1P1-∠P1Q1S1=π -(∠P1P0T-∠Q1P0P)-(∠P0P1T-∠Q1P1P0),而 π -∠P0Q1P1=∠Q1P0P1+∠Q1P1P0,代入上式后,即得∠P0Q1P1=π (∠P0B0Q0+∠P1C1Q0).

同理得∠P0Q0P1=π 4.证明

(∠P0B0Q0+∠P1C1Q0),所以 P0,Q0,Q1,P1 共圆。

引理:抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)在(x0,y0)处的切线斜率是 2ax0+b.

引理的证明:设(x0,y0)处的切线方程为 y-y0=k(x-x0),代入抛物线方程得 ax2+(b-k)x+c+kx0-y0=0. 又 故①可化简成 (x-x0)[a(x+x0)+b-k]=0, ② ①

因为②只有一个实根,所以 k=2ax0+b.引理得证。 ?x2 与

设 P(x0,y0) 为 任 一 正 交 点 , 则 它 是 由 线 y=x?tan

y=x?tan

?x2 的交点,则两条切线的斜率分别为(由引理)

又由题设 k1k2=-1,所以



又 因 为 P(x0,y0) 在 两 条 抛 物 线 上 , 所 以

代入③式得
132

(※)

又因为 tanα 1,tanα 2 是方程

?t2-t+

=0 的两根,所以

tanα 1+tanα 2=



tanα 1?tanα 2= 把④,⑤代入(※)式得





,即 5.证明 以 C 为原点,CB 所在直线为 x 轴,建立直角坐标系,设∠ADC=θ ,|PD|=r.各

点坐标分别为 D(x1,0),E(0,x1),A(0,x1tanθ ),B(x0,0),P(x1-rcosθ ,rsinθ ). 则 lAB 方 程 为 x 1? = , 即 x1x+x0?cot θ ?y-x1x0=0, 因 为 lAB 与 圆 相 切 , 可 得 x0x1?cotθ -x1x0|,约去 x1,再两边平方得

,所以 又因为点 P 在圆上,所以(rcos )2+(x1-rsin )2=

?x1.

① ②

,化简得 r=2x1sin .

要 证 DP=AP+AE cos . ③

2DP=AD+AE

2r=

+x1tan

-x1

1+sin

-cos

=4sin

又因为 因为 所以

,所以 =(x1-x0-rcosθ ,rsinθ ), =(x1-rcosθ ,rsinθ ), ④

(x1-rcosθ )(x1-rcosθ -x0)+r2sin2θ =0.

把②代入④化简得
133



由①得 x0=x1?

代入⑤并约去 x1,化简得 4sin22 -3sin2 =0,因为 sin2 ≠0,所以 sin2 =

,又因为

sin =

=cos ,所以 sin -cos >0.

所以 sin -cos = 以 DP=AP+AE。 6.证明

,所以 1+sin -cos =

=4sin cos ,即③成立。所

设 BC=d,CD=b,BD=c,则 AC=CQ=

,取 BC 中点 M,则 AM

BC,以 M 为原点,

直线 BC 为 x 轴建立直角坐标系,则各点坐标分别为





























因 为 0< ∠ DRC<

, 0< ∠ ASQ< π , 所 以 只 需 证 tan ∠ ASQ=tan2 ∠ DRC, 即

,化简得 9d2-9c2-9b2=0 即 d2=b2+c2,显然成立。所以命题得证。

高中数学竞赛讲义(十二) ──立体几何 一、基础知识

134

公理 1 a a. 公理 2

一条直线。 上如果有两个不同的点在平面。 内. 则这条直线在这个平面内, 记作:

两个平面如果有一个公共点,则有且只有一条通过这个点的公共直线,即若 P∈

α ∩β ,则存在唯一的直线 m,使得α ∩β =m,且 P∈m。 公理 3 面. 推论 l 推论 2 推论 3 公理 4 定义 1 直线与直线外一点确定一个平面. 两条相交直线确定一个平面. 两条平行直线确定一个平面. 在空间内,平行于同一直线的两条直线平行. 异面直线及成角: 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线. 过空间任意 过不在同一条直线上的三个点有且只有一个平面。即不共线的三点确定一个平

一点分别作两条异面直线的平行线,这两条直线所成的角中,不超过 900 的角叫做两条异面 直线成角.与两条异面直线都垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线,公垂线夹在两条异面 直线之间的线段长度叫做两条异面直线之间的距离. 定义 2 直线与平面的位置关系有两种; 直线在平面内和直线在平面外. 直线与平面相交

和直线与平面平行(直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行)统称直线在平面外. 定义 3 直. 定理 1 定理 2 定理 3 定理 4 如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直,则直线与平面垂直. 两条直线垂直于同一个平面,则这两条直线平行. 若两条平行线中的一条与一个平面垂直,则另一条也和这个平面垂直. 平面外一点到平面的垂线段的长度叫做点到平面的距离,若一条直线与平面平 直线与平面垂直: 如果直线与平面内的每一条直线都垂直, 则直线与这个平面垂

行,则直线上每一点到平面的距离都相等,这个距离叫做直线与平面的距离.

135

定义 5

一条直线与平面相交但不垂直的直线叫做平面的斜线. 由斜线上每一点向平面引

垂线,垂足叫这个点在平面上的射影.所有这样的射影在一条直线上,这条直线叫做斜线在 平面内的射影.斜线与它的射影所成的锐角叫做斜线与平面所成的角. 结论 1 定理 4 斜线与平面成角是斜线与平面内所有直线成角中最小的角. (三垂线定理)若 d 为平面。的一条斜线,b 为它在平面 a 内的射影,c 为平面 a b,则 c a.逆定理:若 c a,则 c b.

内的一条直线,若 c 定理 5 行 定理 6 结论 2 定理 7 相等. 定义 6 定理 8 定理 9 定义 7

直线 d 是平面 a 外一条直线,若它与平面内一条直线 b 平行,则它与平面 a 平

若直线。与平面α 平行,平面β 经过直线 a 且与平面 a 交于直线 6,则 a//b. 若直线。与平面α 和平面β 都平行,且平面α 与平面β 相交于 b,则 a//b. (等角定理)如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同, 则两个角

平面与平面的位置关系有两种:平行或相交.没有公共点即平行,否则即相交. 平面 a 内有两条相交直线 a,b 都与平面β 平行,则α //β . 平面α 与平面β 平行,平面γ ∩α =a,γ ∩β =b,则 a//b. (二面角), 经过同一条直线 m 的两个半平面α ,β (包括直线 m, 称为二面角的棱)

所组成的图形叫二面角,记作α —m—β ,也可记为 A—m 一 B,α —AB—β 等.过棱上任意 一点 P 在两个半平面内分别作棱的垂线 AP,BP,则∠APB(?900)叫做二面角的平面角. 它的取值范围是[0,π ]. 特别地,若∠APB=900,则称为直二面角,此时平面与平面的位置关系称为垂直,即α β . 定理 10 定理 11 内. 定理 12 如果两个平面垂直,过第一个子面内的一点作交线的垂线与另一个平面垂直.
136

如果一个平面经过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直. 如果两个平面垂直,过第一个平面内的一点作另一个平面的垂线在第一个平面

定义 8

有两个面互相平行而其余的面都是平行四边形, 并且每相邻两个平行四边形的公

共边(称为侧棱)都互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱.两个互相平行的面叫做底 面.如果底面是平行四边形则叫做平行六面体;侧棱与底面垂直的棱柱叫直棱柱;底面是正 多边形的直棱柱叫做正棱柱.底面是矩形的直棱柱叫做长方体.棱长都相等的正四棱柱叫正 方体. 定义 9 有一个面是多边形(这个面称为底面), 其余各面是一个有公共顶点的三角形的多

面体叫棱锥.底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面的中心的棱锥叫正棱锥. 定理 13 (凸多面体的欧拉定理)设多面体的顶点数为 V,棱数为 E,面数为 F,则

V+F-E=2. 定义 10 空间中到一个定点的距离等于定长的点的轨迹是一个球面.球面所围成的几何

体叫做球.定长叫做球的半径,定点叫做球心. 定理 14 如果球心到平面的距离 d 小于半径 R,那么平面与球相交所得的截面是圆面,

圆心与球心的连线与截面垂直.设截面半径为 r,则 d2+r2=R2.过球心的截面圆周叫做球大 圆.经过球面两点的球大圆夹在两点间劣弧的长度叫两点间球面距离. 定义 11 (经度和纬度)用平行于赤道平面的平面去截地球所得到的截面四周叫做纬

线.纬线上任意一点与球心的连线与赤道平面所成的角叫做这点的纬度.用经过南极和北极 的平面去截地球所得到的截面半圆周(以两极为端点)叫做经线,经线所在的平面与本初子午 线所在的半平面所成的二面角叫做经度,根据位置不同又分东经和西经. 定理 15 (祖 原理)夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意

平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等. 定理 16 (三面角定理)从空间一点出发的不在同一个平面内的三条射线共组成三个

角.其中任意两个角之和大于另一个,三个角之和小于 3600. 定理 17 (面积公式)若一个球的半径为 R,则它的表面积为 S
球面

=4π R2。若一个圆锥

的母线长为 l,底面半径为 r,则它的侧面积 S 侧=π rl.

137

定理 18

(体积公式)半径为 R 的球的体积为 V 球=

;若棱柱(或圆柱)的底面积

为 s,高 h,则它的体积为 V=sh;若棱锥(或圆锥)的底面积为 s,高为 h,则它的体积为 V= 定理 19 如图 12-1 所示, 四面体 ABCD 中, 记∠BDC=α , ∠ADC=β , ∠ADB=γ , ∠BAC=A, 平面 ABC 于 H。

∠ABC=B,∠ACB=C。DH

(1)射影定理:SΔ ABD?cosФ =SΔ ABH,其中二面角 D—AB—H 为Ф 。 (2)正弦定理: (3)余弦定理:cosα =cosβ cosγ +sinβ sinγ cosA. cosA=-cosBcosC+sinBsinCcosα . (4)四面体的体积公式 DH?SΔ ABC

=

(其中 d 是 a1, a 之间的距离, 是它们的夹角)

SΔ ABD?SΔ ACD?sinθ (其中θ 为二面角 B—AD—C 的平面角)。 二、方法与例题 1.公理的应用。 例1 直线 a,b,c 都与直线 d 相交,且 a//b,c//b,求证:a,b,c,d 共面。 设 d 与 a,b,c 分别交于 A,B,C,因为 b 与 d 相交,两者确定一个平面,设为 a.

[证明]

又因为 a//b,所以两者也确定一个平面,记为β 。因为 A∈α ,所以 A∈β ,因为 B∈b,所 以 B∈β ,所以 d β .又过 b,d 的平面是唯一的,所以α ,β 是同一个平面,所以 a α.

同理 c α .即 a,b,c,d 共面。 例2 长方体有一个截面是正六边形是它为正方体的什么条件?
138

[解]

充要条件。先证充分性,设图 12-2 中 PQRSTK 是长方体 ABCD-A1B1C1D1 的正六边形 平面 CC1D1D, O∈直线 SR, 又 所以 O∈平面 CC1D1D,

截面, 延长 PQ, 设交点为 O, SR 因为直线 SR 又因为直线 PQ

平面 A1B1C1D1,又 O∈直线 PQ,所以 O∈平面 A1B1C1D1。所以 O∈直线 C1D1,由

正六边形性质知,∠ORQ=∠OQR=600,所以Δ ORQ 为正三角形,因为 CD//C1D1,所以 =1。 所以 R 是 CC1 中点, 同理 Q 是 B1C1 的中点, 又Δ ORC1≌Δ OQC1, 所以 C1R=C1Q, 所以 CC1=C1B1, 同理 CD=CC1,所以该长方体为正方体。充分性得证。必要性留给读者自己证明。 2.异面直线的相关问题。 例3 [解] 正方体的 12 条棱互为异面直线的有多少对? 每条棱与另外的四条棱成异面直线,重复计数一共有异面直线 12×4=48 对,而每 24 对。

一对异面直线被计算两次,因此一共有 例4 [解]

见图 12-3,正方体,ABCD—A1B1C1D1 棱长为 1,求面对角线 A1C1 与 AB1 所成的角。 连结 AC,B1C,因为 A1A B1B C1C,所以 A1A C1C,所以 A1ACC1 为平行四边形,所

以 A1C1 AC。 所以 AC 与 AB1 所成的角即为 A1C1 与 AB1 所成的角,由正方体的性质 AB1=B1C=AC,所以∠ B1AC=60 。所以 A1C1 与 AB1 所成角为 60 。 3.平行与垂直的论证。 例5 矩形。 [证明] 若 ABCD 是平行四边形,则它是矩形;若 ABCD 不共面,设过 A,B,C 的平面为 α 于 D1,见图 12-4,连结 AD1,CD1,因为 AB AB,所以 AB 平面 ADD1,所以 AB AD1,又因为 DD1 平面α , A,B,C,D 是空间四点,且四边形 ABCD 四个角都是直角,求证:四边形 ABCD 是
0 0

α ,过 D 作 DD1 又 AB

α ,所以 DD1

AD1。同理 BC CD1,所以 ABCD1 为 , 与 <AD2+CD2

矩形, 所以∠AD1C=900, AD1<AD,CD1<CD, 但 所以 AD2+CD2=AC2= 矛盾。所以 ABCD 是平面四边形,所以它是矩形。

139

例6

一个四面体有两个底面上的高线相交。证明:它的另两条高线也相交。 见图 12-5,设四面体 ABCD 的高线 AE 与 BF 相交于 O,因为 AE 平面 ACD,所以 BF CD,所以 CD 平面 ABO,所以 CD 平面 ABC,所以 DN PD 于 AB,又 AB 平面 BCD,所以

[证明] AE CD,BF

AB。设四面体另两条高 CD,所以 AB 平面 CDN,

分别为 CM,DN,连结 CN,因为 DN

所以 AB CN。设 CN 交 AB 于 P,连结 PD,作 ,所以 平面 ABD,即

,因为 AB

平面 CDN,所以 AB

为四面体的高,所以

与 CM 重合,所以 CM,DN 为Δ

PCD 的两条高,所以两者相交。 例7 在矩形 ABCD 中,AD=2AB,E 是 AD 中点,沿 BE 将Δ ABE 折起,并使 AC=AD,见图 平面 BCDE。 BC,所以

12-6。求证:平面 ABE [证明] OM

取 BE 中点 O,CD 中点 M,连结 AO,OM,OD,OC,则 OM//BC,又 CD CD,所以 CD 平面 AOM,所以 AO

CD。又因为 AC=AD,所以 AM

CD。又因为 AB=AE,所 平

以 AO

BE。因为 ED≠BC,所以 BE 与 CD 不平行,所以 BE 与 CD 是两条相交直线。所以 AO 平面 ABE。所以平面 ABE 平面 BCDE。

面 BC-DE。又直线 AO

4.直线与平面成角问题。 例8 见图 12-7,正方形 ABCD 中,E,F 分别是 AB,CD 的中点,G 为 BF 的中点,将正方

形沿 EF 折成 1200 的二面角,求 AG 和平面 EBCF 所成的角。 [解]设边长 AB=2, 因为 EF AD, AD 又 AB。 所以 EF AB, 所以 BG= , AE 又

EF, BE

EF, 所以∠AEB=1200。 A 作 AM 过

BE 于 M, 则∠AEM=600, ME=

, AM=AEsin600=

.

由余弦定理 MG2=BM2+BG2-2BM?BGcos∠MBG= 以 MG= 因为 EF AE,EF BE,所以 EF 平面 AEB,所以 EF AM,又 AM

=2,所 BE,所以 AM 平

140

面 BCE。 所以∠AGM 为 AG 与平面 EBCF 所成的角。 tan∠AGM= 而

。 所以 AG 与平面 EBCF

所成的角为

. α 于 B,C 在α 内,且 AC OC,∠AOC=

例 9 见图 12-8,OA 是平面α 的一条斜角,AB

α ,∠AOB=β ,∠BOC=γ 。证明:cosα =cosβ ?cosγ . [证明] 因为 AB α ,AC OC,所以由三垂线定理,BC OC,所以 OAcosβ =OB,OBcos

γ =OC,又 RtΔ OAC 中,OAcosα =OC,所以 OAcosβ cosγ =OAcosα ,所以 cosα =cosβ ?cosγ . 5.二面角问题。 例 10 见图 12-9,设 S 为平面 ABC 外一点,∠ASB=450,∠CSB=600,二面角 A—SB—C 为

直角二面角,求∠ASC 的余弦值。 [解] 平面 ASB 理 有 CN 作 CM SB 于 M,MN AS 于 N,连结 CN,因为二面角 A—SB—C 为直二面角,所以 平面 ASB,又 MN AS,所以由三垂线定理的逆定

平面 BSC。又 CM

SB,所以 CM

AS , 所 以 SC?cos ∠ CSN=SN=SC?cos ∠ CSM?cos ∠ ASB , 所 以 cos ∠

ASC=cos450cos600= 例 11



见图 12-10,已知直角Δ ABC 的两条直角边 AC=2,BC=3,P 为斜边 AB 上一点,沿 时,求二面角 P—AC—B 的大小。

CP 将此三角形折成直二面角 A—CP—B,当 AB= [解] 过 P 作 PD AC 于 D,作 PE

CP 交 BC 于 E,连结 DE,因为 A—CP—B 为直二面角, CA,所以由三垂线定理知 DE AC,所以

即平面 ACP 平面 CPB,所以 PE

平面 ACP,又 PD

∠PDE 为二面角 P—AC—B 的平面角。 设∠BCP=θ , cos∠ECD=cosθ ?cos(900-θ )=sinθ cos 则

θ ,由余弦定理 cos∠ACB=

,所以 sinθ cosθ =

,所以 sin2θ =1.又 0<2

θ <π ,所以θ =

,设 CP=a,则 PD=

a,PE=a.所以 tan∠PDE= 。
141

所以二面角 P—AC—B 的大小为

6.距离问题。 例 12 [解] 且 正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 a,求对角线 AC 与 BC1 的距离。 以 B 为原点,建立直角坐标系如图 12-11 所示。设 P,Q 分别是 BC1,CA 上的点, ,各点、各向量的坐标分别为 A(a,0,0),B(0,0,0),C(0,a,0) ,

,所以

,所以

a×a+ a×a=0,

a×a-

a×a=0.所以 例 13

。所以 PQ 为 AC 与 BC1 的公垂线段,所以两者距离为 的正三角形,棱 SC 的

如图 12-12 所示,在三棱维 S—ABC 中,底面是边长为

长为 2,且垂直于底面,E,D 分别是 BC,AB 的中点,求 CD 与 SE 间的距离。 [分析] 取 BD 中点 F,则 EF//CD,从而 CD//平面 SEF,要求 CD 与 SE 间的距离就转化为

求点 C 到平面 SEF 间的距离。 [解] 设此距离为 h,则由体积公式

计算可得 SΔ SEF=3, 7.凸多面体的欧拉公式。 例 14

所以

一个凸多面体有 32 个面,每个面或是三角形或是五边形,对于 V 个顶点每个顶

点均有 T 个三角形面和 P 个五边形面相交,求 100P+10T+V。 [解] 因 F=32,所以 32-E+V=2,所以 E=V+30。因为 T+P 个面相交于每个顶点,每个顶

点出发有 T+P 条棱,所以 2E=V(T+P). 由此得 V(T+P)=2(V+30),即 V(T+P-2)=60. 由于每个 三角形面有三条棱,故三角形面有 个,类似地,五边形有 个,又因为每个面或者是三

142

角形或者是五边形,所以

=32,由此可得 3T+5P=16,它的唯一正整数解为 T=P=2,

代入 V(T+P-2)=60 得 V=30,所以 100P+10T+V250。 8.与球有关的问题。 例 15 [解] 圆柱直径为 4R,高为 22R,问圆柱内最多能装半径为 R 的球多少个? 最底层恰好能放两个球,设为球 O1 和球 O2,两者相切,同时与圆柱相切,在球 O1

与球 O2 上放球 O3 与球 O4,使 O1O2 与 O3O4 相垂直,且这 4 个球任两个相外切,同样在球 O3 与球 O4 上放球 O5 与球 O6,??直到不能再放为止。 先计算过 O3O4 与过 O1O2 的两平行面与圆柱底面的截面间距离为 共装 K 层,则(22)R< R(K-1)+2R?22R,解得 K=15,因此最多装 30 个。 。设

9.四面体中的问题。 例 16 已知三棱锥 S—ABC 的底面是正三角形,A 点在侧面 SBC 上的射影 H 是Δ SBC 的垂 。求三棱锥 S—ABC 的体积。 AE,SC AB,故

心,二面角 H—AB—C 的平面角等于 300,SA= [解] 由题设,AH SC CO 平面 SBC,作 BH

SC 于 E,由三垂线定理可知 SC

平面 ABE。设 S 在平面 ABC 内射影为 O,则 SO AB 于 F。同理,BO

平面 ABC,由三垂线定理的逆定理知,

AC,所以 O 为Δ ABC 垂心。又因为Δ ABC 是等边三角形,故 O 为Δ ,因为 CF AB,CF 是 EF 在平面 ABC 上的射影,又由三垂

ABC 的中心,从而 SA=SB=SC= 线 定 理 知 , EF

AB , 所 以 ∠ EFC 是 二 面 角 H — AB — C 的 平 面 角 , 故 ∠ EFC=300 , 所 以

OC=SCcos600=

,SO=

tan600=3,又 OC=

AB,所以 AB=

OC=3。所以 VS —

ABC

= 例 17

×32×3=



设 d 是任意四面体的相对棱间距离的最小值,h 是四面体的最小高的长,求证:

2d>h. [证明] CN 不妨设 A 到面 BCD 的高线长 AH=h,AC 与 BD 间的距离为 d,作 AF BD 于点 F,

BD 于点 N,则 CN//HF,在面 BCD 内作矩形 CNFE,连 AE,因为 BD//CE,所以 BD//平面
143

ACE,所以 BD 到面 ACE 的距离为 BD 与 AC 间的距离 d。在Δ AEF 中,AH 为边 EF 上的高,AE 边上的高 FG=d,作 EM AF 于 M,则由 EC//平面 ABD 知,EM 为点 C 到面 ABD 的距离(因 EM

面 ABD),于是 EM?AH=h。在 RtΔ EMF 与 RtΔ AHF 中,由 EM?AH 得 EF?AF。又因为Δ AEH ∽Δ FEG,所以 ?2。所以 2d>h.

注:在前面例题中除用到教材中的公理、定理外,还用到了向量法、体积法、射影法, 请读者在解题中认真总结。 三、基础训练题 1.正三角形 ABC 的边长为 4,到 A,B,C 的距离都是 1 的平面有__________个. 2.空间中有四个点 E,F,G,H,命题甲:E,F,G,H 不共面;命题乙:直线 EF 和 GH 不相交,则甲是乙的__________条件。 3.动点 P 从棱长为 a 的正方体的一个顶点出发,沿棱运动,每条棱至多经过一次,则点 P 运动的最大距离为__________。 4.正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E,F 分别是面 ADD1A1、面 ABCD 的中心,G 为棱 CC1 中点, 直线 C1E,GF 与 AB 所成的角分别是α ,β 。则α +β =__________。 5.若 a,b 为两条异面直线,过空间一点 O 与 a,b 都平行的平面有__________个。 6.CD 是直角Δ ABC 斜边 AB 上的高,BD=2AD,将Δ ACD 绕 CD 旋转使二面角 A—CD—B 为 600,则异面直线 AC 与 BD 所成的角为__________。 7.已知 PA 平面 ABC,AB 是⊙O 的直径,C 是圆周上一点且 AC= —B 的大小为__________。 8.平面α 上有一个Δ ABC,∠ABC=1050,AC= 得 SA=SB=SC= ,TA=TB=TC=5,则 ST=_____________. 底面 ABC, 二面角 A—SB—C 为直二面角, 若∠BSC=450, SB=a, ,平面α 两侧各有一点 S,T,使 AB,则二面角 A—PC

9. 在三棱锥 S—ABC 中, SA

则经过 A,B,C,S 的球的半径为_____________. 10.空间某点到棱长为 1 的正四面体顶点距离之和的最小值为_____________.
144

11.异面直线 a,b 满足 a//α ,b//β ,b//α ,a//β ,求证:α //β 。 12.四面体 SABC 中,SA,SB,SC 两两垂直,S0,S1,S2,S3 分别表示Δ ABC,Δ SBC,Δ SCA,Δ SAB 的面积,求证: 13.正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,E 在棱 BB1 上,截面 A1EC (2)若 AA1=A1B1,求二面角 EC-A1-B1C1 的平面角。 四、高考水平训练题 1.三棱柱 ABC-A1B1C1 中,M 为 A1B1 的中点,N 为 B1C 与 BC1 的交点,平面 AMN 交 B1C1 于 P, 侧面 AA1C1C, (1)求证:BE=EB1;



=_____________.

2.空间四边形 ABCD 中,AD=1,BC= 的角为_____________. 3.平面α CD 平面β ,α

,且 AD

BC,BD=

,AC=

,则 AC 与 BD 所成

β =直线 AB,点 C∈α ,点 D∈β ,∠BAC=450,∠BAD=600,且

AB,则直线 AB 与平面 ACD 所成的角为_____________. 4.单位正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,二面角 A—BD1—B1 大小为_____________. 5.如图 12-13 所示,平行四边形 ABCD 的顶点 A 在二面角α —MN—β 的棱 MN 上,点 B,

C,D 都在α 上,且 AB=2AD,∠DAN=450,∠BAD=600,若◇ABCD 在半平面β 上射影为为菜,则 二面角α —MN—β =_____________. 6.已知异面直线 a,b 成角为θ ,点 M,A 在 a 上,点 N,B 在 b 上,MN 为公垂线,且 MN=d, MA=m,NB=n。则 AB 的长度为_____________. 7.已知正三棱锥 S—ABC 侧棱长为 4,∠ASB=450,过点 A 作截面与侧棱 SB,SC 分别交于 M,N,则截面Δ AMN 周长的最小值为_____________. 8.l1 与 l2 为两条异面直线,l1 上两点 A,B 到 l2 的距离分别为 a,b,二面角 A—l2—B 大 小为θ ,则 l1 与 l2 之间的距离为_____________. 9 . 在 半 径 为 R 的 球 O 上 一 点 P 引 三 条 两 两 垂 直 的 弦 PA , PB , PC , 则 PA2+PB2+PC2=_____________.
145

10.过Δ ABC 的顶点向平面α 引垂线 AA1,BB1,CC1,点 A1,B1,C1∈α ,则∠BAC 与∠B1A1C1 的大小关系是_____________. 11.三棱锥 A—BCD 中∠ACB=∠ADB=900,∠ABC=600,∠BAD=450,二面角 A—CD—B 为直 角二面角。(1)求直线 AC 与平面 ABD 所成的角;(2)若 M 为 BC 中点,E 为 BD 中点,求 AM 与 CE 所成的角;(3)二面角 M—AE—B 的大小。 12.四棱锥 P—ABCD 底面是边长为 4 的正方形,PD 底面 ABCD,PD=6,M,N 分别是 PB,

AB 的中点,(1)求二面角 M—DN—C 的大小;(2)求异面直线 CD 与 MN 的距离。 13.三棱锥 S—ABC 中,侧棱 SA,SB,SC 两两互相垂直,M 为Δ ABC 的重心,D 为 AB 中 点,作与 SC 平行的直线 DP,证明: (1)DP 与 SM 相交; (2)设 DP 与 SM 的交点为 为三棱锥 S—ABC 外接球球心。 五、联赛一试水平训练题 1.现有边长分别为 3,4,5 的三角形两个,边长分别为 4,5, 的三角形四个,边长 ,则

分别为

,4,5 的三角形六个,用上述三角形为面,可以拼成_________个四面体。

2.一个六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为 a 的正三角形,这两个多面 体的内切球的半径之比是一个既约分数 ,那么 mn=_________。

3.已知三个平面α ,β ,γ 每两个平面之间的夹角都是

,且

=a, 条件。

,命题甲:

;命题乙:a,b,c 相交于一点。则甲是乙的_________

4.棱锥 M—ABCD 的底面是正方形,且 MA 锥的最大球的半径为_________.

AB,如果Δ AMD 的面积为 1,则能放入这个棱

5.将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起,恰得到一个所有二面角都相等的六面 体,并且该六面体的最短棱长为 2,则最远两个顶点间距离为_________。
146

6.空间三条直线 a,b,c 两两成异面直线,那么与 a,b,c 都相交的直线有_________条。 7.一个球与正四面体的六条棱都相切,正四面体棱长为 a,这个球的体积为_________。 8.由曲线 x2=4y,x2=-4y,x=4,x=-4 围成的图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积为 V1, 满足 x2+y2?16,x2+(y-2)2?4,x2+(y+2)2?4 的点(x,y)组成的图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体

的体积为 V2,则

_________。

9.顶点为 P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形,A 是底面圆围上的点,B 是底面圆内的 点,O 为底面圆圆心,AB OB,垂足为 B,OH PB,垂足为 H,且 PA=4,C 为 PA 的中点,则

当三棱锥 C—HPC 体积最大时,OB=_________。 10. 是三个互相垂直的单位向量, 是过点 O 的一个平面, π 分别是 A,

B,C 在π 上的射影,对任意的平面π ,由

构成的集合为_________。

11.设空间被分为 5 个不交的非空集合,证明:一定有一个平面,它至少与其中的四个 集合有公共点。 12.在四面体 ABCD 中,∠BDC=90 ,D 到平面 ABC 的垂线的垂足 S 是Δ ABC 的垂心,试证: (AB+BC+CA)2?6(AD2+BD2+CD2),并说明等号成立时是一个什么四面体? 13.过正四面体 ABCD 的高 AH 作一平面,与四面体的三个侧面交于三条直线,这三条直 线与四面体的底面夹角为α ,β ,γ ,求 tan2α +tan2β +tan2γ 之值。 六、联赛二试水平训练题 1. 能否在棱长为 1 的正方体形状的盒子里放入三个彼此至多有一个公共点的棱长为 1 的 正四面体? 2.P,Q 是正四面体 A—BCD 内任意两点,求证: 3.P,A,B,C,D 是空间五个不同的点,∠APB=∠BPC=∠CPD=∠DPA=θ ,这里θ 为已知 锐角,试确定∠APC+∠BPD 的最大值和最小值。 4.空间是否存在有限点集 M,使得对 M 中的任意两点 A,B,可以在 M 中另取两点 C,D, 使直线 AB 和 CD 互相平行但不重合。
147
0

5.四面体 ABCD 的四条高 AA1,BB1,CC1,DD1 相交于 H 点(A1,B1,C1,D1 分别为垂足)。 三条高上的内点 A2,B2,C2 满足 AA2:AA=BB2:B2B1=CC2:C2C1=2:1。证明:H,A2,B2,C2,D1 在同一个球面上。 6.设平面α ,β ,γ ,δ 与四面体 ABCD 的外接球面分别切于点 A,B,C,D。证明:如 果平面α 与β 的交线与直线 CD 共面,则γ 与δ 的交线与直线 AB 共面。

高中数学竞赛讲义(十三) ──排列组合与概率 一、基础知识 1.加法原理:做一件事有 n 类办法,在第 1 类办法中有 m1 种不同的方法,在第 2 类办法 中有 m2 种不同的方法,??,在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法,那么完成这件事一共有 N=m1+m2+?+mn 种不同的方法。 2.乘法原理:做一件事,完成它需要分 n 个步骤,第 1 步有 m1 种不同的方法,第 2 步有 m2 种不同的方法,??,第 n 步有 mn 种不同的方法,那么完成这件事共有 N=m1×m2×?×mn 种不同的方法。 3.排列与排列数:从 n 个不同元素中,任取 m(m?n)个元素,按照一定顺序排成一列, 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列,从 n 个不同元素中取出 m 个(m?n)元素的 所有排列个数,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数,用 表示, =n(n-1)?

(n-m+1)= 注:一般地

,其中 m,n∈N,m?n, =1,0!=1, =n!。

4.N 个不同元素的圆周排列数为

=(n-1)!。

5.组合与组合数:一般地,从 n 个不同元素中,任取 m(m?n)个元素并成一组,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合,即从 n 个不同元素中不计顺序地取出 m 个构成原

148

集合的一个子集。从 n 个不同元素中取出 m(m?n)个元素的所有组合的个数,叫做从 n 个不 同元素中取出 m 个元素的组合数,用 表示:

6.组合数的基本性质: (1)

; (2)

; (3)

; (4)

;(5) 7.定理 1:不定方程 x1+x2+?+xn=r 的正整数解的个数为

;(6) 。



[证明]将 r 个相同的小球装入 n 个不同的盒子的装法构成的集合为 A, 不定方程 x1+x2+? +xn=r 的正整数解构成的集合为 B,A 的每个装法对应 B 的唯一一个解,因而构成映射,不同 的装法对应的解也不同,因此为单射。反之 B 中每一个解(x1,x2,?,xn),将 xi 作为第 i 个盒子 中球的个数,i=1,2,?,n,便得到 A 的一个装法,因此为满射,所以是一一映射,将 r 个小 球从左到右排成一列,每种装法相当于从 r-1 个空格中选 n-1 个,将球分 n 份,共有 故定理得证。 推论 1 推论 2 不定方程 x1+x2+?+xn=r 的非负整数解的个数为 从 n 个不同元素中任取 m 个允许元素重复出现的组合叫做 n 个不同元素的 m 可 种。

重组合,其组合数为 8.二项式定理:若 n∈N+,则(a+b)n= 其中第 r+1 项 Tr+1= 叫二项式系数。 .

9.随机事件:在一定条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。在大量重复进行 同一试验时,事件 A 发生的频率 总是接近于某个常数,在它附近摆动,这个常数叫做事件

A 发生的概率,记作 p(A),0?p(A)?1.

149

10.等可能事件的概率,如果一次试验中共有 n 种等可能出现的结果,其中事件 A 包含的 结果有 m 种,那么事件 A 的概率为 p(A)= 11.互斥事件:不可能同时发生的两个事件,叫做互斥事件,也叫不相容事件。如果事件 A1,A2,?,An 彼此互斥,那么 A1,A2,?,An 中至少有一个发生的概率为 p(A1+A2+?+An)= p(A1)+p(A2)+?+p(An). 12.对立事件:事件 A,B 为互斥事件,且必有一个发生,则 A,B 叫对立事件,记 A 的 对立事件为 。由定义知 p(A)+p( )=1.

13.相互独立事件:事件 A(或 B)是否发生对事件 B(或 A)发生的概率没有影响,这 样的两个事件叫做相互独立事件。 14.相互独立事件同时发生的概率:两个相互独立事件同时发生的概率,等于每个事件 发生的概率的积。即 p(A?B)=p(A)?p(B).若事件 A1,A2,?,An 相互独立,那么这 n 个事件同 时发生的概率为 p(A1?A2? ? ?An)=p(A1)?p(A2)? ? ?p(An). 15.独立重复试验:若 n 次重复试验中,每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的 结果,则称这 n 次试验是独

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