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裂项求和练习


裂项求和

1. S n ?

1 1 1 1 1 ? ? ? ??? 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 4 ? 5 n(n ? 1)

2. S n ?

1 1 1 1 1 ? ? ? ??? 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 7 ? 9 (2n ? 1)(2n ? 1)

3. S n ?

1 1 1 1 ? ? ??? 1 ? 4 4 ? 7 7 ? 10 (3n ? 2)(3n ? 1)

4 : 已 知 数 列 {an } 为 等 差 数 列 , an ? 0 , 公 差 d ? 0

, 求

Sn ?

1 1 1 1 ? ? ??? a1a 2 a 2 a3 a3 a 4 a n a n?1

5:求和: S n ?

1 1 1 1 1 ? ? ? ??? 1? 3 2 ? 4 3 ? 5 4 ? 6 n(n ? 2)

1

1. (2010 年高考山东卷文科 18) (本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ? 满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 . ?an ? 的前 n 项和为 Sn . (Ⅰ)求 an 及 Sn ; (Ⅱ)令 bn ?

1 ( n ? N ? ),求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an ? 1
2

2(江西卷 19)(本小题满分 12 分) . 数 列 {an } 为 等 差 数 列 , an 为 正 整 数 , 其 前 n 项 和 为 Sn , 数 列 {bn } 为 等 比 数 列 , 且

a1 ? 3, b1 ? 1 ,数列 {ban } 是公比为 64 的等比数列, b2 S2 ? 64 .
(1)求 an , bn ; (2)求证

1 1 1 3 ? ??? ? . S1 S2 Sn 4

3.(2009 年广东卷文)(本小题满分 14 分) 已知点(1, )是函数 f ( x) ? a x (a ? 0, 且 a ? 1 )的图象上一点,等比数列 {an } 的前 n 项 和为 f (n) ? c ,数列 {bn } (bn ? 0) 的首项为 c ,且前 n 项和 Sn 满足 Sn - S n?1 = S n + S n?1 ( n ? 2 ). (1)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (2)若数列{

1 3

1000 1 的最小正整数 n 是多少? } 前 n 项和为 Tn ,问 Tn > 2009 bn bn?1

.

2

1. 【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前 n 项和公式的应用、裂项法求数列的和, 熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。 【解析】 (Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的公差为 d,因为 a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 ,所以有

? a1 ? 2d ? 7 ,解得 a1 ? 3,d ? 2 , ? ? 2a1 ? 10d ? 26
所以 an ? 3 ? (n ?1)=2n+1 ; Sn = 3n+ 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 an ? 2n+1,所以 bn=

n(n-1) ? 2 = n 2 +2n 。 2
1 1 1 1 1 1 1 ), = = ?( = ? 2 an ? 1 (2n+1) ? 1 4 n(n+1) 4 n n+1
2

所以 Tn =

1 1 1 1 1 1 1 1 n ? (1- + ? + ? + ) = ? (1)= , 4 2 2 3 n n+1 4 n+1 4(n+1)

即数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn =

n 。 4(n+1)

2 解: (1)设 {an } 的公差为 d , {bn } 的公比为 q ,则 d 为正整数,

an ? 3 ? (n ?1)d , bn ? qn?1
? ban?1 q 3? nd ? 3? ( n ?1) d ? q d ? 64 ? 26 ? q 依题意有 ? ban ① ? S2b2 ? (6 ? d )q ? 64 ?
由 (6 ? d )q ? 64 知 q 为正有理数,故 d 为 6 的因子 1, 2,3, 6 之一, 解①得 d ? 2, q ? 8 故 an ? 3 ? 2(n ?1) ? 2n ?1, bn ? 8n?1 (2) Sn ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? n(n ? 2) ∴

1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? ? ? ??? S1 S2 S n 1? 3 2 ? 4 3 ? 5 n(n ? 2)

1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) 2 3 2 4 3 5 n n?2 1 1 1 1 3 ? (1 ? ? ? )? 2 2 n ?1 n ? 2 4 ?

3

3【解析】 (1) Q f ?1? ? a ?

1 ?1? ,? f ? x ? ? ? ? 3 ? 3?

x

1 2 a1 ? f ?1? ? c ? ? c , a2 ? ? f ? 2 ? ? c ? ? ? f ?1? ? c ? ? ? , ? ? ? ? 3 9 2 a3 ? ? f ? 3? ? c ? ? ? f ? 2 ? ? c ? ? ? . ? ? ? ? 27 4 2 a2 2 1 又数列 ?an ? 成等比数列, a1 ? ? 81 ? ? ? ? c ,所以 c ? 1 ; a3 ? 2 3 3 27

a 1 2?1? 又公比 q ? 2 ? ,所以 an ? ? ? ? a1 3 3?3?
Q Sn ? Sn?1 ?

n ?1

?1? ? ?2 ? ? ?3?

n

n? N*



?

Sn ? Sn?1

??

Sn ? Sn?1 ? Sn ? Sn?1

?

? n ? 2?

又 bn ? 0 , Sn ? 0 , ? Sn ? Sn ?1 ? 1; 数列

? S ? 构成一个首相为 1 公差为 1 的等差数列,
n
2

Sn ? 1 ? ? n ? 1? ?1 ? n , Sn ? n2

2 当 n ? 2 , bn ? S n ? S n ?1 ? n ? ? n ? 1? ? 2n ? 1 ;

?bn ? 2n ? 1 ( n ? N * );
(2) Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ?K ? ? ? ?L ? (2n ? 1) ? ? 2n ? 1? b1b2 b2b3 b3b4 bnbn?1 1? 3 3 ? 5 5 ? 7
1? ?? 3? 1 1 ?1 ?1 1 ? 1 1 ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ?K ? ? 2 3 ?5 ?2 5 ? 7 n 1 ? ? 2?2 n? ?1 ? 2 1 ?

1? ? ?1 ? 2?

1? 1 ? n ; ? ?1 ? ?? 2 ? 2n ? 1 ? 2 n ? 1
由 Tn ?

n 1000 1000 1000 ? 得n ? ,满足 Tn ? 的最小正整数为 112. 2n ? 1 2009 9 2009

4



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