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推理与证明.板块一.合情推理与演绎推理.学生版


板块一.合情推理与 演绎推理 典例分析
题型一:合情推理
【例1】迄今为止,人类已借助“网格计算”技术找到了 630 万位的最大质数。小王发现 由 8 个质数组成的数列 41,43,47,53,61,71,83,97 的一个通项公式, 并根据通项公式得出数列的后几项,发现它们也是质数。小王欣喜万分,但小 王按得出的通项公式,再往后写几个数发现它们不是质数。他写

出不是质数的 一个数是 A.1643 B.1679 ( ) C.1681 D.1697

【例2】下面给出了关于复数的四种类比推理: ① 复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则; ② 由向量 A 的性质|A|2=A2 类比得到复数 z 的性质|z|2=z2;
2 ③ 方程 ax2 ? bx ? c ? 0 (a, b, c ? R) 有两个不同实数根的条件是 b ? 4ac ? 0

可以类比得到:方程 az2 ? bz ? c ? 0 (a, b, c ? C) 有两个不同复数根的条件是

b 2 ? 4ac ? 0 ;
④ 由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义. 其中类比错误的是 A.① ③ B. ② ④ C. ① ④ D. ② ③ ( )

【例3】定义 A ? B, B ? C , C ? D, D ? A 的运算分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、(4), 那么下图中的 (A) 、 (B) 所对应的运算结果可能是 ( )

(1)

(2)

(3) B. B ? D, A ? C

(4)

(A)

(B) D. C ? D, A ? D

A. B ? D, A ? D

C. B ? C , A ? D

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【例4】在平面几何里,有勾股定理:“设△ABC 的两边 AB,AC 互相垂直,则 AB2+AC2=BC2”拓展到空间,类比平面几何的勾股定理,“设三棱锥 A—BCD 的 三个侧面 ABC、ACD、ADB 两两相互垂直,则可得” ( )

(A)AB2+AC2+ AD2=BC2+ CD2 + BD2 (B) S 2 ?ABC ? S 2 ?ACD ? S 2 ?ADB ? S 2 ?BCD
2 2 2 2 (C) S ?ABC ? S ?ACD ? S ?ADB ? S ?BCD

(D)AB2× 2× 2=BC2 × 2 × 2 AC AD CD BD

【例5】已知 f ( x ? 1) ? A. f ( x) ?

2 f ( x) , f (1) ? 1 (x ? N *) ,猜想 f ( x) 的表达式为 ( f ( x) ? 2
B. f ( x) ?

)

4 2 ?2
x

2 x ?1

C. f ( x) ?

1 x ?1

D. f ( x) ?

2 2x ?1

【例6】观察下列数:1,3,2,6,5,15,14,x,y,z,122,…中 x,y,z 的值依次是 (A) 42,41,123; (B) 13,39,123; (C)24,23,123;

(

)

(D)28,27,123.

【例7】观察下列数的特点 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,… 中,第 100 项是( (A) 10 (B) 13 (C) 14 (D) 100 )

【例8】设 f ( x) ?

1 2x ? 2

,利用课本中推导等差数列前 n 项和公式的方法,可求得 ( D、4 2 )

f (?5) ? f (?4) ? ? ? f (0) ? ? ? f (5) ? f (6) 的值为

A、 2

B、2 2

C、3 2

【例9】平面上有 n 个圆,其中每两个都相交于两点,每三个都无公共点,它们将平面 分成
f (n) 块区域,有 f (1) ? 2, f (2) ? 4, f (3) ? 8 ,则 f (n) 的表达式为





A、 2n

B、 n2 ? n ? 2

C、 2n ? (n ? 1)(n ? 2)(n ? 3)

D、 n3 ? 5n2 ?10n ? 4

【例10】在数列 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,……中,第 25 项为 ( A.25 ) B.6 C.7 D.8

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【例11】如图,椭圆中心在坐标原点,F 为左焦点,当 FB ? AB 时,其离心率为

??? ?

??? ?

5 ?1 ,此类 2

椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”,可推算出”黄金双曲线”的离心率 e 等于 ( A. ) B.
y B F O A x

5 ?1 2

5 ?1 2

C. 5 ? 1

D. 5 ?1

1 【例12】观察式子: ?

1 22 ? ?

?

3 1 1 5 1 1 1 7 ,1 ? 2 ? 2 ? ,1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 3 4 2 3 2 3 4

, 则可归纳出式子为 …, (
1 n2 1 n2 ? ? 1 2n ? 1 2n 2n ? 1



A、 1 ? C、 1 ?

1 22 1 22

? ?

1 32 1 32

?? ??

1 n2 1 n2

1 2n ? 1 2n ? 1 n

B、 1 ? D、 1 ?

1 22 1 22

? ?

1 32 1 32

?? ??

【例13】公比为 4 的等比数列 ?bn ?中,若 Tn 是数列 ?bn ?的前 n 项积,则有

T20 T30 T40 , , T10 T20 T30

也成等比数列,且公比为 4100 ;类比上述结论,相应地在公差为 3 的等差数列

?an ?中,若 S n 是 ?an ?的前 n 项和,则数列
且公差为 。

也成等差数列,

【例14】考察下列一组不等式:

23 ? 53 ? 22 ? 5 ? 2 ? 52 , 24 ? 54 ? 23 ? 5 ? 2 ? 53 , 25 ? 55 ? 23 ? 52 ? 22 ? 53 ,?? .
将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广,使以上的不等式成为 推广不等式的特例,则推广的不等式可以是___________________.

【例15】如下图,第(1)个多边形是由正三角形“扩展“而来,第(2)个多边形是由正 四边形“扩展”而来,……如此类推.设由正 n 边形“扩展”而来的多边形的边数为

an ,则 a6 ?



1 1 1 1 = ? ? ? ??? ? a3 a4 a5 a99

.

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【例16】古希腊数学家把数 1,3,6,10,15,21,……叫做三角数,它有一定的规律 性,第 30 个三角数与第 28 个三角数的差为 。

【例17】数列 {an } 是正项等差数列,若 bn ?

a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? nan ,则数列 {bn } 也 1? 2 ? 3 ??? n
,则

为等差数列. 类比上述结论,写出正项等比数列 {cn } ,若 d n = 数列{ d n }也为等比数列.

【例18】在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是 1 颗珠宝, 第二 件首饰是由 6 颗珠宝构成如图 1 所示的正六边形, 第三件首饰是由 15 颗珠宝构 成如图 2 所示的正六边形, 第四件首饰是由 28 颗珠宝构成如图 3 所示的正六边 形, 第五件首饰是由 45 颗珠宝构成如图 4 所示的正六边形, 以 后 每 件 首 饰 都 在 前 一 件 上 ,按 照 这 种 规 律 增 加 一 定 数 量 的 珠 宝 ,使 它 构 成 更 大 的 正 六 边形 ,依 此 推 断 第 6 件 首饰上应有_______________颗珠宝;则前 n 件 首 饰 所 用 珠 宝 总 数 为 ________________颗.(结果用 n 表示)

图1

图2 图3 图4

【例19】在平面上,我们如果用一条直线去截正方形的一个角,那么截下的一个直角三
2 2 2 角形,按图所标边长,由勾股定理有: c ? a ? b .

设想正方形换成正方体,把截线换成如图的截面,这时从正方体上截下三条侧 棱两两垂直的三棱锥 O—LMN,如果用 s1 , s2 , s3 表示三个侧面面积, s 4 表示截 面面积,那么你类比得到的结论是 .

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【例20】对于平面几何中的命题“如果两个角的两边分别对应垂直,那么这两个角相等或 互补”,在立体几何中,类比上述命题,可以得到命题: 。

【例21】依次有下列等式: 1 ? 12 ,2 ? 3 ? 4 ? 32 ,3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 52 ,按此规律下去, 第 8 个等式为 【例22】在等差数列 ?an ?中,若 a10 ? 0 ,则有等式 。

a1 ? a2 ? ? ? ? ? an ? a1 ? a2 ? ? ? ? ? a19?n (n ? 19, n ? N? ) 成立,类比上述性质,
相应地:在等比数列 ?bn ?中,若 b9 ? 1 ,则有等式 成立.

【例23】将杨辉三角中的奇数换成 1,偶数换成 0,得到如图所示的 0-1 三角数表.从 上往下数,第 1 次全行的数都为 1 的是第 1 行,第 2 次全行的数都为 1 的是第 3 行, 第 n 次全行的数都为 1 的是第 ______ 行; 61 行中 1 的个数是 ______ . …, 第 第1行 第2行 第3行 第4行 第5行 …… 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1

………………………………………

【例24】在平面几何里,可以得出正确结论:“正三角形的内切圆半径等于这正三角形 的高的 ”。拓展到空间,类比平面几何的上述结论,则正四面体的内切球半 径等于这个正四面体的高的 。

1 3

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【例25】已知: sin2 30? ? sin2 90? ? sin2 150? ? ; sin2 5? ? sin2 65? ? sin2 125? ?

3 通 2 3 过观察上述两等式的规律,请你写出一般性的命题: ________________= 2
( * )并给出( * )式的证明。

3 2

【例26】观察以下各等式:

3 4 3 sin 2 200 ? cos2 500 ? sin 200 cos500 ? 4 3 sin 2 150 ? cos2 450 ? sin150 cos 450 ? ,分析上述各式的共同特点,猜想出反 4 sin 2 300 ? cos2 600 ? sin 300 cos 600 ?
映一般规律的等式,并对等式的正确性作出证明。

【例27】在△ABC 中,若∠ C=90° ,AC=b,BC=A,则△ABC 的外接圆的半径 r ? 把上面的结论推广到空间,写出相类似的结论。

a 2 ? b2 2



【例28】请你把不等式“若 a1 , a2 是正实数,则有 明你的结论。

2 a12 a2 ? ? a1 ? a2 ”推广到一般情形,并证 a2 a1

【例29】二十世纪六十年代,日本数学家角谷发现了一个奇怪现象:一个自然数,如果 它是偶数就用 2 除它,如果是奇数,则将它乘以 3 后再加 1,反复进行这样两 种运算,必然会得到什么结果,试考查几个数并给出猜想。

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【例30】圆的垂径定理有一个推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,这一性质能 推广到椭圆吗?设 AB 是椭圆
x2 a
2

?

y2 b2

? 1( a ? b ? 0) 的任一弦,M

是 AB 的中点,

设 OM 与 AB 的斜率都存在, 并设为 KOM、 AB, KOM 与 KAB 之间有何关系? K 则 并证明你的结论。

【例31】已知椭圆 C:

x2 a
2

?

y2 b2

? 1 具有性质:若

M、N 是椭圆 C 上关于原点对称的两点,

点 P 是椭圆 C 上任意一点, 当直线 PM、 的斜率都存在, PN 并记为 KPM、 KPN 时, 那么 KPM 与 KPN 之积是与点 P 位置无关的定值。 试对双曲线 出具有类似特性的性质,并加以证明。
x2 a2 ? y2 b2 ? 1写

【例32】观察下面由奇数组成的数阵,回答下列问题: (Ⅰ )求第六行的第一个数. (Ⅱ )求第 20 行的第一个数. (Ⅲ )求第 20 行的所有数的和.
1 3 7 9 5 11 13 15 17 19 ? ? ? ? ? ? ?

【例33】(2004 年上海春招高考题)在 ? DEF 中有余弦定理:

DE 2 ? DF 2 ? EF 2 ? 2 DF ? EF cos ?DFE . 拓展到空间,类比三角形的余弦
定理,写出斜三棱柱 ABC- A1 B1C1 的 3 个侧面面积与其中两个侧面所成二面角 之间的关系式,并予以证明.

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【例34】已知数列 a1 , a 2 , ? , a30 ,其中 a1 , a 2 , ? , a10 是首项为 1,公差为 1 的等差数列;
a10 , a11, ? , a 20 是公差为 d 的等差数列;a 2 0 , a 2 1, ? , a3 0 是公差为 d 2 的等差数列

( d ? 0 ). (1)若 a 2 0 ? 40 ,求 d ; (2)试写出 a 3 0 关于 d 的关系式,并求 a 3 0 的取值范围; (3)续写已知数列,使得 a3 0 , a3 1, ? , a 4 0 是公差为 d 3 的等差数列,……,依次 类推,把已知数列推广为无穷数列. 提出同(2)类似的问题( (2)应当作为特 例) ,并进行研究,你能得到什么样的结论?

【例35】已知椭圆具有性质:若 M , 是椭圆 C 上关于原点对称的两个点,点 P 是椭圆 N 上任意一点,当直线 PM , 的斜率都存在,并记为 kPM 、 k PN 时,那么 kPM 与 PN
k PN 之积是与点 P 的位置无关的定值.试对双曲线

x2 y2 ? ? 1 写出具有类似特 a2 b2

性的性质,并加以证明

【例36】已知数列 ?an ? ( n 为正整数)的首项为 a1 ,公比为 q 的等比数列.
0 1 2 0 1 3 ⑴ 求和: a 1C2 ? a2C2 ? a3C2 ; a1C3 ? a2C3 ? a3C32 ? a4C3 .

⑵ 由① 的结果,概括出关于正整数 n 的一个结论,并加以证明.

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题型二:演绎推理
【例37】由① 正方形的对角线相等;② 平行四边形的对角线相等;③ 正方形是平行四边 形,根据“三段论”推理出一个结论,则这个结论是 (A) 正方形的对角线相等 (C) 正方形是平行四边形 【例38】下列表述正确的是( ) 。 (D)其它 ( ) (B) 平行四边形的对角线相等

① 归纳推理是由部分到整体的推理;② 归纳推理是由一般到一般的推理; ③ 演绎推理是由一般到特殊的推理;④ 类比推理是由特殊到一般的推理; ⑤ 类比推理是由特殊到特殊的推理。 (A)① ③ (B)② ④ ② ; ③ ; (C)② ⑤ ④ ; (D)① ⑤ ③ 。

【例39】有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数,整数是有理数,则整数 是真分数”结论显然是错误的,是因为( A.大前提错误 B.小前提错误 ) 。 D.非以上错误 C.推理形式错误

【例40】(4) 有一段演绎推理是这样的: “直线平行于平面,则平行于平面内所有直线; 已知直线 b ? 平面 ? ,直线 a ? 平面 ? ,直线 b ∥ 平面 ? ,则直线 b ∥ 直线 a ” ?
?

的结论显然是错误的,这是因为 ( A.大前提错误 B.小前提错误

) 。 C.推理形式错误 D.非以上错误

【例41】小王、小刘、小张参加了今年的高考,考完后在一起议论。 小王说:“我肯定考上重点大学。” 小刘说:“重点大学我是考不上了。” 小张说:“要是不论重点不重点,我考上肯定没问题。” 发榜结果表明,三人中考取重点大学、一般大学和没考上大学的各有一个,并 且他们三个人的预言只有一个人是对的,另外两个人的预言都同事实恰好相 反。可见: ( ) (A)小王没考上,小刘考上一般大学,小张考上重点大学 (B)小王考上一般大学,小刘没考上,小张考上重点大学 (C)小王没考上,小刘考上重点大学,小张考上一般大学 (D)小王考上一般大学,小刘考上重点大学,小张没考上 【例42】已知直线 l、m,平面 α、β,且 l⊥ α,m ∥ β,给出下列四个命题: (1)若 α∥ β,则 l⊥ m; (3)若 α⊥ β,则 l∥ m; 其中正确命题的个数是( ) (2)若 l⊥ m,则 α∥ β; (4)若 l∥ m,则 α⊥ β;

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(A)1

(B)2

(C)3

(D)4

【例43】给出下列三个命题:① a ? b ? ?1, 则 若

a b ;② 若正整数 m和n 满足 ? 1? a 1? b

m ? n ,则 m(n ? m) ?

n ;③ P( x1 , y1 )为圆 1 : x 2 ? y 2 ? 9 上任意一点, 设 O 2

圆 O2 以 Q(a, b) 为圆心且半径为 1。 (a ? x1 ) 2 ? (b ? y1 ) 2 ? 1时, O1与圆O2 当 圆 相切。 其中假命题的个数是( (A) 0 ) (C)2 (D)3 (B ) 1

【例44】给定集合 A、B,定义 A ? B ? {x | x ? m ? n, m ? A, n ? B} ,若 A={4,5,6},B={1,2,3},则集合 A? B 中的所有元素之和为 A.15 B.14 C.27 D.-14 ( )

【例45】有一段演绎推理是这样的:“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线;已知 直线 b ? 平面 ? ,直线 a ? 平面 ? ,直线 b ∥ 平面 ? ,则直线 b ∥ 直线 a ”的结 ?
?

论显然是错误的,这是因为 A.大前提错误 B.小前提错误



) D.非以上错误

C.推理形式错误

【例46】为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→ 明文(解密),已知加密规则为:明文 a , b, c, d 对应密文 a ? 2b, 2b ? c, 2c ? 3d , 4d , 例如,明文 1, 2, 3, 4 对应密文 5, 7,18,16 .当接收方收到密文 14,9, 23, 28 时,则解密 得到的明文为( A.4, 6,1, 7 ) B.7, 6,1, 4 C.6, 4,1, 7 D.1, 6, 4, 7

【例47】下面几种推理过程是演绎推理的是 则∠ A+∠ B=180° B、由平面三角形的性质,推测空间四面体性质





A、 两条直线平行, 同旁内角互补, 如果∠ 和∠ 是两条平行直线的同旁内角, A B

C、某校高三共有 10 个班,1 班有 51 人,2 班有 53 人,三班有 52 人,由此推 测各班都超过 50 人 D、在数列 an 中, a1

??

? 1, an ?

1 1 (a ? )( n ? 2) ,由此推出 an 2 n ?1 an ?1

? ?的通项公式

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【例48】设函数 f ( x) ?

1 2 ? 2
x

, 利用课本中推导等差数列前 n 项和公式的方法, 可求

得 f (?5) ? ??? ? f (0) ? ??? ? f (5) ? f (6) 的值为

.

【例49】函数 y=f x) (0, 上是增函数, ( 在 2) 函数 y=f(x+2)是偶函数, f(1),f(2.5),f(3.5) 则 的大小关系是 .

【例50】在中学数学中,从特殊到一般,从具体到抽象是常见的一种思维形式。如从指 数函数中可抽象出 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 的性质;从对数函数中可抽象出

f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 的性质。那么从函数
体函数即可)可抽象出 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 的性质。

(写出一个具

【例51】“? AC,BD 是菱形 ABCD 的对角线,? AC,BD 互相垂直且平分。”补充以上推 理的大前提是 。

【例52】由① 正方形的对角线相等;② 平行四边形的对角线相等;③ 正方形是平行四边 形,根据 “三段论”推理出一个结论,则这个结论是 【例53】已知数列 ?an ? 的第 1 项 a1 ? 1 ,且 an?1 ? 的通项公式 an ? ______ . 【例54】(1)在演绎推理中,只要 是正确的,结论必定是正确的。 。 。

an (n ? 1,2,?) ,试归纳出这个数列 1 ? 2an

(2)用演绎法证明 y=x2 是增函数时的大前提是

【例55】如图,S 为△ABC 所在平面外一点,SA⊥ 平面 ABC,平面 SAB⊥ 平面 SBC。 求证:AB⊥ BC。

【例56】已知:空间四边形 ABCD 中,E,F 分别为 BC,CD 的中点,判断直线 EF 与 平面 ABD 的关系,并证明你的结论. 直线 BD 和平面 ABD 的位置关系是平行

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【例57】设二次函数 f(x)=Ax2+bx+c (A,b,c∈ R,A≠0)满足条件: ① x∈ 时,f(x-4)=f(2-x),且 f(x)≥x;② x∈ 当 R 当 (0,2)时,f(x)≤ ( ③ f(x)在 R 上的最小值为 0。 求最大值 m(m>1),使得存在 t∈ R,只要 x∈ [1,m],就有 f(x+t)≤x.

x ?1 2 ) 2

m 【例58】规定: Cx ?

x( x ? 1) ??? ( x ? m ? 1) 0 ,其中 x ? R , m 是正整数,且 Cx ? 1 ,这是组 m!

m 合数 Cn (n , 是正整数,且 m ≤n) 的一种推广. m

① C?15 的值; 求 5
m n m m m ② 组合数的两个性质( Cn ? Cn ?m , Cn ? Cn ?1 ? Cn?1 )是否都能推广到 Cxm ( x ?R, m

是正整数)的情形?说明理由;
m ③ 已知组合数 Cn 是正整数,证明:当 x ? Z , m 是正整数时, Cxm ? Z .

【例59】指出下面推理中的大前提和小前提。 (1)5 与 2 2 可以比较大小; (2)直线 a, b, c, 若a // b, c // b,则a // c 。

【例60】已知函数 y ? 成立,且

f (x) , 对任意的两个不相等的实数 x1 , x2 , 都有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )

f (0) ? 0 ,求 f (?2006 ) ? f (?2005)? f (2005) ? f (2006 ) 的值。

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【例61】已知 α、β 是锐角, ? ? ? ?

?
2

,且满足 3sin ?

? sin( 2? ? ? ) 。

(1)求证: tan(? ? ? ) ? 2 tan? ; (2)求证: tan ? ?
2 4

,并求等号成立时 tan? , tan ? 的值。

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