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期望与方差在生活中的一些应用


对我们的启示

1.知识讲解:

期望

方差

来源

定义

性质

来源

定义

性质

2.例题分析 ——所带来的实际意义

3.小组总结

期望的来源
? 早在17世纪,有一个赌徒向法国著名数学家帕 斯卡挑战,给他出了一道题目:甲乙两个人赌 博,他们两人获胜的机率相等,比赛规则是先 胜三局者为赢家,赢家可以获得100法郎的奖励。 录比赛进行到第三局的时候,甲胜了两局,乙 胜了一局,这时由于某些原因中止了比赛,那 么如何分配这100法郎才比较公平?用概率论的 知识,不难得知,甲获胜的概率为 1/2+(1/2)*(1/2)=3/4,或者分析乙获胜的概率为 (1/2)*(1/2)=1/4。因此由此引出了甲的期望所得 值为100*3/4=75法郎,乙的期望所得值为25法 郎。这个故事里出现了“期望”这个词,数学 期望由此而来。

1.离散型随机变量的期望: 已知随机变量 ξ的分布列为 P (ξ= x k)=p k (k=1,2,…), E ? ? x 1 p 1 ? x 2 p 2 ? ? ? x n p n ? ? 称为ξ的数学期望,简称期望.它刻划了ξ所取值 ? 的平均水平.
2.期望的性质:
E ( a ? ? b ) ? aE ? ? b 其中 a , b 是常数 .

? ? E?? ?i ? ? ? i ?1 ?
n

?
i ?1

n

E? i

方差的来源
? 方差是数理统计里面的概念,多用在分析一组数据的分 布特性用的. 从文字的角度上,一组数的方差中“方”是 指平方,“差”是指数字与这一组数的平均值的差。实际 的计算公式是 方差=(所有的数字其平均值的平方之 和 除以个数减1)之后开根号,例如 数字1 2 3 平均值 为2,方差=(((1-2)^2+(2-2)^2+(3-2)^2)/(3-1))^(1/2)=1 按照这个计算顺序,其实是先求差,后平方,应叫“差 方”(开玩笑的)。 ? 方差的意义,一组数的方差表示了这一组数的分布范 围的大小,即在方差范围内的分布概率可以通过估计 得到。方差越大则这一组数的分布就越分散。

1.离散型随机变量的方差:
D ? ? ? x1 ? E ?

?

2

p1 ? ? x 2 ? E ?

?

2

p2 ? ? ? ? xn ? E?

?

2

pn ? ? 为 ?的 方 差 ,?? ?

D? 为 ?的 标 准 差 .

方差反映了随机变量的取值的稳定和波动, 相对期望的集中或偏离程度 2.方差的性质:
D (a? ? b) ? a D ?
2

其中 a , b 是常数 .
2

D? ? E ?? ? E?

?

? E?

2

? ? E?

?

2

5.常见的离散型随机变量的期望与方差:

(1) 二项分布
? ~ B (n, p )
D ? ? npq 则 E ? ? np , (q ? 1 ? p )

(2) 几何分布

p (? ? k ) ? C n p q
k k

n?k

.

P ?? ? k ? ? g ? k , p ? 则 E? ? 1 p , D? ? q p
2

?q

?1? p?

例1 交5元钱,可以参加一次摸奖,一袋中有同样 大小 的球10个,其中有8个标有1元钱,2个标有 5元钱,摸奖者只能从中任取2个球,他所得的奖励 是所抽2球的钱数之和。求抽奖人获利的数学期望。

解: 设ξ为抽到的2球钱数之和,则ξ的分布列如下:
ξ

2
2882 C
C 4510
2 2

6
C 16 2 C 8 C 10 45
? 6? 16 45
2 1

10
1 C2
2

P

C 10 45
? 10 ? 1 45 ? 3 .6

2

? E? ? 2 ?

28 45

设η为抽奖者获利值,则η= ξ-5,

? E ? ? E ? ? 5 ? ? 1 .4 (元 )

说明: 事实上,任何赌博、彩票都 是不公平的,否则赌场的巨额开 销和业主的高额利润从何而来? 在我国,彩票发行只有当收益主 要用于公益事业时才允许.

例2 某投资者有10万元,现有两种投资方案:一是购买 股票,二是存入银行获取利息.买股票的收益主要取决于 经济形势,假设可分三种状态:形势好(获利40000元)、 形势中等(获利10000元)、形势不好(损失20000元).如 果存入银行,假设年利率8%,即可得利息8000元.又设经 济形势好、中等、不好的概率分别为30%、50%和20%.试 问该投资者应该选择哪一种投资方案?

分析 购买股票的收益与经济形势有关,存入银行的收益 与经济形势无关.因此,要确定选择哪一种方案,就必须通 过计算两种方案对应的收益期望值来进行判断.设ξ1为购 买股票收益, ξ2为存入银行收益.
购买股票
ξ1 P 40000 0.3 10000 0.5 —20000 0.2

E ? 1 ? 40000 ? 0 . 3 ? 10000 ? 0 . 5 ? 20000 ? 0 . 2 ? 13000
D ? 1 ? 4 . 41 ? 10
ξ2 P
8

存入银行
8000 0.5 8000 0.2

8000 0.3

E ? 2 ? 8000

D?2 ? 0

说明:该题是按风险决策中 的期望收益最大准则选择 方案,这种做法有风险存在.

1.期望能帮助我们在实际生活中估算出一个相对 平均的值,为我们在面临各种决策时提供具体的 数据依据,虽然不是完全的准确,但能给我们指 出一个具体的方向
2.方差可以具体的反应一组数据的波动水平,能够反 应出一个事件或事物在某个时间段内的各种情况, 有利于我们更仔细的观察和分析问题后,得出相对 准确的判断和正确的抉择

以上内容均属本小组个人意见,如 有雷同和不同意见,敬请原谅


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