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江西省景德镇市2014届高三第二次质检数学理试卷


景德镇市 2014 届高三第二次质检试题


命题

学(理)

市一中 江 宁 市二中 张勋达 审核 刘倩 昌江一中 叶柔涌 乐一中 许 敏 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟.

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分 1.设集合 M ? {x ? 1 ? x ? 2}, N ? { y y ? a} ,若 M ? N ? ? , 则实数 a 的取值范围一定是 A. ?1 ? a ? 2
2

B.

a?2

C. a ? ?1

D. a ? ?1

2.若 (1 ? i ) ? a 为纯虚数,则实数 a 的值为 A.0 B. ?2 C.1 D. ?1

3. 若命题 P : 对于任意 x ? ? ?1,1? ,有 f ( x) ? 0 ,则对命题 P 的否定是 A.对于任意 x ? ? ?1,1? 有 f ( x) ? 0 B.对于任意 x ? (??, ?1) ? (1, ?) 有 f ( x) ? 0 D.存在 x0 ? ? ?1,1? 使 f ( x0 ) ? 0

C.存在 x0 ? ? ?1,1? 使 f ( x0 ) ? 0

4.在一组样本数据的频率分布直方图中,共有 5 个小长方形,若中间一个小长方形的面积等于其它 4 个小长方形的面积和的 A.56 B.80

2 ,且样本容量为 280,则中间一组的频数为( 5
C.112 D.120

)

5.已知 ? ? ( ????? ) , sin(? ?

?

?

2

3 ) ? ,则 cos? ? 4 5
C. ?

A. ?

2 10

B.

7 2 10

2 7 2 或 10 10

D. ?

7 2 10

6. 函数 y ?

2x ?1 的图像可能是 x ?1

y
2

y
2

y

y

-1 O

x

-1

O

x

-1

O

x
-2

-1

O

x

A

B

C

D

7.等差数列 ?a n ? 中的 a1 、 a4025 是函数 f ( x) ? A. 2 B. 3

1 3 x ? 4 x 2 ? 6 x ? 1 的极值点,则 log 2 a2013 ? 3
D. 5

C. 4

8. 如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,E 是 AB 的 中点,D 是 AA1 的中点,则三棱锥 D ? B1C1 E 的体积 与三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的体积之比是

A1 B1 D

C1

1 4 1 C. 8
A.

1 6 3 D. 8
B.

A E B

C

9.设 F 1 、F 2 分别是双曲线 C:

x2 y2 ? ? 1 的左,右焦点,过 F 1 的直线 l 与双曲线的左支相交于 A、B a 2 b2
2

两点,且三角形 ABF2 是以 ?B 为直角的等腰直角三角形,记双曲线 C 的离心率为 e ,则 e 为( A. 5 ? 2 2



B.

5 2 ? 2 4

C. 5 ? 2 2

D.

5 2 ? 2 4

10 .菱形 ABCD 的边长为

2 3 , ?ABC ? 60? ,沿对角线 AC 折成如图所示的四面体,二面角 3

B ? AC ? D 为 60? , M 为 AC 的中点, P 在线段 DM 上,记 DP ? x , PA ? PB ? y ,则函数
y ? f ( x) 的图像大致为
y
2 2

y
2

y
2

y

A

M
1 1 1 1

B

P C

D

x O
1

x O
1

x O
1

x O
1

A

B

C

D

二、填空题:本大题共 4 小题,第小题 5 分,共 20 分. 11.已知程序框图如图,则输出的 i= .

12. 在 Rt ?ABC 中,AB ? 1,BC ? 2 ,AC ? 3 ,D 在边 BC 上,BD ?

??? ? ???? 2 ,则 AB ? AD ? 3



2 13.已知抛物线 y ? 2 x 的焦点为 F ,过 F 点,且斜率为 3 的直线交抛物线于 A, B 两点,其中第

AF ? . FB 14. 设集合 S ? ?1, 2,3, 4,5, 6, 7,8? , 集合 A ? ?a1 , a2 , a3 ? ,A ? S ,
一象限内的交点为 A,则

P

a1 , a2 , a3 满足 a1 ? a2 ? a3 且 a3 ? a2 ? 5 ,那么满足条件的集合 A
的个数为 . 三、选做题:请在下列两题中任选一题作答,若两题都做,则按第一 题评阅计分,本题共 5 分. 15. (1)如图,在极坐标下,写出点 P 的极坐标 . (2)方程 x ? 1 ? x ? x ? 1 ? m 有四个解,则 m 的取值范围

60°
O 2 X





四、解答题:本大题共 6 题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 在△ ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,满足 a ? 2 sin A , (I)求边 c 的大小; (II)求△ABC 面积的最大值. 17. (本小题满分 12 分) 设 f ( x) ?

cos B 2a b ? ? ?0. cos C c c

1 2 ax ? x ? ln x 2

(1)当 a ? 2 时,求 f ( x) 的单调区间; (2)若 f ( x) 在 [2, ?) 上单调递增,求 a 的取值范围.

18. (本小题满分 12 分) 为了了解某班在全市“一检”中数学成绩的情况,按照分层抽样分别抽取了 10 名男生和 5 名女生的

试卷成绩作为样本,他们数学成绩的茎叶图如图所示,其中茎为百位数和十位数,叶为个位数. (Ⅰ)若该样本男女生平均分数相等,求 x 的值; 女生 (Ⅱ)若规定 120 分以上为优秀,在该 5 名女生试卷中 每次都抽取 1 份,且不重复抽取,直到确定出所 有非优秀的女生为止,记所要抽取的次数为 ? , 求 ? 的分布列和数学期望 E? . 7 2 8 4 4 10 11 12 13 9 x 0 8 1 2 8 男生 0 2 4

19. (本小题满分 12 分) 如图,在等腰梯形 ABCD 中, AD // BC

P E D

AB ? BC ? CD ?

1 AD ? 2 , O 为 AD 上一点,且 2 A AO ? 1 ,平面外两点 P、E 满足, AE ? 1 ,EA ? AB ,
B

O C

EB ? BD , PO // EA .
(1) 求证: EA ? 平面 ABCD ; (2) 求平面 AED 与平面 BED 夹角的余弦值; (3) 若 BE // 平面 PCD,求 PO 的长.

20. (本小题满分 13 分) 单调递增数列 {an } 满足 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? (1)求 a1 ,并求数列 {an } 的通项公式; (2)设 cn ? ?

1 2 (an ? n) . 2

? ?an?1,

n为奇数,

an?1 ? ?an?1 ? 2 ? 1 n为偶数

,求数列 {cn } 的前 2n 项和 T2 n .

21. (本小题满分 14 分) 已知双曲线 C:

x2 ? y 2 ? 1 (m ? 0) ,A.B 两点分别在双曲线 C 的两条渐近线上,且 AB ? 2 m , m

又点 P 为 AB 的中点. (1)求点 P 的轨迹方程并判断其形状; (2)若不同三点 D(-2,0) 、S、T 均在点 P 的轨迹上,且 DS ? ST ? 0 ; 求 T 点横坐标 xT 的取值范围。

??? ? ??? ?

景德镇市 2013 届高三第二次质检试题


命题 市一中 昌江一中 江 宁 叶柔涌 市二中 乐一中

学(文)
张勋达 许 敏 审核 刘倩

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟.

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.设集合 M ? {x ? 1 ? x ? 2}, N ? { y y ? a} ,若 M ? N ? ? ,则实数 a 的取值范围一定是 A. ?1 ? a ? 2
2

B.

a?2

C. a ? ?1

D. a ? ?1

2.若 (1 ? i ) ? a 为纯虚数,则实数 a 的值为 A.0 B. ?2 C.1 D. ?1

3. 若命题 P : 对于任意 x ? ? ?1,1? 有 f ( x) ? 0 ,则对命题 P 的否定是 A.对于任意 x ? ? ?1,1? 有 f ( x) ? 0

B.对于任意 x ? (??, ?1) ? (1, ?) 有 f ( x) ? 0 C.存在 x0 ? ? ?1,1? 使 f ( x0 ) ? 0 D.存在 x0 ? ? ?1,1? 使 f ( x0 ) ? 0 4.在一组样本的数据的频率分布直方图中,共有 5 个小长方形,若中间一个小长方形的面积等于其 它 4 个小长方形的面积和的 A.56 B.80

2 ,且样本容量为 280,则中间一组的频数为( 5
C.112 D.120

)

5.已知 ? ? ( ?????? ) , sin(? ?

?

?

2

3 ) ? ,则 cos? ? 4 5
C. ?

A. ?

2 10

B.

7 2 10

2 7 2 或 10 10

D. ?

7 2 10

6. 函数 y ?

2x ?1 的图像可能是 x ?1

y
2

y
2

y

y

-1 O

x

-1

O

x

-1

O

x
-2

-1

O

x

A

B

C

D

?x ? 2 ? 2 2 7. 不等式组 ? y ? 0 且 u ? x ? y ? 4 y ,则 u 的最小值为( ? y ? x ?1 ?
1 2 3 2

)

A.

B. 1

C.

D. 4

8. 等差数列 ?a n ? 中的 a1 、 a4025 是函数 f ( x) ? A. 2 B. 3

1 3 x ? 4 x 2 ? 6 x ? 1 的极值点,则 log 2 a2013 ? 3
D. 5

C. 4

9. 如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,E 是 AB 的 中点,D 是 AA1 的中点,则三棱锥 D ? B1C1 E 的体积 与三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的体积之比是 A.

A1 B1 D

C1

1 4 1 C. 8

B.

1 6
D.

3 8

A E B

C

2 3 ,?ABC ? 60? , 沿对角线 AC 3 折成如图所示的四面体,M 为 AC 的中点,?BMD ? 60? ,P
10. 菱形 ABCD 的边长为

在线段 DM 上,记 DP ? x , PA ? PB ? y ,则函数 y ? f ( x) 的图像大致为

y
2 2

y
2

y
2

y

1

1

1

1

x O
1

x O
1

x O
1

x O
1

A

B

C

D

A

二、填空题:本大题共 4 小题,第小题 5 分,共 20 分. 11.已知程序框图如图,则输出的 i= . 12.在 Rt ?ABC 中, AB ? 1, BC ? 2 , AC ? 3 , D

M B P D C

在边 BC 上, BD ?

??? ? ???? 2 ,则 AB ? AD ? 3



C

D

A

B

2 13 已知抛物线 y ? 2 x 的焦点为 F ,过 F 点,且斜率为 3 的直线交抛物线于 A, B 两点,其中第一

象限内的交点为 A,则
x

AF ? FB



14.已知 y ? f ( x ) ? 2 是奇函数,且 f (1) ? 1 .若 g ( x) ? f ( x) ? 3 ,则 g (?1) ? _______ . 15.方程 x ? 1 ? x ? 1 ? m 有 2 个解,则 m 的取值范围为 .

三、解答题:本大题共 6 题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.在△ ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,满足 c ? 3 , c cos B ? (2a ? b) cos C ? 0 .(1)求 角 C 的大小; (2)求△ABC 面积的最大值. 17. (本小题满分 12 分) 设 f ( x) ? x ? x ? a ln x
2

(1)当 a ? 1 时,求 f ( x) 的单调区间; (2)若 f ( x) 在 [2, ?) 上单调递增,求 a 的取值范围. 18.为了了解某班在全市“一检”中数学成绩的情况,按照分层抽样分别抽取了 10 名男生和 5 名女 生的试卷成绩作为样本,他们数学成绩的茎叶图如图所示,其中茎为十位数和百位数,叶为个位数。 (Ⅰ)若该样本男女生平均分数相等,求 x 的值; (Ⅱ)若规定 120 分以上为优秀,在该 5 名女生 试卷中从中抽取 2 份试卷,求至少有 1 份成绩是 非优秀的概率. 7 女生 2 8 4 4 10 11 12 9 2 8 男生 0 2 4

x 8 P 13 0 1

E
19.如图,在等腰梯形 ABCD 中, AD // BC

A B

O C

D

AB ? BC ? CD ?
PO ?

1 AD ? 2 , O 为 AD 上 一 点 , 且 AO ? 1 , 平 面 外 两 点 P 、 E 满 足 , 2

3 , AE ? 1 , EA ? 平面 ABCD , PO // EA 2

(1) 证明 BE // 平面 PCD; (2) 求该几何体的体积. 20.单调递增数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,满足 Sn ? (1)求 a1 ,并求数列 {an } 的通项公式;

1 2 (an ? n) , 2

? 1 , ? 2 (2)设 cn ? ? an?1 ? 1 ? a ?3 ? 2 n?1 ? 1

n为奇数 n为偶数

,求数列 {cn } 的前 20 项和 T20 .

21.已知 A,B 两点分别在直线 y ?

x x 与y?? 上,且 AB ? 2 2 ,又点 P 为 AB 的中点. 2 2

(1)求点 P 的轨迹方程. (2)若不同三点 D(-2,0) ,S, T 均在点 P 的轨迹上,且 DS ? ST ? 0 , 求 T 点横坐标 xT 的取值范 围.

??? ? ??? ?

数学试题(理)参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.

DACBA

BAA A D 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 11.9 12.

2 3

13.3

14.55

三、选做题:请在下列两题中任选一题作答,若两题都做,则按第一题评阅计分,本题共 5 分. 15. (1) ( 3,

?
6

)

(2) ?1, 2 ?

四、解答题:本大题共 6 题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16. (1)∵ ∴ ∴ ∴

cos B 2a b ∴ c cos B ? 2a cos C ? b cos C ? 0 ? ? ?0 cos C c c sin C cos B ? sin B cos C ? 2sin A cos C ? 0 sin A ? 2sin A cos C ? 0 ∵ sin A ? 0 1 2? a ∴ ∴ c? cos C ? ? C? ? sin C ? 3 ?? (6 分) 2 3 sin A

(2)∵

cos C ? ?

1 a 2 ? b2 ? 3 ? 2 2ab



a 2 ? b 2 ? ab ? 3



3ab ? 3 ∴
2

S ?ABC ?

1 3 ???? (12 分) ab sin C ? 2 4
(x ? 0 )

17.解: f ( x) ? x ? x ? ln x

f ?( x) ? 2 x ? 1 ?

1 (2 x ? 1)( x ? 1) ? x x

令 f ?( x) ? 0 ? ? 令 f ?( x) ? 0 ? ?

?(2 x ? 1)( x ? 1) ? 0 ? x ?1 ?x ? 0

?(2 x ? 1)( x ? 1) ? 0 ? 0 ? x ?1 ?x ? 0

所以 f ( x) 在 (0,1) 单调递减,在 [1, ??) 上单调递增?????????6 分 (2) f ?( x) ? ax ? 1 ?

1 ax 2 ? x ? 1 ? x x

由 f ?( x) ? 0 ,又 x ? 0 , 所以 ax ? x ? 1 ? 0
2

a?

1 1 1 1 2 1 ? ?( ? ) ? x2 x x 2 4

由 x ? [2, ??) ? 0 ? 所以 (

1 1 ? x 2

1 1 3 ? ) max ? 2 x x 4 3 4

即 a ? [ , ??) 得a ?

3 ???12 分 4

18. (1)解:依题意得

102 ? 118 ? 124 ? 127 ? 134 100 ? 102 ? 104 ? 119 ? 12 x ? 128 ? 130 ? 131 ? 132 ? 138 ? 5 10
得 x ? 6 ????????6 分 (2)由茎叶图知,5 名女生中优秀的人数为 3 人,非优秀的有 2 人

? ? 2,3, 4
1 1 C2 C 1 P (? ? 2) ? 1 1 ? 1 C5C4 10

P (? ? 4) ?

1 2 C2 C3 3 ? 3 C5 5

P(? ? 3) ? 1 ? P(? ? 2) ? P(? ? 4) ? E? ? 2 ?

3 10

1 3 6 7 ? 3 ? ? 4 ? ? ????????12 分 10 10 10 2

19. (1)在等腰梯形 ABCD 中 BD ? AB ,又 ∵ EB ? BD ,∴ BD ? 平面 ABE ∴ BD ? EA 又 ∵ EA ? AB ∴ EA ? 平面 ABCD ?(4 分)

(2)如图建立直角坐标系

A(0?,?? 1, ? ?0) , B( 3?,?0?,?0) , D(0?,?3?,?0) , E (0?,?? 1,1) ??
求得平面 AED 法向量为

?? n1 ? (1, ? ?0?,?0)
平面 BED 法向量为

z

?? ? n2 ? ( 3?,???,??)
∴平面 PBD 与平面 PCD 所成的角的余弦值为

P E D A B x O C

cos ? ?

3 15 ? 10 20

y

?(8 分)

? ? ??1) (3) 设 PO ? h , EB ? ( 3?,1,
可求得平面 PCD 法向量为

??? ?

n2 ? (h?,? 3h?,?3 3)
(其他方法相应给分) 20. (1) n ? 1 时, a1 ?

∴ EB ? n1 ? 0

??? ? ??

∴h ?

3 ???? 2

(12 分)

1 2 (a1 ? 1) 2

得 a1 ? 1

当 n ? 2 时, a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ?1 ? 得 an ?

1 2 (an?1 ? n ? 1) 2

1 2 2 (an ? an ?1 ? 1) 2
2 2

化为 (an ? 1) ? an ?1 ? 0

an ? an ?1 ? 1 或 an ? an ?1 ? 1

(n ? 2)

又因为 ?an ? 单调递增数列,故 an ? an ?1 ? 1 所以 ?an ? 是首项是 1,公差为 1 的等差数列, an ? n ??????6 分

n为奇数, ? ?an?1, cn ? ? an?1 ? ?an?1 ? 2 ? 1 n为偶数
T2 n ? (2 ? 4 ? ? ? 2n) ? [1? 21 ? 3 ? 23 ? ?(2n ? 1) ? 22 n?1 ] ? n
= n(n ? 1) ? [1? 2 ? 3 ? 2 ? ? (2n ? 1) ? 2
1 3 2 n ?1

]? n
① ②

记 Sn ? 1? 2 ? 3 ? 2 ? ? (2n ? 1) ? 2
1 3

2 n ?1

4Sn ? 1? 23 ? 3 ? 25 ? ? (2n ? 1) ? 22 n?1
由①-②得

?3Sn ? 2 ? 24 ? 26 ? ? ? 22 n ? (2n ? 1)22 n ?1

?3Sn ? 22 ? 24 ? 26 ? ? ? 22 n ? (2n ? 1)22 n?1 ? 2

?3Sn ?

4(1 ? 4n ) ? (2n ? 1)22 n ?1 ? 2 1? 4

Sn ?

4(1 ? 4n ) (2n ? 1)22 n ?1 2 ? ? 9 3 3

(6n ? 5)22 n ?1 10 Sn ? ? 9 9

T2n ?

(6n ? 5)22n?1 10 ? n 2 ? 2n ? 9 9

?????13 分

21. 双曲线渐近线为 y ?

x x 与y?? m m xB m ) , xP ? x ?x xA ? xB ??? yP ? A B 2 2 m


所以设 A( x A ,

xA m

) , B ( xB , ?

又 AB ? 2 m ,点 P 的轨迹方程为

x2 ? y2 ? 1 m2

所以 m ? 1 时 P 的轨迹为圆 m ? 1 时 P 的轨迹为焦点在 x 轴上的椭圆 0 ? m ? 1 时 P 的轨迹为焦点在 y 轴上的椭圆

(6 分)

x2 x2 2 ? y2 ? 1 把 D(-2,0)代入 2 ? y ? 1 ,得 P 的轨迹的 m 4
(2)设直线 DS 为 y ? k ( x ? 2)?? ② 联立(1) (2)得 (1 ? 4k ) x ?16 k x ? 4k ?1 ? 0
2 2 2 2

?? ①

设点 S ( x1 , y1 ) ,有 xD ? x1 ?

?16k 2 , 1 ? 4k 2

2 ? 8k 2 4k x1 ? , y1 ? 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2
则直线 ST 为 y ? ? 化简为: y ? ?

1 ( x ? x1 ) ? y1 k


x 2 ? 4k 2 ? k k (1 ? 4k 2 )

4 ? 2 ? 4k 2 ? 4 2 32k 2 ? 16 x? ?4?0 联立①,③得 (1 ? 2 ) x ? 2 2 k k (1 ? 4k 2 ) k 2 ?1 ? 4k 2 ?
2

x1 ? xT ?

16 ? 32k 2 (4 ? k 2 )(1 ? 4k 2 )

xT ?

16 ? 32k 2 2 ? 8k 2 8k 4 ? 2 k 2 ? 8 ? ? (4 ? k 2 )(1 ? 4k 2 ) 1 ? 4k 2 4k 4 ? 17 k 2 ? 4
( 因为三点不同,易知 k ? 0 )

36k 2 ? 2? 4 4k ? 17 k 2 ? 4

? 2?

36k 2 36 36 14 ? ? 2? ? 4 2 4k ? 17k ? 4 4(k 2 ? 1 ) ? 17 25 25 k2
14 , ??) ?? (14 分) 25

所以 xT 的取值范围为 [

数学试题(文)参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.

DAC B A

BA A AD
2 3
14. ?

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 11.7 12. 13.3

1 2

15. (2, ??)

三、解答题:本大题共 6 题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.解: (1)∵ c cos B ? 2a cos C ? b cos C ? 0 ∴ sin C cos B ? sin B cos C ? 2sin A cos C ? 0 ∴ sin A ? 2sin A cos C ? 0 ∵ sin A ? 0 ∴

cos C ? ?

1 2



C?

2? 3


??

(6 分)

(2)∵

cos C ? ?

1 a 2 ? b2 ? 3 ? 2 2ab

a 2 ? b 2 ? ab ? 3



3ab ? 3 ∴

S ?ABC ?

1 3 ???? (12 分) ab sin C ? 2 4
( ( x ? 0)

17. (1) a ? 1

, f ( x) ? x ? x ? ln x
2

f ?( x) ? 2 x ? 1 ?

1 (2 x ? 1)( x ? 1) ? x x

令 f ?( x) ? 0 ? ? 令 f ?( x) ? 0 ? ?

?(2 x ? 1)( x ? 1) ? 0 ? x ?1 ?x ? 0

?(2 x ? 1)( x ? 1) ? 0 ? 0 ? x ?1 ?x ? 0

所以 f ( x) 在 (0,1) 单调递减,在 [1, ??) 上单调递增?????????6 分 (2) f ?( x) ? 2 x ? 1 ?

a 2x2 ? x ? a ? x x

由 f ?( x) ? 0 ,又 x ? 0 , 所以 2 x ? x ? a ? 0
2

a ? 2 x2 ? x
由 x ? [2, ??) 所以 (2 x ? x) min ? 6
2

得 a ? 6 ???12 分 18. (1)解:依题意得

102 ? 118 ? 124 ? 127 ? 134 100 ? 102 ? 104 ? 119 ? 12 x ? 128 ? 130 ? 131 ? 132 ? 138 ? 5 10
得 x ? 6 ????????5 分 (2)5 名女生中优秀有 3 人,记为 A1 , A2 , A3 ,非优秀 2 人记为 B1 , B2 从中抽取 2 人有如下 10 种情况: ( A1 , A2 ) , ( A1 , A3 ) , ( A1 , B1 ) , ( A1 , B2 ) , ( A2 , A3 ) ( A2 , B1 ) , ( A2 , B2 ) , ( A3 , B1 ) , ( A3 , B2 ) , ( B1 , B2 ) 其中至少有 1 份成绩是非优秀的有 7 种 所以至少有 1 份成绩是非优秀的概率为

7 ??????12 分 10

19. (1)取 AD 中点 G,延长 PE、DA 交于 F,连接 BF, ∴ GD ? 2 则 GD ? BC ∴ BG / /CD

3 EA 2 FA FE EA 2 ∴ ? ? ? FO FP PO 3 ? AO ? 1 得 FA ? 2 FG FE ∴ ∴ EG / / PD ? FD FP
又 ∵

PO //

P E D

F

A B

O

G C

∴ 平面 EBG // 平面 PCD ∴ (2) 所求几何体体积为

BE // 平面 PCD????

(6 分)

V ? VP ? FBCD ? VE ? AFB
?2 3? 3 5 3 ? 3 3
???? (12 分) 得 a1 ? 1

20. (1) n ? 1 时, a1 ? 当 n ? 2 时, Sn ?1 ? 得 an ?

1 2 (a1 ? 1) 2

1 2 (an ?1 ? n ? 1) 2

1 2 2 (an ? an ?1 ? 1) 2
2 2

化为 (an ? 1) ? an ?1 ? 0

an ? an ?1 ? 1 或 an ? an ?1 ? 1

(n ? 2)

又因为 ?an ? 单调递增数列,故 an ? an ?1 ? 1 所以 ?an ? 是首项是 1,公差为 1 的等差数列, an ? n ?????6 分

? 1 , n为奇数, ? 2 (2) cn ? ? an?1 ? 1 ? a ?3 ? 2 n?1 ? 1 n为偶数
1 1 1 T2n ? [ 2 ? 2 ?? ? ] ? 3(21 ? 23 ? ? ? 219 ) ? 10 2 2 ?1 4 ?1 (20) ? 1


1 1 1 2(1 ? 410 ) ? ?? ? ? 3? ? 10 1? 3 3 ? 5 19 ? 21 1? 4

1 1 1 1 1 1 1 ( ? ? ? ? ? ? ) ? 2(410 ? 1) ? 10 2 1 3 3 5 19 21 10 178 = ????????13 分 ? 221 ? 8 ? 221 ? 21 21


x2 ? y2 ? 1 21.(1)P 的轨迹的 4

①?????6 分

(2)设直线 DS 为 y ? k ( x ? 2)?? ② 联立(1) (2)得 (1 ? 4k ) x ? 16 k x ?16 k ? 4 ? 0
2 2 2 2

设点 S ( x1 , y1 ) ,有 xD ? x1 ?

?16k 2 , 1 ? 4k 2

2 ? 8k 2 4k x1 ? , y1 ? 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2
则直线 ST 为 y ? ? 化简为: y ? ?

1 ( x ? x1 ) ? y1 k


x 2 ? 4k 2 ? k k (1 ? 4k 2 )

4 ? 2 ? 4k 2 ? 4 2 32k 2 ? 16 x ? ?4?0 联立①,③得 (1 ? 2 ) x ? 2 2 2 2 k k (1 ? 4k 2 ) k ?1 ? 4k ?
2

x1 ? xT ?

16 ? 32k 2 (4 ? k 2 )(1 ? 4k 2 )

xT ?

16 ? 32k 2 2 ? 8k 2 8k 4 ? 2 k 2 ? 8 ? ? (4 ? k 2 )(1 ? 4k 2 ) 1 ? 4k 2 4k 4 ? 17 k 2 ? 4

? 2?

36k 2 4k 4 ? 17 k 2 ? 4

( 因为三点不同,易知 k ? 0 )

? 2?

36k 2 36 36 14 ? ? 2? ? 4 2 4k ? 17k ? 4 4(k 2 ? 1 ) ? 17 25 25 k2
14 , ??) ?? (14 分) 25

所以 xT 的取值范围为 [



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