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大学物理——角动量定理和角动量守恒定律


§3-4 定轴转动刚体的角动量定理 和角动量守恒定律
一、 刚体的角动量
对于定点转动而言:
? ? P ? mv

? L

? ? ? L? r ?P
? ? ? ? r ? mv ?

o
r sin?

? r

m

/>
?

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对于绕固定轴oz的 转动的质元 ?mi 而言:

? ? ? Li ? ri ? ?mi vi ? 2 ? ?mi ri ?k

? ? ? vi ?m i L ? ri

z

对于绕固定轴oz 转 动的整个刚体而言:

? N 2? L ? ? ? ?mi ri ?? ? J? ? i ? 角动量的方向沿轴的正向或负向,所以 可用代数量来描述.
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二、 定轴转动刚体的角动量定理
d? d ? J ? ? d L M ?J ? ? dt dt dt

微分形式:Mdt ? d ? J ? ? ? dL
积分形式:? Mdt ? J ? ? J ?0
t0 t

或:

?

t t0

Mdt ? L ? L0
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三、 定轴转动刚体的角动量守恒定律
d( J ? ) 由定轴转动定理: M ? dt

当 M=0 时

d( J ? ) ?0 dt

即 J? ? J 0?0 ? 常量 刚体在定轴转动中,当对转轴的合外力矩为 零时,刚体对转轴的角动量保持不变, 这一规律 就是定轴转动的角动量守恒定律 。
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讨论:
a.对于绕固定转轴转动的刚体,因J 保持不变, 当合外力矩为零时,其角速度恒定。

当M z ? 0时,

J

=恒量

? =恒量

b.若系统由若干个刚体构成,当合外力矩为零时,系 统的角动量依然守恒。J 大→ ? 小,J 小→ ?大。

当M z ? 0时, Lz ? J1?1 ? J 2?2 ? 恒量
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例如:花样滑冰运动员 的“旋”动作 再如:跳水运动员的“团 身--展体”动作

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c.若系统内既有平动也有转动现象发生,若对某一定 轴的合外力矩为零,则系统对该轴的角动量守恒。

如: 常平架上的回转仪
A L B
C
C

B

A
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刚体的平动和定轴转动中的一些重要公式
刚体的平动 2 d v d x dx a? ? 2 v? dt dt dt 1 P ? mv EK ? mv 2 2 刚体的定轴转动 2 d ? d ? d? ?? ? 2 ?? dt dt dt 1 L ? J? EK ? J? 2 2

F dA? Fdx
F ? ma

m

M

J

F dt

d A ? M d? M ? J?

M dt

? F dt ? P ? P

0

? M dt ? L ? L

0

1 2 1 2 ? F d x ? 2 mv ? 2 mv0

1 2 1 2 ? M d? ? J? ? J? 0 2 2
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例题 3-7 一匀质细棒长为 l ,质量为 m,可绕通过 其端点O的水平轴转动,如图所示。当棒从水平位 置自由释放后,它在竖直位置上与放在地面上的物 体相撞。该物体的质量也为m ,它与地面的摩擦系 数为 ?。相撞后物体沿地面滑行一距离 s而停止。 求相撞后棒的质心 C 离地面的最大高度 h,并说明 棒在碰撞后将向左摆或向右摆的条件。 解:这个问题可分为三个阶段 进行分析。第一阶段是棒自由 摆落的过程。这时除重力外, 其余内力与外力都不作功,所 以机械能守恒。我们把棒在竖 直位置时质心所在处取为势能
O C

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零点,用?表示棒这时的角速度,则

l 1 1?1 2 ? 2 2 mg ? J? = ? ml ?? 2 2 2?3 ?

( 1)

第二阶段是碰撞过程。因碰撞时间极短,自由 的冲力极大,物体虽然受到地面的摩擦力,但可以 忽略。这样,棒与物体相撞时,它们组成的系统所 受的对转轴 O的外力矩为零,所以,这个系统的对O 轴的角动量守恒。我们用 v表示物体碰撞后的速度, 则 ?1 ?1 2? 2? (2) ? ml ?? ? mvl ? ? ml ?? ? ?3 ? ?3 ? 式中 ? ’ 为棒在碰撞后的角速度 ,它可正可负。 ?’ 取正值,表示碰后棒向左摆;反之,表示向右 摆。 上页 下页 返回 退出

第三阶段是物体在碰撞后的滑行过程。物体作匀减 速直线运动,加速度由牛顿第二定律求得为
? ?mg ? ma

(3)

由匀减速直线运动的公式得

0 ? v ? 2as
2

亦即

v 2 ? 2?gs

(4)

由式(1)、(2)与(4)联合求解,即得

?? ?

3 gl ? 3 2 ?gs l

(5)

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当?’取正值,则棒向左摆,其条件为

3 gl ? 3 2?gs ? 0
亦即 l >6?s ; 当 ?’ 取负值,则棒向右摆,其条件 为

3 gl ? 3 2?gs ? 0

亦即l <6?s

棒的质心 C 上升的最大高度,与第一阶段情 况相似,也可由机械能守恒定律求得:

1?1 2 ? mgh ? ? ml ?? ? 2 2? 3 ? 把式(5)代入上式,所求结果为

(6)

l h ? ? 3?s ? 6?sl 2
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例题3-8 工程上,常用摩擦啮合器使两飞轮以相同的 转速一起转动。如图所示,A和B两飞轮的轴杆在同一 中心线上,A轮的转动惯量为JA=10kg?m2,B的转动惯 量为 JB=20kg?m2 。开始时 A 轮的转速为 600r/min , B 轮静止。 C 为摩擦啮合器。求两轮啮合后的转速;在 啮合过程中,两轮的机械能有何变化?
A C B A C B

?A

?

?

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解:以飞轮A、B和啮合器C作为一系统来考虑,在 啮合过程中,系统受到轴向的正压力和啮合器间的 切向摩擦力,前者对转轴的力矩为零,后者对转轴 有力矩,但为系统的内力矩。系统没有受到其他外 力矩,所以系统的角动量守恒。按角动量守恒定律 可得

J A? A ? J B? B=? J A ? J B ??
J A? A ? J B? B ?? JA ? JB

?为两轮啮合后共同转动的角速度,于是

以各量的数值代入得

? ? 20.9rad/s
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或共同转速为

n ? 200r/ min
在啮合过程中,摩擦力矩作功,所以机 械能不守恒,部分机械能将转化为热量,损 失的机械能为

1 1 1 2 2 2 ?E ? J A? A ? J B? B ? ? J A ? J B ? ? 2 2 2 ? 1.32 ? 104 J
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例题3-9 恒星晚期在一定条件下,会发生超新星爆 发,这时星体中有大量物质喷入星际空间,同时星 的内核却向内坍缩,成为体积很小的中子星。中子 星是一种异常致密的星体,一汤匙中子星物体就有 几亿吨质量!设某恒星绕自转轴每 45 天转一周,它 的 内 核 半 径 R0 约 为 2?107m , 坍 缩 成 半 径 R 仅 为 6?103m的中子星。试求中子星的角速度。坍缩前后 的星体内核均看作是匀质圆球。 解:在星际空间中,恒星不会受到显著的外力矩,因 此恒星的角动量应该守恒,则它的内核在坍缩前后的 角动量J0?0和J?应相等。因

2 2 2 2 J 0= mR 0 , J= mR 5 5

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代入J0?0=J?中,整理后得

? R0 ? ?=?0 ? ? ? 3r/s ? R ?
由于中子星的致密性和极快的自转角速度,在 星体周围形成极强的磁场,并沿着磁轴的方向发出 很强的无线电波、光或X射线。当这个辐射束扫过地 球时,就能检测到脉冲信号,由此,中子星又叫脉 冲星。目前已探测到的脉冲星超过300个。
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2

例题3-10 图中的宇宙飞船对其中心轴的转动惯量为 J=2?103kg?m2 , 它以 ?=0.2rad/s的角速度绕中心轴旋 转。宇航员用两个切向的控制喷管使飞船停止旋转。 每个喷管的位置与轴线距离都是 r=1.5m。两喷管的喷 气流量恒定,共是 ?=2kg/s 。 废气的喷射速率(相对 于飞船周边) u=50m/s , 并且恒定。问喷管应喷射多 长时间才能使飞船停止旋转。
dm/2

解:把飞船和排出的 废气看作一个系统, 废气质量为m。可以 认为废气质量远小于 飞船的质量,

?u
Lg u dm/2

r

L0

?

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所以原来系统对于飞船中心轴的角动量近似地等 于飞船自身的角动量,即

L0=J?
在喷气过程中,以 dm 表示 dt 时间内喷出的气 体,这些气体对中心轴的角动量为 dm· r(u+v) , 方 向与飞船的角动量相同。因 u=50m/s远大于飞船的 速率v(=?r) , 所以此角动量近似地等于 dm· ru。 在 整个喷气过程中喷出废气的总的角动量Lg应为

Lg=? dm ? ru ? mru
0

m

当宇宙飞船停止旋转时,其角动量为零。系统这时的 总角动量L1就是全部排出的废气的总角动量,即为

L1 ? Lg=mru

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在整个喷射过程中,系统所受的对于飞船中心轴的 外力矩为零,所以系统对于此轴的角动量守恒,即 L0=L1 ,由此得

J?=mru


J? m? ru
J? t? ? ? 2.67s ? ? ru m
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于是所需的时间为

选择进入下一节 §3-0 教学基本要求

§3-1 刚体模型及其运动
§3-2 力矩 转动惯量 定轴转动定律 §3-3 定轴转动中的功能关系 §3-4 定轴转动刚体的角动量定律和角动量守恒定律 §3-5 进动 §3-6 理想流体模型 定常流动 伯努利方程 混沌 §3-7 牛顿力学的内在随机性

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