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A 几何光学(物理竞赛培训)


几何光学

一、几何规律 1 直线传播:光在均匀媒质中沿直线传播
2 反射定律:反射线在入射面内,且与入射线分 居法线两侧,i ? i ' 3 折射定律:折射线在入射面内,且与入射 线分居法线两侧, n1 sin i ? n2 sin r (1)光在不同媒质中的传播速度不同,

n ? c / v 称为媒质对真空的折射率


(2)不同波长的光在同一媒质中传播的速度不相 等,因而 n 与波长有关,一束白光入射某一媒质后, 不同波长光的折射角不同,就出现色散现象。

(3)全反射:当光由光密媒质射向光疏媒质时, 可能出现全反射。

(4)棱镜的偏向角:入射光经三棱镜折射后改变了 方向,出射光线与入射光线之间的夹角称为偏向角。

?? (i1 ? i1 ' ) ? (i2 '?i2 )

?

? i1 '?i2 ? ?
?? ? (i1 ? i2 ' ) ? ?

i1

?
i1 '

i2

i2 '

? 当 i1 , ? 很小时

? ? (ni1 '?ni2 ) ? ? ? (n ? 1)?
? 当棱镜中折射光线与棱镜底面平行时 ? i1 ' ? i2 ? ?? (i1 ? i1 ' ) ? (i2 '?i2 ) 2 ? ? i1 '?i2 ? ?

? ? ? 2i1 ? ?
? ??
2

? i1 ?

i1

?
i1 '

i2

i2 '

? sin

? ??
2

? n sin

?
2

4 光线的独立传播定律和光线可逆原理
5 等光程性

费马原理:光在指定的两点间传播,实际的光 程总是一个极值,即光沿光程为最小值、最大 值或恒定值的路程传播。在一般情况下,实际 光程大多是取极小值。

例1 光导纤维是由玻璃或塑料制成的细丝,直径只 有几十微米,由折射率n1较大的内芯和n2较小的外 套两层组成,光线在内芯传播。对于入射角大于临 界角的那些光线,在两层界面上经历多次全反射后 从另一端面射出。问:为保证光能在光纤中传播, 在光纤端面上的入射角应满足什么条件?

n2 n1

例2 如图所示,将一截面是矩形的玻璃棒(已知棒 的宽为d,折射率为1.5)弯成马蹄形,弯曲部分是 一个半圆(内半径为R),一束光线从一个端面正方 向射入,若要光线从另一端全部射出,则R/d的值至 少是多少?

例3 半圆柱形玻璃的折射率 n ? 2 ,放置在空气中。 在垂直于半圆柱体的平面内,光线以45度角入射在 半圆柱体的平表面上。试问光线从半圆柱体的什么 范围内透出(以角度表示)。

例4 内径为r、外径为R(r<R)的玻璃管装满了发光液体, 液体在伦琴射线的照射下发绿光,玻璃对绿光的折射率为 n1,而液体的折射率为n2。若从旁边看玻璃管,管壁玻璃 厚度仿佛是零,这时r/R应满足什么样的条件?

?
?

n1

1 sin ? ? n1
sin ? r ? sin(? ? ? ) R

n2

R sin ? ? ? sin ?max n1r

n1 ? n2 时 sin ? max

n2 ? n1

n1 ? n2 时 sin ?max ? 1

二、理想成像问题 1 光在平面上反射和折射 (1)平面反射

虚物成实像

实物成虚像

对某个光学系统 入射光束是发散的同心光束,相应的发散中心为实物; 入射的是会聚的同心光束,相应的会聚中心为虚物。 实际光线的交点为实像; 光线反向延长线的交点为虚像。

(2)平面折射 成像规律
n2
p'
p

n1 n2 + = 0 u v

n1

实物 u ? 0 ,虚物 u ? 0 ,实像 v ? 0 ,虚像 v ? 0 入射光线所在的空间称物空间, 出射光线所在的空间称像空间。

2 光在球面上反射和折射
R

B

(1)球面反射
P

C

P?

O

成像规律

1 1 1 ? ? u v f

u

v

R f ? (凹面镜 f ? 0 ,凸面镜 f ? 0) 2
横向放大率

y' v m? ?? y u
m ? 0 表示像正立, m ? 0 表示像倒立

(2)球面折射
n
P
O

B
n'

C
v

P?

u

成像规律

n' n n'? n ? ? v u r

n 为物空间的折射率,n ' 为像空间的折射率
曲率中心在像空间 r ? 0 ,曲率中心在物空间 r ? 0

v / n' 横向放大率 m ? ? u/n

3 薄透镜成像 跟透镜主轴平行的光线经折射后会聚在主轴上 的一点,这点叫做像方焦点(第二焦点)。 如果物体放在主轴上的一点,经透镜成的像在 无限远,这点叫做物方焦点(第一焦点)。

(1)如果透镜两边媒质不同,物方焦距不等于像方焦距。 物方焦距
f1 ? n ? n1 n2 ? n ? r1 r2
物方 n1

n1

像方焦距

n2 f2 ? f1 n1

n

像方 n2

成像规律

f1 f 2 ? ?1 u v

( f ? 0 凸透镜, f ? 0 凹透镜)

(2)如果透镜两边媒质相同,物方焦距等于像方焦距。 成像规律
1 1 1 ? ? u v f

v 横向放大率 m ? ? u

v
2f

v
2f

f f

u
2f

f f
2f

u

凸透镜成像规律与凹 面镜成像规律相同

凹透镜成像规律与凸 面镜成像规律相同

5 简单光学仪器

(1)眼睛
正常眼:远点在无限远,近点约10厘米。 近视眼:远点近移,远处物体只能成像于视网膜前。 矫正:把无限远处的物成像于近视者远点。

1 1 1 ? ? u ? v近视者远点 f
1 度数 ? ? 100 f

远视眼:近点远移,明视距离处的物体只能成像 于视网膜后。矫正:把25厘米处的物成像于远视者 近点。

1 u 25cm

?

1 v远视者近点

1 ? f

(2)放大镜

当眼睛位于放大镜的焦点附近时,虚像对眼睛的视 角表示为 y' y
θ' ? ? 像 距 ? OF ' ? f

y 如果将物体直接放在明视距离d处 ? ? d

凸透镜的放大本领为

?? d M? ? ? f

(3)显微镜 第一个透镜:实物成放大实像 第二个透镜:实物成放大虚像

(4)望远镜

开普勒望远镜成倒立像

f1 望远镜放大率 ? ? f2

伽利略望远镜成正立像
f1 ?? f2

望远镜放大率

例1 两平面镜A和B的镜面分别与图中纸面垂直,两镜面的交 线过图中的O点,两镜面间夹角为?=15o,今自A镜面上的C点 处沿与A镜面夹角?=30o的方向在纸面内射出一条光线,此光 线在两镜面间经多少次反射后不再与镜面相遇。设两镜面均足 够大,CO=1m。试求:(1)上述光线的多次反射中,最后一 次反射是发生在哪块镜上?(2)光线自C点出发至发生最后 一次反射,共经历多长的时间?
K

B
O
C
A

O

150o

30 o
C

p1

例2 在充满水(折射率 为4/3)的容器底放一 平面镜,人在水面上看 自己的像,设人眼高出 水面h1=5cm,镜在水 面下深h2=-8cm。问人 眼与像之距离为多少?

p
h1

h2

p4

p3

例3 在制作氦氖激光管的过程中,往往采用内调焦 平行光管粘贴凹面反射镜,其光学系统如图所示。 已知目镜和物镜的焦距均为2cm,凹面镜的曲率半 径为8cm。(1)调节L2使L1与L2之间距离为5cm, L2与L3之间距离为10cm,试求位于L2前1cm的叉丝 P经光学系统所成的像的位置。(2)当L1与L2之间 的距离仍为5cm时,若人眼通过目镜能观察到一个 清晰的叉丝像,L3与L2之间的距离应为多少?

L1

L2

L3

P

例4 薄玻璃平板M1与曲率半径为20cm 凸面镜M2相距 b=16cm,物点P放在玻璃平板前a远处,要使P在M1 中的像与在M2中的像重合,a应取多大?

例5 图中L为焦距 f ? 30 3cm 的凸透镜,有 一单色平行光束,其方向与透镜的主轴平行。 现于透镜前方放一正三棱镜,如图所示,缓 缓转动三棱镜,当入射光的入射角和出射光 的出射角相等时,在透镜的焦平面上距焦点 y=30cm处形成一像点,据此求三棱镜材料 对此单色光的折射率之值。

例6 想用两个薄凸透镜,最后在物体所在处形成一个 与物体大小相等的倒立的虚像,已知靠近物体的那 个透镜的焦距为f1,物体与此透镜的距离为u1,试求 第二个透镜的焦距f2及它与第一个透镜间的距离L。

例7 如图所示,两个小平面镜OM1、OM2相交成直 角,两镜的反射面相向,在镜面交角平分线内放一 小光源S,垂直于此平分面放一凸透镜L,使透镜主 光轴通过S并与两镜的交线垂直,其垂足为O1。已知 SO=0.9m,O1O=0.3m,透镜焦距f=0.15m,问S在透 镜主光轴上生成几个像?试分别指出其虚、实,并 求出它们的位置。
M1

S

S3

O1

S1

O

S2

M2

例8 如图所示,L1和L2分别为凸透镜和凹透镜,L1 前面放一小物,移动屏幕到L2后20cm的S1处屏上有 清晰像。现将凹透镜L2撤去,将屏移前5cm至S2处, 屏上重新有清晰的像。求凹透镜L2的焦距。
L1 L2 S2 S1

例9 (1)今有一半径为3cm的半球形玻璃透镜,折 射率为1.5,把光点放在凸面前4cm处的主轴上,求 近轴光线通过透镜后成像在何处?是实像还是虚像? (2)将一薄平凸透镜的平面部分镀银,则此透镜 等效于焦距为28cm的凹镜,如将此透镜的曲面部分 镀银,则此透镜等效于焦距为10cm的凹镜,求此透 镜的折射率。

例9 (2)将一薄平凸透镜的平面部分镀银,则此透 镜等效于焦距为28cm的凹镜,如将此透镜的曲面部 分镀银,则此透镜等效于焦距为10cm的凹镜,求此 透镜的折射率。

56cm

20cm

1 n n ?1 ? ? 56 ? R

1 n n ?1 ? ? 20 ? R ?

例10 设有两薄凸透镜,其焦距都为10cm,相距 15cm,用作图法和计算法找出该光学系统物像等 大且同方向的物和像的位置。

11 如图所示的光学系统是由平行光管、载物台和望远镜组成。 已知望远镜物镜L0的焦距为16.00cm,在L0的焦平面P处,放 置带十字叉丝的分划板和亮十字物。在载物台上放置双面平行 的平面镜M,通过望远镜的目镜Le观察时,能同时清楚地看到 分划面上的十字叉丝线和十字物经过L0折射、M反射、再经L0 折射后在分划面上所成的十字像,十字像位于A点,与上十字 丝线的距离为5.2mm。绕载物台转轴(沿竖直方向)转动载物 台,使平面镜转,此时十了像位于B点,与上十字丝线的距离 为18.8mm。根据以上情况和数据可计算出,此时望远镜与水 平面的夹角为多少?据此结果,调节望远镜,使其光轴与载物 台的转轴垂直。

分光计调节:先调双面 镜竖直,使得两面的反 射像等高;再调望远镜 轴,使得两面的反射像 和上十字叉丝线等高。

12mm

?2

?1

?1
?2

?1 ? 2

12 2?? ? 2(? 2 ? ?1 ) ? ? 0.075(rad ) 160

?? ? 0.0375(rad )

平行光管是由十字缝S和凸透镜L组成的,去掉光学系统中的 平面镜M,并用钠光灯照亮S,沿水平方向移动S,当S到与 平行光管中的透镜L距离为8.25cm时,通过望远镜目镜能清 楚地看到十字缝的像成在分划板中心叉丝线上,由此可以推 知,L的焦距等于多少?

将载物台平面调至与载物台的转轴垂直,在载物台上放置长、 宽、高均为3.00cm、折射率为1.52的分束棱镜abcd(分束棱 镜是由两块直角三棱镜密接而成,接触面既能透光也能反光) 和待测凹球面镜,凹球面镜顶点O到L的距离为15.00cm,保证 分束棱镜的ab面与图中的XX’轴垂直,凹球面镜的光轴与 图中的XX’轴重合;再将 望远镜绕载物台的转轴 转,如图所示。向右移 动S,当S移动的距离为 3.75cm时,通过望远镜 刚好能看清楚十字缝S的 像成在分划板中心十字 叉丝线上,试求凹球面 镜的曲率半径。

例12 已知两透镜组合系统如图所示,物经整个系统 成像,像的位置大小如图。试用作图法求物经由L1 所成的像的位置和大小,作出L1的焦点及系统的焦 点的位置。

13 图中L1为一薄凸透镜,Q为高等于2.00cm、与光轴垂直放置 的线状物,已知Q经L1成一实像,像距为40.0cm。现于L1的右 方依次放置薄凹透镜L2、L3和薄凸透镜L4以及屏P,它们之间 的距离如图所示,所有的透镜都共轴,屏与光轴垂直,L2、L3 焦距的大小均为15.0cm。已知物Q经上述四个透镜最后在屏上 成倒立的实像,像高为0.500cm。 (1)、L1焦距的大小为 cm,L4焦距的大小为 cm。 (2)、现保持Q、L1、L4和P位置不变,而沿光轴平移L2和L3, 最后在屏上成倒立的实像,像高为1.82cm,此时L2和L1的距离 为 cm,L3和L4的距离为 cm。


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