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3.2简单的三角恒等变换


3.2 简单的三角恒等变换 【考纲要求】 1、能利用单位圆中的三角函数线推导出 2、理解同角三角函数的基本关系式: 【基础知识】 一、同角的三大关系: 倒数关系 tan ? ?cot ? =1
2 2

?
2

? ? , ? ? ? 的正弦、余弦、正切的诱导公式。

商数关系

>sin ? = tan ? cos ?

co? s = cot ? sin ?

平方关系 sin ? ? cos ? ? 1 温馨提示: (1)求同角三角函数有知一求三规律,可以利用公式求解,最好的方法是利用画直角三角形速解。 (2)利用上述公式求三角函数值时,注意开方时要结合角的范围正确取舍“ ? ”号。 二、诱导公式口诀:奇变偶不变,符号看象限

k? ? ? , k ? z 的形式,然后利用诱导公式的口诀化简(如果前面的角 2 k? ?? 是 90 度的奇数倍, 就是 “奇” 是 90 度的偶数倍, , 就是 “偶” 符号看象限是, ? 看作是锐角, ; 把 判断角 2
用诱导公式化简,一般先把角化成 在第几象限,在这个象限的前面三角函数的符号是 “+”还是“--” ,就加在前面) 。 用诱导公式计算时, 一般是先将负角变成正角, 再将正角变成区间 (00 ,3600 ) 的角, 再变到区间 (00 ,1800 ) 的角,再变到区间 (00 ,900 ) 的角计算。 三、和角与差角公式 :

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ; tan ? ? tan ? tan(? ? ? ) ? 1 ? tan ? tan ? 变用: tan ? ± tan ? = tan ( ? ± ? )(1 ? tan ? tan ? )
四、二倍角公式: sin 2? = 2sin ? cos ? .

cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ? . 2 tan ? tan 2? ? 1 ? tan 2 ?
五、注意这些公式的来弄去脉,这些公式都可以由公式 cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? 推导出来。 六、注意公式的顺用、逆用、变用。 如:逆用 sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? sin(? ? ? ) 变用 cos ? ?
2

1 ? cos 2? 2

1 sin ? cos ? ? sin 2? 2 1 ? cos 2? 1 ? cos 4? sin 2 ? ? cos 2 2? ? 2 2

? 七、 合一变形 ? 把两个三角函数的和或差化为 “一个三角函数, 一个角, 一次方” y ? A sin( x ? ? ) ? B 的
形式。 ? sin ? ? ? cos ? ?

?2 ? ?2 sin ?? ? ? ? ,其中 tan ? ?

? . ?

八、方法总结 1、三角恒等变换方法 观察(角、名、式)→三变(变角、变名、变式) (1) “变角”主要指把未知的角向已知的角转化,是变换的主线,如 α =(α +β )-β =(α -β )+β , 2α =(α +β )+ (α -β ), 2α =(β +α )-(β -α ),α +β =2? α +β α +β β α , = (α - )-( -β )等. 2 2 2 2

(2) “变名”指的是切化弦(正切余切化成正弦余弦 tan ? ?

sin ? cos ? , cot ? ? ) , cos ? sin ?

(3) “变式’指的是利用升幂公式和降幂公式升幂降幂,利用和角和差角公式、合一变形公式展开和合并 等。 2、恒等式的证明方法灵活多样 ①从一边开始直接推证,得到另一边,一般地,如果所证等式一边比较繁而另一边比较简时多采用此法,即由 繁到简. ②左右归一法,即将所证恒等式左、右两边同时推导变形,直接推得左右两边都等于同一个式子. ③比较法, 即设法证明: "左边-右边=0" 或" 左 =1"; 右

④ 分析法,从被证的等式出发,逐步探求使等式成立的充分条件,一直推到已知条件或显然成立的结论成立为 止,则可以判断原等式成立. 【例题精讲】 例 1 已知 ? 为第四象限角,化简: cos? 解: (1)因为 ? 为第四象限角 所以原式= cos?

1 ? sin ? 1 ? cos? ? sin ? 1 ? sin ? 1 ? cos?

(1 ? sin ? ) 2 (1 ? cos? ) 2 ? sin ? 1 ? sin 2 ? 1 ? cos2 ?

?cos ?

1? s i n ? 1? co s ? ?sin ? ? 1 ? s i n ? ?1 ? c o s ? ? c o s ? s i n ? ? ? ? cos ? ?sin ?
1 1 ? 2 2 1 1 ? cos 2? 2 2

例 2 已知 270 ? ? ? 360 ,化简
? ?

? ? 解:? 270 ? ? ? 360 ,? cos ? ? 0, cos

?
2

?0

所以原式= 例3

1 1 1 ? cos 2? 1 1 1 ? cos? ? ? ? ? ? cos 2 ? ? ? cos2 ? ? cos 2 2 2 2 2 2 2 2

tan20°+4sin20°

解:tan20°+4sin20°=

sin 200 ? 2 sin 400 cos 200

3 3 cos 400 ? sin 400 3 cos 200 sin(60 ? 40 ) ? 2sin 40 2 2 ? ? ? 3 = cos 200 cos 200 cos 200
0 0 0

3.2 简单的三角恒等变换强化训练 【基础精练】 α π 3 1.已知 α 是锐角,且 sin?2 +α?= ,则 sin?2+π?的值等于( ? ? 4 ? ? A. 2 4 B.- 3π ,则 2 2 4 C. 14 4 ) α D.-cos 2 ) 14 4

D.-

2.若-2π<α<- α A.sin 2

1-cos(α-π) 的值是( 2 α B.cos 2

α C.-sin 2

sin(180° +2α) cos2α 3. · 等于 1+cos2α cos(90° +α) A.-sinα B.-cosα C.sinα D.cosα

(

)

π 1+ 2cos(2α- ) 4 3 4.已知角 α 在第一象限且 cosα= ,则 等于 5 π sin(α+ ) 2 2 A. 5 7 B. 5 14 C. 5 D.- 2 5

(

)

1 a b sinα 5.定义运算?c d ?=ad-bc.若 cosα= ,?cosα ? ? 7 ? π A. 12 π B. 6

π sinβ ? 3 3 ?= 14 ,0<β<α<2,则 β 等于( cosβ π C. 4 π D. 3 (

)

π 6.已知 tanα 和 tan( -α)是方程 ax2+bx+c=0 的两个根,则 a、b、c 的关系是 4 A.b=a+c 7.设 a= B.2b=a+c C.c=b+a D.c=ab

)

2 (sin56° -cos56° ),b=cos50° cos128° +cos40° cos38° , 2 ( )

1-tan240°30′ 1 c= , d= (cos80° -2cos250° +1), a, c, 的大小关系为 则 b, d 2 2 1+tan 40°30′ A.a>b>d>c B.b>a>d>c C.d>a>b>c ) D.c>a>d>b

1 8.函数 y= sin2x+sin2x,x∈R 的值域是( 2 1 3 A.?-2,2? ? ? C. - 3 1 B.?-2,2? ? ? D. -

? ?

2 1 2 1? + , + 2 2 2 2?

? ?

2 1 2 1? - , - 2 2 2 2?

9.若锐角 α、β 满足(1+ 3tanα)(1+ 3tanβ)=4,则 α+β= α α α 4 10.设 α 是第二象限的角,tanα=- ,且 sin <cos ,则 cos = 3 2 2 2

. .

11.已知 sin(

?
4

? x)=

5 ? ,0<x< ,求 13 4

cos2 x cos( ? x) 4

?

的值。

12.若 ? , ? ? (0, ? ) , cos? ? ?

7

1 , tan ? ? ? ,求α +2β 。 3 50

【拓展提高】 πx π πx 1、设函数 f(x)=sin( - )-2cos2 +1 4 6 8 (1)求 f(x)的最小正周期. 4 (2)若函数 y=g(x)与 y=f(x)的图像关于直线 x=1 对称,求当 x∈[0, ]时 y=g(x)的最大值 3 2.已知向量 a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),|a-b|= (1)求 cos(α-β)的值; π π 5 (2)若 0<α< ,- <β<0,且 sinβ=- ,求 sinα. 2 2 13 3、求证: 2 5 5

sin 2? ? ?) ( sin ? -2cos(α+β)= . sin? sin?

【基础精练参考答案】

π π 1+ 2(cos2αcos +sin2αsin ) 4 4 4.C【解析】原式= cosα 1+cos2α+sin2α 2cos2α+2sinαcosα 3 4 14 = = =2×(cosα+sinα)=2× + )= . ( cosα cosα 5 5 5 5.D【解析】依题设得:sinα· cosβ-cosα· sinβ=sin (α-β)= π 13 ∵0<β<α< ,∴cos(α-β)= . 2 14 3 3 . 14

1 4 3 又∵cosα= ,∴sinα= . 7 7 4 3 13 1 3 3 3 × - × = , 7 14 7 14 2

sinβ=sin[α-(α-β)]=sinα· cos(α-β)-cosα· sin(α-β) = π ∴β= . 3

? b ? ? tan ? ? tan( 4 ? ? ) ? ? a , ? 6.C【解析】 ? ? tan ? tan( ? ? ? ) ? c , ? 4 a ?
b c ∴- =1- ,∴-b=a-c,∴c=a+b. a a

b - a π π ∴tan =tan[( -α)+α]= c =1, 4 4 1- a

7.B【解析】a=sin(56° -45° sin11° )= ,b=-sin40° cos52° +cos40° sin52° =sin(52° -40° sin12° )= ,c= 1-tan240°30′ 1 =cos81° =sin9° ,d= (2cos240° -2sin240° )=cos80° =sin10° , 2 1+tan240°30′ ∴b>a>d>c. π 1 1 1 1 1 2 8.C【解析】y= sin2x+sin2x= sin2x- cos2x+ = sin?2x-4?+ ,故选择 C. ? ? 2 2 2 2 2 2 9. tanα+tanβ π 【解析】由(1+ 3tanα)(1+ 3tanβ)=4,可得 = 3,即 tan(α+β)= 3. 3 1-tanαtanβ

π 又 α+β∈(0,π),∴α+β= . 3

10. -

α 5 解析:∵α 是第二象限的角,∴ 可能在第一或第三象限, 5 2

α α α α 4 又 sin <cos ,∴ 为第三象限的角, ∴cos <0.∵tanα=- , 2 2 2 2 3 α 3 ∴cosα=- ,∴cos =- 5 2 1+cosα 5 =- . 2 5

12.【解析】∵ ? , ? ? (0, ? ) , cos? ? ?

7 50

∴ tan? ? ? ∴? , ? ? (

1 3 1 3 ? (? ,0), tan ? ? ? ? (? ,0), 7 3 3 3

5? 5? , ? ) ,α +2β ? ( ,3? ) , 6 2

又 tan2β =

tan? ? tan 2 ? 2 tan ? 3 ? ? ?1 , ? ? , tan( ? 2 ? ) ? 2 1 ? tan? tan 2 ? 4 1 ? tan ?

∴α +2β =

11? 4

【拓展提高参考答案】 πx π πx π π 1、 【解析】 (1)f(x)=sin cos -cos sin -cos x 4 6 4 6 4 = 3 π 3 π sin x- cos x 2 4 2 4

2π π π π = 3sin( x- ),故 f(x)的最小正周期为 T= =8. 4 3 4 (2)法一:在 y=g(x)的图象上任取一点 (x,g(x)),它关于 x=1 的对称点(2-x,g(x)). π π 由题设条件,点(2-x,g(x))在 y=f(x)的图象上,从而 g(x)=f(2-x)= 3sin[ (2-x)- ] 4 3 π π π = 3sin[ - x- ] 2 4 3 π π = 3cos( x+ ), 4 3 π π π 2π π 4 4 3 当 0≤x≤ 时, ≤ x+ ≤ ,因此 y=g(x)在区间[0, ]上的最大值为 g(x)max= 3cos = . 3 3 4 3 3 3 3 2

4 2 法二:因区间[0, ]关于 x=1 的对称区间为[ ,2],且 y=g(x)与 y=f(x)的图象关于 x=1 对称,故 y=g(x) 3 3 π π 4 2 在[0, ]上的最大值为 y=f(x)在[ ,2]上的最大值,由(1)知 f(x)= 3sin( x- ), 3 3 4 3 π π π π 2 当 ≤x≤2 时,- ≤ x- ≤ , 3 6 4 3 6 4 因此 y=g(x)在[0, ]上的最大值为 3 π 3 g(x)max= 3sin = . 6 2 2、 【解析】(1)∵a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ), ∴a-b=(cosα-cosβ,sinα-sinβ). 2 5 ∵|a-b|= , 5 ∴ (cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2= 2 5 , 5

4 3 即 2-2cos(α-β)= ,∴cos(α-β)= . 5 5 π π (2)∵0<α< ,- <β<0, 2 2 ∴0<α-β<π, 3 ∵cos(α-β)= , 5 ∴sin(α-β)= 4 5

5 ∵sinβ=- , 13 12 ∴cosβ= , 13 ∴sinα=sin[(α-β)+β] =sin(α-β)cosβ+cos(α-β)sinβ 4 12 3 5 33 = · + ·(- )= . 5 13 5 13 65


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