推理与证明晚自习练习题(文科)(教师版)

推理与证明晚自习练习题（文科）
1. 下面使用类比推理正确的是（ C ）

A.“若 a ? 3 ? b ? 3 ,则 a ? b ”类推出“若 a ? 0 ? b ? 0 ,则 a ? b ” B.“若 (a ? b)c ? ac ? bc ”类推出“ (a ? b)c ? ac ? bc ” C.“若 (a ? b)c ? ac ? bc ” 类推出“
n n n

a?b a b ? ? c c c
n n n

（c≠0）”

（ab） ? a b ” 类推出（ D.“ “ a ? b） ? a ? b
2．下列推理是归纳推理的是( B )

A．A，B 为定点，动点 P 满足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，则 P 点的轨迹为椭圆 B．由 a1＝1，an＝3n－1，求出 S1，S2，S3，猜想出数列的前 n 项和 Sn 的表达式 x2 y2 C．由圆 x2＋y2＝r2 的面积 πr2，猜想出椭圆 2＋ 2＝1 的面积 S＝πab a b D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 3 ．图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第 36 颗珠子应是什么颜色 ( A )

A．白色

B．黑色

C．白色可能性大

D．黑色可能性大

4. 黑白两种颜色的正六形地面砖块按如图的规律拼成若干个图案，则第五个图案中有白色地面砖 （ A.21 B ）块. B.22 C.20 D.23

5．观察式子： 1 ? A、 1 ?
1 2
2

1 22 1
2

? ?

3 1 1 5 1 1 1 7 ,1 ? 2 ? 2 ? ,1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ，…，则可归纳出式子为（ 2 3 4 2 3 2 3 4

C

）

?

1 3
2

??

n

1 2n ? 1

B、 1 ?

1 2
2

?

1 3
2

??

1 n
2

?

1 2n ? 1

1

C、 1 ?

1 2
2

?

1 3
2

??

1 n
2

?

2n ? 1 n

D、 1 ?

1 2
2

?

1 3
2

??

1 n
2

?

2n 2n ? 1

6． 给出演绎推理的“三段论”：直线平行于平面，则平行于平面内所有的直线；(大前提) 已知直线 b∥平面 α，直线 a ? 平面 α；(小前提)则直线 b∥直线 a.(结论) 那么这个推理是( A．大前提错误 A ) C．推理形式错误 C ) D．非以上错误

B．小前提错误

7． 已知 a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是( A．若 a>b，则 ac2>bc2 1 1 C．若 a3>b3 且 ab<0，则 > a b

a b B．若 > ，则 a>b c c 1 1 D．若 a2>b2 且 ab>0，则 < a b

8． 有下列叙述：①“a>b”的反面是“a<b”；②“x＝y”的反面是“x>y 或 x<y”； ③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”； ④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”．其中正确的叙述有 ( B ) A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个

9.设 a, b, c 三数成等比数列，而 x, y 分别为 a , b 和 b, c 的等差中项，则

a c ? ?（ x y

B

）

A． 1

B． 2

C． 3

D．不确定

10.对于任意的两个实数对 ( a, b) 和 (c, d ) ，规定： (a, b) ? (c, d ) ，当且仅当 a ? c, b ? d ；运算“ ? ”为：

(a, b) ? (c, d ) ? (ac ? bd , bc ? ad ) ； 运 算 “ ? ” 为 ： (a , b ? )

c ( , d? ) a ? ( c ?b , ，d 设 ) p, q ? R， 若

(1, ? 2 ) p q( ? , ) ，则 ( 5 ,(1,2) 0 ) ? ( p, q) ? ………（
A． (4,0) B． (2,0)

） C． (0, 2) D． (0, ?4)

解：由题意， ?

? p ? 2q ? 5 ?p ?1 ，解得 ? ，所以正确答案为（B） ． ?2 p ? q ? 0 ?1 ? ?2

11．观察下列数表规律

2

则从数 2009 到 2010 的箭头方向是( B

)

1 1 1 3 5 7 12． f(n)＝1＋ ＋ ＋…＋ (n∈N*)，计算得 f(2)＝ ，f(4)>2，f(8)> ，f(16)>3，f(32)> ，推测当 n≥2 2 3 n 2 2 2 时，有__ n＋2 f(2n)> ____． 2

13． 已知 a1＝3，a2＝6 且 an＋2＝an＋1－an，则 a33＝___3_____. 14．三段论：“①小宏在 2013 年的高考中考入了重点本科院校；②小宏在 2013 年的高考中只要正常 发挥就能考入重点本科院校；③小宏在 2013 年的高考中正常发挥”中，“小前提”是___③____(填 序号)． 15．若 a, b, c ? R? 且 a ? b ? c ? 1 ，则

1 1 1 ? ? 的最小值为 a b c

9

.

1 16．设 a，b，c 为一个三角形的三边，s＝ (a＋b＋c)，且 s2＝2ab，试证：s<2a. 2 s2 证明 要证 s<2a，由于 s ＝2ab，所以只需证 s< ，即证 b<s. b
2

1 因为 s＝ (a＋b＋c)，所以只需证 2b<a＋b＋c，即证 b<a＋c. 2 由于 a，b，c 为一个三角形的三条边，所以上式成立．于是原命题成立．
2 2 17.设 a, b, x, y ? R ，且 a ? b ? 1 , x ? y ? 1 ,试证： ax ? by ? 1 。
2 2

证明: 1 ? (a ? b )(x ? y ) ? a x ? a y ? b x ? b y ? a x ? 2aybx? b y ? (ax ? by)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

故 ax ? by ? 1 . 18. 已知 a，b，c，d 都是正数，求证（ab＋cd） （ac＋bd）≥4abcd. 解析：∵a，b，c，d 都是正数，∴ab＞0，cd＞0，ac＞0，bd＞0.∴

ab ? cd ? ab ? cd ＞0， 2

ac ? bd ? ac ? bd ＞0.由不等式的性质定理 4 的推论 1，得 2 ( ab ? cd )( ac ? bd ) ≥abcd，即（ab＋cd） （ac＋bd）≥4abcd. 4
3

19．如果 a，b 都是正数，且 a≠b，求证： 证明 方法一 用综合法 a ＋ b b a － a － b ＝

a b ＋ > a ＋ b. b a

a a＋b b－a b－b a ab

＝

?a－b? ? a－ b? ＝ ab

? a－ b?2? a＋ b? a b >0，∴ ＋ > a＋ b. ab b a 方法二 用分析法 要证 a b a2 b2 ＋ > a＋ b，只要证 ＋ ＋2 ab>a＋b＋2 ab， b a b a

即要证 a3＋b3>a2b＋ab2，只需证(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)，即需证 a2－ab＋b2>ab，只需证(a－ b)2>0， 因为 a≠b，所以(a－b)2>0 恒成立，所以 a b ＋ > a＋ b成立． b a

20．在 ?ABC 中，三个内角 A、B、C 对应的边分别为 a、b、c，且 A、B、C 成等差数列，a、b、c 成等比数列，求证： ?ABC 为等边三角形。 证明：?A、B、C 成等差数列? A+C=2B,由 A+B+C=1800 得：B=600 ,? COSB ?

1 2

即：

a 2 ? c 2 ? b2 1 2 2 2 ? , b ? a ? b ? ac 2ac 2
? b2 ? ac

①

又? a、b、c 成等比数列
2 2

②

由①②得： ac ? a ? b ? ac ,即： (a ? c)2 ? 0

?a ? c

? ?ABC 是等腰三角形

又? B=600

? ?ABC 是等边三角形

4