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2014年普通高等学校招生全国统一考试分类汇编4—三角函数及解三角形(文科)


2014 年普通高等学校招生全国统一考试分类汇编(4) 三角函数及解三角形 (2014 新课标 2 文科)函数 f(x)=sin? (x + φ)-2sinφcosx 的最大值为_________. (2014 新课标 2 文科) (本小题满分 12 分) 四边形 ABCD 的内角 A 与 C 互补, AB=1, BC=3, CD=DA=2. (I).求 C 和 BD; (II)

.求四边形 ABCD 的面积。 (2014 安徽)7.若将函数 f ( x) ? sin 2 x ? cos2 x 的图像向右平移 ? 个单位, 所得图像关于 y 轴对称, 则 ? 的最小正值是( A. )

?
8

B.

?
4

C.

3? 8

D.

3? 4

(2014 安 徽 )13. 若 函 数 f ?x ??x ? R ? 是 周 期 为 4 的 奇 函 数 , 且 在 ?0,2? 上 的 解 析 式 为

? x(1 ? x),0 ? x ? 1 ? 29 ? ? 41? ,则 f ? f ?x ? ? ? ? ? f ? ? ? _______ ? 4 ? ?6? ?sin ?x, 1 ? x ? 2
(2014 安徽)16.(本小题满分 12 分) 设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对边的长分别是 a, b, c ,且 b ? 3, c ? 1, ?ABC 的面积为 2 ,求

cos A 与 a 的值.
(2014 北京)12.在 ?ABC 中, a ? 1 , b ? 2 , cos C ?

1 ,则 c ? 4

; sin A ?

.

【解析】 :12.2,

15 8

1 [解析] 由余弦定理得 c2=a2+b2-2abcos C=1+4-2×2×1×4=4,即
2 15 ?7? 1- 8 = 8 . ? ?

b2+c2-a2 4+4-1 7 c=2;cos A= 2bc = = ,∴sin A= 2×2×2 8

(2014 北京)16.(本小题满分 13 分)函数 f ? x ? ? 3sin ? 2 x ? (1)写出 f ? x ? 的最小正周期及图中 x0 、 y0 的值; (2)求 f ? x ? 在区间 ? ?
1 / 16

? ?

??

? 的部分图象如图所示. 6?

?? ? ? , ? ? 上的最大值和最小值. ? 2 12 ?

y y0

O

x0

x

【解析】16. (I) f ? x ? 的最小正周期为 ? , x0 ?

7? , y0 ? 3 . 6

(II)因为 x ? [?

?
2

,?

?
12

] ,所以 2 x ?

?
6

? [?

5? , 0] ,于是 6

当 2x ?

? ? ? 0 ,即 x ? ? 时, f ? x ? 取得最大值 0; 6 12

当 2x ?

?
6

??

?
2

,即 x ? ?

? 时, f ? x ? 取得最小值 ?3 . 3
?
2
个单位,得到函数 y ? f ? x ? 的函数图象,则下列说法正确

7.将函数 y ? sin x 的图象向左平移 的是 ( )

A.y=f(x)是奇函数 π C.y=f(x)的图像关于直线 x= 对称 2

B.y=f(x)的周期为π π D.y=f(x)的图像关于点?- ,0?对称 ? 2 ?

π ? π? [解析] 7.D 将函数 y=sin x 的图像向左平移 2 个单位后,得到函数 y=f(x)=sin x+ 2 的图像,即

?

?

f(x)=cos x.由余弦函数的图像与性质知,f(x)是偶函数,其最小正周期为 2π ,且图像关于直线 x

?π ? =kπ (k∈Z)对称,关于点 2 +kπ ,0 (k∈Z)对称,故选 D ? ?
14.在 ?ABC 中, A ? 60?, AC ? 2, BC ? 3 ,则 AB 等于_________ 2sin 60° BC AC [解析] 14. 1 [解析] 由 = ,得 sin B= =1, sin A sin B 3
2 / 16

即 B=90°,所以△ABC 为以 AB,BC 为直角边的直角三角形, 则 AB= AC2-BC2= 22-( 3)2=1,即 AB 等于 1 18. (本小题满分 12 分) 已知函数

f ( x) ? 2cos x(sin x ? cos x) .
f( 5? ) 的值; 4

(Ⅰ)求

(Ⅱ)求函数

f ( x) 的最小正周期及单调递增区间.
5? 5? 5? 5? ) ? 2 cos (sin ? cos ) 4 4 4 4

[解析] 18.解法一: (1) f (

? ?2 cos

?
4

(? sin

?

? cos ) ? 2 4 4 2 sin(2 x ? ) ? 1 . 4

?

(2)因为 f ( x) ? 2sin x cos x ? 2cos2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ?

?

所以 T ?

2? ?? . 2

由 2 k? ?

?
2

? 2x ?

?
4

? 2 k? ?

?
2

, k ? Z ,得 k? ?

3? ? ? x ? k? ? , k ? Z , 8 8

所以 f ( x ) 的单调递增区间为 [ k? ? 解法二:

3? ? , k? ? ], k ? Z . 8 8

2 因为 f ( x) ? 2sin x cos x ? 2cos x ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ?

2 sin(2 x ? ) ? 1 4

?

(1) f (

5? 11? ? ) ? 2 sin ? 1 ? 2 sin ? 1 ? 2 4 4 4 2? ?? 2

(2) T ?
3 / 16

由 2 k? ?

?
2

? 2x ?

?
4

? 2 k? ?

?
2

,k ?Z ,

得 k? ?

3? ? ? x ? k? ? , k ? Z , 8 8 3? ? , k? ? ], k ? Z . 8 8


所以 f ( x ) 的单调递增区间为 [ k? ?

7.在 ?ABC 中,角 A,B,C 所对应的边分别为 a, b, c, 则“ a ? b ”是 “ sinA ? sin B ”的( A.充分必要条件 C.必要非充分条件 B.充分非必要条件 D.非充分非必要条件

【解析】7.A:本题考查正弦定理的应用。由于

a b ? ? 2 R, 所以 sin A sin B

a ? 2R sin A, b ? 2R sin B,
所以 a ? b ? 2 R sin A ? 2 R sin B ? sin A ? sin B ,故“ a ? b ”是 “ sinA ? sin B ”的充 要条件,故选答案为 A. [解析2]由大边对大角,或由正弦定理都可以秒杀。答案为A。 16. (本小题满分 12 分)

已知函数 f ( x) ? A sin( x ?

?
3

), x ? R ,且 f (

5? 3 2 )? 12 2

(1) 求 A 的值;若,求 f (

?
6

?? )

(2)

f (? ) ? f (?? ) ? 3, ? ? (0, ) 2

?

4 / 16

解析: (16. 1)由题意得 f (

5 5 ? 3 2 3 2 ,所以 ? ) ? A sin( ? ? ) ? A sin ? ? A? 12 12 3 4 2 2

A?3.

(2)由(1)得 f ( x ) ? 3 sin( x ?

?
3

) ,所以 f (? ) ? f (?? ) ? 3 sin(? ?

?
3

) ? 3 sin(

?
3

??)

? 3(sin ? cos

?

? cos ? sin ) ? 3(sin cos ? ? cos sin ? ) ? 3 sin ? ? 3 , 所以 3 3 3 3

?

?

?

sin ? ?

? 1 6 3 .因为 0 ? ? ? ,所以. cos? ? 1 ? sin 2 ? ? 1 ? ? 2 3 3 3
? ? ? ? 6 ? ? ) ? 3 sin( ? ? ? ) ? 3 sin( ? ? ) ? 3 cos? ? 3 ? ? 6 6 6 3 2 3

所以 f (

点评:笔者觉得 2014 年广东高考的三角函数题目难度总体比往年大,第一问属于送分题,与往 年设计求解特殊函数值类似,第二问比往年设计得复杂些,但对于中上层考生来讲,笔者仍觉 得这是个容易题,思维受阻的可能性比较小. 2.已知角 ? 的终边经过点 (?4,3) ,则 cos? ? ( )

A.

4 5

B.

3 5

C. ?

3 5

D. ?

4 5
-4
2 2=-5.

2.D [解析] 根据题意,cos α =

4

(-4) +3

14.函数 y ? cos 2 x ? 2sin x 的最大值为

.

14.

3 2

1 2 3 1 sin x- ? + ,所以当 sin x= [解析] 因为 y=cos 2x+2sin x=1-2sinx2+2sin x=-2? 2? 2 ? 2

3 时函数 y=cos 2x+2sin x 取得最大值,最大值为 . 2
5 / 16

13. ?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 3a cos C ? 2c cos A, tan A ?

1 ,求 B. 3
.

解: 13. 在△ABC 中, 角 A,B,C 所对的边分别为 a, b, c .已知 A ? 由题设和正弦定理得,3sinAcosC=2sinCcosA, 所以 3tanAcosC=2sinC.因为 tanA=

?
6

, a ? 1, b ? 3 , B ?

1 1 ,所以 cosC=2sinC.tanC= . 3 2 tan A ? tan C =-1,即 B=135 ? . 1 ? tan A tan C

所以 tanB=tan[180 ? -(A+C)]=-tan(a+c)= ?

18.【2014 湖北】某实验室一天的温度(单位:℃)随时间 t(单位:h)的变化近似满足函数关系:

f (t ) ? 10 ? 3cos

π π t ? sin t , t ? [0 , 24) . 12 12

(Ⅰ)求实验室这一天上午 8 时的温度; (Ⅱ)求实验室这一天的最大温差.

π π 2π 2π 解析:18. (Ⅰ) f (8) ? 10 ? 3cos( ? 8)? sin( ? 8) ? 10 ? 3cos ? sin 12 12 3 3
1 3 ? 10 ? 3 ? ( ? ) ? ? 10 . 2 2

故实验室上午 8 时的温度为 10 ℃. (Ⅱ)因为 f (t ) ? 10 ? 2( 又 0 ? t ? 24 ,所以
3 π 1 π π π cos t ? sin t) = 10 ? 2sin( t ? ) , 2 12 2 12 12 3

π π π 7π π π , ?1 ? sin( t ? ) ? 1 . ? t? ? 3 12 3 3 12 3 π π π π 当 t ? 2 时, sin( t ? ) ? 1 ;当 t ? 14 时, sin( t ? ) ? ?1 . 12 3 12 3
于是 f (t ) 在 [0, 24) 上取得最大值 12,取得最小值 8. 故实验室这一天最高温度为 12 ℃,最低温度为 8 ℃,最大温差为 4 ℃. 19. ( 本 小 题 满 分 13 分 ) 如 图 4 , 在 平 面 四 边 形 ABCD 中 ,

DA ? AB , DE ? 1, EC ? 7 , EA ? 2, ?A D ? C
6 / 16

2? ? , ?BEC ? 3 3

(1)求 sin ?CED 的值; (2)求 BE 的长

解:[19]:如图设 ?CED ? ?

(I) 在 ?CDE 中 , 由余 弦定理可 得 EC ? CD ? DE ? 2 CD DE cos ?EDC , 于是 又题设可 知
2 2 2

7 ? CD2 ? 1 ? CD ,即 CD2 ? CD ? 6 ? 0 ,解得 CD ? 2 ( CD ? ?3 ? 0 舍去),
2? 3 CD sin 2 DE CD 3 ? 2 ? 21 , ? ? sin ? ? 在 ?CDE 中,由正弦定理可得 sin ?EDC sin ? EC 7 7
即 sin ?CED ?

21 . 7

(I) 由 题 设 可 得 0 ? ? ?

2? s? , 于 是 由 ( I ) 知 c o? 3


?1

2

s? in ?

?

21 2 7 1? ,而 49 7

?AED ?

2? ?? 3

,



c ? oAEB s?
2 7 3

? 2? ? ?? c ? ?o ? ? 3 ?
2 1 1

s

?2
3
7

??

?

2 c ?o 3

s

1 3 1 ? ? cos ? ? sin ? ? ? 2 2 2
所以 BE ?

? 7

? 2

,在 中, cos ?AEB ? ? Rt ?EAB ?

7

4

EA 2 ? , BE BE

2 2 ? ?4 7. cos ?AEB ? 7 ? ? ? ? 14 ?

7 / 16

【2014 江苏】 5. 已知函数 y ? cos x 与 y ? sin(2 x ? ? ) (0≤ ? ? ? ),它们的图象有一个横坐标为 的交点,则 ? 的值是 解析:5. 【答案】 由题意 cos .

?
3

? 6

2? 1 ? ?) ? , 3 3 3 2 2? ? 2? 5? ? ? 所以 ? ? ? 2k? ? 或 ? ? ? 2k? ? (k ? Z) ,即 ? ? 2k? ? 或 ? ? 2k? ? (k ? Z) . 3 6 3 6 2 6 ? sin(2 ? ? ? ) ,即 sin(

?

?

? . 6 【考点】函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象与性质 (B),三角函数的概念(B). (三角函数图象的交点与
又 0 ? ? ? ? ,所以 ? ? 已知三角函数值求角) 【答案】

? ? 的交点,所以将 分别代入两个函数,得 3 3 1 ? 1 ? 2 ? 到 cos ? ? sin( 2 ? ? ) , 通 过 正 弦 值 为 , 解 出 ? ? ? ? ? 2k? , (k ? Z ) 或 2 3 2 3 3 6 2 5? ? ? ? ?? ? ? 2k? , (k ? Z ) ,化简解得 ? ? ? ? 2k? , (k ? Z ) 或 ? ? ? 2k? , (k ? Z ) ,结合 3 6 2 6 ? 题目中 ? ? [0, ? ] 的条件,确定出 ? ? 。 6 1 ? 【点评】 本题主要考查的是三角函数, 由两个图象交点建立一个关于 ? 的方程 ? sin( 2 ? ? ) , 2 3 2 ? 在解方程时,考生一般只想到第一种情况 ? ? ? ? ? 2k? , (k ? Z ) ,忽略了在一个周期内,正 3 6 1 ? 5 2 5? ? 2k? , (k ? Z ) 解 弦值为 的角有两个: 和 ? ,然而最终答案却由第二种情况 ? ? ? ? 2 6 6 3 6 1 ? 出,此处为考生的易错点和薄弱点,主要是由于对正弦值为 的角的惯性思维为 ,这个问题也 2 6
【解析】根据题目中两个函数的图象有一个横坐标为 是今年的热点问题,在模拟题中也经常出现,需要引起考生的重视。 【2014 江苏】 14. 若△ ABC 的内角满足 sin A ? 2 sin B ? 2 sin C ,则 cos C 的最小值是 解析:14. 【答案】
6? 2 4

? 6

由正弦定理得 a ? 2b ? 2c ,由余弦定理结合基本不等式有:

8 / 16

a ? 2b 2 3 2 1 2 2 3 2 1 2 a 2 ? b2 ? ( ) a ? b ? ab a ? b a 2 ? b2 ? c 2 2 4 2 2 4 2 ? 2 cos C ? ? ? ? 2ab 2ab 2ab 2ab 4 3 1 2 a 2 b2 4 2 ? 2 ? 6 ? 2 ,当且仅当 a ? 6 b 时等号成立. (江苏苏州 何睦) ? 3 2ab 4 4

【考点】正弦定理、余弦定理及其应用 (B),基本不等式 (C). 变式 1 △ ABC 中, 角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c, 若 a2+b2=2c2, 则 cosC 的最小值为________.

1 (江苏无锡 张芙华) 2
变式 2 △ ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 所对的边,若

sin A sin B cos C ? sin C sin A cos B ? sin B sin C cos A ,若 ab 的最大值为_______. 2
c

3 (江苏无锡 张芙华) 2
变式 3 在△ ABC 中, 设 AD 为 BC 边上的高, 且 AD ? BC, b, c 分别表示角 B, C 所对的边长, 则 的取值范围是________. 2, 5

?

?
?

b c ? c b

(江苏苏州 陈海锋)
2 2 2

变式 4 已知三角形 ?ABC 的三边长 a, b, c 成等差数列,且 a ? b ? c ? 84 ,则实数 b 的取值 范围是_________.

?2

6 ,2 7 (江苏南通 丁勇)

拓展 在△ ABC 中,已知 m, n ? ? 0,1? ,且 m sin A ? n sin B ? sin C ,求 cos C 的最小值. 解:由正弦定理得 ma ? nb ? c ,由余弦定理结合基本不等式有:
cos C ? a2 ? b2 ? c2 (1 ? m2 )a2 ? (1 ? n2 )b2 ? 2mnab 1 a b ? ? [(1 ? m2 ) ? (1 ? n2 ) ] ? mn 2ab 2ab 2 b a

? (1 ? m2 )(1 ? n2 ) ? mn .(当且仅当 (1 ? m2 )a2 ? (1 ? n2 )b2 时等号成立).(江苏常州 封中华)
【答案】

6? 2 4

【解析】 根据题目条件, 由正弦定理将题目中正弦换为边, 得 a ? 2b ? 2c , 再由余弦定理, 用 a, b
2 2 去表示 c ,并结合基本不等式去解决,化简 a ? b 为 ab ,消去 ab 就得出答案。

9 / 16

a 2 ? b2 ? c2 cos C ? ? 2ab
2 ?

a2 ? b2 ? (

a ? 2b 2 3 2 1 2 2 3 2 1 2 ) a ? b ? ab a ? b 2 2 2 2 ? 2 ?4 ?4 2ab 2ab 2ab 4

3 21 2 a b 4 2 ? 2 ? 6? 2 2ab 4 4

【点评】本题主要考查正、余弦定理,以及不等式,最终最值是在 C ? 75? 这样一个较为特殊的 角处取的,题目做为填空题的压轴题,实在是简单了,没有过多的技巧与构造,只需要用正、余 弦定理和不等式即可很轻松做出答案。
5 ? 【2014 江苏】 15. (本小题满分 14 分)已知 ? ? ( , ? ) , sin ? ? . 5 2 ? 5? (1)求 sin( ? ? ) 的值; (2)求 cos( ? 2? ) 的值. 4 6 解析:15.本小题主要考查三角函数的基本关系式、两角和与差及二倍角的公式,考查运算求解

能力. 满分 14 分.
5 2 5 ?π ? (1) 因为 α∈ ? , π ? ,sinα= ,所以 cosα= ? 1 ? sin 2 ? ? ? . 5 5 ?2 ?

π π 2 ? 2 5? 2 5 10 ?π ? ?? ? ? ? ?? 故 sin ? ? ? ? =sin cosα+cos sinα= . ? ? ? 4 2 ? 5 ? 2 5 10 4 4 ? ?
(2) 由(1)知 sin2α=2sinαcosα= 2 ?
2

5 ? 2 5? 4 ?? ? ?? , ? ? ? 5 ? 5 ? 5

? 5? 3 cos2α=1-2sin α=1- 2 ? ? , ? 5 ? ? ?5 ? ?
2

? 5π 5π 3? 3 1 ? 4? 4?3 3 ? 5π ? ? ? ? ??? ? ? ? 所以 cos ? ? 2? ? ? cos cos 2? ? sin sin 2? = ? . ? ? ? 6 6 6 2 5 2 5 10 ? ? ? ? ? ?
【考点】同角三角函数的基本关系式 (B),两角和(差)的正弦、余弦及正切 (C),二倍角的正弦、 余弦及正切 (B),运算求解能力. 5.在在 ?ABC 中,内角 A,B,C 所对应的边分别为 a, b, c, ,若 3a ? 5b ,则 为( )

2sin 2 B ? sin 2 A 的值 sin 2 A

10 / 16

A. ?

1 9

B.

1 3

C .1

D.

7 2
2 2

【解析】5.D

2sin 2 B ? sin 2 A 2b2 ? a 2 7 ?b? ?3? ? ? 2 ? ? ?1 ? 2 ? ? ?1 ? 2 2 sin A a 2 ?a? ?2?

16. (本小题满分 12 分)已知函数 f ?x? ? a ? 2 cos2 x cos?2 x ? ? ? 为奇函数,且 f ? 中 a ? R, ? ? ?0, ? ?.

?

?

?? ? ? ? 0 ,其 ?4?

? 的值; (1)求 a,
(2)若 f ?

2 ?? ? ?? ? ?? ? ? ?? , ? ? ,求 sin?? ? ? 的值. ??? , 3? 5 ? ?4? ?2 ?

16. 【解析】解;(1) f ?

?? ? ?? ? ? ? ? a ? 1? cos ? ? ? ? ? ? ? a ? 1? sin ? ? 0 ?4? ?2 ?

? ? ,? sin ? ? 0 ,? a ? 1 ? 0,? a ? ?1……………………………………2 分 Q ? ? ? 0,
Q 函数 f ?x? ? ?a ? 2 cos2 x?cos?2x ? ? ? 为奇函数
? f ? 0? ? ? a ? 2? cos? ? cos? ? 0 ………………………………4 分
?? ?

? ……………………………5 分 2

(2)有(1)得 f ? x ? ? ?1 ? 2cos 2 x cos ? 2 x ?

?

?

? ?

??

1 ? ? ? cos 2 xgsin 2 x ? ? sin 4 x ……………7 分 2? 2

1 2 ?? ? Q f ? ? ? ? sin ? ? ? 2 5 ?4?

?? ?s i n

4 ……………………………………8 分 5

3 ?? ? Q ? ?? , ? ? ,? cos ? ? ? ……………………………………10 分 5 ?2 ?

?? ? ? 4 1 3 3 4?3 3 ? …………………12 分 ?sin ? ? ? ? ? sin ? cos ? cos ? sin ? ? ? ? ? 3? 3 3 5 2 5 2 10 ?
11 / 16

11. 将函数 y ? 3sin(2 x ?

?
3

) 的图象向右平移

?
2

个单位长度,所得图象对应的函数(



A.在区间 [

? 7? , ] 上单调递减 12 12

B.在区间 [

? 7? , ] 上单调递增 12 12
? ? , ] 上单调递减 6 3 ? ? , ] 上单调递增 6 3
? ? ? ?

C.在区间 [ ?

D.在区间 [ ?

2 ? π? π ? ? [解析] 11.B 将函数 y=3sin 2x+ 3 的图像向右平移 2 个单位长度, 得到 y=3sin 2x-3π 的图像 , π π π 7π 2 函数单调递增,则- 2 +2kπ ≤2x-3π ≤ 2 +2kπ ,k∈Z,即12+kπ ≤x≤ 12 +kπ ,k∈Z,即 2 ? 7π ?π ? ? 函数 y=3sin 2x-3π 的单调递增区间为 12+kπ , 12 +kπ ,k∈Z,当 k=0 时,可知函数在区

?

?

?

?

? π 7π ? 间 12, 12 上单调递增 ? ?
17. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, 内角 A, B, C 的对边 a, b, c, 且a ?c, 已知 BA ? BC ? 2 ,

1 cos B ? , b ? 3 ,求: 3
(Ⅰ)a 和 c 的值; (Ⅱ) cos( B ? C ) 的值. 17.解: (Ⅰ)由 BA ? BC ? 2 得, ca cos B ? 2 .又 cos B ?

1 .所以 ca ? 6 .由余弦定理,得 3

a2 ? c2 ? b2 ? 2ac cos B .
又 b ? 3 . 所以 a ? c ? 9 ? 2 ? 2 ? 13 . 解 ?
2 2

? ac ? 6,
2 2 ? a ? c ? 13,

得 a ? 2, c ? 3 或 a ? 3, c ? 2 . 因为

12 / 16

a ? c .所以 a ? 3, c ? 2 .
( Ⅱ ) 在 ?ABC 中 , sin B ? 1 ? cos B ? 1 ? ( ) ?
2 2

1 3

2 2 . 由 正 弦 定 理 得 , 3

c 2 2 2 4 2 .因 a ? b ? c ,所以 C 为锐角.因此 cos C ? 1 ? sin 2 C ? sin C ? sin B ? ? ? b 3 3 9

1? (

4 2 2 ) 9

?

7 1 7 2 2 4 2 23 .于是 cos(B? C ) ? cos B cos C ? sin B sin C ? ? ? . ? ? 9 3 9 3 9 27

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ? ( x ? cos x) ? 2sin x ? 2 ,

g ( x) ? ( x ? ? )

1 ? sin x 2 x ? ?1 . 1 ? sin x ?

证明: (Ⅰ)存在唯一 x0 ? (0,

? ) ,使 f ( x0 ) ? 0 ; 2

(Ⅱ)存在唯一 x1 ? (

?
2

, ? ) ,使 g ( x1 ) ? 0 ,且对(1)中的 x0,有 x0 ? x1 ? ? .

' 21. (Ⅰ) 当 x ? (0, ) 时, f ( x) ? ? ? ? sin x ? 2cos x ? 0 , 所以 f ( x ) 在 (0,

?

?
2

2

) 上为增函数.又

? f (0) ? ?? ? 2 ? 0 . f ( ) ? ? 4 ? 0 .所以存在唯一 x0 ? (0, ) ,使 f ( x0 ) ? 0 . 2 2 2
? ?2
( Ⅱ ) 当 x?(

? cos x 2x ? , ) ? ?1 . 令 t ? ? ? x . 记 时 , 化 简 得 g ( x) ? (? ? x) 2 1 ? sin x ?

u( t )? g ?( ? t )? ?
t cos t 2t ? f (t ) ' ? ? 1 . t ? (0, ) .则 u ' (t ) ? .由(Ⅰ)得,当 t ? (0, x 0 ) 时, u (t ) ? 0 ; 1 ? sin t ? 2 ? (1 ? sin t )
13 / 16

当 t ? ( x0 ,

? ? ? ? ) 时,u ' (t ) ? 0 .从而在 ( x0 , ) 上 u(t ) 为增函数,由 u ( ) ? 0 知,当 t ? [ x0 , ) 时, 2 2 2 2

? u(t ) ? 0 ,所以 u(t ) 在 [ x0 , ) 上无零点.在 (0, x 0 ) 上 u(t ) 为减函数,由 u(0) ? 1 及 u ( x0 ) ? 0 知存 2
在 唯 一 t0 ? (0, x 0 ) , 使 得 u( x0 ) ? 0 . 于 是 存 在 唯 一 t0 ? (0,

?
2

) , 使 得 u(t0 ) ? 0 . 设

x1 ? ? ? t0 ? ( , ? ) . g ( x1 ) ? g (? ? t0 ) ? u(t0 ) ? 0 2
.因此存在唯一的 x1 ? (

?

?
2

, ? ) ,使得 g ( x1 ) ? 0 .由于 x1 ? ? ? t0 , t0 ? x 0 ,所以 x0 ? x1 ? ? .

12. 函数 y ?

3 sin 2 x ? cos 2 x 的最小正周期为 2
1+cos 2x 3 sin 2x+ = 2 2

.

12.π

[解析] 因为 y=

π? 1 2π ? sin 2x+ 6 +2,所以该函数的最小正周期 T= 2 =π

?

?

17. (本小题满分 12 分) ?ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a, b, c . 已知

a ? 3,cos A ?

6 ? , B ? A? . 3 2

(I)求 b 的值; (II)求 ?ABC 的面积. (17)解: (I)在 ?ABC 中,由题意知 sin A ? 1 ? cos 2 A ?

3 , 3

又因为 B ? A ?

? ? 6 ,所有 sin B ? sin( A ? ) ? cos A ? , 2 2 3

14 / 16

a sin B ? 由正弦定理可得 b ? sin A

3?

6 3 ?3 2 . 3 3

(II)由 B ? A ?

? 得 2

? 3 , cos B ? cos( A ? ) ? ? sin A ? ? 2 3
由 A ? B ? C ? ? ,得 C ? ? ? ( A ? B) . 所以 sin C ? sin[? ? ( A ? B)] ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B

?

3 3 6 6 1 ? . ? (? ) ? ? 3 3 3 3 3 1 1 1 3 2 . ab sin C ? ? 3 ? 3 2 ? ? 2 2 3 2

因此, ?ABC 的面积 S ?

2.函数 f ( x) ? cos(2 x ?

?
4

) 的最小正周期是(



A.

? 2

B.?

C .2?

D.4?

2. B

2π [解析] T= 2 =π .

13. 设 0 ? ? ?

?
2

,向量 a ? (sin 2? , cos? ),b ? (1,? cos? ) ,若 a ? b ? 0 ,则 tan ? ? ______.

13.

1 2

π [解析] 由 a· b=0,得 sin 2 θ =cos2θ .又 0<θ < 2 ,∴cos θ ≠0,∴2sin θ =cos θ ,则

1 tan θ =2. 18. (本小题满分 12 分) ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c .
15 / 16

(1)若 a, b, c 成等差数列,证明: sin A ? sin C ? 2 sin( A ? C ) ; (2)若 a, b, c 成等比数列,且 c ? 2a ,求 cos B 的值. 18. (1)

a, b, c 成等差数列

? a ? c ? 2b
由正弦定理得 sin A ? sin C ? 2sin B

sin B ? sin[? ? ( A ? C )] ? sin( A ? C )

?sin A ? sin C ? 2sin ? A ? C ?
(2)由题设有 b =ac,c=2a,? b= 2a ,
2

由余弦定理得 cos B ?

a 2 ? c 2 ? b 2 a 2 ? 4c 2 ? 2a 2 3 ? ? 2ac 4a 2 4

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