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高一数学必修2第三章直线与方程总复习及练习


高一数学必修 2 第三章直线与方程总复习及练习
知识点: 1.倾斜角:X 轴正向与直线 L 向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角。 0 0 ? ? ? 1800 2. 斜率: k ? tan ?

k?

y 2 ? y1 x2 ? x1

斜率 k 与倾斜角 ? 之间的关系:

?a ?

0? ? k ? tan 0? ? 0 ? ? ? ?0 ? a ? 90 ? k ? tan a ? 0 ? ? ?a ? 90 ? tan a (不存在) ? k不存在 ?90? ? a ? 180? ? k ? tan a ? 0 ?
3.两直线平行与垂直的判定: ①两直线平行的判定: (1) ? 1 ∥? 2 ? k1=k2 且 b1 ? b2 或两条直线的斜率都不存在。 (2) ? 1 ∥? 2 ? A1B2 ? A2 B1 ? 0 且 B1C2 ? B2C1 ? 0 ②两直线垂直的判定: (1) ? 1 ⊥? 2 ? k1· k2=-1 或一条直线斜率为 0,另一条直线斜率不存在。 (2) ? 1 ∥? 2 ? A1 A2 ? B1B2 ? 0 4.直线的方程: (1)点斜式:已知直线过点 ( x0 , y0 ) 斜率为 k ,则直线方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,它不包括垂直 于 x 轴的直线。 (2)斜截式:已知直线在 y 轴上的截距为 b 和斜率 k ,则直线方程为 y ? kx ? b ,它不包括垂 直于 x 轴的直线。 y ? y1 x ? x1 (3)两点式:已知直线经过 P ,它 ? 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) 两点,则直线方程为 y 2 ? y1 x2 ? x1 不包括垂直于坐标轴的直线。 (4)截距式:已知直线在 x 轴和 y 轴上的截距为 a , b ,则直线方程为
x y ? ? 1 ,它不包括垂直 a b

于坐标轴的直线和过原点的直线。 (5)一般式:任何直线均可写成 Ax ? By ? C ? 0 (A,B 不同时为 0)的形式。 注意:设直线方程的一些常用技巧: (1)知直线纵截距 b ,常设其方程为 y ? kx ? b ; (2) 知直线横截距 x0 ,常设其方程为 x ? my ? x0 (它不适用于斜率为 0 的直线); (3)知直线过点 ( x0 , y0 ) ,当斜率 k 存在时,常设其方程为 y ? k ( x ? x0 ) ? y0 ,当斜率 k 不存在时,则其方程为 ( 4 )与直线 l : Ax ? By ? C ? 0 平行的直线可表示为 Ax ? By ? C1 ? 0 ; ( 5 )与直线 x ? x0 ;

l : Ax ? By ? C ? 0 垂直的直线可表示为 Bx ? Ay ? C1 ? 0 .

提醒:求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式,利用待定系数法求解。 5. 点点、点线、线线的距离:
( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 (1)点 P 1 ( x1 , y1 ) 到点 P 2 ( x 2 , y 2 ) 的距离 d ?

(2)点 P( x0 , y0 ) 到直线 Ax ? By ? C ? 0 的距离 d ?

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2



(3)两平行线 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0, l2 : Ax ? By ? C2 ? 0 间的距离为 d ? 6.过定点的直线系:

C1 ? C2 A2 ? B 2



过两条直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 的交点的直线系方程为 ,其中直线 l 2 不在直线系中。 ?A1x ? B1 y ? C1 ? ? ?? A2 x ? B2 y ? C2 ? ? 0 ( ? 为参数) 例 1.下列命题正确的有 : ①每条直线都有唯一一个倾斜角与之对应,也有唯一一个斜率与之对应; ②倾斜角的范围是:0°≤α <180°,且当倾斜角增大时,斜率也增大; ③过两点 A(1,2),B(m,-5)的直线可以用两点式表示; y ?1 ?1; ④过点(1,1),且斜率为 1 的直线的方程为 x ?1 ⑤直线 Ax+By+C=0(A,B 不同时为零),当 A,B,C 中有一个为零时,这个方程不能化为截距式. ⑥若两直线平行,则它们的斜率必相等; ⑦若两直线垂直,则它们的斜率相乘必等于-1.

例 2. 若 直 线 l1 : ax ? 2 y ? 6 ? 0 与 直 线 l2 : x ? (a ? 1) y ? a 2 ? 1 ? 0 , 则 l1与l 2 相交 时 , a_________; l1 // l 2 时,a=__________; l1 ? l 2 时,a=________ 例 3.求满足下列条件的直线方程: (1)经过点 P(2,-1)且与直线 2x+3y+12=0 平行; (2)经过点 Q(-1,3)且与直线 x+2y-1=0 垂直; (3)经过点 R(-2,3)且在两坐标轴上截距相等; (4) 经过点 N(-1,3)且在 x 轴的截距与它在 y 轴上的截距的和为零. .

例 4.已知直线 l 过点(1,2) ,且与 x,y 轴正半轴分别交于点 A、B (1)求△AOB 面积为 4 时 l 的方程; (2)求 l 在两轴上截距之和为 3 ? 2 2 时 l 的方程。

例 5.已知△ABC 的两个顶点 A(-10,2),B(6,4), 垂心是 H(5,2),求顶点 C 的坐标.

例 6.求经过直线 l1 : 2 x ? 3 y ? 5 ? 0, l 2 : 3x ? 2 y ? 3 ? 0 的交点且平行于直线 2 x ? y ? 3 ? 0 的直线 方程.

巩固练习: 1、在下列四个命题中,正确的共有( ) (1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 (2)直线的倾斜角的取值范围是 ?0, ? ? (3)若一条直线的斜率为 tan ? ,则此直线的倾斜角为 ? (4)若一条直线的倾斜角为 ? ,则此直线的斜率为 tan ? A.0 个 B.1 个 C.2 个

D.3 个 )

2、若两直线 l1 , l 2 的倾斜角分别为 ?1 ,? 2 ,则下列四个命题中正确的是( A.若 ?1 ? ? 2 ,则两直线的斜率: k1 ? k 2 B.若 ?1 ? ? 2 ,则两直线的斜率: k1 ? k 2 C.若两直线的斜率: k1 ? k 2 ,则 ?1 ? ? 2 D.若两直线的斜率: k1 ? k 2 ,则 ?1 ? ? 2 3、过两点 (?1,1) 和 (3,9) 的直线在 x 轴上的截距为( A. ?
3 2

) D.2 ) D. ab ? 0, bc ? 0

B. ?

2 3

C.

2 5

4、若直线 ax ? by ? c ? 0 在第一、二、三象限,则( A. ab ? 0, bc ? 0 B. ab ? 0, bc ? 0

C. ab ? 0, bc ? 0

5、已知 M (1,2), N (4,3) 直线 l 过点 P(2,?1) 且与线段 MN 相交,那么直线 l 的斜率 k 的 取值范围是( A. ?? 3,2? ) C. ?? ?,?3? ? ?2,???
1? ?1 ? ? D. ? ? ?,? ? ? ? ,?? ? 3? ? 2 ? ?

? 1 1? B. ?? , ? ? 3 2?

6、直线 x ? 2 y ? 2k ? 0 与两坐标轴所围成的三角形面积不大于 1,那么( A. k ? ?1 B. k ? 1 C. ? 1 ? k ? 1 且 k ? 0 D. k ? ?1 或 k ? 1



7、已知直线 ax ? by ? 1 ? 0 在 y 轴上的截距为 ? 1 ,且它的倾斜角是直线 3x ? y ? 3 ? 0 的倾 斜角的 2 倍,则( )

A. a ? 3, b ? 1 B. a ? 3, b ? ?1 C. a ? ? 3, b ? 1 D. a ? ? 3, b ? ?1

8、若直线 l 与两条直线 y ? 1, x ? y ? 7 ? 0 分别交于 P、Q 两点,线段 PQ 的中点

坐标为 (1,?1) ,则 l 的方程是( A. 3x ? 2 y ? 5 ? 0 C. 2 x ? 3 y ? 1 ? 0

) B. 2 x ? 3 y ? 5 ? 0 D. 3 x ? 2 y ? 1 ? 0

9、若直线 (2m 2 ? 5m ? 2) x ? (m 2 ? 4) y ? 5m ? 0 的倾斜角为 A.2 或 3 B.2 或 ?
1 3

? ,则 m 的值( ) 4

C. ?

1 3

D.3

10、直线 xtan A.-
π 7

π +y=0 的倾斜角是( 7 π B. 7

) C.
5π 7

D.

6π 7

11、如图,直线 l1 , l 2 , l3 的斜率分别为 k1 , k 2 , k 3 ,则( A. k1 ? k 2 ? k3 C. k3 ? k 2 ? k1 B. k3 ? k1 ? k 2 D. k1 ? k3 ? k 2



y

l2
l3
O x

l1

y

12、如图,直线 y ? ax ?

1 的图象可能是( a

O

x

O

x

O

x

O

x

A

B

C

D

13、直线 3x ? 4 y ? k ? 0 在两坐标轴上的截距之和为 2,则实数 k 的值为 14、点 P(?1,3) 在直线 l 上的射影为 Q(1,?1) ,则直线 l 的方程为 15、求过点 A(5,2) ,且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线 l 的方程

16、直线 l 经过点 P(?4,3) 与 x 轴、 y 轴分别交于 A、B 两点,且|AP|:|PB|=3:5,求直线 l 的 方程

17、已知直线 l 的斜率为 6,且被两坐标轴所截得的线段长为 37 ,求直线 l 的方程.

18、在直线方程 y=kx+b 中,当 x∈[-3,4]时,y∈[-8,13] ,求此直线方程

19、已知直线 l : kx ? y ?1? 2k ? 0 ? k ? R ? ,证明直线 l 过定点。

20、求经过点 A ?1, 2 ? ,并且在 2 个坐标轴上的截距绝对值相等的直线方程。


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