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方程的根与函数的零点教学设计


方程的根与函数的零点教学设计 教学内容与任务分析 本节课的内容选自 《普通高中课程标准实验教科书》 人教 A 版数学必修一第三章第一节 3.1.1 方程的根与函数的零点。 本节课的主要内容为方程的根与函数零点之间的关系, 连续函数在 某区间上存在零点的判定方法,是以之前的函数图象、性质为基础,为之后学习用二分法其 方程的近似解提供理论支持。 学习者分析 学生已经学习了函数的图象及性质,会画基本的函数图象,能通过图象了解函数的性质,但 学生对一些特殊的方程还不熟悉,解题可能会感到困难。 教学重难点 教学重点:方程的根与函数零点之间的关系,连续函数在某区间上存在零点的判定方法 教学难点:函数的零点与方程的根的联系的理解,零点的判定 教学目标 知识与技能目标 (1)理解零点的定义 (2)方程的零点与函数的根的联系 (3)掌握连续函数在某区间上存在零点的判定方法 过程与方法目标 (1)在合作探究的过程中,体会从特殊到一般,数形结合,转化化归的数学思想 (2)培养分析问题、解决问题的能力 情感态度与价值观目标 通过方程的根与函数零点的学习,产生数学学习兴趣 形成有序全面思考问题的意识 教学过程 问题引入,激发兴趣 师:提出问题 1:求的实数根,画出函数的图象;并观察他们之间的联系? 【学情预设】学生能够解出方程的根,并从图象上能获得与方程的根的一些联系。 【设计意图】 通过学生熟悉的二次函数的图象和一元二次方程让学生观察方程和函数形式上 的联系,从而得到方程实数根和函数图象之间的关系。 组织探究,得出概念 1.方程的根与函数的零点 师:我们可以发现 1,2 既是的根,也是函数图象与 x 轴的交点横坐标。 那现在我们来思考一下一般方程的情况。 我们是如何去判断方程的个数的呢?是不是借助Δ , 那大家通过小组合作一起来完成 ppt 上的这张表格。 填表 Δ >0 Δ <0 Δ =0 方程实数根

函数图象与 x 轴的交点

【设计意图】通过合作填表的过程,让学生体会方程的根与函数图象的 x 轴的坐标的关系, 通过对比教学,揭示知识点的联系。 师:从表格中我们可以得出这样的等价关系: 方程 f(x)=0 有实数根<==>函数 y=f(x)的图象与 x 轴有交点 那我们再来思考一下,假如我们求出函数 y=f(x)的图象与 x 轴的交点坐标为(x0,0) ,这个 x0 是不是就是令 y=0 的 x 的值啊? 这个 x0 在方程中我们定义它为方程的根,那在函数中我们也给它一个定义,叫做函数的零 点。 师: 现在老师给出函数零点的定义。 对于函数 y=f(x),我们把使 f(x)=0 的实数 x 叫做函数 y=f(x) 的零点。 那函数的零点他是不是一个点呢? 大家一起来再将概念缩一下句,实数 x 叫做零点,那说明零点时一个数。 【设计意图】通过对概念中的关键进行提炼,加深对概念的理解。 师:那现在我们又可以得出另一个等价关系: 函数 y=f(x)的图象与 x 轴有交点<==>函数 y=f(x)有零点 又因为这两个等价关系两两等价,因而可以得出 方程 f(x)=0 有实数根 <==>函数 y=f(x)的图象与 x 轴有交点 <==>函数 y=f(x)有零点 【设计意图】通过上述过程,让学生领会求方程 f(x)=0 的实数根,就是确定函数 y=f(x)的零 点这一关键。 2.零点的存在性探究 师:探究 【设计意图】 通过层层递进的问题链, 教师引导学生探索, 归纳总结函数的零点存在性定理, 培养归纳总结的能力。 师: 一般的, 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线, 并且有 f(a)*f(b)<0, 那么, 函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点, 即存在 c?(a,b),使得 f(c)=0,这个 c 也就是方程 y=f(x)=0 的根。 提问:仅满足 f(a)·f(b)<0 可以确定有零点吗? 引导学生构造反例: 【设计意图】通过反例,强调判定条件——图像是连续不断的一条曲线,加深 对概念的认知。 巩固练习,提升能力 例 1: 【设计意图】通过例题,对所学知识进行及时巩固,

归纳小结,布置作业 学生自主对本节课的内容进行归纳总结 函数零点的定义 三个等价关系 零点的存在性定理 【设计意图】建立自主的知识体系,形成知识网络,加深对知识的巩固,培养总结归纳的能 力。 布置分层作业:基础题和提高题 【设计意图】通过分层作业,注重学生的个体差异,因材施教,是每个层次的学生都有所进 步。



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