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高三函数的性质练习题及答案


高三函数的性质练习题
一、选择题(基础热身) 1. 下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的是( A.y=x3 B.y=ln|x| 1 C.y= 2 x D.y=cosx )

2. 已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数, 对任意的 x∈R 都有 f(x+6)=f(x)+2f(3), f(-1)=2, 则 f(2011) =( ) A.1

B.2 C.3 D.4 2x 3.函数 f(x)= 在[1,2]的最大值和最小值分别是( x+1 4 A.3,1 B.1,0 4 2 C.3,3 2 D.1,3 ) )

x 4. 若函数 f(x)= 为奇函数,则 a=( ?2x+1??x-a? 1 A.2 能力提升 ?a-3?x+5?x≤1?, ? ? 5. 已知函数 f(x)=?2a ? ? x ?x>1? 2 B.3 3 C.4 D.1

是(-∞,+∞)上的减函数,则 a 的取值范围是(

)

A.(0,3) B.(0,3] C.(0,2) D.(0,2] 6. 函数 y=f(x)与 y=g(x)有相同的定义域,且都不是常值函数,对于定义域内的任何 x,有 f(x) +f(-x)=0,g(x)· g(-x)=1,且当 x≠0 时,g(x)≠1,则 F(x)=

2 f ( x) +f(x)的奇偶性为( g ( x) ? 1

)

A.奇函数非偶函数 B.偶函数非奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 7. 已知函数 f(x)=ax+logax(a>0 且 a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为 loga2+6,则 a 的 值为( ) 1 A.2 1 B.4 C.2 D.4 )

8.已知关于 x 的函数 y=loga(2-ax)在[0,1]上是减函数,则 a 的取值范围是( A.(0,1) B.(1,2) C.(0,2) D.[2,+∞)

? ?sinπx?0≤x≤1?, 9. 已知函数 f(x)=? 若 a,b,c 互不相等,且 f(a)=f(b)=f(c),则 a+b+c 的 ?log2 010x?x>1?, ?

取值范围是(

)
1

A.(1,2 010) 二、填空题

B.(1,2 011)

C.(2,2 011)

D.[2,2 011]

10.函数 f(x)对于任意实数 x 满足条件 f(x+2)=

1 ,若 f(1)=-5,则 f[f(5)]=________. f ( x)
x?3 ) 的所有 x 之和为 x?4

11.f(x)是连续的偶函数,且当 x>0 时 f(x)是单调函数,则满足 f(x)=f (

________. 12. 函数 f(x)的定义域为 D,若对于任意的 x1,x2∈D,当 x1<x2 时,都有 f(x1)≤f(x2),则称函数 f(x)为定义域 D 上的非减函数. 设函数 f(x)在[0,1]上为非减函数, 且满足以下三个条件: ①f(0)=0,

? x? 1 ?1? ? 5 ? ②f(1-x)+f(x)=1,③f ? ? =2f(x),则 f ? ? +f ? ? 的值为________. ?3? ? 3? ? 12 ?
13.已知函数 y=f(x)的定义域为 R,且对任意的正数 d,都有 f(x+d)<f(x),则满足 f(1-a)<f(a- 1)的 a 的取值范围是________. 三解答题 -2x+b 14.(10 分) 已知定义域为 R 的函数 f(x)= 是奇函数. 2x+1+a (1)求 a,b 的值; (2)若对任意的 t∈R,不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 恒成立,求 k 的取值范围.

2

15.(13 分) 已知函数 f(x)在定义域(0,+∞)上为增函数,且满足 f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1. (1)求 f(9),f(27)的值; (2)解不等式:f(x)+f(x-8)<2.

16.(12 分)已知函数 f(x)的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z},且对于定义域内的任何 x、y,有 f(x-y)=

f ( x) ? f ( y ) ? 1 成立,且 f(a)=1(a 为正常数),当 0<x<2a 时,f(x)>0. f ( y ) ? f ( x)
(1)判断 f(x)的奇偶性; (2)证明 f(x)为周期函数; (3)求 f(x)在[2a,3a]上的最小值和最大值.

3

17.已知函数 y ? f ( x) 的定义域为 R , 且对任意 a, b ? R ,都有 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) ,且当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 恒成立, 证明: (1)函数 y ? f ( x) 是 R 上的减函数; (2)函数 y ? f ( x) 是奇函数。

18.设 a 为实数,函数 f ( x) ? x 2 ? | x ? a | ?1 , x ? R (1)讨论 f ( x) 的奇偶性; (2)求 f ( x) 的最小值。

4

函数的性质参考答案【基础热身】 1 1.B [解析] y=x3 不是偶函数;y= 2在(0,+∞)上单调递减;y=cosx 在(0,+∞)上有增 x 有减. 2. B [解析] 令 x=-3, 则 f(-3+6)=f(-3)+2f(3), 因为 f(x)是偶函数, 所以 f(-3)=f(3), 所以 f(3)=0,所以 f(x+6)=f(x),2011=6×335+1,所以 f(2011)=f(1)=f(-1)=2. 2x 2?x+1?-2 2 3.A [解析] ∵f(x)= = =2- , x+1 x+1 x+1 4 又 f(x)在[1,2]上为增函数,∴f(x)min=f(1)=1,f(x)max=f(2)= ,故选 A. 3 x 4.A [解析] 法一:由已知得 f(x)= 定义域关于原点对称,由于该函数定义域 ?2x+1??x-a? ? ? 1 1 x≠- 且x≠a?,知 a= ,故选 A. 为?x? 2 2 ? ? ? 法二:∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x), x 又 f(x)= 2 , 2x +?1-2a?x-a -x -x 1 则 2 = 2 在函数的定义域内恒成立,可得 a= . 2 2x -?1-2a?x-a 2x +?1-2a?x-a 【能力提升】 5.D [解析] ∵f(x)为(-∞,+∞)上的减函数, a-3<0, ? ?2a>0, ∴? ??a-3?×1+5≥21a, ?

解得 0<a≤2.

6.B [解析] ∵f(x)+f(-x)=0, ∴f(-x)=-f(x). 1 又∵g(x)· g(-x)=1,∴g(-x)= . g?x? 2 2f?x? ∵F(x)= +f(x)=f(x)?g?x?-1+1? ? ? g?x?-1 g?x?+1 =f(x)· . g?x?-1 g?-x?+1 ∴F(-x)=f(-x)· g?-x?-1 1+g?x? 1 +1 g?x? g?x? =-f(x)· =-f(x)· 1 1-g?x? -1 g?x? g?x? g?x?+1 =f(x)· =F(x). g?x?-1 ∴F(x)为偶函数. 7.C [解析] ∵函数 f(x)=ax+logax(a>0 且 a≠1)在[1,2]上具有单调性,因此最大值与最小
5

值之和为 a+a2+loga2=loga2+6,解得 a=2,故选 C. 8.B [解析] 依题意 a>0 且 a≠1, 所以 2-ax 在[0,1]上递减, ? ?a>1, 因此? ?2-a>0, ? 解得 1<a<2,故选 B. 1 9.C [解析] 因为函数 f(x)=sinπx(0≤x≤1)的图象关于直线 x= 对称,不妨令 a<b<c,由 2 a+b 1 f(a)=f(b)可得 = ,即 a+b=1,又因为 0≤sinπx≤1,所以 0<log2 010c<1,解得 1<c<2 010, 2 2 所以 2<a+b+c<2 011,故选 C. 1 1 1 10.- [解析] ∵f(5)= = =f(1)=-5, 5 f?3? 1 f?1? 1 1 ∴f[f(5)]=f(-5)=f(-1)= =- . 5 f?-1+2? ?x+3?时,即①x=x+3时,得 x2+3x-3=0,此时 x 11.-8 [解析] 依题意当满足 f(x)=f? ? 1 x+4 ?x+4? x+3 ?x+3?的所有 x 之和为 +x2=-3.②-x= 时,得 x2+5x+3=0,∴x3+x4=-5.∴满足 f(x)=f? ? x+4 ?x+4? -3+(-5)=-8. x? 1 ?1? 1 ?2? 1 12.1 [解析] 由 f(0)=0,f(1-x)+f(x)=1,f? ?3?=2f(x),得 f(1)=1,f?3?=2,f?3?=2,因 1? ? 5 ? ?2? 1 5 2 ?5? 1 ?1? ? 5 ? 为 < < ,所以 f? ?3?≤f?12?≤f?3?,所以 f?12?=2,所以 f?3?+f?12?=1. 3 12 3 13.(-∞,1) [解析] 因为 d>0 时,f(x+d)<f(x),所以函数 y=f(x)是减函数,所以由 f(1- a)<f(a-1)得 1-a>a-1,解得 a<1,所以 a 的取值范围是(-∞,1). 14.[解答] (1)因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数, -1+b 所以 f(0)=0,即 =0, 2+a -2x+1 解得 b=1,从而有 f(x)= x+1 . 2 +a 又由 f(1)=-f(-1)知 1 - +1 2 -2+1 =- , 4+a 1+a 解得 a=2. -2x+1 1 1 (2)由(1)知 f(x)= x+1 =- + x , 2 2 +1 2 +2 由上式易知 f(x)在(-∞,+∞)上为减函数. 由 f(x)为奇函数,得不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 等价于 f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(-2t2+k), 又 f(x)为减函数, 由上式推得 t2-2t>-2t2+k, 即对一切 t∈R 有 3t2-2t-k>0,
6

1 从而判别式 Δ=4+12k<0,解得 k<- . 3 15.[解答] (1)f(9)=f(3)+f(3)=2, f(27)=f(9)+f(3)=3. (2)∵f(x)+f(x-8)=f[x(x-8)]<f(9), 又函数 f(x)在定义域(0,+∞)上为增函数, x>0, ? ? ∴?x-8>0, 解得 8<x<9. ? ?x?x-8?<9, 即原不等式的解集为{x|8<x<9}. 【难点突破】 16.[解答] (1)∵定义域{x|x≠kπ,k∈Z}关于原点对称, f?a-x?· f?a?+1 又 f(-x)=f[(a-x)-a]= f?a?-f?a-x? f?a?· f?x?+1 f?x?+1 1+ 1+ f?x?-f?a? f?x?-1 2f?x? 1+f?a-x? = = = = =-f(x), 1-f?a-x? f?a?· f?x?+1 1+f?x? -2 1- 1- f?x?-f?a? f?x?-1 对于定义域内的每个 x 值都成立, ∴f(x)为奇函数. f?x?+1 1+ 1-f?x? f?x?+1 f?x-a?+1 1 (2)证明:∵f(x-a)= ,∴f(x-2a)= = =- , 1-f?x? 1-f?x-a? f?x?+1 f?x? 1- 1-f?x? 1 1 ∴f(x-4a)=- = =f(x), ∴函数 f(x)为周期函数. f?x-2a? 1 f?x? (3)设 2a<x<3a,则 0<x-2a<a, 1 ∴由(2)知 f(x-2a)=- >0,∴f(x)<0, f?x? 设 2a<x1<x2<3a,则 0<x2-x1<a, ∴f(x1)<0,f(x2)<0,f(x2-x1)>0, f?x1?· f?x2?+1 ∴f(x1)-f(x2)= >0, f?x2-x1? ∴f(x1)>f(x2),∴f(x)在[2a,3a]上单调递减, f?a?· f?-a?+1 1-f2?a? 又 f(2a)=f(a+a)=f[a-(-a)]= = =0,f(3a)=f(2a+a)=f[2a-(-a)]= f?-a?-f?a? -2f?a? f?2a?· f?-a?+1 1 = =-1. f?-a?-f?2a? -f?a? ∴f(x)在[2a,3a]上的最小值为-1,最大值为 0. 17.证明:(1)设 x1 ? x2 ,则 x1 ? x2 ? 0 ,而 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) ∴ f( x x? 1 )? f ( 1
2

x? 2 x) ?

f ( 1x ?
7

2

x )?

(f 2 x )?

(f 2 x )

∴函数 y ? f ( x) 是 R 上的减函数; (2)由 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) 得 f ( x ? x) ? f ( x) ? f (? x) 即 f ( x) ? f (? x) ? f (0) ,而 f (0) ? 0 ∴ f (? x) ? ? f ( x) ,即函数 y ? f ( x) 是奇函数。 18.解: (1)当 a ? 0 时, f ( x) ? x2 ? | x | ?1为偶函数,
2 当 a ? 0 时, f ( x)? x ? | x? a| ?为非奇非偶函数; 1

(2)当 x ? a 时, f ( x) ? x ? x ? a ? 1 ? ( x ? ) ? a ?
2 2

1 2

3 , 4

1 1 3 时, f ( x) m i n? f ( ) ? a ? , 2 2 4 1 当 a ? 时, f ( x) m i 不存在; n 2 1 2 3 2 当 x ? a 时, f ( x) ? x ? x ? a ? 1 ? ( x ? ) ? a ? , 2 4 1 当 a ? ? 时, f ( x) ? f ( a) ? 2a ? , 1 min 2 1 1 3 当 a ? ? 时, f ( x) m i n? f ( ? ) ? ? a ? 。 2 2 4
当a ?

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