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2014版学海导航数学(文)总复习(第1轮)同步测控 第35讲 数列模型及综合应用 Word版含答案]


第 35 讲 数列模型及综合应用

1.某工厂 2009 年年底制订生产计划, 要使工厂的总产值到 2019 年年底在原有基础上 翻两番,则年平均增长率为( )
1 1

A.510-1
1

B.410-1
1

C.310-1 D.411-1 2.设 a1,a2,?,

a50 是以-1,0,1 这三个整数中取值的数列,若 a1+a2+?+a50 =9,且(a1+1)2+(a2+1)2+?+(a50+1)2=107,则 a1,a2,?,a50 当中取零的项共有( ) A.11 个 B.12 个 C.15 个 D.25 个 3.从 2006 年到 2009 年期间, 甲每年 6 月 1 日都到银行存入 m 元的一年定期储蓄. 若 年利率为 q 保持不变,且每年到期的存款本息均自动转为新的一年定期,到 2010 年 6 月 1 日,甲去银行不再存款,而是将每年所有的存款的本息全部取回,则取回的金额是( ) A.m(1+q)4 B.m(1+q)5 m[(1+q)4-(1+q)] m[(1+q)5-(1+q)] C. D. q q 4.已知函数 f(x)=3x2+bx+1 是偶函数,g(x)=5x+c 是奇函数.若 a1=1,f(an+an+1) -g(an+1·an+an2)=1,则正数数列{an}的通项公式为( ) 2 - A.( )n 1 3 2 C.( )n 3 3 - B.( )n 1 2 3 D.( )n 2

5.(2012· 合肥八中)如图,一个树形图依据下列规律不断生长:1 个空心圆点到下一行 仅生长出 1 个实心圆点,1 个实心圆点到下一行生长出 1 个实心圆点和 1 个空心圆点.则第 11 行的实心圆点的个数是______.

6.用砖砌墙,第一层(底层)用去了全部砖块的一半多一块,第二层用去了剩下的一半 多一块,??,依此类推,每一层都用去了前一层剩下的一半多一块,如果到第九层恰好砖

用完,那么共用去砖的块数为________. 7.某产品具有一定的时效性,在这个时效期内,由市场调查可知,在不做广告宣传且 每件获利 a 元的前提下,可卖出 b 件;若做广告宣传,广告费为 n 千元比广告费为 n-1 千 b 元时多卖出 n(n∈N*)件. 2 (1)试写出销售量 Sn 与 n 的函数关系式; (2)当 a=10,b=4000 时,厂家应生产多少件这种产品,做几千元的广告,才能获利最 大?

1.如下图, 对于大于 1 的自然数 m 的 n 次幂可用奇数进行如图所示的“分裂”, 仿此,

(1)记 53 的“分裂”中的最小数为 a, 而 52 的“分裂”中最大的数是 b, 则 a+b=______; (2)若 m3 的“分裂”中最小的数是 211,则 m 的值为______. 2.为喜迎广州亚运会, 花匠老王计划用 600 盆鲜花在公园设计一个鲜花摆放造型, 其中主题花坛由一批花坛堆成六 角垛:顶层一个,以下各层堆成正六边形,逐层底边增加一个花盆(如图所示),在充分利用 的基础上,最少可以剩余______盆鲜花.

3.(2012· 湖南卷)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有 资金 2000 万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了 50%.预计以后每年资金年增长率与 第一年的相同.公司要求企业从第一年开始,每年年底上缴资金 d 万元,并将剩余资金全部 投入下一年生产.设第 n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为 an 万元. (1)用 d 表示 a1,a2,并写出 an+1 与 an 的关系式; (2)若公司希望经过 m(m≥3)年使企业的剩余资金为 4000 万元,试确定企业每年上缴资 金 d 的值(用 m 表示).

第 35 讲 巩固练习 1.B 2.A 3.D

4.A 解析:f(x)是偶函数?b=0,所以 f(x)=3x2+1, g(x)是奇函数?c=0,所以 g(x)=5x, 又 f(an+an+1)-g(an+1an+an2)=1, 即 3(an+an+1)2+1-5(an+1an+an2)=1, (an+an+1)[3(an+an+1)-5an]=0. 由于{an}为正数数列,即 an>0, an+1 2 故 3(an+an+1)=5an, = ,又 a1=1, an 3 2 - 所以{an}是等比数列,且 an=( )n 1(n∈N*). 3 5.55 解析:设用 an 表示第 n 行实心圆点的个数,由题意,数列{an}为:0,1,1,2,3,5, 8,13,21,34,55,故 a11=55. 6.1022 解析:设每一层用去的砖块数构成数列{an},全部砖块数为 S, 1 1 则 a1= S+1,an+1= [S-(a1+a2+?+an)]+1, 2 2 1 1 即 an+1= S- Sn+1, 2 2 1 1 所以 an= S- Sn-1+1(n≥2), 2 2 1 两式相减,得 an+1-an=- an, 2

1 即 an+1= an(n≥2). 2 1 1-( )9 2 a2 1 1 1 又 适合上式, 所以{an}是首项 a1= S+1, 公比为 的等比数列, 所以( S+1)· a1 2 2 2 1 1- 2 =S,解得 S=1022. 7.解析:(1)设 S0 表示广告费为 0 元时的销售量. b b b b 由题意知 Sn-Sn-1= n,Sn-1-Sn-2= n-1,?,S2-S1= 2,S1-S0= , 2 2 2 2 将上述各式相加得, 1 + b[1-( )n 1] 2 b b b 1 Sn=b+ + 2+?+ n= =b· (2- n). 2 2 2 1 2 1- 2 (2)当 a=10,b=4000 时,设获利为 Tn 元. 1 由题意知 Tn=10Sn-1000n=40000· (2- n)-1000n. 2 欲使 Tn 最大,
? ? ?Tn≥Tn-1 ?n≤5 则? ,代入解得? . ?Tn≥Tn+1 ?n≥5 ? ?

所以 n=5,此时 S5=7875. 即厂家应生产 7875 件这种产品,做 5 千元的广告,才能获利最大. 提升能力 1.(1)30 (2)15 解析:(1)由题意,52=1+3+5+7+9,故 b=9; 53=21+23+25+27+29,故 a=21,所以 a+b=30. (2)由题意,m3=211+213+215+?,共 m 个相邻奇数, m(m-1) 由等差数列求和公式得 m3=211m+ ×2, 2 整理得 m2-m-210=0,解得 m=15,m=-14(舍去). 2.88 解析:设第 n 层有 an 盆鲜花, 则有 a2-a1=6,a3-a2=12, a4-a3=18,?,an-an-1=6(n-1). 则 an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+?+(a2-a1)+a1 =6(n-1)+6(n-2)+?+6+1

=3n2-3n+1. 所以 Sn=3(12+22+?+n2)-3(1+2+?+n)+n 1 3 = n(n+1)(2n+1)- n(n+1)+n 2 2 =n3≤600(n∈N*). 所以 n≤8,而 S8=83=512, 所以最少还剩 600-512=88(盆). 3.解析:(1)由题意得 a1=2000(1+50%)-d=3000-d, 3 5 a2=a1(1+50%)-d= a1-d=4500- d, 2 2 3 an+1=an(1+50%)-d= an-d. 2 3 (2)由(1)得 an= an-1-d 2 3 3 =( )2an-2- d-d 2 2 33 = ( an-2-d)-d 22 =? 3 - 3 3 3 - =( )n 1a1-d[1+ +( )2+?+( )n 1]. 2 2 2 2 3 - 3 - 整理得 an=( )n 1(3000-d)-2d[( )n 1-1] 2 2 3 - =( )n 1(3000-3d)+2d. 2 由题意,am=4000, 3 - 所以( )m 1(3000-3d)+2d=4000, 2 3 [( )m-2]×1000 + 2 1000(3m-2m 1) 解得 d= = . m m 3 3 -2 ( )m-1 2 1000(3m-2m 1) 故该企业每年上缴资金 d 的值为 时,经过 m(m≥3)年企业的剩余资金 3m-2m 为 4000 元.



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