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2012年北京市高考数学理科试卷及答案解析


一、选择题共8小题。每小题5分.共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合胜目要求的一项. 1.已知集合A={x∈R|3x+2>0﹜,B={x∈ R|(x+1)(x-3)>0﹜则A∩B=( ) A. (﹣∞,﹣1) 2. 设不等式组 ? 的概率是( A. B.{ ?1, ?

2 } 3

C. ﹙ ?

2 ,3 ﹚ D.(3,+∝) 3

?0 ? x ? 2 表示的平面区域为D,在区域D内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2 ?0 ? y ? 2
) B. 开始 C.

? 4

? ?2
2

? 6

D.

4 ?? 4


k=0,S=1 k=k+1 S=S· 2 k k<3 否 是

3.设 a, b ? R .“ a ? 0 ”是‘复数 a ? bi 是纯虚数”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4.执行如图所示的程序框图,输出的S值为( A. 2 B .4 C.8 D. 16



输出 S 结束 (第 4 题图)

5.如图. ∟ACB=90?,CD⊥AB于点D,以BD为直径的圆与BC交于点E.则( ) A. CE·CB=AD·DB B. CE·CB=AD·AB C. AD?AB ? CD
2

D. CE ? EB ? CD

2

6.从0,2中选一个数字.从1.3.5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为( A. 24 B. 18 C. 12 D. 6

)

7.某三梭锥的三视图如图所示,该三梭锥的表面积是( ) A. 28 ? 6 5 C. 56 ? 12 5 B. 30 ? 6 5 D. 60 ?12 5

8.某棵果树前n前的总产量S与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看,前 m年的年平均产量最高。m值为( ) A.5 B.7 C.9 D.11
第 1 页 共 8 页

二.填空题共6小题。每小题5分。共30分. 9.直线 ?

? x ? 2?t ? x ? 3cos ? ( t 为参数)与曲线 ? ( ? 为参数)的交点个数为 ? y ? ?1 ? t ? y ? 3sin ?

10.已知 {an } 等差数列 S n 为其前n项和,若 a1 ?

1 , S2 ? a3 ,则 a2 = 2 1 ,则 b = 4

, Sn ?

11.在△ABC中,若 a ? 2 , b ? c ? 7 , cos B ? ?

12.在直角坐标系xOy中,直线 l 过抛物线 y ? 4 x 的焦点F,且与该抛物线相交于A、B两点,其中点A在x轴
2

上方,若直线 l 的倾斜角为60?.则 ?OAF 的面积为

CB 的值为 13.己知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点.则 DE ?

???? ??? ?

14. 已知 f ( x) ? m( x ? 2 m)( x? m? 3), g ( x) ? 2 ? 2 ,若同时满足条件:① ?x ? R ,有 f ( x) ? 0 或
x

g ( x) ? 0 ;② ?x ? (??, ?4) ,使得 f ( x)?g ( x) ? 0

则 m 的取值范围是

三、解答题公6小题,共80分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 15. (本小题共13分)已知函数 f ( x) ? 求f(x)的单调递增区间。

(sin x ? cos x)sin 2 x 。 (1)求f(x)的定义域及最小正周期; (2) sin x

16. (本小题共14分) 如图1,在Rt△ABC中,∟C=90°,BC=3,AC=6,D,E分别是AC,AB上的 点,且DE∠BC,DE=2,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1C⊥CD, 如图2. (1)求证:A1C⊥平面BCDE; (2)若M是A1D的中点,求CM与平面A1BE所成角的大小; (3)线段BC上是否存在点P,使平面A1DP与平面A1BE垂直?说明理由

A

A1

M D E D E

C

B

C

B

图1

图2

第 2 页 共 8 页

17. (本小题共13分) 近年来,某市为促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别 设置了相应的垃圾箱,为调查居民生 “厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其它垃圾”箱 活垃圾分类投放情况,先随机抽取了 厨余垃圾 400 100 100 该 市 三 类 垃 圾 箱 总 计 1000 吨 生 活 垃 可回收物 30 240 30 圾,数据统计如下(单位:吨) ; 20 60 其它垃圾 20 (1)试估计厨余垃圾投放正确的概率; (2)试估计生活垃圾投放错误的概率; (3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a,b,c,其中a﹥0, a+b+c=600.当数据a,b,c的方差 s 最大时,写出a,b,c的值(结论不要求证明) ,并求此时 s 的值。 (注: s 2 ?
2 2

1 ,其中 x 为数据 x1 , x2 ,?, xn 的平均数) [( x1 ? x)2 ? ( x2 ? x)2 ? ? ? ( xn ? x)2 ] : n

18. (本小题共13分) 已知函数 f ( x) ? ax ? 1 ( a ? 0 ) , g ( x) ? x ? bx
2

3

(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a、b的值; (2)当 a ? 4b 时,求函数f(x)+g(x)的单调区间,并求其在区间 (??, ?1] 上的最大值,
2

第 3 页 共 8 页

19. (本小题共14分) 已知曲线C:(5-m)x2+(m-2)y2=8(m∈R) (1)若曲线C是焦点在x轴点上的椭圆,求m的取值范围; (2)设m=4,曲线c与y轴的交点为A,B(点A位于点B的上方) ,直线y=kx+4与曲线c交于不同的两点M、N, 直线y=1与直线BM交于点G.求证:A,G,N三点共线。

20. (本小题共13分) 设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表, 满足: 每个数的绝对值不大于1, 且所有数的和为零, 记s(m, n)为所有这样的数表构成的集合。 对于A∈S(m,n),记ri(A)为A的第ⅰ行各数之和(1≤ⅰ≤m) ,Cj(A)为A的第j列各数之和(1≤j≤n) : 记K(A)为∣r1(A)∣,∣R2(A)∣,…,∣Rm(A)∣,∣C1(A)∣,∣C2(A)∣,…,∣Cn(A)∣中的最小值。 (1)对如下数表A,求K(A)的值; 1 0.1 (2)设数表A∈S(2,3)形如 1 a 1 b c -1 1 -0.3 -0.8 -1

求K(A)的最大值; (3)给定正整数t,对于所有的A∈S(2,2t+1) ,求K(A)的最大值。

第 4 页 共 8 页

一、选择题 1、D 2、D 3、B 4、C 5、A 6、B 7、B 8、C

二、填空题 9、2 10、1;

n2 ? n 4

11、4

12、 3

13、1

14、 (?4, ?2)

三、解答题 15. f ( x) ?
(sin x ? cos x)sin 2 x (sin x ? cos x)2sin x cos x ? ? 2(sin x ? cos x)cos x sin x sin x

π? ? ? sin 2 x ? 1 ? cos 2 x ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 1 , ?x | x ? kπ ,k ? Z? 4? ?

(1)原函数的定义域为 ? x | x ? kπ ,k ? Z? ,最小正周期为 π .
3π ? π ? ? ? (2)原函数的单调递增区间为 ? ? ? kπ , kπ ? k ? Z , ? kπ , ? kπ ? k ? Z 8 ? 8 ? ? ?

16. 解: (1)? CD ? DE , A1 E ? DE

z A1 (0,0,2 3) M E (-2,2,0) y B (0,3,0)

? DE ? 平面 A1CD ,又? A1C ? 平面 A1CD , ? A1C ? DE
又 A1C ? CD ,

? A1C ? 平面 BCDE
( 2 ) 如 图 建 系 C ? xyz , 则 D ? ?2 , 0, 0 ? , A 0 ,0 ,2 3 ,
B ?0 , 3, 0 ? , E ? ?2 , 2, 0?

D (-2,0,0) C (0,0,0)

?

?

x

???? ? ???? ∴ A1 B ? 0 ,3 ,? 2 3 , A1 E ? ? ?2 ,? 1 ,0 ?

?

?

? 设平面 A1 BE 法向量为 n ? ? x ,y ,z ?
???? ? ? ? A1 B ? n ? 0 则 ? ???? ? ? ? ? A1 E ? n ? 0
? ∴ n ? ?1 ,2 , 3

? ?3 y ? 2 3 z ? 0 ∴? ? ? ?2 x ? y ? 0

? 3 z? y ? ? 2 ∴? ?x ? ? y ? ? 2

?

?

又∵ M ?1 ,0 , 3

?

?

???? ? ∴ CM ? ?1 ,0 , 3

?

?

???? ? ? CM ? n 1? 3 4 2 ? ? ? ? ? ∴ cos ? ? ???? 2 | CM | ? | n | 1? 4 ? 3 ? 1? 3 2 ? 2 2

∴ CM 与平面 A1 BE 所成角的大小 45? (3)设线段 BC 上存在点 P ,设 P 点坐标为 ? 0 ,a , 0 ? ,则 a ? ? 0 , 3?

??? ? ???? 则 A1 P ? 0 ,a ,? 2 3 , DP ? ? 2 ,a ,0 ?

?

?

第 5 页 共 8 页

?? ? 设平面 A1 DP 法向量为 n1 ? ? x1 ,y1 ,z1 ?
? ?ay ? 2 3z1 ? 0 则? 1 ? ?2 x1 ? ay1 ? 0

? 3 z ? ay1 ? ? 1 6 ∴? ? x ? ? 1 ay 1 1 ? ? 2

?? ? ∴ n1 ? ?3a ,6 , 3a

?

?

假设平面 A1 DP 与平面 A1 BE 垂直

?? ? ? 则 n1 ? n ? 0 ,

∴ 3a ? 12 ? 3a ? 0 , 6a ? ?12 , a ? ?2 ∵0?a?3 ∴不存在线段 BC 上存在点 P ,使平面 A1 DP 与平面 A1 BE 垂直

17. (?)由题意可知:

400 2 200+60+40 3 (?)由题意可知: = = ? 600 3 ?????? 1000 10

1 (?)由题意可知: s 2 ? (a 2 ? b2 ? c 2 ? 120000) ,因此有当 a ? 600 , b ? 0 , c ? 0 时,有 s2 ? 80000 .? 3

18. (?)由 ?1,c ? 为公共切点可得:?
f ( x) ? ax 2 ? 1(a ? 0) ,则 f ?( x) ? 2ax , k1 ? 2a , g ( x) ? x3 ? bx ,则 f ?( x)=3x 2 ? b , k2 ? 3 ? b ,

? 2a ? 3 ? b ?又 f (1) ? a ? 1 , g (1) ? 1 ? b ,
? a ? 1 ? 1 ? b ,即 a ? b ,代入①式可得: ?
?a ? 3 . ?b ? 3

1 (2)? a 2 ? 4b ,?设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? x3 ? ax 2 ? a 2 x ? 1 4 1 a a 则 h?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? a 2 ,令 h?( x) ? 0 ,解得: x1 ? ? , x2 ? ? ; 4 2 6

? a ? 0 ,? ? ? ? ,
a a? a? ? ? a ? a ? 在 ? ? ,? ? 单调递减, 在 ? ? ,? ? ? 上单调递增, 且 h(? ) ?0 ( )h 1 ? ?原函数在 ? ?? ,? ? 单调递增, 2 2 6 6 2 ? ? ? ? ? ?
a a ①若 ?1≤ ? ,即 a≤2 时,最大值为 h(?1) ? a ? ; 2 4
a a ? a? ②若 ? ? ?1 ? ? ,即 2 ? a ? 6 时,最大值为 h ? ? ? ? 1 2 6 ? 2?
2

a 2

a 6

③若 ?1≥ ?

a ? a? 时,即 a≥6 时,最大值为 h ? ? ? ? 1 . 6 ? 2?

综上所述:当 a ? ? 0 ,2? 时,最大值为 h(1) ? a ?

a2 ? a? ;当 a ? ? 2 , ? ? ? 时,最大值为 h ? ? ? ? 1 . 4 ? 2?

第 6 页 共 8 页

19. (1)原曲线方程可化简得:

x2 y2 ? ?1 8 8 5?m m?2

8 ? 8 ?5 ? m ? m ? 2 ? ? 8 7 ?0 由题意可得: ? ,解得: ? m ? 5 5 ? m 2 ? ? 8 ?m ? 2 ? 0 ?

(2)由已知直线代入椭圆方程化简得: (2k
2 ?=32(2k 2 ? 3) ,解得: k ?

2

? 1) x 2 ? 16kx ? 24 ? 0 ,

3 2

由韦达定理得: xM 设 N ( xN

? xN ?

24 16k x x ? ①, ,② M N 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

, k xN ? 4) , M ( xM , kxM ? 4) , G( xG , 1)
y? kxM ? 6 ? ? x ? 2 ,则 G ? 3xM , 1? , xM ? kxM ? 6 ?

MB 方程为:

???? ???? ? 3xM ? ,? 1? , AN ? AG ? ? ? xM k ? 6 ?

? ? xN ,xN k ? 2 ? ,

???? ???? 欲证 A , G ,N 三点共线,只需证 AG , AN 共线



3xM ( xN k ? 2) ? ? xN 成立,化简得: (3k ? k ) xM xN ? ?6( xM ? xN ) xM k ? 6

将①②代入易知等式成立,则 A , G ,N 三点共线得证。 20. (1)由题意可知 r1 ? A? ? 1.2 , r2 ? A? ? ?1.2 , c1 ? A? ? 1.1 , c2 ? A? ? 0.7 , c3 ? A? ? ?1.8 ∴ k ? A? ? 0.7 若 k ? A? ? 1 (2)先用反证法证明 k ? A ?≤1 : 则 | c1 ? A? |?| a ? 1|? a ? 1 ? 1 ,∴ a ? 0 由题目所有数和为 0

同理可知 b ? 0 ,∴ a ? b ? 0 即 a ? b ? c ? ?1 与题目条件矛盾

∴ c ? ?1 ? a ? b ? ?1 ∴ k ? A ?≤1 . ∴ k ? A ? 的最大值为 1

易知当 a ? b ? 0 时, k ? A? ? 1 存在

另解:因为数表中所有数和为 0,? a ? b ? c ? ?1 , a ? b ? ?c ? 1 ? 0 , c ? ?1 ? a ? b

r1 ( A) ? 1 ? a ? b , r2 ( A) ? 1 ? a ? b , c1 ( A) ? 1 ? a , c2 ( A) ? 1 ? b , c3 ( A) ? 2 ? a ? b

第 7 页 共 8 页

? k ( A) ? 1 ? a 或? k ( A) ? 1 ? b ,当 a ? b ? 0 , c ? ?1 时, k ? A ? 取到最大值 1。
2t ? 1 2t ? 1 .首先构造满足 k ( A) ? 的 A ? {ai , j }(i ? 1, 2, j ? 1, 2,..., 2t ? 1) : t?2 t?2 t ?1 , a1,1 ? a1,2 ? ... ? a1,t ? 1, a1,t ?1 ? a1,t ?2 ? ... ? a1,2t ?1 ? ? t?2

(3) k ? A ? 的最大值为

a2,1 ? a2,2

t2 ? t ?1 ? ... ? a2,t ? , a2,t ?1 ? a2,t ? 2 ? ... ? a2,2t ?1 ? ?1 . t (t ? 2)

经计算知, A 中每个元素的绝对值都小于 1,所有元素之和为 0,且

| r1 ( A) |?| r2 ( A) |?

2t ? 1 , t?2

| c1 ( A) |?| c2 ( A) |? ... ?| ct ( A) |? 1 ?

t2 ? t ?1 t ? 1 2t ? 1 ? 1? ? , t (t ? 2) t?2 t?2
t ? 1 2t ? 1 . ? t?2 t?2

| ct ?1 ( A) |?| ct ? 2 ( A) |? ... ?| c2t ?1 ( A) |? 1 ?
下面证明

2t ? 1 2t ? 1 是最大值. 若不然,则存在一个数表 A ? S (2, 2t ? 1) ,使得 k ( A) ? x ? . t?2 t?2

由 k ( A) 的定义知 A 的每一列两个数之和的绝对值都不小于 x ,而两个绝对值不超过 1 的数的和,其 绝对值不超过 2,故 A 的每一列两个数之和的绝对值都在区间 [ x, 2] 中. 由于 x ? 1 ,故 A 的每一列两个数 符号均与列和的符号相同,且绝对值均不小于 x ? 1 . 设 A 中有 g 列的列和为正,有 h 列的列和为负,由对称性不妨设 g ? h ,则 g ? t , h ? t ? 1 . 另外,由 对称性不妨设 A 的第一行行和为正,第二行行和为负. 考虑 A 的第一行,由前面结论知 A 的第一行有不超过 t 个正数和不少于 t ? 1 个负数,每个正数的绝对 值不超过 1(即每个正数均不超过 1) ,每个负数的绝对值不小于 x ? 1(即每个负数均不超过 1 ? x ). 因此

| r1 ( A) |? r1 ( A) ? t ?1 ? (t ? 1)(1 ? x) ? 2t ? 1 ? (t ? 1) x ? x ? ? 2t ? 1 ? (t ? 2) x ? ? x ,
故 A 的第一行行和的绝对值小于 x ,与假设矛盾.

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