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3、函数的奇偶性与周期性


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函数的奇偶性与周期性
1、奇偶性

1.1 奇偶性的定义
首先应清楚,奇偶性是一个函数在其整个定义域内具备的性质,具体而言: 对定义域内的任意自变量 x (1)若 f(-x)=____,则该函数为偶函数;图像特征:偶函数图像关于____对称; (2)若 f(-x

)=____,则为奇函数,图像特征:奇函数图像关于____对称; 说明: ? 对任意函数的奇偶性可分为四种 (2)是偶函数;

(1) 是奇函数;

(3)是非奇非偶函数;如 y ? 2 x ? 3 ;(4)既是奇函数又是偶函数;如 y ? 0

[学大名师指点]:
从奇偶性的定义可以看出,一个函数具备奇偶性的前提(必备条件)是它的定义域 关于原点对称!

1.2 函数奇偶性的判断方法
〔1〕求出定义域,判断定义域是否关于原点对称,若不对称则不具备奇偶性,无需进行后 面步骤; 〔2〕求 f (? x) ;即将原函数解析式中的 x 均换为-x; 〔3〕 比较 f (? x)与f ( x) 的关系,二者相等则为偶函数,二者互为相反数则为奇函数。

[学大名师指点]:对于奇函数,还有一种等价的判定方法:
1

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若 f ( x ) ? f ( ? x ) ? 0 则函数是奇函数,在某些情况下,此法更为方便 例: 判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)= 1-x2+ x2-1; (2)f(x)= 3-2x+ 2x-3; (3)f(x)=3x-3 x;


(4)f(x)=

4-x2 ; |x+3|-3

2 ? ?x +x,x>0, ? (5)f(x)= 2 ?x -x,x<0. ?

(6) f ( x ) ? lg( x ? 1 ? x )
2

1.3 奇偶性的应用
[学大名师指点]:(1)奇函数在对称区间上的单调性相同;而偶函数则相反;
(2)若 f ( x) 是奇函数,且定义域内包括 0,则必有 f (0) ? 0 ,也就是说函数图像必过原 点。这个性质有什么用? 例 1: f ( x) ? log a ( x ?

x 2 ? 2a 2 )是奇函数,则a的值是 ____

.

例 2 偶函数 f ( x) 定义域为 R, 且在 (-∞, 0]上单调递减, 求满足 f ( x ? 3) > f ( x ? 1) 的

x 的集合是_______________.
例 3 函数 f ( x) 在 R 上为奇函数,且在(-1,0)上是增函数,试比较 f ( ) , f ( ) , f (1) 的大小关系_________________.

1 3

2 3

[学大名师指点]:性质:
(1)“奇+奇”是奇,“奇-奇”是奇,“奇· 奇”是偶,“奇÷ 奇”是偶; (2)“偶+偶”是偶,“偶-偶”是偶,“偶· 偶”是偶,“偶÷ 偶”是偶; (3)“奇· 偶”是奇,“奇÷ 偶”是奇. 课堂练习
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1.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 A. y ? ? x 3 , x ? R B. y ? sin x, x ? R C. y ? x, x ? R

x D. y ? ( ) , x ? R

1 2

2.已知 a ? R ,函数 f ( x) ? sin x? | a |, x ? R 为奇函数,则 a= (A)0 (B)1 (C)-1 (D)±1

3、设函数 f ( x)(x ? R) 为奇函数, f (1) ?

1 , f ( x ? 2) ? f ( x) ? f (2), 则 f (5) ? 2

A.0

B.1

C.

5 2

D.5

4、函数① f ( x) ? x ?

1 x

② f ( x) ? x ? 1



f ( x) ? x 4 ? x 2 ? 1 ④ f ( x) ? x 2 ? 1, x ? ?? 10,10?
1? x 1? x

⑤ f ( x) ? 0



f ( x) ? (1 ? x) 3 ? 3(1 ? x 2 ) ? 2

⑦ f ( x) ? (1 ? x) ?

上述函数中为奇函数的是( A. ①⑥⑦ B.①⑥

) C.③⑥ D.①②

5、设奇函数 f(x)的定义域为[-5,5].若当 x∈[0,5]时, f(x) 的 图 象 如 右 图 , 则 不 等 式 f(x)<0 的 解 集 是 _________________。
6.设

.

f ? x ? 是定义在R上的奇函数,当 x ? 0 时, f ? x ? ? 2x2 ? x ,则 f ?1? ? ()
A-3 B-1 C 1 D 3

7.奇函数 f ( x ) 在区间 [3 , 7] 上是增函数且最小值是5, 那么 f ( x ) 在区间 [-7, -3 ] 上 (



A.是增函数且最小值为-5 C.是减函数且最小值为-5

B.是增函数且最大值是-5 D.是减函数且最大值是-5

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8.已知函数 f ( x ) = x +a x +b x-8,且 f ( 2) =0,则 f (?2) 等于()
5 3

A.-16

B.-18

C.-10

D.10

9.若 f ( x ) 在[-5,5]上是奇函数,且 f (3) < f (1) ,则(



A. f (?1) < f (1) B. f (0) > f (1) C. f (?1) < f (?3)

D. f (?3) > f (?5)

10.









f?

? ?x

? x

? a

?

? x 0?

, a

? ga ? x ? ? ? x ? 1?

x ?1 x ?1



2 ? ?? x ? x h ? x? ? ? 2 x ?x ? ?

? x ? 0? ,则 f ? x ? , g ? x ? , h ? x ? 的奇偶性依次为() ? x ? 0?
B.非奇非偶函数,奇函数,偶函数 D.奇函数,非奇非偶函数,奇函数

A.奇函数,偶函数,奇函数 C.奇函数,奇函数,奇函数

11 、 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 f ( x ) 满 足 : 对 任 意 的

x1 , x2 ?[0, ??)( x1 ? x2 ) , 有

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 .则() x2 ? x1
A. f (3) ? f (?2) ? f (1) B. f (1) ? f (?2) ? f (3)

C. f (?2) ? f (1) ? f (3) D. f (3) ? f (1) ? f (?2)

2、函数的周期性

2.1 周期性的定义
若 T 为非零常数,对于定义域内的任意的 x,使 f ( x ? T ) ? f ( x) 恒成立,则 f(x)叫做 周期函数,T 叫做这个函数的一个周期,且 kT(K 为整数)均为函数的周期。 例如,若 T=2 是函数的最小正周期,即 f(x+2)=f(x)
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则 f(x+4)=f(x+6)=f(x+8)=…f(x+2k)=f(x)

2.2 周期的求法
? 对三角函数型的求周期问题,往往将函数转化为 y= A sin/ cos(? x ?? ) 形式,然后利用 公式 T ?

2? (? ? 0) 来求周期。

?

? 抽象函数的周期的求法
若函数 f ( x ) 满足

f ( x ? a) ?

1 1 (1) , 则周期为 2 a ; 若函数 f ( x ) 满足 f ( x ? a ) ? ? f ( x) f ( x)

(2),则周期为 2 a ;若函数 f ( x ) 满足 f ( x ? a ) ? ? f ( x ) (3),则周期为 2 a ; 周期性与对称性之间的关系 笔记:

例设 f ( x) 是(-∞,+∞)上的奇函数, f ( x ? 2) =- f ( x) ,当 0≤x≤1 时, f ( x) = x , x 则 f (7.5) 等于( A.0.5 ) B.-0.5 C. 1.5 D.-1.5

例、设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且对任意实数 x,恒有 f(x+2)=-f(x).当 x∈[0,2]时, f(x)=2x-x2. (1)求函数的最小正周期;
(2)计算 f(0)+f(1)+f(2)+?+f(2 015).

课堂练习
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1、函数 f ? x ? 对于任意实数 x 满足条件 f ? x ? 2 ? ? __________。

1 ,若 f ?1? ? ?5, 则 f ? f ?5?? ? f ? x?

2、已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2)=-f(x),则,f(6)的值为 ( (A)-1 (B) 0 (C) 1

)

(D)2

3、定义在 R 上的函数 f ( x) 既是偶函数又是周期函数,若 f ( x) 的最小正周期是 ? ,且当

x ? [0,

?
2

] 时, f ( x) ? sin x ,则 f (
1 2

5? ) 的值为 3

A. ?

1 2

B.

C. ?

3 2

D.

3 2

课后技能技巧能力提升:
1.(2015· 洛阳统考)下列函数中,既是偶函数又在(-∞,0)上单调递增的是( A.y=x2 1 C.y=log2 |x| B.y=2|x| D.y=sin x )

2、(2015· 石家庄一模)已知 f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数,若 f(1)<1,f(5) 2a-3 = ,则实数 a 的取值范围为( a+1 A.(-1,4) C.(-1,0) ) B.(-2,0) D.(-1,2) )

3、 已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x-4)=-f(x), 且在区间[0,2]上是增函数, 则( A.f(-25)<f(11)<f(80) C.f(11)<f(80)<f(-25) B.f(80)<f(11)<f(-25) D.f(-25)<f(80)<f(11)

4、已知奇函数 f(x)的定义域为[-2,2],且在区间[-2,0]上递减,求满足 f(1-m)+f(1- m2)<0 的实数 m 的取值范围 5. (2015· 唐山统考)f(x)是 R 上的奇函数, 当 x≥0 时, f(x)=x3+ln(1+x). 则当 x<0 时, f(x)=( ) B.x3+ln(1-x) D.-x3+ln(1-x) )

A.-x3-ln(1-x) C.x3-ln(1-x)

x2+x+1 2 6.(2015· 长春调研)已知函数 f(x)= 2 ,若 f(a)= ,则 f(-a)=( 3 x +1
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7.(2015· 甘肃天水一模)已知函数 f(x)是 R 上的偶函数,g(x)是 R 上的奇函数,且 g(x) =f(x-1),若 f(3)=2,则 f(2 015)的值为( A.2 C.-2 ) B.0 D .± 2

8.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x2+2x,若 f(2-a2)>f(a),则实 数 a 的取值范围是( ) B.(-1,2) D.(-∞,-2)∪(1,+∞)

A.(-∞,-1)∪(2,+∞) C.(-2,1) 二、填空题

9.若函数 f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数 a=________. 10.(2015· 江苏南通二模)设定义在 R 上的函数 f(x)同时满足以下条件:①f(x)+f(-x)= 1? ?3? ?5? 0; ②f(x)=f(x+2); ③当 0≤x≤1 时, f(x)=2x-1, 则 f? ?2?+f(1)+f?2?+f(2)+f?2?=________. 1?x 11.已知 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,且 f(x)-g(x)=? ?2? ,则 f(1), g(0),g(-1)之间的大小关系是______________. 12 . 设 f(x) 是 定 义 在 R 上 且 周 期 为 2 的 函 数 , 在 区 间 [ - 1,1] 上 , f(x) = ax+1,-1≤x<0, ? ? 1? ?3? 其中 a,b∈R.若 f? =f?2?,则(2a+b)2015 的值为________. ?bx+2 2 ? ? ,0≤x≤1, ? ? x+1 三、解答题 -x +2x,x>0, ? ? 13.已知函数 f(x)=?0,x=0, ? ?x2+mx,x<0
2

是奇函数.(1)求实数 m 的值;(2)若函数 f(x)

在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数 a 的取值范围.

14.设 f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当 0≤x≤1 时,f(x)=x. (1)求 f(π)的值; (2)当-4≤x≤4 时,求 f(x)的图象与 x 轴所围成图形的面积; (3)写出(-∞,+∞)内函数 f(x)的单调区间.

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