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2016届贵州省贵阳市第一中学高三预测密卷(新课标II卷)数学(文)试题


2016 届贵州省贵阳市第一中学高三预测密卷(新课标 II 卷)数学(文)试题
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分 考试时间 120 分钟

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一

项是符合题目要求的。 )
1.已知复数 z 满足 i ? z (1 ? i ) ,其中 i 为虚数单位,则复数 z 所对应的点在( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ) )

2. 已知集合 A={1,2},B={x|ax﹣1=0},若 A ? B ? B ,则实数 a 的取值个数为( A.0 B.1 C.2 D.3 )

3. 已知等差数列 ?an ? 满足 a2 ? a8 ? 10 , 且 a1 , a 2 , a 4 成等比数列,则 a2016 ? ( A.2014 B.2015 4.下列命题中正确的是( C.2016 ) D.2017

A.命题“ ?x ? R 使得 x 2 ? x ? 1 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R 均有 x 2 ? x ? 1 ? 0 ”. B.若 p 为真命题,q 为假命题,则(?p)∨q 为真命题. C.为了了解高考前高三学生每天的学习时间,现要用系统抽样的方法从某班 50 个学生中抽取一个容量为 10 的样本,已知 50 个学生的编号为 1,2,3?50,若 8 号被选出,则 18 号也会被选出. D.已知 m、n 是两条不同直线,α 、β 是两个不同平面,α ∩β =m,则“ n ? ? ,n⊥m”是“α ⊥β ”的 充分条件. 5. 设 P 是△ ABC 所在平面内的一点,且 AB ? AC ? 4 AP ,则△ PBC 与△ ABC 的面积之比是( A.

??? ? ????
C.

??? ?

)

1 3

B.

1 2

2 3

D.

3 4

6.一个几何体的三视图如图所示,其中主(正)视图是边长为 2 的正三角形,俯视图是正方形,那么该几 何体的侧面积是( ) A. 4 3 ? 4 B. 4 3 C.8 D.12

7. 已知不等式组

表示的平面区域为 D,若直线 y ? ?2 x ? a 与区域 D 有公共点,则 a 的取

值情况是( ) A.有最大值 2,无最小值 C.有最小值 ,最大值 2

B.有最小值 2,无最大值 D.既无最小值,也无最大值



1第

8.已知 f ( x) ? ?

?log 2 ( x ? 1), x ? 2 ,执行如图所示的程序框图, ? f ( x ? 1), x ? 2
) D.5

若输入

A 的值为 f (1) ,则输出的 P 值为( A.2 B .3 C.4

9. 已知函数 f ( x) ? 2sin ? x cos(? x ? ) ( ? ? 0 )的图像的相 对称轴之间的距离等于

? 3

邻两条

? ? 3 , 要得到函数 y ? cos(2 x ? ) ? 的 2 3 2
) B. 向左平移

图象,

只需将函数 y ? f ( x) 的图象( A.向右平移 C.向右平移

? ?
2 4

个单位 个单位

?
2

个单 个单位



D.向左平移

10. 已 知 圆 C : ( x ? 3) 2 ? ( y ? 5) 2 ? 5 , 过 圆 心 C 的 直 线 l 交 圆 C 于 A, B 两 点 , 交 y 轴 于 点 P . 若

??? ? 1 ??? ? PA ? AB ,则直线 l 的方程为( 4
A. x ? 2 y ? 7 ? 0 C. x ? 2 y ? 13 ? 0

)

B. x ? 2 y ? 13 ? 0 或 x ? 2 y ? 7 ? 0 D. x ? 2 y ? 7 ? 0

11.已知 f ( x) 为偶函数,且满足 f ( x) ? f (? x ? 2) ,方程 f ( x) ? 0 在[0,1]内有且只有一个根 则方程 f ( x) ? 0 在区间[-2016,2016]内的根的个数为( A.4032 12.已知双曲线 C: B.4036 C.2016 ) D.2018

1 , 2016

x2 y2 ? ? 1(a ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,若存在 k ,使直线 y ? k ( x ? 1) 与双曲 a2 1 ? a2


线的右支交于 P,Q 两点, 且 ?PF1Q 的周长为 8, 则双曲线的斜率为正的渐近线的倾斜角的取值范围是 ( A. (

? ?

, ) 3 2

B. (

? ?

, ) 6 2

C. (0,

?
6

)

D. (0,

?
3

)

第Ⅱ卷(13-21 为必做题,22-24 为选做题)
二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填写在答题卡相应的题号后 的横线上)

0 ? ,点 B 2, 2 在 13. 已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,左顶点为 A ,左焦点为 F1 ? ? 2,
页 2第

?

?

椭圆 C 上,则椭圆 C 的方程为__________. 14.已知倾斜角为 ? 的直线 l 与直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 垂直,若向量 a , b 满足 a, b ? ? ,

?

?

? ?

? ? ? ? a ? 5 , a ? b ? 2 2 ,则 b =___________.
15. 已知 a,b,c 分别是△ABC 的角 A,B,C 所对的边,且 c=2,C= A=________. 16. 已知函数 f ( x) ? x 2 ? 8ln x ,若存在点 A (t , f (t )) ,使得曲线 y ? f ( x) 在该点附近的左、右的两部分 分别位于曲线在该点处切线的两侧,则 t =__________

?
3

,若 sinC+sin(B﹣A)=2sin2A,则

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 满足:

1 1 1 n2 ? ? ? ? ? (n ? N * ) . a1 a2 an 2

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若 bn ? (?1)
n

4 ? an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an

18. (本小题满分 12 分) 如图,在三棱锥 P﹣ABC 中,底面 ABC 为直角三角形,且∠ACB=90°, ?ABC ? 300 ,AB=2,侧面 PAB 为等 边三角形. (Ⅰ)当 PC ?

3 时,求证: AC ? PB ;

(Ⅱ)当平面 PAB ? 平面 ABC 时,求三棱锥 A ? PBC 的高.



3第

19. (本小题满分 12 分) 某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取 100 名学生,将其数学成绩(均为整数)分成六组[90,100) , [100,110) ,?,[140,150]后得到如下部分频率分布直方图,其中成绩在 [130,150] 的称为“优秀” ,其 它的称为“一般” ,观察图形的信息,回答下列问题:

(1)求分数在[120,130)内的人数及数学成绩“优秀”的人数; (2)用分层抽样的方法在在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为 6 的样本,将该样本看成一个 总体,从中任取 2 人,求至多有 1 人在分数段在分数段[120,130)内的概率. (3)若统计了这 100 名学生的地理成绩后得到如下表格: 数学成绩“优秀’ 地理成绩“优秀” 地理成绩“一般” 总计 10 20 30 数学成绩“一般“ 40 30 70 总计 50 50 100

则能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下,认为“数学成绩是否优秀与地理成绩是否优秀有关系”? 下面的临界值表供参考:



4第

20. (本小题满分 12 分) 已知直线 y ? k ( x ? 1) 与抛物线 C: y 2 ? 2 px 相交于 P,Q 两点,设 P,Q 在该抛物线的准线上的射影分 别是 P ' , Q ' ,则无论 k 为何值,总有 PP ' ? QQ ' ? PQ . (Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)设点 A 为 y 轴上异于原点的任意一点,过点 A 作抛物线 C 的切线 l ,直线 x=3 分别与直线 l 及 x 轴交 于点 M,N,以 MN 为直径作圆 E,过点 A 作圆 E 的切线,切点为 B,试探究:当点 A 在 y 轴上运动(点 A 与 原点不重合)时,线段 AB 的长度是否发生变化?请证明你的结论.



5第

21.(本小题满分 12 分) 设 a ? R ,函数 f ( x) ? ax 2 ? ln x, g ( x) ? e x ? ax . (1)若函数 h( x) ? f ( x) ? 2 x ,讨论 h( x) 的单调性. (2)若 f ( x)?g ( x) ? 0 对 x ? (0, ??) 恒成立,求实数 a 的取值范围.



6第

选做题:请考生在 22~24 三题中任选一题作答,如果多做,按所做的第一题记 分.
22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图所示,过点 P 分别做圆 O 的切线 PA 、 PB 和割线 PCD ,弦 BE 交 CD 于 F ,且 AE // CD (Ⅰ)证明: P 、 B 、 F 、 A 四点共圆; (Ⅱ)若四边形 PBFA 的外接圆的半径为 13 ,且

PC ? CF ? FD ? 3 ,求圆 O 的半径.

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,已知曲线 C1 的极坐标方程

? ? x ? x0 ? 2 ? 是 ρ =2, 把 C1 上各点的纵坐标都压缩为原来的 倍, 得到曲线 C2 ,直线 l 的参数方程是 ? 2 ?y ? y ? 0 ? ?
页 7第

2 t 2 (t 2 t 2

为参数). (Ⅰ)写出曲线 C1 与曲线 C2 的直角坐标方程; (Ⅱ)设 M ( x0 , y0 ) ,直线 l 与曲线 C2 交于 A, B 两点,若 | MA | ? | MB |?

8 ,求点 M 轨迹的直角坐标方程. 3

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x | ? | x ? 1 | . (Ⅰ)若 f ( x) ?| m ? 1 | 恒成立,求实数 m 的最大值 M; (Ⅱ)在(Ⅰ)成立的条件下,正实数 m, n, p 满足 m ? n ? p ?

3 M ,求证: mn ? np ? pm ? 3 . 2



8第

《2016 高考文数预测密卷》新课标 II 卷 参考答案
一、选择题.
1. 【答案】C. 【解析】 z ?

i i (1 ? i ) ?1 ? i ?1 i 1 1 ? ? ? ,对应点为 (? , ? ) ,在第三象限. ,z ? 1 ? i (1 ? i )(1 ? i ) 2 2 2 2 2

考点:复数的除法运算,复数的几何意义,共轭复数的概念. 2. 【答案】D. 【解析】集合 A={1,2},若 A ? B ? B ,即:B? A,则 B ? ? ,B={1},或 B={2}; ①当 B ? ? 时,a=0; ②当 B={1}时,a﹣1=0,解得 a=1; ③当 B={2}时,2a﹣1=0,解得 a= 综上,a 有 3 个值. 考点:集合的运算性质,含参数的方程的求解. 3. 【答案】C. 【解析】设等差数列{an}的公差为 d, ∵ a2 ? a8 ? 10 ∴ 2a5 ? 10, a5 ? 5 ∵ a1 , a 2 , a 4 成等比数列 ∴ a2 ? a1 ? a4 ,即: (5 ? 3d ) 2 ? (5 ? 4d )(5 ? d )
2

1 ; 2

解得

d ? 1 , ∴ a2016 ? 2016

考点:等差数列的通项公式和性质,等比中项的概念. 4. 【答案】C. 【解析】命题“ ?x ? R 使得 x 2 ? x ? 1 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R 均有 x 2 ? x ? 1 ? 0 ” ,故 A 不正确; 若 p 为真命题,q 为假命题,则(?p)∨q 为命假题,故 B 不正确; 由系统抽样的知识知,?18 ? 8 ? 2 ? 5 ,∴C 是正确的; 由“α ∩β =m, n ? ? ,n⊥m”不能推出“α ⊥β ” ,故 D 不正确. 考点:特称命题的否定,简易逻辑,系统抽样,空间中直线与平面,平面与平面的位置关系. 5.【答案】B. 【解析】设 BC 中点为 M,则 AB ? AC ? 2 AM , ∵ AB ? AC ? 4 AP ,∴ AM ? 2 AP ,即:P 是 AM 中点,从而

??? ? ????
??? ?

???? ?

??? ? ????

??? ?

???? ?

S ?PBC 1 ? . S ?ABC 2



9第

考点:向量加法,向量的数乘的定义. 6. 【答案】C. 【解析】由三视图可知,该几何体是一个正四棱锥,侧面是底边长为 2,高为 2 的等腰三角形,所以该几 何体的侧面积为 S ? 4 ?

1 ? 2 ? 2 ? 8. 2

考点:三视图. 7.【答案】A. 【解析】 由约束条件得如图所示的三角形区域, 显然当直线 y ? ?2 x ? a 过点 B( )时,

a 取得最大值为 2;
当直线 y ? ?2 x ? a 过点 A(0, )时,

a 取得最小值,但 A 点不在可行域内;
考点:线性规划. 8.【答案】C. 【解析】f (1) ? f (2) ? f (3) ? log 2 4 ? 2 ,即: 模拟执行程序框图,可得 S=1,满足条件 S≤2,则 P=2,S=1+ = 满足条件 S≤2,则 P=3,S=1+ + = 满足条件 S≤2,则 P=4,S=1+ + + = 不满足条件 S≤2,退出循环体,此时 P=4 考点:程序框图,分段函数求函数值. 9.【答案】D. 【解析】 f ( x) ? 2sin ? x cos(? x ? ) A=2,

? 3

1 3 ? 2sin ? x( cos ? x ? sin ? x) 2 2
? sin ? x cos ? x ? 3 sin 2 ? x

1 3 3 ? sin 2? x ? cos 2? x ? 2 2 2
? 3 ? sin(2? x ? ) ? . 3 2
由题意知 f ( x) 的最小正周期为 T ? ? ,则 ? ? 1 , f ( x) ? sin(2 x ?

?
3

)?

3 . 2



10 第

? ? ? 3 ? ? 3 ? 3 f ( x ? ) ? sin[2( x ? ) ? ] ? ? sin(2 x ? ? ) ? ? cos(2 x ? ) ? 4 4 3 2 3 2 2 3 2
∴要得到函数 y ? cos(2 x ?

?
3

)?

3 的图象,只需将函数 y ? f ( x) 的图象向左平移 2

个单位.

考点:三角恒等变换,三角函数的性质,三角函数的图象变换. 10.【答案】B. 【 解 析 】 由 PA ?

??? ?

? ??? ? 1 ???? 1 ??? AB 知 , PA ? AC , 则 4 2

( x A , y A ? yP ) ?

1 (3 ? x A ,5 ? y A ) ,解得 x A ? 1 , 2
(1,6) ,

代入圆的方程可得 y A ? 4 或 y A ? 6 ,即: A(1 , 4) 或 A 故直线 l 的方程为: x ? 2 y ? 7 ? 0 或 x ? 2 y ? 13 ? 0 . 考点:直线与圆的位置关系,向量的数乘运算的坐标表示. 11. 【答案】A. 【解析】? f (? x) ? f ( x), f ( x) ? f ( ? x ? 2)

? f (? x) ? f (? x ? 2) , f ( x) 是周期为 2 的周期函数且 f ( x) 图象关于直线 x ? 1 对称,
又∵方程 f ( x) ? 0 在[0,1]内有且只有一个根 ∴方程 f ( x) ? 0 在[1,2]内有且只有一个根, 故方程 f ( x) ? 0 在一个周期内有两个根,[-2016,2016]内包括 2016 个周期,共 2016 ? 2 ? 4032 个根. 考点:函数的奇偶性,周期性,对称性的综合应用. 12.【答案】D. 【解析】直线 y ? k ( x ? 1) 经过双曲线的右焦点,∴ ?PF1Q 的周长为 4a ? 2 PQ ,? PQ ?

1 , 2016

2(1 ? a 2 ) , a

? 4a ? 2 PQ ? 4a ?

4 4(1 ? a 2 ) 4 ? ,即: ? 8 , a a a 1 ? a ? 1, 2

又?

?a ? 0 ?1 ? a ? 0
2

解得 0 ? a ? 1 , ?

双曲线的斜率为正的渐近线的方程为: y ?

1 ? a2 , x a

1 1 ? a2 1 ? a2 1 ? ? a ? 1? ? ? ? 1 ? (0, 3) , 2 2 a a a2
页 11 第

从而,此渐近线的倾斜角的取值范围为 (0,

?
3

).

考点:双曲线的定义,双曲线的焦点弦的最小值,双曲线的渐近线.

二、填空题
13.【答案】

x2 y 2 ? ? 1. 8 4 x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) , a 2 b2
① ②

【解析】设椭圆 C 的方程为

0 ? ,所以 a 2 ? b 2 ? 4 . 因为椭圆的左焦点为 F1 ? ? 2,
因为点 B 2, 2 在椭圆 C 上,所以 由①②解得, a ? 2 2 , b ? 2 . 所以椭圆 C 的方程为 考点:椭圆的标准方程. 14.【答案】1 【解析】由已知得 ,? cos ? ?

?

?

4 2 ? ? 1. a 2 b2

x2 y 2 ? ? 1. 8 4

5 , 5

? ? ?2 ?2 ?2 ? ? ? ? ?2 ? ? a ? b ? a ? b ? 2 a ? b cos a, b ,? b ? 2 b ? 3 ? 0 ,解得 b ? 1 .
考点:两条直线的位置关系,两向量的数量积运算. 15.【答案】 【解析】∵sinC=sin(B+A) ,sinC+sin(B﹣A)=2sin2A, ∴sin(A+B)+sin(B﹣A)=2sin2A, 2sinBcosA=4sinAcosA, 当 cosA=0 时,解得 A=

? ; 2

当 cosA≠0 时,sinB=2sinA, 由正弦定理可得:b=2a, 联立, ?
2 2

?a 2 ? b 2 ? ab ? 4 2 3 4 3 解得 a ? ,b ? , 3 3 b ? 2a ?
2

∴b =a +c , ∴B=

? 2

又 C=

?
3

,∴A=

?
6



综上可得:A=

? ? 或 A= . 2 6
12 第

考点:正弦定理、余弦定理、两角和差的正弦公式.


16.【答案】2 【解析】 由 f ( x) ? x 2 ? 8ln x , f ( x) ? 2 x ?
'

8 ,可求得曲线 y ? f ( x) 在点 A 处的切 x

线方程为 y ? (t ? 8ln t ) ? (2t ? )( x ? t ) ,
2

8 t

即: y ? (2t ? ) x ? t ? 8ln t ? 8( x ? 0) ,
2

8 t

记 h( x) ? x ? 8ln x ? [(2t ? ) x ? t ? 8ln t ? 8] ? x ? 8ln x ? (2t ? ) x ? t ? 8ln t ? 8( x ? 0) 则
2 2 2 2

8 t

8 t

8 8 h ' ( x) ? 2 x ? ? (2t ? ) ? x t

4 2( x ? t )( x ? ) t x

若存在点 A (t , f (t )) ,使得曲线 y ? f ( x) 在该点附近的左、右两部分都位于曲线在该点处切线的两侧,则 问题等价于 t 不是极值点, 由二次函数的性质知,当且仅当 t ? 所以 h( x) 在(0,+∞)上递增. 又 h(t ) ? 0 ,所以当 x ? (0, 2) 时, h( x) ? 0 ;当 x ? (2, ??) 时, h( x) ? 0 ,

4 ,即 t ? 2 时,t 不是极值点,即 h ' ( x) ? 0 , t

即存在唯一点 A(2,4+8ln2) ,使得曲线在点 A 附近的左、右两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧. 考点:导数的几何意义,函数的单调性与极值.

三、解答题
17.【答案】(Ⅰ) an ?

?2n, n为偶数, 2 ;(Ⅱ) Tn ? ? . 2n ? 1 ??2n ? 1, n为奇数.

1 1 1 n2 ? ? ? ? (n ? N * ) 【解析】(Ⅰ)∵ ? a1 a2 an 2
∴当 n=1 时,

1 1 ? ,解得 a1 ? 2 . a1 2

当 n≥2 时,

1 1 1 ( n ? 1) 2 ? ?? ? ? (n ? N *) a1 a2 an ?1 2

1 n 2 (n ? 1) 2 2n ? 1 ? ? ? ? an 2 2 2
解得

an ?

2 ,当 n=1 时也成立. 2n ? 1

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得

bn ? (?1) n

4 ? an 4 ? (?1) n ( ? 1) ? (?1) n (4n ? 3) , an an
n ? 2n, 2

当 n 为偶数时, Tn ? ?1 ? 5 ? 9 ? 13 ? 17 ? ? ? ? 4n ? 3? ? 4 ?
页 13 第

当 n 为奇数时, n ? 1 为偶数, Tn ? Tn ?1 ? bn ?1 ? 2(n ? 1) ? (4n ? 1) ? ?2n ? 1. 综上, Tn ? ?

?2n, n为偶数, ??2n ? 1, n为奇数.

考点:由 S n 得表达式求通项公式及由通项公式求 S n .

2 39 18. 【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ) 13 .
【解析】(Ⅰ)由题意得, AC ? 1, BC ? 3, PA ? 2 ,

当 PC ?

3 时, AC 2 ? PC 2 ? PA2 , ? AC ? PC .

又 AC ? BC , CB ? PC ? C ? AC ? 平面 PBC, 从而

AC ? PB .

(Ⅱ)取 AB 中点 O,连接 PO,CO,则 PO ? AB , ∵平面 PAB ? 平面 ABC=AB, PO ? AB , PO ? 平面 PAB, ∴ PO ? 平面 ABC,从而 PO ? OC , ?POC 是直角三角形,

PC ? PO 2 ? OC 2 ? 3 ? 1 ? 2 , ?PBC 是腰长为 2,底边长
为 3 的等腰三角形,

1 13 39 S ?PBC ? ? 3 ? ? 2 2 4
又 S ?ABC ?

1 3 ,由等体积可得 ? 1? 3 ? 2 2

1 3 ? S ?ABC ? OP ? 3 2 39 三棱锥 A ? PBC 的高为: h ? 3 . ? 2 ? 1 13 39 ? S ?PBC 3 4
考点:两条直线垂直的判定,两平面垂直的性质定理,等体积法求三棱锥的高. 19. 【答案】 (1)30,30; (2) ;(3) 能在犯错误概率不超过 0.05 的前提下,认为“数学成绩是否优秀与 地理成绩是否优秀有关系” . 【解析】 (1)分数在[120,130)内的频率为 1﹣(0.1+0.15+0.15+0.25+0.05)=1﹣0.7=0.3; 分数在[130,150]内的频率为 0.25+0.05=0.3; 所以分数在[120,130)内的人数及数学成绩“优秀”的人数均为 100 ? 0.3 ? 30 . (2)依题意,[110,120)分数段的人数为 100×0.15=15(人) , [120,130)分数段的人数为 100×0.3=30(人) ;
页 14 第

∵用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为 6 的样本, ∴需在[110,120)分数段内抽取 2 人,并分别记为 m,n; 在[120,130)分数段内抽取 4 人,并分别记为 a,b,c,d; 设“从样本中任取 2 人,至多有 1 人在分数段[120,130)内”为事件 A, 则基本事件有(m,n) , (m,a) ,?, (m,d) , (n,a) ,?, (n,d) , (a,b) ,?, (c,d)共 15 种; 则事件 A 包含的基本事件有(m,n) , (m,a) , (m,b) , (m,c) , (m,d) , (n,a) , (n,b) , (n,c) , (n, d)共 9 种; ∴P(A)= = .
2

(3)

100 ? ?10 ? 30 ? 20 ? 40 ? K ? ? 4.762 ? 3.841 ,所以能在犯错误概率不超过 0.05 的前提下,认为 30 ? 70 ? 50 ? 50
2

“数学成绩是否优秀与地理成绩是否优秀有关系” . 考点:频率分布直方图;分层抽样方法,古典概型,独立性检验. 20.【答案】(I) y 2 ? 4 x ;(II)线段 AB 的长度不发生变化. 【解析】(I)设抛物线的焦点为 F,则 PP ? QQ ? PF ? QF ,
' '

∵ PP ? QQ ? PQ ∴直线 y ? k ( x ? 1) 过抛物线的焦点,
' '

从而抛物线的焦点为(1,0),抛物线方程为: y 2 ? 4 x . (II)设 A(0,b),切线 l 的方程为 y=kx+b, 联立方程组 ,消元得 k x +(2kb﹣4)x+b =0,
2 2 2

∵直线 l 与抛物线 C 相切, ∴△=(2kb﹣4)2﹣4k2b2=0,即 kb=1.∴k= . ∴直线 l 的方程为 y= x+b. 令 x=3 得 y=b+ . ∴M(3,b+ ),N(3,0).

∴圆 E 的圆心为 E(3,

b 3 b 3 ? ),半径 r= ? 2 2b 2 2b

∴AE2=9+(

)2.

∵AB 是圆 E 的切线,∴AB2=AE2﹣BE2=AE2﹣r2=6. ∴AB= 6 . 即点 A 在 y 轴上运动(点 A 与原点不重合)时,线段 AB 的长度不发生变化.
页 15 第

考点:抛物线的定义,直线与抛物线的位置关系,直线与圆的位置关系. 21. 【答案】 (1)见解析; (2) 1

2e
【解析】 (1) h ( x) ?
'

?a?e

.

2ax 2 ? 2 x ? 1 ( x ? 0) x
?2 ? 4 ? 8a ?1 ? 1 ? 2a , ? 4a 2a

①当 a>0 时, ? ? 4 ? 8a ? 0 , x ?

∴ h( x) 在 (0,

?1 ? 1 ? 2a ?1 ? 1 ? 2a ) 单调递减,在 ( , ??) 单调递增; 2a 2a
2x ?1 1 1 ,∴ h( x) 在 (0, ) 单调递减,在 ( , ??) 单调递增; x 2 2

②当 a=0 时, h ' ( x) ? ③当 ?

?2 ? 4 ? 8a ?1 ? 1 ? 2a 1 ? ? a ? 0 时, ? ? 4 ? 8a ? 0 , x ? 4a 2a 2 ?1 ? 1 ? 2a ?1 ? 1 ? 2a )和( , ??) 单调递减, 2a 2a

∴ h( x) 在 (0,

在(

?1 ? 1 ? 2a ?1 ? 1 ? 2a , ) 单调递增; 2a 2a
1 ' 时, ? ? 4 ? 8a ? 0 , h ( x) ? 0 恒成立,此时函数单调递减. 2 ln x ) max , x2

④当 a ? ?

(2)若 f ( x) ? 0 对 x ? (0, ??) 恒成立,即 ax 2 ? ln x ? 0 对 x ? (0, ??) 恒成立,则 a ? ( 设 h( x ) ?

ln x 1 ? 2 ln x , ( x ? 0) ,则 h?( x) ? 2 x x3
1 2 1

当 0 ? x ? e 时, h?( x) ? 0 ,函数 h( x) 递增;当 x ? e 2 时, h?( x) ? 0 ,函数 h( x) 递减,所以当 x ? 0 时,

h( x) max ? h(e 2 ) ?

1

1 1 ,∴ a ? . 2e 2e

∵ h( x) 无最小值,∴ f ( x) ? 0 对 x ? (0, ??) 恒成立不可能. ∵ f ( x)?g ( x) ? 0 对 x ? (0, ??) 恒成立,∴ g ( x) ? e ? ax ? 0 ,即 a ?
x

ex 对 x ? (0, ??) 恒成立. x

ex e x ( x ? 1) ? 设 H ( x) ? ,∴ H ( x) ? ,当 0 ? x ? 1 时, H ?( x) ? 0 ,函数 H ( x) 递减; x x2
当 x ? 1 时, H ?( x) ? 0 ,函数 H ( x) 递增,所以当 x ? 0 时, H ( x) min ? H (1) ? e ,∴ a ? e .



16 第

综上可得,

1 ? a ? e. 2e

考点:应用导数讨论函数的单调性,求最值,不等式恒成立问题. 22.【答案】 (Ⅰ)见解析; (Ⅱ)5. 【解析】 (Ⅰ)证明:连接 AB, ∵ AE // CD ,??PFB ? ?AEB . 又? PA 与圆 O 切于点 A, ??PAB ? ?AEB ,??PAB ? ?PFB . 又 A,F 在线段 PB 的同侧,∴ P、B、F、A 四点共圆. (II)因为 PA、PB 是圆 O 的切线,所以 P、B、O、A 四点共圆, 由 ?PAB 外接圆的唯一性可得 P、B、F、A、O 共圆, 四边形 PBFA 的外接圆就是四边形 PBOA 的外接圆,

? OP 是该外接圆的直径,即: OP ? 2 13 .
由切割线定理可得

PA2 ? PC ? PD ? 3 ? 9 ? 27
设圆 O 的半径为 r,

? r ? OP 2 ? PA2 ? 52 ? 27 ? 5 ,即:圆 O 的半径为 5.
考点:四点共圆的证明,弦切角定理,切割线定理. 23.【答案】 (Ⅰ) C 1: x ? y ? 2, C2 :
2 2

x2 x2 y 2 (Ⅱ) ? y2 ? 1; ? ? 1 (取夹在平行直线 y ? x ? 3 之间 2 6 3

的两段弧). 【解析】 (Ⅰ) C 1: x 2 ? y 2 ? 2,

? x' ? x ' ? ? ?x ? x ' ' 设点 P ( x , y ) 是曲线 C2 上任一点,则 ? 解得 ? 2 ' ' y ? ?y ? ?y ? 2y ? 2
∴曲线 C2 的直角坐标方程为:

x2 ? y 2 ? 1. 2 3t 2 2 2 ? 2tx0 ? 2 2ty0 ? x0 ? 2 y0 ?2 ? 0, 2

(II)由直线 l 与曲线 C2 相交可得:

2 2 x0 ? 2 y0 ?2 8 8 2 2 |? ,即: x0 ? 2 y0 ?6, | MA | ? | MB |? ?| 3 3 3 2

x 2 ? 2 y 2 ? 6 表示一椭圆,
页 17 第

x2 取 y ? x ? m 代入 ? y 2 ? 1 ,得: 3 x 2 ? 4mx ? 2m 2 ? 2 ? 0 , 2
由? ? 0得? 3 ? m ? 3 , 故点 M 的轨迹是椭圆 x ? 2 y ? 6 夹在平行直线 y ? x ? 3 之间的两段弧.
2 2

考点:极坐标方程与直角坐标方程的互化,直角坐标的伸缩变换,直线的参数方程中参数的几何意义,直 线与椭圆的位置关系. 24. 【答案】 (Ⅰ)2; (Ⅱ)见解析.

?1 ? 2 x, x ? 0 ? 0 ? x ? 1 ,所以 f ( x) min ? 1 , 【解析】 (Ⅰ)由已知可得 f ( x) ? ?1, ?2 x ? 1, x ? 1 ?
由题意知,只需 | m ? 1|? 1 ,解得 ?1 ? m ? 1 ? 1 ,? 0 ? m ? 2 ,. 所以实数 m 的最大值 M ? 2 . (Ⅱ)证明:∵ m ? n ? p ? 3 , ∴ (m ? n ? p ) ? m ? n ? p ? 2mn ? 2np ? 2mp ? 9 ,
2 2 2 2

∵ m, n, p 为正实数, ∴由均值不等式,得 m 2 ? n 2 ? 2mn (当且仅当 m ? n 时取等号) , , n 2 ? p 2 ? 2np (当且仅当 n ? p 时取等号) , p 2 ? m 2 ? 2 pm (当且仅当 p ? m 时取等号) ∴ m ? n ? p ? mn ? np ? pm (当且仅当 m ? n ? p 时取等号) ,
2 2 2

∴ (m ? n ? p ) ? m ? n ? p ? 2mn ? 2np ? 2 pm ? 9 ? 3mn ? 3np ? 3 pm ,
2 2 2 2

∴ mn ? np ? pm ? 3 (当且仅当 m ? n ? p 时取等号) . 考点:1、含绝对值的不等式的解法;2、基本不等式.



18 第

典 题 透 析 : 《2016 高考文数预测密卷》新课标 II 卷
原题:
21.设 a ? R ,函数 f ( x) ? ax 2 ? ln x, g ( x) ? e x ? ax . (1)若函数 h( x) ? f ( x) ? 2 x ,讨论 h( x) 的单调性. (2)若 f ( x)?g ( x) ? 0 对 x ? (0, ??) 恒成立,求实数 a 的取值范围.

【透析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及不等式的恒成立问题,这都是高考中的常见问题,
第一问中利用导数研究函数的单调性考察了学生的分类讨论的能力,是中档题,对于第二问不等式在给定 区间上的恒成立,首先要注意分析不等式的结构特征——乘积大于零,可分别讨论函数 f ? x ? , g ? x ? 的符 号,通过分离参数构造新函数,分别研究它们的单调性得到其在 ? 0, ?? ? 上的极值、最值,即可求出实数 a 的范围,考察了学生观察,转化,构造的能力.

具体过程如下:
(1) h ( x) ?
'

2ax 2 ? 2 x ? 1 ( x ? 0) x
?2 ? 4 ? 8a ?1 ? 1 ? 2a , ? 4a 2a

①当 a>0 时, ? ? 4 ? 8a ? 0 , x ?

∴ h( x) 在 (0,

?1 ? 1 ? 2a ?1 ? 1 ? 2a ) 单调递减,在 ( , ??) 单调递增; 2a 2a
2x ?1 1 1 ,∴ h( x) 在 (0, ) 单调递减,在 ( , ??) 单调递增; x 2 2

②当 a=0 时, h ' ( x) ? ③当 ?

?2 ? 4 ? 8a ?1 ? 1 ? 2a 1 ? ? a ? 0 时, ? ? 4 ? 8a ? 0 , x ? 4a 2a 2 ?1 ? 1 ? 2a ?1 ? 1 ? 2a )和( , ??) 单调递减, 2a 2a

∴ h( x) 在 (0,

在(

?1 ? 1 ? 2a ?1 ? 1 ? 2a , ) 单调递增; 2a 2a
1 ' 时, ? ? 4 ? 8a ? 0 , h ( x) ? 0 恒成立,此时函数单调递减. 2 ln x ) max , x2

④当 a ? ?

(2)若 f ( x) ? 0 对 x ? (0, ??) 恒成立,即 ax 2 ? ln x ? 0 对 x ? (0, ??) 恒成立,则 a ? ( 设 h( x ) ?

ln x 1 ? 2 ln x , ( x ? 0) ,则 h?( x) ? 2 x x3
1 1

当 0 ? x ? e 2 时, h?( x) ? 0 ,函数 h( x) 递增;当 x ? e 2 时, h?( x) ? 0 ,函数 h( x) 递减,所以当 x ? 0 时,
页 19 第

h( x) max ? h(e ) ?

1 2

1 1 ,∴ a ? . 2e 2e

∵ h( x) 无最小值,∴ f ( x) ? 0 对 x ? (0, ??) 恒成立不可能. ∵ f ( x)?g ( x) ? 0 对 x ? (0, ??) 恒成立,∴ g ( x) ? e ? ax ? 0 ,即 a ?
x

ex 对 x ? (0, ??) 恒成立. x

设 H ( x) ?

ex e x ( x ? 1) ,∴ H ?( x) ? ,当 0 ? x ? 1 时, H ?( x) ? 0 ,函数 H ( x) 递减; x x2

当 x ? 1 时, H ?( x) ? 0 ,函数 H ( x) 递增,所以当 x ? 0 时, H ( x) min ? H (1) ? e ,∴ a ? e . 综上可得,

1 ? a ? e. 2e



20 第


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