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高中高一数学下册复习教学知识点归纳总结


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高中高一数学下册复习教学知识点归纳总结
数学平时的积累很重要, 但做好知识梳理也是必不可少的。半期考是进入高 中学习生活的第一次大考,更应做好充分的准备,最好要提前两周复习。 首先,要学会串联知识点。高中试题一般不会只考你一个知识点,而是许多 知识点的融合,应有联系地思维; 其次,要学会归纳方法,做到以不变应万

变。有些题目只是数据上的改动而 已,方法是相通的; 再次, 要适当地做些专项练习来进行巩固和提高。同学们平时要建立自己的 错题库,在考试之前要特别翻看错题,一些成绩好的学生,都习惯在考前把错题 再做一遍。 一切准备好之后, 考试的临场发挥也很关键,所以考试时同学们一定不要太 紧张,更要认真完成每一试题,特别是基础题应做到不失分,这样才可考出较好 成绩。 学习有招提高能力过好三关 很多同学反映,高一数学比初中难太多了,一时无法适应,这主要是因为初 高中数学有很大的不同:一是初中的数学一堂课的知识点少,内容较简单;而高 中数学的内容,特别是新课程实施以后课堂容量大,联系知识点多,往往一个概 念就有文字语言、符号语言和图形语言三种身份。二是方法上的差异。高中数学 始终贯穿的是学习方法,对学习能力的要求较高。 针对这些情况,同学们要怎么学?总的来说,可以从三方面破解: 一、做好预习关,学会“看”和“做”。 平时老师上课之前要先预习好,甚至超前预习一两个模块。只有预习好了, 心里才有底。预习的要领是两个字,“看”和“做”,即先看课本,看完课本之 后,要适当地做些练习,争取掌握大部分的内容。 二、重视听课关,强调“思、记、讲”。
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初中的数学课堂对题目演练较多, 而高中的数学课堂对学生的要求就不一样 了。首先,要带着问题去思考,最好是结合预习的情况有选择性地思考,这是听 课最为重要的一环;其次,要学会记。高中数学的容量大,相对比,初中一节课 才讲一个类型的内容, 而高中一节课就得上六七个类型,一堂课联系的知识点也 多,所以需要学生及时记忆所学的东西;再次,要能讲。有些东西要能说得出来 才掌握得更好,才能跟老师合拍,思维跟得上,同时也有助于培养自己的课堂注 意力。 三、拿下作业关,侧重“做、练、查、结”。 要拿下作业关,首先是“查”。由于现在学生做的习题很多不是课本上的原 题,做作业之前,同学们要查找参考书,看上面的例题和解题方法,学会自学; 其次,要保证一定量的练习,初中可能只要求做两三道题就可以了,可是高中可 能就要求你做十来题了,要保证一定量的练习,才有举一反三之效;再次,做完 作业后,要学会总结。在高容量的高中阶段,一节课、一周的课过后,都要进行 小结,适时地总结自己的学习进程。 高中高一数学必修 1 各章知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对 象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性: 1.元素的确定性;2.元素的互异性;3.元素的无序性 说明:(1)对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或 者是或者不是这个给定的集合的元素。 (2)任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归 入一个集合时,仅算一个元素。 (3)集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两个集合是否一样,
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仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样。 (4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。 3、集合的表示:{…}如{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} 1.用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} 2.集合的表示方法:列举法与描述法。 注意啊:常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集)记作:N 正整数集 N*或 N+整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a 是集合 A 的元素,就说 a 属于集合 A 记作 a∈A,相反,a 不属于集合 A 记作 a?A 列举法:把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上。 描述法: 将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方 法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法:例:不等式 x-3>2 的解集是{x?R|x-3>2}或{x|x-3>2} 4、集合的分类: 1.有限集含有有限个元素的集合 2.无限集含有无限个元素的集合 3.空集不含任何元素的集合例:{x|x2=-5}

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二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意:有两种可能(1)A 是 B 的一部分,;(2)A 与 B 是同一集合。 反之:集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 AB 或 BA 2.“相等”关系(5≥5,且 5≤5,则 5=5) 实例:设 A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同” 结论:对于两个集合 A 与 B,如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元 素,同时,集合 B 的任何一个元素都是集合 A 的元素,我们就说集合 A 等于集合 B,即:A=B ①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果 A?B,且 A?B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集,记作 AB(或 BA) ③如果 A?B,B?C,那么 A?C ④如果 A?B 同时 B?A 那么 A=B 3.不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ 规定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。 三、集合的运算 1.交集的定义:一般地,由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合,叫 做 A,B 的交集. 记作 A∩B(读作”A 交 B”),即 A∩B={x|x∈A,且 x∈B}. 2、并集的定义:一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的 集合,叫做 A,B 的并集。记作:A∪B(读作”A 并 B”),即 A∪B={x|x∈A,或
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x∈B}. 3、交集与并集的性质:A∩A=A,A∩φ =φ ,A∩B=B∩A,A∪A=A, A∪φ =A,A∪B=B∪A. 4、全集与补集 (1)补集:设 S 是一个集合,A 是 S 的一个子集(即),由 S 中所有不属 于 A 的元素组成的集合,叫做 S 中子集 A 的补集(或余集) 记作:CSA 即 CSA={x?x?S 且 x?A} (2)全集:如果集合 S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集 合就可以看作一个全集。通常用 U 来表示。 (3)性质:⑴CU(CUA)=A⑵(CUA)∩A=Φ⑶(CUA)∪A=U 二、函数的有关概念 1.函数的概念:设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f, 使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应, 那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数.记作:y=f(x),x∈A.其 中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的值相对应的 y 值 叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域. 注意:○2 如果只给出解析式 y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定 义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合;○3 函数的定义域、值域要写成 集合或区间的形式. 定义域补充 能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域, 求函数的定义域时列 不等式组的主要依据是:(1)分式的分母不等于零;(2)偶次方根的被开方数不小 于零;(3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是 使各部分都有意义的 x 的值组成的集合. (6) 指数为零底不可以等于零(6)实际问 题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
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(又注意:求出不等式组的解集即为函数的定义域。) 2.构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域 再注意:(1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是 由定义域和对应关系决定的, 所以, 如果两个函数的定义域和对应关系完全一致, 即称这两个函数相等(或为同一函数)(2)两个函数相等当且仅当它们的定义 域和对应关系完全一致, 而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断 方法:①表达式相同;②定义域一致(两点必须同时具备) (见课本 21 页相关例 2) 值域补充 (1)、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采取什么方法求函数的值 域都应先考虑其定义域.(2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及 各三角函数的值域,它是求解复杂函数值域的基础。 3.函数图象知识归纳 (1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x),(x∈A)中的 x 为横坐标,函 数值 y 为纵坐标的点 P(x,y)的集合 C,叫做函数 y=f(x),(x∈A)的图象. C 上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系 y=f(x),反过来,以满足 y=f(x)的 每一组有序实数对 x、y 为坐标的点(x,y),均在 C 上.即记为 C={P(x,y)|y=f(x),x ∈A} 图象 C 一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与 Y 轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。 (2)画法 A、描点法:根据函数解析式和定义域,求出 x,y 的一些对应值并列表,以 (x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点 P(x,y),最后用平滑的曲线将这些点连接起 来. B、图象变换法(请参考必修 4 三角函数)
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常用变换方法有三种,即平移变换、伸缩变换和对称变换 (3)作用: 1、直观的看出函数的性质;2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提 高解题的速度。 发现解题中的错误。 4.快去了解区间的概念 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间;(2)无穷区间;(3) 区间的数轴表示. 5.什么叫做映射 一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则 f,使 对于集合 A 中的任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应, 那么就称对应 f:AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“f:AB” 给定一个集合 A 到 B 的映射,如果 a∈A,b∈B.且元素 a 和元素 b 对应,那 么,我们把元素 b 叫做元素 a 的象,元素 a 叫做元素 b 的原象 说明:函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应,①集合 A、B 及对 应法则 f 是确定的;②对应法则有“方向性”,即强调从集合 A 到集合 B 的对 应,它与从 B 到 A 的对应关系一般是不同的;③对于映射 f:A→B 来说,则应 满足:(Ⅰ)集合 A 中的每一个元素,在集合 B 中都有象,并且象是唯一的; (Ⅱ)集合 A 中不同的元素,在集合 B 中对应的象可以是同一个;(Ⅲ)不要 求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。 6.常用的函数表示法及各自的优点: ○1 函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等, 注意判断一个图形是否是函数图象的依据;○2 解析法:必须注明函数的定义域; ○3 图象法:描点法作图要注意:确定函数的定义域;化简函数的解析式;观察 函数的特征;○4 列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征.

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注意啊:解析法:便于算出函数值。列表法:便于查出函数值。图象法:便 于量出函数值 补充一:分段函数(参见课本 P24-25) 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 在不同的范围里求函数 值时必须把自变量代入相应的表达式。 分段函数的解析式不能写成几个不同的方 程, 而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各部 分的自变量的取值情况.(1)分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函 数;(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集. 补充二:复合函数 如果 y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x),(x∈A)称为 f、g 的 复合函数。 例如:y=2sinXy=2cos(X2+1) 7.函数单调性 (1).增函数 设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两 个自变量 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说 f(x)在区间 D 上是 增函数。区间 D 称为 y=f(x)的单调增区间(睇清楚课本单调区间的概念) 如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1, x2, 当 x1<x2 时, 都有 f(x1) >f(x2),那么就说 f(x)在这个区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调减区间. 注意:○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部 性质; ○2 必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2;当 x1<x2 时,总有 f(x1)<f(x2)。 (2)图象的特点 如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数, 那么说函数 y=f(x)在这一区
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间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函 数的图象从左到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A)定义法: ○1 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2;○2 作差 f(x1)-f(x2);○3 变形(通常是 因式分解和配方);○4 定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负);○5 下结论(指 出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性). (B)图象法(从图象上看升降)_ (C)复合函数的单调性 复合函数 f[g(x)]的单调性与构成它的函数 u=g(x),y=f(u)的单调性密切相 关,其规律如下: 函数单调性 u=g(x)增增减减 y=f(u)增减增减 y=f[g(x)]增减减增 注意:1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区 间和在一起写成其并集.2、 还记得我们在选修里学习简单易行的导数法判定单调 性吗? 8.函数的奇偶性 (1)偶函数 一般地, 对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x, 都有 f(-x)=f(x), 那么 f(x) 就叫做偶函数. (2).奇函数
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一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=—f(x),那么 f(x)就叫做奇函数. 注意:○1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函 数的整体性质;函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。 ○2 由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定 义域内的任意一个 x,则-x 也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原 点对称). (3)具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于 y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称. 总结:利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:○1 首先确定函数的定义域, 并判断其定义域是否关于原点对称;○2 确定 f(-x)与 f(x)的关系;○3 作出相应 结论: 若 f(-x)=f(x)或 f(-x)-f(x)=0, 则 f(x)是偶函数; 若 f(-x)=-f(x)或 f(- x)+f(x)=0,则 f(x)是奇函数. 注意啊: 函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函 数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,(1)再 根据定义判定 ;(2) 有时判定 f(-x)= ± f(x) 比较困难,可考虑根据是否有 f(-x) ± f(x)=0 或 f(x)/f(-x)=±1 来判定;(3)利用定理,或借助函数的图象判定. 9、函数的解析表达式 (1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系 时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域. (2).求函数的解析式的主要方法有:待定系数法、换元法、消参法等,如 果已知函数解析式的构造时, 可用待定系数法; 已知复合函数 f[g(x)]的表达式时, 可用换元法, 这时要注意元的取值范围; 当已知表达式较简单时, 也可用凑配法; 若已知抽象函数表达式,则常用解方程组消参的方法求出 f(x) 10.函数最大(小)值(定义见课本 p36 页) ○1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值○2 利用图象求函
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数的最大 (小) 值○3 利用函数单调性的判断函数的最大 (小) 值: 如果函数 y=f(x) 在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数 y=f(x)在 x=b 处有最 大值 f(b);如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增 则函数 y=f(x)在 x=b 处有最小值 f(b); 第二章基本初等函数 一、指数函数 (一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念:一般地,如果,那么叫做的次方根(nthroot),其中>1, 且∈*. 当是奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负数.此时, 的 次 方 根 用 符 号 表 示 . 式 子 叫 做 根 式 ( radical ) , 这 里 叫 做 根 指 数 (radicalexponent),叫做被开方数(radicand). 当是偶数时,正数的次方根有两个,这两个数互为相反数.此时,正数的正 的次方根用符号表示, 负的次方根用符号-表示.正的次方根与负的次方根可以 合并成±(>0).由此可得:负数没有偶次方根;0 的任何次方根都是 0,记作。 注意:当是奇数时,,当是偶数时, 2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定: 0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 指出: 规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理 数指数,那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂. 3.实数指数幂的运算性质

(二)指数函数及其性质

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1、 指数函数的概念: 一般地, 函数叫做指数函数 (exponentialfunction) , 其中 x 是自变量,函数的定义域为 R. 注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和 1. 2、指数函数的图象和性质 a>10<a<1 图象特征函数性质 向 x、y 轴正负方向无限延伸函数的定义域为 R 图象关于原点和 y 轴不对称非奇非偶函数 函数图象都在 x 轴上方函数的值域为 R+ 函数图象都过定点(0,1) 自左向右看, 图象逐渐上升自左向右看, 图象逐渐下降增函数减函数 在第一象限内的图象纵坐标都大于 1 在第一象限内的图象纵坐标都小于 1 在第二象限内的图象纵坐标都小于 1 在第二象限内的图象纵坐标都大于 1 图象上升趋势是越来越陡图象上升趋势是越来越缓函数值开始增长较慢, 到 了某一值后增长速度极快;函数值开始减小极快,到了某一值后减小速度较慢; 注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出: (1)在[a,b]上,值域是或; (2)若,则;取遍所有正数当且仅当;

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(3)对于指数函数,总有; (4)当时,若,则; 二、对数函数 (一)对数 1.对数的概念:一般地,如果,那么数叫做以为底的对数,记作:(—底 数,—真数,—对数式) 说明:○1 注意底数的限制,且; ○2; ○3 注意对数的书写格式. 两个重要对数: ○1 常用对数:以 10 为底的对数; ○2 自然对数:以无理数为底的对数的对数. 2、对数式与指数式的互化 对数式指数式 对数底数←→幂底数 对数←→指数 真数←→幂 (二)对数的运算性质 如果,且,,,那么: ○1?+;
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○2-; ○3. 注意:换底公式 (,且;,且;). 利用换底公式推导下面的结论(1);(2). (二)对数函数 1、对数函数的概念:函数,且叫做对数函数,其中是自变量,函数的定义 域是(0,+∞). 注意:○1 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。 如:,都不是对数函数,而只能称其为对数型函数. ○2 对数函数对底数的限制:,且. 2、对数函数的性质: a>10<a<1 图象特征函数性质 函数图象都在 y 轴右侧函数的定义域为(0,+∞) 图象关于原点和 y 轴不对称非奇非偶函数 向 y 轴正负方向无限延伸函数的值域为 R 函数图象都过定点(1,0) 自左向右看,

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图象逐渐上升自左向右看, 图象逐渐下降增函数减函数 第一象限的图象纵坐标都大于 0 第一象限的图象纵坐标都大于 0 第二象限的图象纵坐标都小于 0 第二象限的图象纵坐标都小于 0 (三)幂函数 1、幂函数定义:一般地,形如的函数称为幂函数,其中为常数. 2、幂函数性质归纳. (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1); (2)时,幂函数的图象通过原点,并且在区间上是增函数.特别地,当时, 幂函数的图象下凸;当时,幂函数的图象上凸; (3)时,幂函数的图象在区间上是减函数.在第一象限内,当从右边趋向 原点时,图象在轴右方无限地逼近轴正半轴,当趋于时,图象在轴上方无限地逼 近轴正半轴. 第三章函数的应用 一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念:对于函数,把使成立的实数叫做函数的零点。 2、函数零点的意义:函数的零点就是方程实数根,亦即函数的图象与轴交 点的横坐标。即: 方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点. 3、函数零点的求法: 求函数的零点:

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○1(代数法)求方程的实数根; ○2(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数的图象联系起 来,并利用函数的性质找出零点. 4、二次函数的零点: 二次函数. 1)△>0,方程有两不等实根,二次函数的图象与轴有两个交点,二次函 数有两个零点. 2)△=0,方程有两相等实根(二重根),二次函数的图象与轴有一个交 点,二次函数有一个二重零点或二阶零点. 3)△<0,方程无实根,二次函数的图象与轴无交点,二次函数无零点. 高中数学知识口诀 根据多年的实践,总结规律繁化简;概括知识难变易,高中数学巧记忆。 言简意赅易上口,结合课本胜一筹。始生之物形必丑,抛砖引得白玉出。 一、《集合与函数》 内容子交并补集,还有幂指对函数。性质奇偶与增减,观察图象最明显。 复合函数式出现,性质乘法法则辨,若要详细证明它,还须将那定义抓。 指数与对数函数,两者互为反函数。底数非1的正数,1两边增减变故。 函数定义域好求。分母不能等于0,偶次方根须非负,零和负数无对数; 正切函数角不直,余切函数角不平;其余函数实数集,多种情况求交集。 两个互为反函数,单调性质都相同;图象互为轴对称,Y=X是对称轴; 求解非常有规律,反解换元定义域;反函数的定义域,原来函数的值域。
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幂函数性质易记,指数化既约分数;函数性质看指数,奇母奇子奇函数, 奇母偶子偶函数,偶母非奇偶函数;图象第一象限内,函数增减看正负。 二、《三角函数》 三角函数是函数,象限符号坐标注。函数图象单位圆,周期奇偶增减现。 同角关系很重要,化简证明都需要。正六边形顶点处,从上到下弦切割; 中心记上数字1,连结顶点三角形;向下三角平方和,倒数关系是对角, 顶点任意一函数,等于后面两根除。诱导公式就是好,负化正后大化小, 变成税角好查表,化简证明少不了。二的一半整数倍,奇数化余偶不变, 将其后者视锐角,符号原来函数判。两角和的余弦值,化为单角好求值, 余弦积减正弦积,换角变形众公式。和差化积须同名,互余角度变名称。 计算证明角先行,注意结构函数名,保持基本量不变,繁难向着简易变。 逆反原则作指导,升幂降次和差积。条件等式的证明,方程思想指路明。 万能公式不一般,化为有理式居先。公式顺用和逆用,变形运用加巧用; 1加余弦想余弦,1减余弦想正弦,幂升一次角减半,升幂降次它为范; 三角函数反函数,实质就是求角度,先求三角函数值,再判角取值范围; 利用直角三角形,形象直观好换名,简单三角的方程,化为最简求解集; 三、《不等式》 解不等式的途径,利用函数的性质。对指无理不等式,化为有理不等式。 高次向着低次代,步步转化要等价。数形之间互转化,帮助解答作用大。
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证不等式的方法,实数性质威力大。求差与0比大小,作商和1争高下。 直接困难分析好,思路清晰综合法。非负常用基本式,正面难则反证法。 还有重要不等式,以及数学归纳法。图形函数来帮助,画图建模构造法。 四、《数列》 等差等比两数列,通项公式N项和。两个有限求极限,四则运算顺序换。 数列问题多变幻,方程化归整体算。数列求和比较难,错位相消巧转换, 取长补短高斯法,裂项求和公式算。归纳思想非常好,编个程序好思考: 一算二看三联想,猜测证明不可少。还有数学归纳法,证明步骤程序化: 首先验证再假定,从K向着 K 加1,推论过程须详尽,归纳原理来肯定。 五、《复数》 虚数单位i一出,数集扩大到复数。一个复数一对数,横纵坐标实虚部。 对应复平面上点,原点与它连成箭。箭杆与X轴正向,所成便是辐角度。 箭杆的长即是模,常将数形来结合。代数几何三角式,相互转化试一试。 代数运算的实质,有i多项式运算。i的正整数次慕,四个数值周期现。 一些重要的结论,熟记巧用得结果。虚实互化本领大,复数相等来转化。 利用方程思想解,注意整体代换术。几何运算图上看,加法平行四边形, 减法三角法则判;乘法除法的运算,逆向顺向做旋转,伸缩全年模长短。 三角形式的运算,须将辐角和模辨。利用棣莫弗公式,乘方开方极方便。 辐角运算很奇特,和差是由积商得。四条性质离不得,相等和模与共轭,
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两个不会为实数,比较大小要不得。复数实数很密切,须注意本质区别。 六、《排列、组合、二项式定理》 加法乘法两原理,贯穿始终的法则。与序无关是组合,要求有序是排列。 两个公式两性质,两种思想和方法。归纳出排列组合,应用问题须转化。 排列组合在一起,先选后排是常理。特殊元素和位置,首先注意多考虑。 不重不漏多思考,捆绑插空是技巧。排列组合恒等式,定义证明建模试。 关于二项式定理,中国杨辉三角形。两条性质两公式,函数赋值变换式。 七、《立体几何》 点线面三位一体,柱锥台球为代表。距离都从点出发,角度皆为线线成。 垂直平行是重点,证明须弄清概念。线线线面和面面、三对之间循环现。 方程思想整体求,化归意识动割补。计算之前须证明,画好移出的图形。 立体几何辅助线,常用垂线和平面。射影概念很重要,对于解题最关键。 异面直线二面角,体积射影公式活。公理性质三垂线,解决问题一大片。 八、《平面解析几何》 有向线段直线圆,椭圆双曲抛物线,参数方程极坐标,数形结合称典范。 笛卡尔的观点对,点和有序实数对,两者—一来对应,开创几何新途径。 两种思想相辉映,化归思想打前阵;都说待定系数法,实为方程组思想。 三种类型集大成,画出曲线求方程,给了方程作曲线,曲线位置关系判。 四件工具是法宝,坐标思想参数好;平面几何不能丢,旋转变换复数求。
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解析几何是几何,得意忘形学不活。图形直观数入微,数学本是数形学。 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA) 倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A)ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a 半角公式 sin(A/2)=√((1-cosA)/2)sin(A/2)=-√((1-cosA)/2) cos(A/2)=√((1+cosA)/2)cos(A/2)=-√((1+cosA)/2) tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA))ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) 和差化积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)
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sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/ 2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosBtanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB-ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB 某些数列前 n 项和 1+2+3+4+5+6+7+8+9+ … +n=n(n+1)/21+3+5+7+9+11+13+15+ … +(2n-1)=n2 2+4+6+8+10+12+14+ … +(2n)=n(n+1)12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6 13+23+33+43+53+63+ … n3=n2(n+1)2/41*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注:其中 R 表示三角形的外接圆半 径 余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注:角 B 是边 a 和边 c 的夹角 弧长公式 l=a*ra 是圆心角的弧度数 r>0 扇形面积公式 s=1/2*l*r 乘法与因式分 a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b(a2+ab+b2) 三角不等式|a+b|≤|a|+|b||a-b|≤|a|+|b||a|≤b<=>-b≤a≤b |a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a| 一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a-b-√(b2-4ac)/2a 根与系数的关系 X1+X2=-b/aX1*X2=c/a 注:韦达定理
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判别式 b2-4ac=0 注:方程有两个相等的实根 b2-4ac>0 注:方程有两个不等的实根 b2-4ac<0 注:方程没有实根,有共轭复数根 降幂公式 (sin^2)x=1-cos2x/2 (cos^2)x=i=cos2x/2 万能公式 令 tan(a/2)=t sina=2t/(1+t^2) cosa=(1-t^2)/(1+t^2) tana=2t/(1-t^2) 一、集合与简易逻辑: 一、理解集合中的有关概念 (1)集合中元素的特征:确定性,互异性,无序性。 集合元素的互异性:如:,,求; (2)集合与元素的关系用符号,表示。 (3)常用数集的符号表示:自然数集;正整数集、;整数集;有理数集、 实数集。

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(4)集合的表示法:列举法,描述法,韦恩图。 注意:区分集合中元素的形式:如:;;;;; ; (5)空集是指不含任何元素的集合。(、和的区别;0 与三者间的关系) 空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。 注意:条件为,在讨论的时候不要遗忘了的情况。 如:,如果,求的取值。 二、集合间的关系及其运算 (1)符号“”是表示元素与集合之间关系的,立体几何中的体现点与直线 (面)的关系; 符号“”是表示集合与集合之间关系的,立体几何中的体现面与直线(面)的 关系。 (2);; (3)对于任意集合,则: ①;;; ②;; ;; ③;; (4)①若为偶数,则;若为奇数,则; ②若被 3 除余 0,则;若被 3 除余 1,则;若被 3 除余 2,则;

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三、集合中元素的个数的计算: (1)若集合中有个元素,则集合的所有不同的子集个数为_________,所有 真子集的个数是__________,所有非空真子集的个数是。 (2)中元素的个数的计算公式为:; (3)韦恩图的运用: 四、满足条件,满足条件, 若;则是的充分非必要条件; 若;则是的必要非充分条件; 若;则是的充要条件; 若;则是的既非充分又非必要条件; 五、原命题与逆否命题,否命题与逆命题具有相同的; 注意:“若,则”在解题中的运用, 如:“”是“”的条件。 六、反证法:当证明“若,则”感到困难时,改证它的等价命题“若则”成 立, 步骤:1、假设结论反面成立;2、从这个假设出发,推理论证,得出矛盾; 3、由矛盾判断假设不成立,从而肯定结论正确。 矛盾的来源:1、与原命题的条件矛盾;2、导出与假设相矛盾的命题;3、 导出一个恒假命题。 适用与待证命题的结论涉及“不可能”、“不是”、“至少”、“至多”、 “唯一”等字眼时。 正面词语等于大于小于是都是至多有一个
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否定 正面词语至少有一个任意的所有的至多有 n 个任意两个 否定 二、函数 一、映射与函数: (1)映射的概念:(2)一一映射:(3)函数的概念: 如:若,;问:到的映射有个,到的映射有个;到的函数有个,若,则到的 一一映射有个。 函数的图象与直线交点的个数为个。 二、函数的三要素:,,。 相同函数的判断方法:①;②(两点必须同时具备) (1)函数解析式的求法: ①定义法(拼凑):②换元法:③待定系数法:④赋值法: (2)函数定义域的求法: ①,则;②则; ③,则;④如:,则; ⑤含参问题的定义域要分类讨论; 如:已知函数的定义域是,求的定义域。 ⑥对于实际问题,在求出函数解析式后;必须求出其定义域,此时的定义域 要根据实际意义来确定。如:已知扇形的周长为 20,半径为,扇形面积为,则;
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定义域为。 (3)函数值域的求法: ①配方法:转化为二次函数,利用二次函数的特征来求值;常转化为型如: 的形式; ②逆求法(反求法):通过反解,用来表示,再由的取值范围,通过解不等 式,得出的取值范围;常用来解,型如:; ④换元法:通过变量代换转化为能求值域的函数,化归思想; ⑤三角有界法:转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值 域; ⑥基本不等式法:转化成型如:,利用平均值不等式公式来求值域; ⑦单调性法:函数为单调函数,可根据函数的单调性求值域。 ⑧数形结合:根据函数的几何图形,利用数型结合的方法来求值域。 求下列函数的值域:①(2 种方法); ②(2 种方法);③(2 种方法); 三、函数的性质: 函数的单调性、奇偶性、周期性 单调性:定义:注意定义是相对与某个具体的区间而言。 判定方法有:定义法(作差比较和作商比较) 导数法(适用于多项式函数) 复合函数法和图像法。 应用:比较大小,证明不等式,解不等式。
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奇偶性:定义:注意区间是否关于原点对称,比较 f(x)与 f(-x)的关系。f(x) -f(-x)=0f(x)=f(-x)f(x)为偶函数; f(x)+f(-x)=0f(x)=-f(-x)f(x)为奇函数。 判别方法:定义法,图像法,复合函数法 应用:把函数值进行转化求解。 周期性:定义:若函数 f(x)对定义域内的任意 x 满足:f(x+T)=f(x),则 T 为 函数 f(x)的周期。 其他:若函数 f(x)对定义域内的任意 x 满足:f(x+a)=f(x-a),则 2a 为函数 f(x)的周期. 应用:求函数值和某个区间上的函数解析式。 四、图形变换:函数图像变换:(重点)要求掌握常见基本函数的图像,掌 握函数图像变换的一般规律。 常见图像变化规律: (注意平移变化能够用向量的语言解释,和按向量平移 联系起来思考) 平移变换 y=f(x)→y=f(x+a),y=f(x)+b 注意:(ⅰ)有系数,要先提取系数。如:把函数 y=f(2x)经过平移得到函 数 y=f(2x+4)的图象。 (ⅱ)会结合向量的平移,理解按照向量(m,n)平移的意义。 对称变换 y=f(x)→y=f(-x),关于 y 轴对称 y=f(x)→y=-f(x),关于 x 轴对称 y=f(x)→y=f|x|,把 x 轴上方的图象保留,x 轴下方的图象关于 x 轴对称 y=f(x)→y=|f(x)|把 y 轴右边的图象保留,然后将 y 轴右边部分关于 y 轴对
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称。(注意:它是一个偶函数) 伸缩变换:y=f(x)→y=f(ω x), y=f(x)→y=Af(ω x+φ )具体参照三角函数的图象变换。 一个重要结论:若 f(a-x)=f(a+x),则函数 y=f(x)的图像关于直线 x=a 对 称; 如:的图象如图,作出下列函数图象: (1);(2); (3);(4); (5);(6); (7);(8); (9)。 五、反函数: (1)定义: (2)函数存在反函数的条件:; (3)互为反函数的定义域与值域的关系:; (4)求反函数的步骤:①将看成关于的方程,解出,若有两解,要注意解 的选择;②将互换,得;③写出反函数的定义域(即的值域)。 (5)互为反函数的图象间的关系:; (6)原函数与反函数具有相同的单调性; (7)原函数为奇函数,则其反函数仍为奇函数;原函数为偶函数,它一定 不存在反函数。
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如:求下列函数的反函数:;; 七、常用的初等函数: (1)一元一次函数:,当时,是增函数;当时,是减函数; (2)一元二次函数: 一般式:;对称轴方程是;顶点为; 两点式:;对称轴方程是;与轴的交点为; 顶点式:;对称轴方程是;顶点为; ①一元二次函数的单调性: 当时:为增函数;为减函数;当时:为增函数;为减函数; ②二次函数求最值问题:首先要采用配方法,化为的形式, Ⅰ、若顶点的横坐标在给定的区间上,则 时:在顶点处取得最小值,最大值在距离对称轴较远的端点处取得; 时:在顶点处取得最大值,最小值在距离对称轴较远的端点处取得; Ⅱ、若顶点的横坐标不在给定的区间上,则 时: 最小值在距离对称轴较近的端点处取得,最大值在距离对称轴较远的端 点处取得; 时: 最大值在距离对称轴较近的端点处取得,最小值在距离对称轴较远的端 点处取得; 有三个类型题型: (1)顶点固定,区间也固定。如:
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(2)顶点含参数(即顶点变动),区间固定,这时要讨论顶点横坐标何时在区间 之内,何时在区间之外。 (3)顶点固定,区间变动,这时要讨论区间中的参数. ③二次方程实数根的分布问题:设实系数一元二次方程的两根为;则: 根的情况 等价命题在区间上有两根在区间上有两根在区间或上有一根 充要条件 注意: 若在闭区间讨论方程有实数解的情况,可先利用在开区间上实根分布 的情况,得出结果,在令和检查端点的情况。 (3)反比例函数: (4)指数函数: 指数运算法则:;;。 指数函数:y=(a>o,a≠1),图象恒过点(0,1),单调性与 a 的值有关, 在解题中,往往要对 a 分 a>1 和 0<a<1 两种情况进行讨论,要能够画出函数 图象的简图。 (5)对数函数: 指数运算法则:;;; 对数函数:y=(a>o,a≠1)图象恒过点(1,0),单调性与 a 的值有关,在 解题中,往往要对 a 分 a>1 和 0<a<1 两种情况进行讨论,要能够画出函数图 象的简图。 注意:(1)与的图象关系是; (2) 比较两个指数或对数的大小的基本方法是构造相应的指数或对数函数,
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若底数不相同时转化为同底数的指数或对数,还要注意与 1 比较或与 0 比较。 (3)已知函数的定义域为,求的取值范围。 已知函数的值域为,求的取值范围。 六、的图象: 定义域:;值域:;奇偶性:;单调性:是增函数;是减函数。 七、补充内容: 抽象函数的性质所对应的一些具体特殊函数模型: ①正比例函数 ②;; ③;; ④; 三、导数 1.求导法则: (c)/=0 这里 c 是常数。即常数的导数值为 0。 (xn)/=nxn - 1 特 别 地 : (x)/=1(x - 1)/=()/= - x-2(f(x) ± g(x))/=f/(x) ± g/(x)(k?f(x))/=k?f/(x) 2.导数的几何物理意义: k=f/(x0)表示过曲线 y=f(x)上的点 P(x0,f(x0))的切线的斜率。 V=s/(t)表示即时速度。a=v/(t)表示加速度。 3.导数的应用:
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①求切线的斜率。 ②导数与函数的单调性的关系 一与为增函数的关系。 能推出为增函数,但反之不一定。如函数在上单调递增,但,∴是为增函数 的充分不必要条件。 二时,与为增函数的关系。 若将的根作为分界点,因为规定,即抠去了分界点,此时为增函数,就一定 有。∴当时,是为增函数的充分必要条件。 三与为增函数的关系。 为增函数,一定可以推出,但反之不一定,因为,即为或。当函数在某个区 间内恒有,则为常数,函数不具有单调性。∴是为增函数的必要不充分条件。 函数的单调性是函数一条重要性质,也是高中阶段研究的重点,我们一定要 把握好以上三个关系, 用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间 的端点问题, 都一律用开区间作为单调区间, 避免讨论以上问题, 也简化了问题。 但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题,要谨慎处理。 四单调区间的求解过程,已知(1)分析的定义域;(2)求导数(3)解不等 式,解集在定义域内的部分为增区间(4)解不等式,解集在定义域内的部分为 减区间。 我们在应用导数判断函数的单调性时一定要搞清以下三个关系, 才能准确无 误地判断函数的单调性。 以下以增函数为例作简单的分析,前提条件都是函数在 某个区间内可导。 ③求极值、求最值。 注意:极值≠最值。函数 f(x)在区间[a,b]上的最大值为极大值和 f(a)、f(b) 中最大的一个。最小值为极小值和 f(a)、f(b)中最小的一个。

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f/(x0)=0 不能得到当 x=x0 时,函数有极值。 但是,当 x=x0 时,函数有极值 f/(x0)=0 判断极值,还需结合函数的单调性说明。 4.导数的常规问题: (1)刻画函数(比初等方法精确细微); (2)同几何中切线联系(导数方法可用于研究平面曲线的切线); (3)应用问题(初等方法往往技巧性要求较高,而导数方法显得简便)等 关于次多项式的导数问题属于较难类型。 2.关于函数特征,最值问题较多,所以有必要专项讨论,导数法求最值要 比初等方法快捷简便。 3.导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型,也是高考中考 察综合能力的一个方向,应引起注意。 四、不等式 一、不等式的基本性质: 注意:(1)特值法是判断不等式命题是否成立的一种方法,此法尤其适用于 不成立的命题。 (2)注意课本上的几个性质,另外需要特别注意: ①若 ab>0,则。即不等式两边同号时,不等式两边取倒数,不等号方向要 改变。 ②如果对不等式两边同时乘以一个代数式,要注意它的正负号,如果正负号 未定,要注意分类讨论。 ③图象法:利用有关函数的图象(指数函数、对数函数、二次函数、三角函 数的图象),直接比较大小。
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④中介值法:先把要比较的代数式与“ 0”比,与“1”比,然后再比较它 们的大小 二、均值不等式:两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 若,则(当且仅当时取等号) 基本变形:①;; ②若,则, 基本应用:①放缩,变形; ②求函数最值:注意:①一正二定三取等;②积定和小,和定积大。 当(常数),当且仅当时,; 当(常数),当且仅当时,; 常用的方法为:拆、凑、平方; 如:①函数的最小值。 ②若正数满足,则的最小值。 三、绝对值不等式: 注意:上述等号“=”成立的条件; 四、常用的基本不等式: (1)设,则(当且仅当时取等号) (2)(当且仅当时取等号);(当且仅当时取等号) (3);;

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五、证明不等式常用方法: (1)比较法:作差比较: 作差比较的步骤: ⑴作差:对要比较大小的两个数(或式)作差。 ⑵变形:对差进行因式分解或配方成几个数(或式)的完全平方和。 ⑶判断差的符号:结合变形的结果及题设条件判断差的符号。 注意:若两个正数作差比较有困难,可以通过它们的平方差来比较大小。 (2)综合法:由因导果。 (3)分析法:执果索因。基本步骤:要证……只需证……,只需证…… (4)反证法:正难则反。 (5)放缩法:将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。 放缩法的方法有: ⑴添加或舍去一些项,如:; ⑵将分子或分母放大(或缩小) ⑶利用基本不等式,如:; ⑷利用常用结论: Ⅰ、; Ⅱ、;(程度大) Ⅲ、;(程度小)

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(6)换元法:换元的目的就是减少不等式中变量,以使问题化难为易,化 繁为简,常用的换元有三角换元和代数换元。如: 已知,可设; 已知,可设(); 已知,可设; 已知,可设; (7)构造法:通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式; 六、不等式的解法: (1)一元一次不等式: Ⅰ、:⑴若,则;⑵若,则; Ⅱ、:⑴若,则;⑵若,则; (2)一元二次不等式:一元二次不等式二次项系数小于零的,同解变形为 二次项系数大于零;注:要对进行讨论: (5)绝对值不等式:若,则;; 注意:(1).几何意义::;:; (2)解有关绝对值的问题,考虑去绝对值,去绝对值的方法有: ⑴对绝对值内的部分按大于、等于、小于零进行讨论去绝对值;①若则;② 若则;③若则; (3).通过两边平方去绝对值;需要注意的是不等号两边为非负值。 (4).含有多个绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法来解。 (6)分式不等式的解法:通解变形为整式不等式;
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⑴;⑵; ⑶;⑷; (7)不等式组的解法:分别求出不等式组中,每个不等式的解集,然后求 其交集,即是这个不等式组的解集,在求交集中,通常把每个不等式的解集画在 同一条数轴上,取它们的公共部分。 (8)解含有参数的不等式: 解含参数的不等式时,首先应注意考察是否需要进行分类讨论.如果遇到下 述情况则一般需要讨论: ①不等式两端乘除一个含参数的式子时, 则需讨论这个式子的正、 负、 零性. ②在求解过程中,需要使用指数函数、对数函数的单调性时,则需对它们的 底数进行讨论. ③在解含有字母的一元二次不等式时,需要考虑相应的二次函数的开口方 向,对应的一元二次方程根的状况(有时要分析△),比较两个根的大小,设根为 (或更多)但含参数,要分、、讨论。 五、数列 本章是高考命题的主体内容之一,应切实进行全面、深入地复习,并在此基 础上,突出解决下述几个问题:(1)等差、等比数列的证明须用定义证明,值 得注意的是,若给出一个数列的前项和,则其通项为若满足则通项公式可写成. (2)数列计算是本章的中心内容,利用等差数列和等比数列的通项公式、前项 和公式及其性质熟练地进行计算,是高考命题重点考查的内容.(3)解答有关数 列问题时,经常要运用各种数学思想.善于使用各种数学思想解答数列题,是我 们复习应达到的目标.①函数思想:等差等比数列的通项公式求和公式都可以看 作是的函数,所以等差等比数列的某些问题可以化为函数问题求解. ②分类讨论思想: 用等比数列求和公式应分为及; 已知求时, 也要进行分类; ③整体思想:在解数列问题时,应注意摆脱呆板使用公式求解的思维定势, 运用整
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体思想求解. (4)在解答有关的数列应用题时,要认真地进行分析,将实际问题抽象化, 转化为数学问题,再利用有关数列知识和方法来解决.解答此类应用题是数学能 力的综合运用,决不是简单地模仿和套用所能完成的.特别注意与年份有关的等 比数列的第几项不要弄错. 一、基本概念: 1、数列的定义及表示方法: 2、数列的项与项数: 3、有穷数列与无穷数列: 4、递增(减)、摆动、循环数列: 5、数列{an}的通项公式 an: 6、数列的前 n 项和公式 Sn: 7、等差数列、公差 d、等差数列的结构: 8、等比数列、公比 q、等比数列的结构: 二、基本公式: 9、一般数列的通项 an 与前 n 项和 Sn 的关系:an= 10、 等差数列的通项公式: an=a1+(n-1)dan=ak+(n-k)d(其中 a1 为首项、 ak 为已知的第 k 项)当 d≠0 时,an 是关于 n 的一次式;当 d=0 时,an 是一个 常数。 11、等差数列的前 n 项和公式:Sn=Sn=Sn= 当 d≠0 时, Sn 是关于 n 的二次式且常数项为 0; 当 d=0 时 (a1≠0) , Sn=na1 是关于 n 的正比例式。
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12、等比数列的通项公式:an=a1qn-1an=akqn-k (其中 a1 为首项、ak 为已知的第 k 项,an≠0) 13、 等比数列的前 n 项和公式: 当 q=1 时, Sn=na1(是关于 n 的正比例式); 当 q≠1 时,Sn=Sn= 三、有关等差、等比数列的结论 14 、等差数列 {an} 的任意连续 m 项的和构成的数列 Sm 、 S2m-Sm 、 S3m-S2m、S4m-S3m、……仍为等差数列。 15、等差数列{an}中,若 m+n=p+q,则 16、等比数列{an}中,若 m+n=p+q,则 17 、等比数列 {an} 的任意连续 m 项的和构成的数列 Sm 、 S2m-Sm 、 S3m-S2m、S4m-S3m、……仍为等比数列。 18、两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数 列。 19、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列 {anbn}、、仍为等比数列。 20、等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。 21、等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。 22 、 三 个 数 成 等 差 的 设 法 : a-d,a,a+d ; 四 个 数 成 等 差 的 设 法 : a-3d,a-d,,a+d,a+3d 23、三个数成等比的设法:a/q,a,aq; 四个数成等比的错误设法:a/q3,a/q,aq,aq3(为什么?)
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24、{an}为等差数列,则(c>0)是等比数列。 25、{bn}(bn>0)是等比数列,则{logcbn}(c>0 且 c1)是等差数列。 26.在等差数列中: (1)若项数为,则 (2)若数为则,, 27.在等比数列中: (1)若项数为,则 (2)若数为则, 四、数列求和的常用方法:公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法 等。关键是找数列的通项结构。 28、分组法求数列的和:如 an=2n+3n 29、错位相减法求和:如 an=(2n-1)2n 30、裂项法求和:如 an=1/n(n+1) 31、倒序相加法求和:如 an= 32、求数列{an}的最大、最小项的方法: ①an+1-an=……如 an=-2n2+29n-3 ②(an>0)如 an= ③an=f(n)研究函数 f(n)的增减性如 an= 33、在等差数列中,有关 Sn 的最值问题——常用邻项变号法求解:

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(1)当>0,d<0 时,满足的项数 m 使得取最大值. (2)当<0,d>0 时,满足的项数 m 使得取最小值。 在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 六、平面向量 1.基本概念: 向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向 量。 2.加法与减法的代数运算: (1). (2)若 a=(),b=()则 ab=(). 向量加法与减法的几何表示:平行四边形法则、三角形法则。 以向量=、=为邻边作平行四边形 ABCD,则两条对角线的向量=+,=-,=- 且有||-||≤||≤||+||. 向量加法有如下规律:+=+(交换律);+(+c)=(+)+c(结合律); +0=+(-)=0. 3.实数与向量的积:实数与向量的积是一个向量。 (1)||=||·||; (2)当>0 时,与的方向相同;当<0 时,与的方向相反;当=0 时,=0. (3)若=(),则·=(). 两个向量共线的充要条件:
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(1)向量 b 与非零向量共线的充要条件是有且仅有一个实数,使得 b=. (2)若=(),b=()则‖b. 平面向量基本定理: 若 e1、e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向 量,有且只有一对实数,,使得=e1+e2. 4.P 分有向线段所成的比: 设 P1、P2 是直线上两个点,点 P 是上不同于 P1、P2 的任意一点,则存在 一个实数使=,叫做点 P 分有向线段所成的比。 当点 P 在线段上时,>0;当点 P 在线段或的延长线上时,<0; 分点坐标公式:若=;的坐标分别为(),(),();则(≠-1),中点坐 标公式:. 5.向量的数量积: (1).向量的夹角: 已知两个非零向量与 b,作=,=b,则∠AOB=()叫做向量与 b 的夹角。 (2).两个向量的数量积: 已知两个非零向量与 b,它们的夹角为,则·b=||·|b|cos. 其中|b|cos 称为向量 b 在方向上的投影. (3).向量的数量积的性质: 若=(),b=()则 e·=·e=||cos(e 为单位向量); ⊥b·b=0(,b 为非零向量);||=;

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cos==. (4).向量的数量积的运算律: ·b=b·;()·b=(·b)=·(b);(+b)·c=·c+b·c. 6.主要思想与方法: 本章主要树立数形转化和结合的观点,以数代形,以形观数,用代数的运算 处理几何问题, 特别是处理向量的相关位置关系,正确运用共线向量和平面向量 的基本定理, 计算向量的模、 两点的距离、 向量的夹角, 判断两向量是否垂直等。 由于向量是一新的工具,它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来 进行综合考查,是知识的交汇点。 七、立体几何 1.平面的基本性质:掌握三个公理及推论,会说明共点、共线、共面问题。 能够用斜二测法作图。 2.空间两条直线的位置关系:平行、相交、异面的概念; 会求异面直线所成的角和异面直线间的距离; 证明两条直线是异面直线一般 用反证法。 3.直线与平面 ①位置关系:平行、直线在平面内、直线与平面相交。 ②直线与平面平行的判断方法及性质,判定定理是证明平行问题的依据。 ③直线与平面垂直的证明方法有哪些? ④直线与平面所成的角:关键是找它在平面内的射影,范围是{00.900} ⑤三垂线定理及其逆定理:每年高考试题都要考查这个定理.三垂线定理及 其逆定理主要用于证明垂直关系与空间图形的度量.如:证明异面直线垂直,确 定二面角的平面角,确定点到直线的垂线.
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4.平面与平面 (1)位置关系:平行、相交,(垂直是相交的一种特殊情况) (2)掌握平面与平面平行的证明方法和性质。 (3)掌握平面与平面垂直的证明方法和性质定理。尤其是已知两平面垂直, 一般是依据性质定理,可以证明线面垂直。 (4)两平面间的距离问题→点到面的距离问题→ (5)二面角。二面角的平面交的作法及求法: ①定义法,一般要利用图形的对称性;一般在计算时要解斜三角形; ②垂线、斜线、射影法,一般要求平面的垂线好找,一般在计算时要解一个 直角三角形。 ③射影面积法, 一般是二面交的两个面只有一个公共点,两个面的交线不容 易找到时用此法?

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