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2013年南昌市高中数学竞赛试卷


2013 年南昌市高中数学竞赛试卷
6 月 29 日上午 8:30 — 11:00
【说明】 :凡是题号下标志有“高一”的,为高一考生试题;题号下标志有“高二”的,为 高二考生试题;凡未作这种标志的,则为全体考生试题

一、填空题(每小题 10 分,共 80 分) 1 、将全体正整数自小到大一个接一个地顺次写成一排,则从左至右的第 2013 个数字
是 .

? 3? 2、 (高一)设等比数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? ? ? ? 1 ,则其公比 q ? ?5?

n



(高二)若自椭圆中心到焦点、长轴顶点、以及到准线的距离之长可以组成一个直角三 角形,则该椭圆的离心率是 .

3、 (高一)等差数列 1,5,9,?, 2013 与 3,8,13,?, 2013 的相同的项之和为
(高二)正四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 5, AB ? 6 ,
P



M 是 ?PAD 的重心,则四面体 MPBC 的体积是 . x 2 4、 (高一)满足 x ? 4 x ? 3 ? ? 1 的实数 x 的集合是 2
{ }. (高二)函数 y ?

M

D

C B

A

4 ? sin x 的最大值是 3 ? cos x



5 、若 a 为正数,[ a ] 表示 a 的整数部分,而 ?a? ? a ? [a] ,如果 a,[a],{a} 顺次组成等
比数列,则 a ? .
2 2 2 6 、 高一) , b, c 是不同的正整数, a ( 若集合 ?a ? b, b ? c, c ? a? ? ?n , (n ? 1) , ( n ? 2) ? ,

n 为正整数,则 a 2 ? b2 ? c2 的最小值是
7 、函数 f ( x) ? ? x ? k 的最小值是
k ?1 2013

. .

8 、若 sin ? ? sin ? ? sin ? , cos ? ? cos ? ? ? cos ? ,则

cos2 ? ? cos2 ? ? cos2 ? ?
二、解答题(共 70 分)


E A

F

9 、 20 分)如图,过 ?ABC 的三个顶点 A, B, C 各 (
作其外接圆的切线,分别与相应顶点的对边所在直线相 交,证明:三个交点 D, E, F 共线.
D B C

1

10 、 25 分)数列 ?an ? 满足: a1 ? 1, an ?1 ? 1 ? (

1 n ? ak , n k ?1

(1) 、写出数列前 7 个项的值;

(2) 、对任意正整数 n ,求 an 的表达式.

11 、 25 分) ( 盒中装有红色和蓝色纸牌各 100 张, 每色纸牌都含标数为 1,3,32 ,?,399 的
牌各一张,两色纸牌的标数总和记为 S ; 对于给定的正整数 n ,若能从盒中取出若干张牌,使其标数之和恰为 n ,便称为一种取 牌 n _ 方案,不同的 n _ 方案种数记为 f ( n) ; 试求 f (1) ? f (2) ? ? ? f (S ) 之值.

2


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