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江西省新余市第一中学2015-2016学年高二数学上学期第三次段考试题 理


2015—2016 学年新余一中高二年级上学期第三次段考 数学试卷(理)
完成时间:120 分钟 第Ⅰ卷 (选择题 共 6 0 分) 一、选择题(本大题共有 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是 符合题目要求的. ) 2 1.数列{an}的通项公式 an=3n -28n,则数列{an}各项中最小项是( ) A.第 4 项 B

.第 5 项 C.第 6 项 D.第 7 项 2.已知 ?an ? 为等差数列, a2 ? a6 ? 10 ,则 a 4 等于( A.5 B.4 C.7 ) D.6 总分:150 分

3.设 ??? C 的内角 ? , ? , C 的对边分别为 a , b , c .若 a ? 2 , c ? 2 3 , cos ? ? 则b ? ( A. 3 ) B.3 C. 2 2 D.2

3 ,且 b ? c , 2

2 1 2 4.已知 x>0,y>0,且 + =1,若 x+2y>m +2m 恒成立,则实数 m 的取值范围是 (

x y

).

A.(-∞,-2]∪[4,+∞) C.( -2,4) 5.若 n 是正奇数,则 7 + C 1 n7
n n ?1

B.(-∞,-4]∪[2,+∞) D.(- 4,2)
n?2

+ C2 n7

?1 +?C n n 7 被 9 除的余数为





A.2 B.5 C.7 D.8 6.已知数列{an}满足 a1=0,an+1=an+2n,则 a2 015 等于( ) A.2 014×2 013 B. 2 015×2 014 C.2 013×2 012 D.2 015×2 016 7.设离散型随机变量 ? 的概率分布 列如下,则下列各式中成立的是 ( 2 ) 3

?
P A. P(? ? 3) ? 1

-1 0.10

0

1

0.10 0.20 0.40 a B. P(? ? ?1) ? 1 C. P(? ? 1.5) ? 0.4 D. P(? ? 0) ? 0

8 .一射手对同一目标独立地进行 4 次射击,已知至少命中一次的概率为

80 ,则此射手的命中率是 81
( )

A.

1 3

B.

2 3

C.

1 4

D.

2 5

9.在航天员进行的一项太空实验中,要先后实施 6 个程序,其中程序 A 只能出 现在第一步或最后一步, 程序 B 和 C 在实施时必须相邻,则在该实验中程序顺序的编排方法共有( ) A.144 种 B.96 种 C.48 种 D.34 种 10. 已知一元二次不等式 f (x)<0 的解集为 ? x |x <-1或x > A. ?x |x<-1或x>lg2 C.

1 2

? ,则 f (10x )>0 的解集为(

)

?

B. ?x |-1<x<lg2 D.

?x |x<-lg2 ?

?x |x>-lg2

? ?
1

11.已知随机变量 X ? B (20, ) ,要使 P(X ? k ) 的值最大,则 k ? (

1 3



A.5 或 6 B.6 或 7 C.7 D.7 或 8 12.如图,某建筑工地搭建的脚手架局部类似于 4×2×3 的长方体框架(由 24 个棱长为 l 个单位长度的正方体框架组合而成) .一建筑工人从 A 点沿脚 手架到点 B,每步走 l 个单位长度,且不连续向上攀登,则 其行走的最近路 线共有 ( ) A.150 条 B.525 条 C.840 条 D.1260 条

第Ⅱ卷 ( 共 90 分 ) 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案填在答题卡上的相应位置. ) 13.从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数,事件 A 为“取到的 2 个数之和为偶数”,事件 B 为“取到的 2 个 数均为偶数”,则 P(B|A)=

? x ? y ? 5 ≥ 0, ? 14、已知 x,y 满足约束条件 ? x ? y ≥ 0, 则 z ? 2 x ? 4 y 的最大值为 ? x ≤ 3. ?
15.亲情教育越来越受到重视.在公益机构的这类活动中,有一个环节要求父(母)与子(女)各自从 1, 2,3,4,5 中随机挑选一个数以观测两代人之间的默契程度.若所选数据之差的绝对值等于 1,则称为“基 本默契” ,结果为“基本默契”的概率为 . 1 16. 如图1所示的 三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”, 1 它们是由整数的倒数组成的,第 n 行有 n 个数且两端

1 的数均为 ? n≥2? ,每个数是它下一行左右相邻两数 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 的和,如 ? ? , ? ? , ? ? ,?, 1 2 2 2 3 6 3 4 12
则第10行第4个数(从左往右数)为 。

1 2

1 2

1 3 1 4 1 5 1 20 1 12

1 6 1 12 1 30

1 3 1 4 1 20

1 5

???????????????

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17.(本小题满分 10 分)

1? ? 设 ? 2 x ? ? ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? a10 x10 . 2? ? (1)求 a0 ? a1 ? a2 ? ?? an ;
(2)记 an ( 0 ? n ? 10 )的最大值.
2

10

18.(本小题满分 12 分)已知等比数列{an}满足 2a1+a3=3a2,且 a3+2 是 a2,a4 的等差中项. (1)求数列{an}的通项公式; 1 n+1 (2)若 bn=an+log2 ,Sn=b1+b2+?+bn,求使 Sn-2 +47<0 成立的 n 的最小值.

an

19.(本 小题满分 12 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 sin C (1)求 的值; sin A 1 (2)若 cos B= ,b=2,求△ABC 的面积 S. 4

cos A-2cos C 2c-a = . cos B b

20.(本小题满分 12 分)在一个选拔项目中,每个选手都需要进行四轮考核,每轮设有一个问题,能正确 回答者进入下一轮考核,否则被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为 5 4 3 1 、 、 、 ,且各轮问题能否正确回答互不影响. 6 5 4 3 (1)求该选手至多进入第三轮考核的概率; y (2)该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为 X,求随机变量 X 的分布列和数学期望. O 海 岸 线 21.(本小题满分 12 分)在某海滨城市附近海面有一台风,据监测,当 前台风中心位于城市 O (如图) 的东偏南 ? (cos ? ? 2 ) 方向 300km 的海 10 面 P 处,并以 20km/h 的速度向西偏北 45 ? 方向移动,台风侵袭的范围 为圆形区域,当前半径为 60km,并以 10km/h 的速度不断增大,问几 小时后该 城市开始受到台风的侵袭? Q r(t ))

北 东 O

?
O

x

45 ?

P
3

22. (本小题满分 12 分)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,n ? ? ? . 已知 a1 ? 1 ,a2 ? 时, 4Sn?2 ? 5Sn ? 8Sn?1 ? Sn?1 . (1)求 a4 的值; (2)证明: ?an ?1 ?

3 5 ,a3 ? , 且当 n ? 2 2 4

? ?

1 ? an ? 为等比数列; 2 ?

(3)求数列 ?an ? 的通项公式.

4

班级: 姓名: 考场号: 密 封 线 内 不 要 答 题 ????????????装?????????????订???????????线?????????????

新余一中高二年级上学期第三次段考 数学答题卷(理) 一、选择题(12×5=60 分) 题号 答案 1 B 2 A 3 D 4 D 5 C 6 B 7 C 8 B 9 B 10 C 11 B 12 B

二、填空题(4×5=20 分) 1 13、 14、 ___38 4 三、解答题(共 70 分)

15、

8 25

16、

1 840

17(1) ( ) ,(2) a2 ? 2880 2 18 解 (1)设等比数列{an}的公比为 q,依题意,有
10

5

?2a1+a3=3a2, ? ? ?a2+a4=2?a3+2?, ?
2

?a1?2+q ?=3a1q, ? 即? 3 2 ?a1?q+q ?=2a1q +4, ?

2

① ②
n-1

由①得 q -3q+2=0,解 得 q=1 或 q=2. 当 q=1 时,不合题意,舍去; 当 q=2 时,代入②得 a1=2,所以 an=2·2 故所求数 列{an}的通项公式 an=2 (n∈N+). 1 1 n n (2)bn=an+log2 =2 +log2 n=2 -n. an 2 所以 Sn=2 -1+2 -2+2 -3+?+2 -n=(2+2 +2 +?+2 )- (1+2+3+?+n) = 2?1-2 ? n?1+n? n+1 1 1 2 - =2 -2- n- n . 1-2 2 2 2
n+1 n
2 3

=2 .

n

n

n

2

3

n

因为 Sn-2

n+1

+47<0,

所以 2

1 1 2 n+1 2 -2- n- n -2 +47<0,即 n +n-90>0,解得 n>9 或 n<-10. 2 2
n+1

因为 n∈N+,故使 Sn-2

+47<0 成立的正整数 n 的最小值为 10.

19 解 (1)由正弦定理,设

b c 2c-a 2ksin C-ksin A 2sin C-sin A = = =k,则 = = . sin A sin B sin C b ksin B sin B cos A-2cos C 2sin C-sin A 所以 = . 即(cos A-2cos C)sin B=(2sin C-sin A)cos B, cos B sin B
sin C 化简可得 sin(A+B)=2sin(B+C).又 A+B+C=π ,所以 sin C=2sin A. 因此 = 2. sin A sin C 1 2 2 2 (2)由 =2,得 c=2a. 由余弦定理 b =a +c -2accos B 及 cos B= ,b=2, sin A 4 1 1 15 2 2 2 得 4=a +4a -4a × ,解得 a=1,从而 c=2. 又因为 cos B= ,且 0<B<π ,所以 sin B= . 4 4 4 1 1 15 15 因此 S= acsin B= ×1×2× = . 2 2 4 4

a

学校:

5 4 3 1 20 解:由已知 P(A1)= ,P(A2)= ,P(A3)= ,P(A4)= .. 6 5 4 3 (1)设事件 C 表示“该选手至多进入第三轮考核”,

5

则 P(C)=P( A 1+A1 A 2+A1A2 A 3)=P( A 1)+P(A1 A 2)+P(A1A2 A 3) 1 5 1 5 4 ? 3? 1 = + × + × ×?1- ?= . 6 6 5 6 5 ? 4? 2

(2)X 的可能取值为 1,2,3,4.

P(X=1)=P( A 1)= , P(X=2)=P(A1 A 2)= ×?1- ?= , 5 P(X=3)=P(A1A2 A 3)= × ×?1- ?= , 4
5 4 6 5 5 ? 6 ? 4? 1 ? 6

1 6

? ?

3?

?

1 6

P(X=4)=P(A1A2A3)= × × = ,
所以 X 的分布列为

5 4 6 5

3 4

1 2

E(X)=3. 21 解:设在 t 时刻台风中心位于点 Q,此时|OP|=300,|PQ|=20t, 台风侵袭范围的圆形区域半径为 r(t)=10t+60, 由 cos? ?

2 7 2 2 ,可知 sin ? ? 1 ? cos ? ? , 10 10
o o o

y

北 东 O

cos∠OPQ=cos(θ -45 )= cosθ cos45 + sinθ sin45

2 2 7 2 2 4 = ? ? ? ? 10 2 10 2 5
在 △OPQ 中,由余弦定理,得 线

O 海 岸

?
O

x

OQ

2

? OP ? PQ ? 2 OP ? PQ cos ?OPQ
2 2

2

2

= 300 ? (20t ) ? 2 ? 300 ? 20t ?

4 5
r(t ))

Q

t ? 90000 = 400t ? 9600
2

若城市 O 受到台风的侵袭,则有|OQ|≤r(t),即

45 ?

P

400t 2 ? 9600 t ? 90000? (10t ? 60) 2 ,
整理,得 t ? 36t ? 288 ? 0 ,解得 12≤t≤24,
2

答:12 小时后该城市开始受到台风的侵袭.
6

22 解析: (1)当 n ? 2 时, 4S4 ? 5S2 ? 8S3 ? S1 ,即 4 ?1 ? 解得: a4 ?

? ?

3 5 ? ? 3? ? 3 5? ? ? a4 ? ? 5 ?1 ? ? ? 8 ?1 ? ? ? ? 1 , 2 4 ? ? 2? ? 2 4?

7 8

(2)因为 4Sn?2 ? 5Sn ? 8Sn?1 ? Sn?1( n ? 2 ) ,所以 4Sn?2 ? 4Sn?1 ? Sn ? Sn?1 ? 4Sn?1 ? 4Sn ( n ? 2 ) ,即

5 ,因为 4a3 ? a1 ? 4 ? ? 1 ? 6 ? 4a2 ,所以 4an?2 ? an ? 4an?1 , 4an?2 ? an ? 4an?1 ( n ? 2 ) 4 1 an ? 2 ? an ?1 4a ? 2a 4a ? a ? 2an ?1 2an ?1 ? an 1 n ?1 2 因为 ? n?2 ? n ?1 n ? ? , 1 4an ?1 ? 2an 4an ?1 ? 2an 2 ? 2an ?1 ? an ? 2 an ?1 ? an 2
所以数列 ?an ?1 ?

? ?

1 1 1 ? an ? 是以 a2 ? a1 ? 1 为首项,公比为 的等比数列 2 2 2 ?

(3)由(2)知:数列 ?an ?1 ?

? ?

1 1 1 ? an ? 是以 a2 ? a1 ? 1 为首项,公比为 的等比数列, 2 2 2 ?

所以 an?1 ?

1 ?1? an ? ? ? 2 ?2?

n ?1



an ?1 ?1? ? ? ?2?

n ?1

? ? ? ? an a ? an ? 是以 1 ? 2 为首项, ? ? 4 ,所以数列 ? n ? n 1 ?1? ?? 1 ? ? ? ? ? ? ? 2 ?2? ?? 2 ? ? ?

公差为 4 的等差数列,所以

an ?1? ? ? ?2?
n

? 2 ? ? n ? 1? ? 4 ? 4n ? 2 ,

?1? ?1? 即 an ? ? 4n ? 2 ? ? ? ? ? ? 2n ? 1? ? ? ? ?2? ? 2?

n

n ?1

?1? ,所以数列 ?an ? 的通项公式是 an ? ? 2n ? 1? ? ? ? ?2?

n ?1

7


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