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【名师导学】2015高考数学一轮总复习 三角函数的图象、性质及解斜三角形同步课件 理


2015’新课标·名师导学·新高考第一轮总复习 同步测试卷 理科数学(七) 【P265】 总分:100分

(三角函数的图象、性质及解斜三角形) 时间:60分钟

一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.每小题所给的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的.) ?π π? ? 1.下列函数中,周期为π ,且在? , ?

上为减函 ? 2? ?4 数的是( A ) ? ? π? π? ? ? ? A.y=sin?2x+ ? B.y=cos?2x+ ? 2? 2? ? ? ? ? ? π? π? ? ? ? C.y=sin?x+ ? D.y=cos?x+ ? 2? 2? ? ? ?
? π? ? 【解析】 由于 y=sin?2x+ ? ?=cos 2x 的最小正周期 2 ? ? ?π π? ? 为π,且在? , ?4 ?上是减函数,故选 A. 2 ? ?

π 2. 将函数 f(x)=cos ωx(ω>0)的图象向右平移 个单 3 位长度后,所得到的图象与原图象关于 x 轴对称,则 ω 的最小值为( B 1 A. 3 B.3 C.6 D.9 )

π 3.在三角形 ABC 中,给出 p:ab>c ,q:C< , 3
2

则 p 是 q 的( A ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

【解析】由 ab>c2?ab>a2+b2-2abcos C?2abcos
? 1 1? π ?b a ? C>a +b -ab,即 cos C> ? + -1?≥ ?C< , 2?a b ? 2 3
2 2

则 p 是 q 的充分条件.
2 2 2 a + b - c π 1 1 2 2 2 由 C< ?cos C> ? > ?a +b -c >ab, 3 2 2ab 2

则 c2<a2+b2-ab≥ab,得不出 p:ab>c2.

4.已知函数 f(x)= 3sin ω x+cos ω x(ω>0),y= f(x)的图象与直线 y=2 的两个相邻交点的距离等于π , 则 f(x)的单调递增区间是( C ) ? π 5π ? ? ? A.?kπ - ,kπ + ,k∈Z ? 12 12 ? ? ? 5π 11π ? ? ? B.?kπ + ,k∈Z ,kπ + ? 12 12 ? ? ? π π? ? C.?kπ - ,kπ + ? ?,k∈Z 3 6 ? ? ? π 2π ? ? D.?kπ + ,kπ + ? ?,k∈Z 6 3 ? ?

? π? ? 【解析】f(x)=2sin?ωx+ ? ?,由题意知 6 ? ?

f(x)的周期

π π π 为 T=π,∴ω=2,由 2kπ- 2 ≤2x+ 6 ≤2kπ+ 2 , π π 得 kπ- 3 ≤x≤kπ+ 6 ,k∈Z,故选 C.

5.函数 f(x)=Asin(ωx+φ)
? π? ? ? A >0 , ω >0 , | φ |< 的部分图象 ? 2? ? ?

如图所示,将 y=f(x)的图象向 π 右平移 个单位后得到函数 y=g(x)的图象, 则 g(x)的单 6 调递增区间为( C )
? π π? ? A.?2kπ- ,2kπ+ ? 6 3? ? ? ? π π? ? C.?kπ- ,kπ+ ? 6 3? ? ? ? π 5π? ? B.?2kπ+ ,2kπ+ ? 3 6? ? ? ? π 5π? ? D.?kπ+ ,kπ+ ? 3 6? ? ?

【解析】 由图象知

?11π π? 4 2π ? ? A=1, T=? - ?× =π= , 6? 3 ω ? 12

π π π ∴ω=2,∵2× +φ= ,∴φ= , 6 2 6
? π? ? ∴f(x)=sin?2x+ ? ,将 6? ? ?

π f(x)的图象向右平移 个单 6

位后的解析式为

? ? ? ? π? π? ? ? ? π? ? y=sin?2?x- ?+ ?=sin?2x- ? ?. 6 6 6 ? ? ? ? ? ?

π π π π 则由 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ ?kπ- ≤x≤kπ+ 2 6 2 6 π ,k∈Z. 3

6.已知锐角 A,B 满足 2tan A=tan(A+B),则 tan B 的最大值为( D ) A.2 2 2 C. 2 B. 2 2 D. 4

【解析】tan B=tan[(A+B)-A] tan(A+B)-tan A tan A = = 1+tan(A+B)tan A 1+2tan2A = , 1 2tan A+ tan A 1 又 tan A>0,则 2tan A+ ≥2 2, tan A 则 tan B≤ 1 = 2 . 1

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将各小题的结果填在题中横线上.) 7.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b, c. 已知 a = 1 , b = 3 , B = 60 °,则角 A 的大小为 30° _____________ .
a b asin B 1 【解析】由正弦定理sin A=sin B得 sin A= b =2. 又 b>a,则 B>A,故 A=30°.

π 8.已知函数 y=sin(ωx+φ)ω>0,|φ |< 2 的部分图象如 π -6 2 图所示,则 ω=_________ ,φ =______________.

【解析】由图可知 T=
? ? π ? sin?2× +φ? ?= 1 3 ? ?



ω

?7π π? ? =4×? ? 12 - 3 ?=π,ω=2. ? ?

π 2π π π ∵|φ|< 2 ,∴ 3 +φ= 2 ,φ=- 6 .

9.函数 y= 3cos(ωx+φ)(ω>0,-π <φ <0)为奇函数, A,B 分别为函数图象上相邻的最高点与最低点,且|AB| x=2k+1,k∈Z =4, 则该函数的对称轴方程为_____________________ . 【解析】如图,A,B 分别为函数 f(x)= 3cos(ωx + φ) 的最高点与最低点且 |AB| = 4 , △ABC 中, |BC| = 2π π 2 3,|AC|=2,所以 T= =4,ω= 2 ,函数 f(x)= 3 ω ?π ? π ? ? cos ? x+φ? 为 奇 函 数 , 则 φ = - 2 , f(x) = 3 ?2 ? ?π π π? ? ? cos? x- ?= 3sin 2 x,该函数图象的对称轴方程是 x 2? ?2 =2k+1,k∈Z.

10. 某同学在一次研究性学习中发现, 以下五个式 子的值都等于同一个常数. ①sin213°+cos217°-sin 13° cos 17° ; ②sin215°+cos215°-sin 15° cos 15° ; ③sin218°+cos212°-sin 18° cos 12° ; ④sin2(-18° )+cos248°-sin(-18° )cos 48° ; ⑤sin2(-25° )+cos255°-sin(-25° )cos 55° . (1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数

3 4 的值为________ .
(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三 角恒等式,则该三角恒等式为
2 2

3 sin α +cos (30° -α)-sinαcos(30° -α)= ____ ____ 4 .

【解析】 (1)选择②: sin215°+cos215°-sin 15° cos 15° 1 3 =1- sin 30°= . 2 4 (2)三角恒等式为: 3 sin α+cos (30° -α)-sin αcos(30° -α)= . 4
2 2

sin2 α+cos2(30° -α)-sin αcos(30°-α)
? ? 3 ? 3 1 1 ?2 ? ? =sin - sin α cos α+ sin α? ? 2 cos α+2sin α? 2 2 ? ? ? 3 2 3 2 3 = sin α+ cos α= . 4 4 4
2

? α+? ? ?

三、解答题(本大题共3小题,共50分.解答应 写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

11.(16 分)已知函数 f(x)=sin x-acos x 的一个零 π 点是 . 4 (1)求实数 a 的值; (2)设 g(x)=f(x)· f(-x)+2 3sin xcos x, 求 g(x)的单 调递增区间. ?π? ? 【解析】(1)依题意,得 f? ?4?=0, ? ?

π π 2 2a 即 sin -acos = - =0, 4 4 2 2 解得 a=1.

(2)由(1)得 f(x)=sin x-cos x. g(x)=f(x)· f(-x)+2 3sin xcos x =(sin x-cos x)(-sin x-cos x)+ 3sin 2x =(cos2x-sin2x)+ 3sin 2x =cos 2x+ 3sin 2x π =2sin(2x+ ). 6 π π π 由 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ , 2 6 2 π π 得 kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 3 6 所以
? π π? ? g(x)的单调递增区间为?kπ- ,kπ+ ? ,k∈Z. 3 6? ? ?

12.(16 分)在△ABC 中, a,b,c 分别是三内角 A,B,C 的对边,且(2a-c)cos B-bcos C=0. (1)求角 B 的值; (2)若 b= 3,设角 A 的大小为 x,△ABC 的周长 为 y,求 y=f(x)的最大值. 【解析】 (1)由正弦定理得(2sin A-sin C)cos B-sin
Bcos C=0, 即 2sin Acos B-sin Ccos B-sin Bcos C=0, 得 2sin Acos B-sin(B+C)=0, 因为 A+B+C=π, 所以 sin(B+C)=sinA,得 2sin Acos B-sin A=0, 1 因为 sin A≠0, 所以 cos B= , 又 B 为三角形的内 2 π 角,所以 B= .

π 3 a b (2)由 b= 3,B= 及正弦定理得 = = =2, 3 sin A sin B 3 2 2π 而 A=x,C= -x, 3 则 a=2sin
?2π ? 2 π? ? ? x,c=2sin? -x?0<x< ? , ? 3? ?3 ? ?2π ? ? x+2sin? -x? ? ?3 ?

于是 y=a+b+c= 3+2sin =2
? π? ? 3sin?x+ ? ?+ 6 ? ?

3,

2π π π 5π π π π 由 0<x< 得 <x+ < ,当 x+ = 即 x= 时, 3 6 6 6 6 2 3 ymax=3 3.

13.(18 分)如图,某市拟在长为 8 km 的道路 OP 的 一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部分为曲线段 OSM, 该曲线段为函数 y=Asin ω x(A>0, ω>0), x∈[0, 4]的图象,且图象的最高点为 S(3,2 3);赛道的后一部 分为折线段 MNP ,为保证参赛运动员的安全,限定 ∠MNP=120°. (1)求 A,ω 的值和 M,P 两点间的距离; (2)应如何设计,才能使折线段赛道 MNP 最长?

T 【解析】解法一:(1)依题意,有 A=2 3, 4 =3, 2π π π 又 T= ,∴ω= 6 .∴y=2 3sin 6 x, ω 2π 当 x=4 时,y=2 3sin 3 =3, ∴M(4,3),又 P(8,0), ∴MP= 42+32=5.

(2)在△MNP 中,∠MNP=120°,MP=5, 设∠PMN=θ,则 0° <θ<60° , MP NP MN 由正弦定理得 = = , sin 120° sin θ sin(60°-θ) 10 3 10 3 ∴NP= 3 sin θ,MN= 3 sin(60°-θ), 10 3 10 3 故 NP+MN= 3 sin θ+ 3 sin(60°-θ) ? 10 3 10 3? 3 ?1 = 3 ? sin θ+ cos θ? ), ?= 3 sin(θ+60° 2 2 ? ? ∵0°<θ<60°, ∴当 θ=30°时, 折线段赛道 MNP 最长, 即将∠PMN 设计为 30°时, 折线段赛道 MNP 最长.

解法二:(1)同解法一. (2)在△MNP 中,∠MNP=120°,MP=5, 由余弦定理得 MN2+NP2-2MN· NP· cos∠MNP=MP2, 即 MN2+NP2+MN· NP=25, ?MN+NP? ?2 2 故(MN+NP) -25=MN· NP≤? , ? ? 2 ? ? 3 10 3 2 从而4(MN+NP) ≤25,即 MN+NP≤ 3 , 当且仅当 MN=NP 时,折线段赛道 MNP 最长.


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