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北京市通州区2015届高三一模数学理试题


通州区 2015 年高三年级模拟考试(一)

数学(理)试卷
2015 年 4 月 本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分,共 150 分.考试时间长 120 分钟.考生务必将答案答在答题 卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷

(选择题 共 40 分)

>一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题 目要求的一项. 1.复数 z ? ? 2 ? i ? 在复平面内对应的点所在的象限是
2

A.第一象限 2.已知双曲线 A.1

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

x2 y 2 5 ? 2 ? 1? b ? 0 ? 离心率是 ,那么 b 等于 4 b 2
B.2 C. 5 D. 2 5

M , N 分别是 A1B1 , BB1 的中点,过点 M , N , C1 3.在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,已知
的截面截正方体所得的几何体,如图所示,那么该几何体的侧视图是

D1 A1 M

C1

A

B

C

D
A

D

N B

C

3 4.已知 a ? ?1 , b ? 2log3 m ,那么“ a ? b ”是“ m ? ”的 3
A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

x ? ?2 , x > 0, 5.已知函数 f ? x ? ? ? ? x 那么该函数是 ? ?-2 , x < 0,

A.奇函数,且在定义域内单调递减

B.奇函数,且在定义域内单调递增

C.非奇非偶函数,且在 ? 0, ??? 上单调递增 D.偶函数,且在 ? 0, ??? 上单调递增 6.将函数 f ? x ? ? cos ? x ?

? ?

??

? 的图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的 2 倍,所得图 3?

1

象的一条对称轴方程可能是 A. x ?

?
3

B. x ? ?

?
6

C. x ? ?

?
3

D. x ? ?

2? 3

7.李涛同学在某商场运动品专柜买一件运动服,获 100 元的代金券一张,此代金券可以用于购 买指定的价格分别为 18 元、30 元、39 元的 3 款运动袜,规定代金券必须一次性用完,且剩余 额不能兑换成现金. 李涛同学不想再添现金,使代金券的利用率超过 95﹪,不同的选择方式的 种数是 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

8 . 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 f ? x? 的 图 象 是 连 续 不 断 的 一 条 曲 线 , 若 存 在 实 数 t , 使 得 . f ? x? t? ? tf? ? x ?0 对任意 x 都成立,则称 f ? x ? 是“回旋函数” 给下列四个命题: ①函数 f ? x ? ? x ? 1 不是“回旋函数” ; ②函数 f ? x ? ? x 是“回旋函数” ;
2

③若函数 f ? x ? ? a

x

,则 t ? 0 ; ? a ? 1? 是“回旋函数”

④若函数 f ? x ? 是 t ? 2 时的“回旋函数” ,则 f ? x ? 在 ?0, 4030? 上至少有 2015 个零点. 其中为真命题的个数是 A.1 B.2 C.3 D .4

第Ⅱ卷 (非选择题 共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡上. 9.已知集合 A ? ?1,2,3,4? , B ? ?1,3, m? ,且 B ? A ,那么实数 m ? _______. 10.已知数列 ?an ? 中, a2 ? 2 , an?1 ? 2an ? 0 ,那么数列 ?an ? 的前 6 项和是_______. 11.已知某程序框图如图所示,那么执行该程序后输出的结果是_________.
开始

a =2 , i=1 i >4
否 是

D A
输出 a 结束

a?a?

1 2

P

B

O

C

i = i+1 11 题
2

12 题

12.如图,已知 PA 是圆 O 的切线,切点为 A , PC 过圆心 O ,且与圆 O 交于 B ,C 两点,过 C 点作 CD ? PA ,垂足为 D , PA ? 4 , BC ? 6 ,那么 CD ? _______ . 13.11 位数的手机号码,前七位是 1581870 ,如果后四位只能从数字 1 , 3 , 7 中选取,且每个 数字至少出现一次,那么存在 1 与 3 相邻的手机号码的个数是__________. 14.如图,在四边形 ABCD 中, ?BAD ? 90? , ?ADC ? 120? , AD ? DC ? 2 , AB ? 4 , 动点 M 在 ?BCD 内(含边界)运动,设 AM ? ? AB ? ? AD , 则 ? ? ? 的取值范围是______.

uuur

uu u r

uuu r

C D M A B

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本题满分 13 分) 在 ?ABC 中,角 A , B , C 的对边分别是 a , b , c ,已知 c ? 5 , B ?

2? , ?ABC 的 3

面积是

15 3 . 4

(Ⅰ)求 b 的值; (Ⅱ)求 cos 2 A 的值.

16. (本题满分 13 分) 随着人口老龄化的到来,我国的劳动力人口在不断减少, “延迟退休”已经成为人们越 来越关注的话题,为了了解公众对“延迟退休”的态度,某校课外研究性学习小组对某社区 随机抽取了 50 人进行调查,将调查情况进行整理后制成下表: 年龄 人数 年龄 人数

?20,25?
4

?25,30?
5

?30,35?
8

?35,40?
5

?40,45?
3

?45,50?
6

?50,55?
7

?55,60?
3

?60,65?
5

?65,70?
4

年龄在 ? 25,30? ,?55,60? 的被调查者中赞成人数分别是 3 人和 2 人, 现从这两组的被调 查者中各随机选取 2 人,进行跟踪调查. (Ⅰ)求年龄在 ? 25,30? 的被调查者中选取的 2 人都是赞成的概率;

3

(Ⅱ)求选中的 4 人中,至少有 3 人赞成的概率; (Ⅲ)若选中的 4 人中,不赞成的人数为 X ,求随机变量 X 的分布列和数学期望.

17. (本题满分 14 分) 如图,在各棱长均为 2 的三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,侧面
A1 B1 C1

A1 ACC1 ? 底面 ABC ,且 ?A1 AC ?
(Ⅰ)求证: AC ? 平面 AOB ; 1 (Ⅱ )求二面角 B1 ? AC ? B 的余弦值;

?
3

,点 O 为 AC 的中点.
A B O C

(Ⅲ) 若点 B 关于 AC 的对称点是 D, 在直线 A1 A 上是否存在点 P , 使 DP // 平面 AB1C .若存在, 请确定点 P 的位置;若不存在,请说明理由.

18. (本题满分 13 分)

x2 y 2 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点是 F ? ?1,0 ? ,上顶点是 B ,且 BF ? 2 ,直线 a b
y ? k ( x ? 1) 与椭圆 C 相交于 M , N 两点.
(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程;

(Ⅱ)若在 x 轴上存在点 P ,使得 PM ? PN 与 k 的取值无关,求点 P 的坐标.

uuur uuu r

19. (本题满分 13 分) 已知函数 f ? x ? ? ae
?x

? x ?1, a ? R.

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ? x ? 在 0 , f ? 0? 处的切线方程; (Ⅱ)若对任意 x ? ?0 , ??? , f ? x ? ? 0 恒成立,求 a 的取值范围; (Ⅲ)当 x ? ?0 , ?? ? 时,求证: 2e
?x

?

?

?2?

1 2 x ? x. 2

20. (本题满分 14 分) 设函数 f ? x ? ?

x ,方程 f ? x ? ? x 有唯一解,数列 ?an ? 满足 m ? x ? 2?
4

f ? an ? ? an ?1 ? n ? N ? ? ,且 f ? a1 ? ?

2 4 ? 3an ,数列 ?bn ? 满足 bn ? ? n ? N ? ?. 3 an

(Ⅰ)求证:数列 ?

?1? ? 是等差数列; ? an ?
1 n ? N ? ? ,其前 n 项和为 Sn ,若存在 n ? N ? ,使 ? bn ? bn?1

(Ⅱ )数列 ?cn ? 满足 cn ?

kS n ?

1 n ? 4 ? k ? R ? 成立,求 k 的最小值; 2
*

(Ⅲ )若对任意 n ? N ,使不等式

t ? 1 ?? 1 ? ? ? 1?? ? 1?L ? b1 ?? b2 ? ?1 ? ? ? 1? ? bn ?



1 成立,求实数 t 的最大 2n ? 1

值.

高三数学(理科)考试参考答案
2015 年 4 月
5

一.选择题: 题号 答案 1 D 2 A 3 B 4 C 5 B 6 D 7 A 8 C

二.填空题: 9. 2 或 4 12. 10.

63

11. 0 14. ?1,

24 5

13. 26

? ?

3 3? ? ? 4 2?

三.解答题: 15. (本小题 13 分) 解: (Ⅰ)因为 ?ABC 的面积是

2? 15 3 ,c ? 5,B ? , 3 4

所以

1 1 3 15 3 15 3 ac sin B ? ? . 即 a ?5? . 2 2 2 4 4
???????? 4 分
2 2 2

所以 a ? 3. 由余弦定理 b ? a ? c ? 2ac cos B , 得 b ? 25 ? 9 ? 2 ? 5 ? 3 ? cos
2

2? ? 49. 3
???????? 7 分

所以 b ? 7. (Ⅱ)由正弦定理

a b ? . sin A sin B
???????? 10 分
2

所以 sin A ?

3 3 3 3 ? ? . 7 2 14
2

?3 3? 71 所以 cos 2 A ? 1 ? 2sin A ? 1 ? 2 ? ? ? 14 ? ? ? 98 . ? ?
16. (本题 13 分)

???????? 13 分

解: (Ⅰ) 设“年龄在 ?25, 30? 的被调查者中选取的 2 人都是赞成”为事件 A , 所以 P ? A? ?

C32 3 ? . C52 10

???????? 3 分

(Ⅱ) 设“选中的 4 人中,至少有 3 人赞成”为事件 B , 所以 P ? B ? ?
1 1 1 1 2 2 C32C2 C1 C3 C2C2 C32C2 1 ? ? ? . 2 2 2 2 2 2 C5 C3 C5 C3 C5 C3 2

???????? 7 分

6

(Ⅲ) X 的可能取值为 0 , 1 , 2 , 3. 所以 P( X ? 0) ?
2 1 1 2 1 1 C32C2 C3 C2C2 ? C32C2 C1 2 1 , ? P ( X ? 1) ? ? , 2 2 2 2 C5 C3 10 C5 C3 5

P( X ? 2) ?

2 2 1 1 1 1 2 1 1 C2 C2 ? C3 C2C2C1 13 C2 C2C1 1 , ? P ( X ? 3) ? ? . 2 2 C5 C3 30 C52C32 15

???????? 所以 X 的分布列是

11 分

X
P

0

1

2

3

1 10

2 5

13 30

1 15
???????? 12 分

所以 EX ? 0 ?

1 2 13 1 22 ?1 ? ? 2 ? ?3 ? ? . 10 5 15 15 30

???????? 13 分

17. (本小题 14 分) 解: (Ⅰ)连结 AC 1 AC ? 1 ,因为 AC ? AA 1 , ?A 所以 AO ? AC , BO ? AC. 1 因为 AO 1

?
3

, AB ? BC ,点 O 为 AC 的中点,

BO ? O ,
???????? 4 分

所以 AC ? 平面 AOB . 1 (Ⅱ)因为侧面 A1 ACC1 ? 底面 ABC , 所以 A1O ? 平面 ABC. 所以 AO ? BO. 1

???????? 5 分

所以以 O 为坐标原点,分别以 OB ,OC ,OA1 为 x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系, 所以 A ? 0, ?1, 0? , B 所以 AA1 ? 0,1,

?

? 3 ? , AB ? ?
1

?

3 , 0, 0 , C ?0,1, 0? , A1 0, 0, 3 , B1 3, 2, 3 , AC ? ? 0, 2, 0 ? .
所以 ?

?

?

?

3 ,1, 3 ,

?

?

设平面 AB1C 的法向量为 n ? ? x, y, z ? , 所以 n ? ? ?1, 0,1? .

? ? n ? AB1 , ? ? n ? AC ,

即? ?

? 3 x ? 2 y ? 3 z ? 0, ? ?2 y ? 0.
???????? 7 分

因为平面 ABC 的法向量为 A1O ? 0, 0, 3 , 所以< cos AA1 , n ?

?

?

3 2 ? . 2 2? 3

所以二面角 B1 ? AC ? B 的余弦值是 (Ⅲ)存在.

2 . 2

???????? 9 分

7

因为点 B 关于 AC 的对称点是 D,所以点 D ? 3 , 0, 0 .

?

?

???????? 10 分

假设在直线 A1 A 上存在点 P 符合题意,则点 P 的坐标设为 ? x, y, z ? , AP ? ? AA 1. 所以 AP ? ? x, y ? 1, z ? . 所以 DP ? 所以 P 0, ? ? 1, 3? .

?

?

?

3, ? ? 1, 3? .

?

???????? 12 分

因为 DP // 平面 AB1C ,平面 AB1C 的法向量为 n ? ? ?1, 0,1? , 所以由 DP ? n ? 0. ,得 ? 3 ? 3? ? 0. 所以 ? ? 1. ???????? 13 分

所以在直线 A1 A 上存在点 P ,使 DP // 平面 AB1C ,且点 P 恰为 A1 点. ???? 14 分 18. (本小题 13 分) 解: (Ⅰ)因为椭圆 C 的左焦点是 F 1 ? ?1,0? ,且 B 1F 1 ? 2, 所以 c ? 1 , a ? 2. 所以由 a ? b ? c ,得 b ? 3.
2 2 2 2

???????? 1 分 ???????? 2 分

所以椭圆 C 的标准方程是

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

???????? 3 分

(Ⅱ)因为直线 y ? k ( x ? 1) 与椭圆 C 相交于 M , N 两点,

? y ? k ? x ? 1? , ? 2 2 2 2 联立方程组 ? x 2 y 2 消去 y ,得 ? 3 ? 4k ? x ? 8k x ? 4k ? 12 ? 0. ? 1, ? ? 3 ?4
???????? 5 分 所以 ? ? 144k ? 144 ? 0.
2

???????? 6 分

所以设点 M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ? , P ? x0 ,0? , 所以 x1 ? x2 ?

?8k 2 4k 2 ? 12 x x ? . , 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

???????? 7 分

所以 PM ? PN ? ? x1 ? x0 , y1 ? ? ? x2 ? x0 , y2 ? ? ? x1 ? x0 ? ? ? x2 ? x0 ? ? y1 y2

? x1 ? x2 ? x0 ? x1 ? x2 ? ? x02 ? k 2 ? x1 ?1?? x2 ?1?
? ?1 ? k 2 ? x1 ? x2 ? ? k 2 ? x0 ? ? x1 ? x2 ? ? k 2 ? x0 2
8

4k 2 ? 12 ?8k 2 2 ? ?1 ? k ? ? ? ? k ? x0 ? ? ? k 2 ? x0 2 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k
2

?

4k 2 ? 12 ? 4k 4 ? 12k 2 ? 8k 4 ? 8 x0 k 2 ? 3k 2 ? 4k 4 ? x0 2 2 3 ? 4k

?

?8x0 ? 5? k 2 ? 12 ? x 2
3 ? 4k 2
0

???????? 9 分

因为 PM ? PN 与 k 的取值无关, 所以

8 x0 ? 5 4 ? . ?12 3 11 ? 11 ? . 所以点 P 的坐标是 ? ? , 0 ? . 8 ? 8 ?

???????? 12 分

所以 x0 ? ?

???????? 13 分

19. (本小题 13 分) 解: (Ⅰ)因为 f ? x ? ? ae 所以 f ? x ? ? e
?x ?x

? x ?1, a ? 1 ,
?x

? x ? 1.

所以 f ? ? x ? ? ?e

?1.

所以 f ? 0? ? 2 , f ? ? 0? ? ?2. 所以切线方程是 y ? 2 ? ?2x ,即 2 x ? y ? 2 ? 0. (Ⅱ)由 f ? x ? ? 0 可得 ae 所以 a ? ? x ?1? e .
x
?x

???????? 3 分

? x ? 1 ? 0.
???????? 4 分

令 g ? x ? ? ? x ? 1? e .
x

所以 g? ? x ? ? xe ? 0.
x

所以 g ? x ? 在 ?0, ??? 上单调递增. 所以 ?1 ? g ? x ? ? 0. (Ⅲ)令 h ? x ? ? 2e 所以 h? ? x ? ? ?2e
?x
?x

???????? 6 分 ???????? 8 分

所以 a ? ?1.

1 ? 2 ? x2 ? x. 2
???????? 9 分
?x

? x2 ? 1. ? x ? 1 ? 0.

由(Ⅱ)可知,当 a ? ?2 时, f ? x ? ? ?2e 所以 h? ? x ? ? 0. 所以 h ? x ? 在 ?0, ??? 上单调递减.

???????? 11 分

???????? 12 分

9

所以 h ? x ? ? h ?0? ? 0. 所以 2e
?x

?2 ?

1 2 x ? x. 2

???????? 13 分

20. (本题 14 分) 解: (Ⅰ)因为 f ? x ? ?

x ,方程 f ? x ? ? x 有唯一解, m ? x ? 2?

所以

x ? x. 即 mx2 ? ?2m ?1? x ? 0 ? m ? 0? 有唯一解. m ? x ? 2?
2

所以 ? ? 4m ? 4m ? 1 ? 0. 所以 f ? x ? ?

所以 m ?

1 . 2

???????? 2 分

2x . x?2

所以 f ? an ? ?

2an ? an?1. an ? 2

所以 an an?1 ? 2an?1 ? 2an ? 0.

所以 1 ?

1 1 1 2 2 ? ? 0. 所以 ? ? . an ?1 an 2 an an?1
2 2a1 2 ,所以 ? . 3 a1 ? 2 3

???????? 3 分

因为 f ? a1 ? ? 所以 a1 ? 1. 所以数列 ?

?1? 1 ? 首项为 1 ,公差为 的等差数列. 2 ? an ?
2 1 1 1 . ? n ? . 所以 an ? n ?1 an 2 2

???????? 4 分

(Ⅱ) 由(Ⅰ)得

因为 bn ?

4 ? 3an ,所以 bn ? 2n ?1. an

所以 cn ?

1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ?. bn ? bn?1 ? 2n ? 1?? 2n ? 1? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?
1? 1 1 1 ?1 ? ? ? ? 2? 3 3 5 ? 1 1 ? ? ? 2n ? 1 2n ? 1 ?
???????? 7 分

所以 Sn ?

1? 1 ? n ? ?1 ? . ?? 2 ? 2n ? 1 ? 2n ? 1

10

17 n2 ? n ? 4 1 4 17 2 因为 kS n ? n ? 4 ,所以 k ? ? n? ? . 2 n n 2 17 25 4 ? 所以 k ? 4 ? ,当且仅当 n ? ,即 n ? 2 时等号成立. 2 2 n 25 . 所以 k 的最小值是 ???????? 9 分 2
(Ⅲ)因为

t ? 1 ?? 1 ? ? ? 1?? ? 1? L ? b1 ?? b2 ? ?1 ? ? ? 1? ? bn ?

?

1 , 2n ? 1

? ? 1 ?? 1 ? ?1 ? ? 1?? ? 1?L ? ? 1? b ?? b2 ? ? bn ? . 所以 t ? ? 1 2n ? 1 ? 1 ?? 1 ? ? ? 1?? ? 1? L b ?? b2 ? 令 g ? n? ? ? 1 2n ? 1
因为

?1 ? ? ? 1? ? bn ? .

???????? 10 分

1 1 2n ?1 ? ?1 ? ? 0 ,所以 g ? n? ? 0. bn 2n ? 1 2n ? 1

???????? 11 分

? 1 ? ? 1? 2n ? 1 ? g ? n ? 1? ? bn ?1 ? ? 所以 g ?n? 2n ? 3
? 2n ? 2 4n ? 8 ? 3
2

?

2n ? 2 4 ? n ? 1? ? 1
2

? 1.

???????? 13 分

所以 g ? n ? 是递增数列.

所以 g ? n ? ? g ?1? ?

2 3 . 3

所以 t ?

2 3 . 3 2 3 . 3
???????? 14 分

所以 t 的最大值是

11


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