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高三数学假期作业三及答案


高三数学暑假作业(三) 张雪 一.选择(每题 5 分,共计 60 分)

2014-7-7

A ?x ? R, f ( x) ? f ( x0 ) C.-x0 是-f(x)的极小值点

B.-x0 是 f(-x)的极小值点 D.-x0 是-f(-x)的极小值点 )

1.(2013 · 新 课 标 全 国 Ⅱ 高 考 理 科 · T1) 已 知 集 合 M={x|(x-1)2<4,x ∈ R},N={-1,0,1,2,3},则 M∩N= A.{0,1,2} B.{-1,0,1,2} ( ) D.{0,1,2,3} )

7.(2013·山东高考理科·T8)函数 y=xcosx + sinx 的图象大致为 (

C.{-1,0,2,3}

2.(2013·天津高考文科·T4)设 a,b∈R,则“(a-b)a2<0”是“a<b”的 ( A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

8.(2013·湖北高考文科·T2)已知 0 ? ? ? π ,则双曲线 C1 :
4

x2 y2 ? ?1 sin 2 ? cos2 ?

x ?1 ? 0 的解集为( 3.(2012·重庆高考理科·T2)不等式 2x ? 1

与 C2 :

y2 x2 ? ? 1 的( cos2 ? sin 2 ?

)相等 C.离心率 D.焦距

? (A) ? ? ? ,1? ? 2 ? 1

? (B) ? ? ,1? ? ? 2 ? 1

1? (C) ? ? ? ?,? ? ? ?1,??? ? 2?

1? (D) ? ? ? ?,? ? ? ?1,??? ? 2?

A.实轴长

B.虚轴长

4.(2012·福建高考理科·T5)下列不等式一定成立的是(
1 lg( x ? ) ? lg x ( x ? 0) 4 (A)
2



9.(2013·安徽高考文科·T5)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、 丁、戌中录用三人,这五人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的概 率为 ( )A.

1 sin x ? ? 2 ( x ? k? , k ? Z ) sin x (B) 1 ? 1 ( x ? R) (D) x ? 1
2

2 3

B.

2 5

C.

3 5

D.

9 10

(C) x ? 1 ? 2 | x | ( x ? R)
2

5.(2013·大纲版全国卷高考理科·T4)已知函数 f(x)的定义域为(-1,0), 则函数 f(2x+1)的定义域为 A. ? ?1,1? B. (?1,? )
1 2

10.(2013· 天津高考理科· T2)设变量 x,y 数 z=y-2x 的最小值为 ( )

?3 x ? y ? 6 ? 0, 满足约束条件 ? ? x ? y ? 2 ? 0, 则目标函 ? y ? 3 ? 0, ?

(

) C. ? -1,0?
? D. ? ? ,1? 2 1 ? ?

A.-7 B.-4

C.1

D.2

11.(2012·浙江高考理科·T6)若从 1,2,3,?,9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有( (A)60 种
1

6.(2013·福建高考理科·T8)设函数 f(x)的定义域为 R,x0 ? x0 ? 0? 是 f(x)的极 大值点,以下结论一定正确的是 ( )

) (D)66 种

(B)63 种

(C)65 种

12.(2012·四川高考理科·T1) (1 ? x)7 的展开式中 x2 的系数是( (A) 42 (B) 35 (C) 28 (D) 21



18.(2013·新课标全国Ⅱ高考文科·T18)如图,直三棱柱
ABC ? A1B1C1 中, D , E 分别是 AB , BB1 的中点。

二.填空(每题 5 分,共计 20 分) 13.(2013·四川高考理科·T14)已知 f ( x) 是定义域为 R 的偶函数,当 x ≥
0 时, f ( x) ? x2 ? 4x ,那么,不等式 f ( x ? 2) ? 5 的解集是________

(1)证明: BC1 / / 平面 ACD 1 1; (2)设 AA1 ? AC ? CB ? 2 , AB ? 2 2 ,求三棱锥 C ? A1DE 的体积。



14.(2013·安徽高考文科·T11)函数 y = ln(1 + ) + 1 - x 2 的定义域为______ 15.(2013·广东高考理科·T10)若曲线 y ? kx ? ln x 在点 (1, k ) 处的切线平行 于 x 轴,则 k= .

1 x

16.(2013·广东高考理科·T12)在等差数列 {an } 中,已知 a3 ? a8 ? 10 ,则
3a5 ? a7 =___

三.解答题(17 题 10 分, 其余每题 12 分) 17. (2013· 重庆高考文科· T15) 设0 ?? ?? , 不等式 8x2 ? (8sin ? ) x ? cos 2? ? 0 对 x ? R 恒成立,求 a 的取值范围. 19.(2012·安徽高考理科·T9)某地最近十年粮食需求量逐年上升,下 表是部分统计数据: 年份 2002 2004 246 2006 257 2008 276 2010 286

需求量 (万 236 吨)

(Ⅰ)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程 y ? bx ? a ; (Ⅱ)利用(Ⅰ)中所求出的直线方程预测该地 2012 年的粮食需求量.
2

21. ( 2012 · 重 庆 高 考 文 科 · T 14 ) 设 P 为 直 线 y ?

b x 与双曲线 3a

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 左支的交点 , F1 是左焦点 , PF1 垂直于 x 轴 , 则双曲线的 a 2 b2

离心率 e.

20.(2012·浙江高考理科·T19)已知箱中装有 4 个白球和 5 个黑球,且 规定:取出一个白球得 2 分,取出一个黑球得 1 分.现从该箱中任取(无放 回,且每球取到的机会均等)3 个球,记随机变量 X 为取出此 3 球所得分 数之和. (1)求 X 的分布列.(2)求 X 的数学期望 E(X). 22.(2012·四川高考理科·T14)如图,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,M ,
N

分别是棱 CD , CC1 的中点,求异面直线 A1M 与 DN 所成的角的大小.

3

答案详解
1. 【解析】 选 A.因为集合 M={x|-1<x<3},N={-1,0,1,2,3},所以 M∩N={0,1,2}. 2.【解析】选 A.由(a-b)a2<0 知,a2>0,a-b<0,即 a<b 成立,反之,当 a<b 时,由于 a2 可能为 0,故(a-b)a2≤0,因此“(a-b)a2<0”是“a<b”的充分而不必要条件 3.【解析】选 A. 不等式 4.【解析】选 C. 选项 具体分析
1 1 1 lg( x 2 ? ) ? lg(2 x 2 ? ) ? lg x ,当且仅当 x 2 ? 时,即 4 4 4
x? 1 2 时取等号
1 ?2 sin x

6.【解析】选 D. ? f (? x) 是 f ( x) 的图象关于原点对称, ( x0 , f ( x0 )) 是极高点, 那么 (? x0 , ? f (? x0 ) 就是极低点. 7. 【解析】选 D. 函数 y=xcosx + sinx 为奇函数,所以图象关于原点对称, 所以排除 B,C.当 x ? ? 时, f (? ) ? ?? ? 0 ,排除 A,选 D. 8. 【解析】选 D. 双曲线 C1 的实轴长为 2 sin? ,虚轴长为 2 cos? ,焦距为
1 ;双曲线 C2 的实轴长为 2 cos ? ,虚轴长为 sin ? 1 2 sin ? ,焦距为 2 sin 2 ? ? cos2 ? ? 2 ,离心率为 ,故只有焦距相等.故答案 cos ?

?(x ? 1)(2x ? 1) ? 0, x ?1 1 ? 0 等价于 ? 解得 ? ? x ? 1 . 2x ? 1 2 ?2x ? 1 ? 0,

2 sin 2 ? ? cos2 ? ? 2 ,离心率为

结论

为 D. 不正确
C32 9. 【解析】 选 D.当甲、 乙两人中仅有一人被录用时的概率 P 1 =2 ? 3 C5 2 3 6 = ; 10 10

A

B C D
5.

当 sin x ? 0 时,不可能有 sin x ?

不正确 正确 不正确

当 甲 、 乙 两 人 都 被 录 用 时 的 概 率 P2 =
P=P 1 +P2 = 3 6 9 + = 10 10 10

1 C3 3 ,所以所求概率为 = 3 C5 10

由基本不等式得 x2 ?1 ?| x |2 ?1 ? 2 | x |
1 因为 x ? 1 ? 1 ,所以 2 ? 1 x ?1
2

10.【解析】选 A.由 z=y-2x,得 y=2x+z.作出不等式组对应的平面区域 ABC.

【解析】选 B.令 u ? 2 x ? 1 ,由 f ( x) 的定义域为 (?1,0) 可知 ? 1 ? u ? 0 ,即
1 . 2

? 1 ? 2 x ? 1 ? 0 ,得 ? 1 ? x ? ?

? A1M , DN ? 90 ,? 异面直线 A1M 与 DN 所成的角的大小为 90 .

作直线 y=2x,平移直线 y=2x+z,由图象知当直线经过点 B 时,y=2x+z 的截距 最小,此时 z 最小.由 ? ?
x ? y ? 2 ? 0, ? y ? 3 ? 0,

【答案】 90
4

得? ?

x ? 5,

? y ? 3,

代入 z=y-2x 得 z=3-2×5=-7.所以最小

值为-7. 11.【解析】选 D.均为奇数时,有 C ? 5 种;均为偶数时,有 C ? 1 种;两
4 5 4 4 2 2 奇两偶时,有 C4 ? C5 ? 60 种,共有 66 种.

ì 1 ì x < - 1或x > 0 ? 1+ > 0 14.【解析】由题意可得 镲 揶 眄 x - 1 #x 1 镲 2 ? 1- x 0 ? ?
(0,1] 【答案】

0< x 1

15.【解析】对 y ? kx ? ln x 求导得 y? ? k ? ,而 x 轴的斜率为 0,所以在点 (1, k ) 12. 【 解 析 】 选 D. 二 项 展 开 式 的 通 项 公 式 为 Tr ?1 ? C7r xr , 含 x2 的 项 为
T3 ? C x ? 21x ,故 x 的系数是 21.
2 7 2 2
2

1 x

处切线的斜率为 y? x?1 ? k ?1 ? 0 ,解得 k ? ?1 . 【答案】-1. 16.【解析】设公差为 d ,则 a3 ? a8 ? 2a1 ? 9d ? 10 ,
3a5 ? a7 ? 4a1 ? 18d ? 2(2a1 ? 9d ) ? 20 .

13.【解析】依据已知条件求出 y=f(x),x∈R 的解析式,再借助 y=f(x)的图象 求解.设 x<0,则-x>0. 当 x≥0 时,f(x)=x2-4x,所以 f(-x)=(-x)2-4(-x). 因为 f(x)是定义在 R 上的偶函数,得 f(-x)=f(x),所以 f(x)=x2+4x(x<0), 故 f ( x) ? ? ?
? x 2 ? 4 x, x ? 0 ? ? x ? 4 x, x ? 0
2

【答案】20. 17.【解析】因为不等式 8x2 ? (8sin ? ) x ? cos 2? ? 0 对 x ? R 恒成立, 所以 ? ? 64sin 2 ? ? 32cos2? ? 0 ,即 64sin 2 ? ? 32 ? 64sin 2 ? ? 0 ,解得 sin ? ?
1 2

由 f(x)=5 得 ?

?x ? 4x ? 5
2

?x ? 0

?x ? 4x ? 5 或? ,得 x=5 或 x=-5. ?x ? 0
2

因为 0 ? ? ? ? ,所以 ? ? [0, ] [ 【答案】 [0, ] [
6

?

?

5? ,? ] 6

6

5? ,? ] 6

18.【解析】(1)连接 AC1 交 A1C 于点 F,则 F 为 AC1 中点.

观察图象可知由 f(x)<5,得-5<x<5. 所以由 f(x+2)<5,得-5<x+2<5,所以-7<x<3. 故不等式 f(x+2)<5 的解集是{x|-7<x<3}. 【答案】{x|-7<x<3}
5

又 D 是 AB 中点,连结 DF,则 BC1//DF. 因为 DF ? 平面 A1CD,BC1 ? 平面 A1CD, 所以 BC1//平面 A1CD. (2)因为 ABC-A1B1C1 是直三棱柱,所以 AA1 ? CD .由已知 AC=CB,D 为 AB 的中点,所以 CD ? AB ,又 AA1 AB ? A ,于是 CD ? 平面 ABB1A1. 由 AA1=AC=CB=2,AB= 2 2 得
?ACB ? 90?, CD ? 2, A1D ? 6 , DE ? 3, A1E ? 3 ,

6.5×(2012-2006)+260.2=6.5×6+260.2=299.2(万吨)≈300(万吨).

20.【解析】 (1)X=3,4,5,6,
P( X ? 3) ?
3 C5 5 ? 3 C9 42

P( X ? 4) ?



1 C52C4 10 ? 3 C9 21

P( X ? 5) ?



1 2 C5 C4 5 ? 3 C9 14



P( X ? 6) ?

3 C4 1 ? 3 C9 21 ,所以 X 的分布列为:

X P

3
5 42

4
10 21

5
5 14

6
1 21

故 A1D2 +DE 2=A1E 2 ,即DE ? A1D. 所以 VC ? A DE ? ? ? 6 ? 3 ? 2 ? 1.
1

1 1 3 2

15+80+75+12 91 13 ? = 42 21 3 (2)X 的数学期望 E(X)=

19.【精讲精析】 (Ⅰ)由所给数据看出,年需求量与年份之间是近似直线上升,下面来求回归直
线方程,先将数据预处理如下: 年份-2006 需求量-257 由预处理的数据,容易算得 -4 -21 -2 -11 0 0 2 19 4 29

21. 【 解析 】 由 题意 可 知 点 P 的 横 坐标 为 ? c , 代 入双 曲 线的 方 程 可 得
? b2 ? b c2 y2 b2 ? c,? ? ? 2 ? 1 解得 y ? ? ,由条件可知 P ? ,因为点 P 在直线 y ? x 上 2 ? ? a ? 3a a b a ?

所以 ?

b2 b c 3 2 ? ? (?c) ,解得 c ? 3b ,所以 a ? 2 2b , e ? ? a 3a a 4

22. 【解析】设正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为 1,建 立如图所示的空间直角坐标系 D ? xyz , 则 D(0, 0, 0), N (0,1, ), A1 (1, 0,1), M (0, , 0) ,
1 1 ? A1M ? (?1, , ?1) , DN ? (0,1, ) , 2 2 A M ? DN ? cos A1M , DN ? 1 ?0, A1M DN
1 2 1 2

x ? 0, y ? 3.2
b? (?4) ? (?21) ? (?2) ? (?11) ? 2 ? 19 ? 4 ? 29 260 ? 6 .5 . = 42 ? 22 ? 22 ? 42 40

a ? y ? b x ? 3.2 .由上述计算结果,知所求回归直线方程为
y ? 257 ? b( x ? 2006 ) ? a ? 6.5( x ? 2006 ) ? 3.2. ) ? 260.2. 即 y ? 6.5( x ? 2006
(Ⅱ)利用所求得的直线方程,可预测 2012 年的粮食需求量为
6
? ?



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