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推理与证明晚自习练习题(文科)(教师版)


推理与证明晚自习练习题(文科)
1. 下面使用类比推理正确的是( C )

A.“若 a ? 3 ? b ? 3 ,则 a ? b ”类推出“若 a ? 0 ? b ? 0 ,则 a ? b ” B.“若 (a ? b)c ? ac ? bc ”类推出“ (a ? b)c ? ac ? bc ” C.“若 (a ? b)c ? ac ? bc ” 类推出“
n n n

a?b a b ? ? c c c
n n n

(c≠0)”

(ab) ? a b ” 类推出( D.“ “ a ? b) ? a ? b
2.下列推理是归纳推理的是( B )

A.A,B 为定点,动点 P 满足|PA|+|PB|=2a>|AB|,则 P 点的轨迹为椭圆 B.由 a1=1,an=3n-1,求出 S1,S2,S3,猜想出数列的前 n 项和 Sn 的表达式 x2 y2 C.由圆 x2+y2=r2 的面积 πr2,猜想出椭圆 2+ 2=1 的面积 S=πab a b D.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 3 .图为一串白黑相间排列的珠子,按这种规律往下排起来,那么第 36 颗珠子应是什么颜色 ( A )

A.白色

B.黑色

C.白色可能性大

D.黑色可能性大

4. 黑白两种颜色的正六形地面砖块按如图的规律拼成若干个图案,则第五个图案中有白色地面砖 ( A.21 B )块. B.22 C.20 D.23

5.观察式子: 1 ? A、 1 ?
1 2
2

1 22 1
2

? ?

3 1 1 5 1 1 1 7 ,1 ? 2 ? 2 ? ,1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ,…,则可归纳出式子为( 2 3 4 2 3 2 3 4

C



?

1 3
2

??

n

1 2n ? 1

B、 1 ?

1 2
2

?

1 3
2

??

1 n
2

?

1 2n ? 1

1

C、 1 ?

1 2
2

?

1 3
2

??

1 n
2

?

2n ? 1 n

D、 1 ?

1 2
2

?

1 3
2

??

1 n
2

?

2n 2n ? 1

6. 给出演绎推理的“三段论”:直线平行于平面,则平行于平面内所有的直线;(大前提) 已知直线 b∥平面 α,直线 a ? 平面 α;(小前提)则直线 b∥直线 a.(结论) 那么这个推理是( A.大前提错误 A ) C.推理形式错误 C ) D.非以上错误

B.小前提错误

7. 已知 a,b,c∈R,那么下列命题中正确的是( A.若 a>b,则 ac2>bc2 1 1 C.若 a3>b3 且 ab<0,则 > a b

a b B.若 > ,则 a>b c c 1 1 D.若 a2>b2 且 ab>0,则 < a b

8. 有下列叙述:①“a>b”的反面是“a<b”;②“x=y”的反面是“x>y 或 x<y”; ③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”; ④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”.其中正确的叙述有 ( B ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个

9.设 a, b, c 三数成等比数列,而 x, y 分别为 a , b 和 b, c 的等差中项,则

a c ? ?( x y

B



A. 1

B. 2

C. 3

D.不确定

10.对于任意的两个实数对 ( a, b) 和 (c, d ) ,规定: (a, b) ? (c, d ) ,当且仅当 a ? c, b ? d ;运算“ ? ”为:

(a, b) ? (c, d ) ? (ac ? bd , bc ? ad ) ; 运 算 “ ? ” 为 : (a , b ? )

c ( , d? ) a ? ( c ?b , ,d 设 ) p, q ? R, 若

(1, ? 2 ) p q( ? , ) ,则 ( 5 ,(1,2) 0 ) ? ( p, q) ? ………(
A. (4,0) B. (2,0)

) C. (0, 2) D. (0, ?4)

解:由题意, ?

? p ? 2q ? 5 ?p ?1 ,解得 ? ,所以正确答案为(B) . ?2 p ? q ? 0 ?1 ? ?2

11.观察下列数表规律

2

则从数 2009 到 2010 的箭头方向是( B

)

1 1 1 3 5 7 12. f(n)=1+ + +…+ (n∈N*),计算得 f(2)= ,f(4)>2,f(8)> ,f(16)>3,f(32)> ,推测当 n≥2 2 3 n 2 2 2 时,有__ n+2 f(2n)> ____. 2

13. 已知 a1=3,a2=6 且 an+2=an+1-an,则 a33=___3_____. 14.三段论:“①小宏在 2013 年的高考中考入了重点本科院校;②小宏在 2013 年的高考中只要正常 发挥就能考入重点本科院校;③小宏在 2013 年的高考中正常发挥”中,“小前提”是___③____(填 序号). 15.若 a, b, c ? R? 且 a ? b ? c ? 1 ,则

1 1 1 ? ? 的最小值为 a b c

9

.

1 16.设 a,b,c 为一个三角形的三边,s= (a+b+c),且 s2=2ab,试证:s<2a. 2 s2 证明 要证 s<2a,由于 s =2ab,所以只需证 s< ,即证 b<s. b
2

1 因为 s= (a+b+c),所以只需证 2b<a+b+c,即证 b<a+c. 2 由于 a,b,c 为一个三角形的三条边,所以上式成立.于是原命题成立.
2 2 17.设 a, b, x, y ? R ,且 a ? b ? 1 , x ? y ? 1 ,试证: ax ? by ? 1 。
2 2

证明: 1 ? (a ? b )(x ? y ) ? a x ? a y ? b x ? b y ? a x ? 2aybx? b y ? (ax ? by)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

故 ax ? by ? 1 . 18. 已知 a,b,c,d 都是正数,求证(ab+cd) (ac+bd)≥4abcd. 解析:∵a,b,c,d 都是正数,∴ab>0,cd>0,ac>0,bd>0.∴

ab ? cd ? ab ? cd >0, 2

ac ? bd ? ac ? bd >0.由不等式的性质定理 4 的推论 1,得 2 ( ab ? cd )( ac ? bd ) ≥abcd,即(ab+cd) (ac+bd)≥4abcd. 4
3

19.如果 a,b 都是正数,且 a≠b,求证: 证明 方法一 用综合法 a + b b a - a - b =

a b + > a + b. b a

a a+b b-a b-b a ab



?a-b? ? a- b? = ab

? a- b?2? a+ b? a b >0,∴ + > a+ b. ab b a 方法二 用分析法 要证 a b a2 b2 + > a+ b,只要证 + +2 ab>a+b+2 ab, b a b a

即要证 a3+b3>a2b+ab2,只需证(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b),即需证 a2-ab+b2>ab,只需证(a- b)2>0, 因为 a≠b,所以(a-b)2>0 恒成立,所以 a b + > a+ b成立. b a

20.在 ?ABC 中,三个内角 A、B、C 对应的边分别为 a、b、c,且 A、B、C 成等差数列,a、b、c 成等比数列,求证: ?ABC 为等边三角形。 证明:?A、B、C 成等差数列? A+C=2B,由 A+B+C=1800 得:B=600 ,? COSB ?

1 2

即:

a 2 ? c 2 ? b2 1 2 2 2 ? , b ? a ? b ? ac 2ac 2
? b2 ? ac



又? a、b、c 成等比数列
2 2



由①②得: ac ? a ? b ? ac ,即: (a ? c)2 ? 0

?a ? c

? ?ABC 是等腰三角形

又? B=600

? ?ABC 是等边三角形

4


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