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数列讨论奇偶


1. 在数列{an}中,a1=0,且对任意 k∈N*,a2k-1,a2k,a2k+1 成等差数列,其公差为 2k, (Ⅰ)证明:a4,a5,a6 成等比数列; (Ⅱ)求数列{an}的通项公式; (Ⅲ)记 ,证明 。

解:(Ⅰ)证明:由题设可知,a2=a1+2=2,a3=a2+2=4,a4=a3+4=8, a5=a4+4=12,a6=a5+6=18, 从而, 所以 a4,a5,a6 成等比数列. (Ⅱ)由题设,可得 a2k+1-a2k-1=4k,k∈N*, 所以 a2k+1-a1=(a2k+1-a2k-1)+(a2k-1-a2k-3)+…+(a3-a1) =4k+4(k-1)+…+4×1=2k(k+1) ,k∈N*, 由 a1=0,得 a2k+1=2k(k+l) , 从而 a2k=a2k+1-2k=2k ,
2

所以数列{an}的通项公式为 。 (Ⅲ)证明:由(Ⅱ)可知 a2k+1=2k(k+1),a2k=2k , 以下分两种情况进行讨论: (1)当 n 为偶数时,设 n=2m(m∈N*), 若 m=1,则 若 m≥2,则 ,
2

或写为



所以,



1

从而

,n=4,6,8,……

(2)当 n 为奇数时,设 n=2m+1(m∈N*) ,



所以



从而

,n=3,5,7,……

综合(1)和(2)可知,对任意 n≥2,n∈N*,有 2.(本小题满分 12 分) 数列 ?an ? 满足a1 ? 1, a2 ? 2, an ? 2 ? (1 ? cos (Ⅰ)求 a3 , a4 , 并求数列 ? an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?
2



n? n? )an ? sin 2 , n ? 1, 2,3,?. 2 2

a2 n ?1 1 , Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn . 证明:当 n ? 6时, Sn ? 2 ? . a2 n n
2

解 (Ⅰ)因为 a1 ? 1, a2 ? 2, 所以a3 ? (1 ? cos

?
2

)a1 ? sin 2

?
2

? a1 ? 1 ? 2,

an ? (1 ? cos 2 ? )a2 ? sin 2 ? ? 2a2 ? 4.
2 一般地,当 n ? 2k ? 1(k ? N ) 时, a2 k ?1 ? [1 ? cos
*

(2k ? 1)? 2k ? 1 ]a2 k ?1 ? sin 2 ? 2 2

= a2 k ?1 ? 1 ,即 a2 k ?1 ? a2 k ?1 ? 1. 所以数列 ?a2 k ?1? 是首项为 1、公差为 1 的等差数列,因此 a2 k ?1 ? k .
2 当 n ? 2k (k ? N ) 时, a2 k ? 2 ? (1 ? cos
*

2k? 2k? )a2 k ? sin 2 ? 2a2 k . 2 2
k

所以数列 ?a2 k ? 是首项为 2、公比为 2 的等比数列,因此 a2 k ? 2 .

?n ?1 * ? 2 , n ? 2k ? 1(k ? N ), 故数列 ? an ? 的通项公式为 a2 ? ? n ? 2 * ?2 , n ? 2k (k ? N ).
2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, bn ?

a2 n ?1 n ? n, a2 n 2

1 2 3 n ① ? 2 ? 3 ??? n , 2 2 2 2 1 1 2 3 n ② Sn ? 2 ? 2 ? 4 ? ? ? n?1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 n ①-②得, Sn ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 . 2 2 2 2 2 2 1 1 [1 ? ( ) n ] 2 ? n ? 1? 1 ? n . ? 2 1 2n ?1 2n 2n ?1 1? 2 1 n n?2 所以 Sn ? 2 ? n ?1 ? n ? 2 ? n . 2 2 2 1 n(n ? 2) 要证明当 n ? 6 时, S n ? 2 ? 成立,只需证明当 n ? 6 时, ? 1 成立. n 2n Sn ?
证法一

6 ? (6 ? 2) 48 3 ? ? ? 1 成立. 26 64 4 k (k ? 2) (2)假设当 n ? k (k ? 6) 时不等式成立,即 ? 1. 2k
(1)当 n = 6 时, 则当 n = k+1 时,

(k ? 1)( k ? 3) k( k ? 2) ( k ?1)( k ? 3) ( k ?1)( k ?3) ? ? ? ? 1. 2k (k ? 2) (k ? 2) ? 2k 2k ?1 2k

由(1)、(2)所述,当 n≥6 时, 证法二

n(n ? 1) 1 ? 1 ,即当 n≥6 时, Sn ? 2 ? . n n 2

(n ? 1)(n ? 3) n(n ? 2) 3 ? n 2 n(n ? 2) ? ? n ?1 ? 0. 令 cn ? (n ? 6) ,则 cn ?1 ? cn ? 2n ?1 2n 2 2n
所以当 n ? 6 时, cn ?1 ? cn .因此当 n ? 6 时, cn ? c6 ? 于是当 n ? 6 时,

n(n ? 2) ? 1. 2n 1 . n

6?8 3 ? ? 1. 64 4

综上所述,当 n ? 6 时, Sn ? 2 ? 3.

3

4


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