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四川省成都市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷


四川省成都市 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
一、选择题(每空 5 分,共 50 分) 1. (5 分)已知集合 A={x|x ﹣2x>0}, A.A∩B=? B.A∪B=R 2. (5 分)函数 y= A.2
2

,则() C.B?A D.A?B

的图象与函数 y=2sinπx(﹣2≤x≤4)的图象

所有交点的横坐标之和等于() B.4 C .6 D.8

3. (5 分)已知函数 f(x)=sin(ωx+ A.关于点( C. 关于点( ,0)对称 ,0)对称

) (ω>0)的最小正周期为 π,则该函数的图象() B. 关于直线 x= D.关于直线 x= 对称 对称

4. (5 分)当 x∈(0,π)时,函数 f(x)= A.2 B.2 C .2

的最小值是() D.1 ,

5. (5 分)已知 y=f(x+1)是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数,当 x∈时,f(x)=log2x,设 ,则 a、b、c 的大小关系为() A.a<c<b B.c<a<b C.b<c<a D.c<b<a

6. (5 分) 已知点 G 是△ ABC 的重心, 的最小值是() A. B.

( λ, μ∈R) , 若∠A=120°,

, 则

C.

D.

7. (5 分)如图,在△ ABC 中,

,P 是 BN 上的一点,若

,则实数 m 的值为()

A.

B.

C.

D.

8. (5 分)设 Q 为有理数集,函数 ?g(x) () A.是奇函数但不是偶函数 C. 既是奇函数也是偶函数

g(x)=

,则函数 h(x)=f (x)

B. 是偶函数但不是奇函数 D.既不是偶函数也不是奇函数

9. (5 分)已知函数 y=f(x)在区间上均有意义,且 A、B 是其图象上横坐标分别为 a、b 的两点.对应于 区间内的实数 λ,取函数 y=f(x)的图象上横坐标为 x=λa+(1﹣λ)b 的点 M,和坐标平面上满足 的点 N,得
2

.对于实数 k,如果不等式|MN|≤k 对 λ∈恒成立,那么就称函数 f

(x)在上“k 阶线性近似”.若函数 y=x +x 在上“k 阶线性近似”,则实数 k 的取值范围为() A.
2

B. ?D,使得函数 f(x)满足:①f(x)在内是单调函数;②f(x)在上的值域为,

则称区间为 y=f(x)的“倍值区间”.下列函数中存在“倍值区间”的有() ①f(x)=x (x≥0) ; x ②f(x)=e (x∈R) ; ③f(x)= ④f(x)= A.①②③④ B.①②④ (x≥0) ; . C.①③④ D.①③

二、填空题(每空 5 分,共 25 分) 11. (5 分)设集合 A(p,q)={x∈R|x +px+q=0},当实数 p,q 取遍的所有值时,所有集合 A(p,q)的并集为. 12. (5 分)设 M 点,记 f(x)=|OM|,当 x 变化时,函数 f(x)的最小正周期是. 13. (5 分)函数 f(x)=cos(ωx+φ) (ω>0,0<φ<π)为 R 上的奇函数,该函数的部分图象如图所表示, A,B 分别为最高点与最低点,并且两点间的距离为 2 ,现有下面的 3 个命题: (1)函数 y=|f(x)|的最小正周期是 2; (2)函数 在区间上单调递减; 为坐标平面内一点,O 为坐标原
2

(3)直线 x=1 是函数 y=f(x+1)的图象的一条对称轴. 其中正确的命题是.

14. (5 分)如图,在△ ABC 中,

=

,P 是 BN 上的一点,若

=m

+

,则实数 m 的值为.

15. (5 分)已知函数 f(x)=x +bx +cx+d(b,c,d 为常数) ,当 k∈(﹣∞,0)∪(4,+∞)时,f(x) ﹣k=0 只有一个实根;当 k∈(0,4)时,f(x)﹣k=0 只有 3 个相异实根,现给出下列 4 个命题: ①f(x)=4 和 f′(x)=0 有一个相同的实根; ②f(x)=0 和 f′(x)=0 有一个相同的实根; ③f(x)+3=0 的任一实根大于 f(x)﹣1=0 的任一实根; ④f(x)+5=0 的任一实根小于 f(x)﹣2=0 的任一实根. 其中正确命题的序号是.

3

2

三、简答题(共 75 分) 16. (10 分)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,﹣ (1)求函数 f(x)的表达式; (2)若 f(α)+f(α﹣ )= ,且 α 为△ ABC 的一个内角,求 sinα+cosα 的值. <φ< )一个周期的图象如图所示.

17. (10 分)已知向量 =(1+

,msin(x+

) ) , =(sin x,sin(x﹣

2

) ) ,记函数 f(x)= ? ,

求: (1)当 m=0 时,求 f(x)在区间上的值域; (2)当 tanα=2 时,f(α)= ,求 m 的值.

18. (10 分) (1)确定函数 f(x)的解析式; (2)当 x∈(﹣1,1)时判断函数 f(x)的单调性,并证明; (3)解不等式 f(2x﹣1)+f(x)<0.



19. (15 分)甲厂以 x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求 1≤x≤10) ,每一小时可获得的利 润是 100(5x+1﹣ )元.

(1)求证:生产 a 千克该产品所获得的利润为 100a(5+

)元;

(2)要使生产 900 千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求此最大利润. 20. (15 分)函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (其中 ω>0,A>0,|φ|< 图象向右平移 )的图象如图所示,把函数 f(x)的

个单位,再向下平移 1 个单位,得到函数 y=g(x)的图象. 时有两个公共点, 其横坐标分别为 x1, x2, 求g (x1+x2)

(1) 若直线 y=m 与函数 g (x) 图象在 的值;

(2)已知△ ABC 内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 c=3,g(C)=0.若向量 =(1,sinA)与 = (2,sinB)共线,求 a,b 的值.

21. (15 分)对于定义域为的函数 f(x) ,若同时满足以下三个条件: ①f(1)=1; ②?x∈,总有 f(x)≥0; ③当 x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1 时,都有 f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2) ,则称函数 f(x)为理想函数. (Ⅰ)若函数 f(x)为理想函数,求 f(0) . (Ⅱ)判断函数 g(x)=2 ﹣1(x∈)和函数 若不是,说明理由. (Ⅲ)设函数 f(x)为理想函数,若?x0∈,使 f(x0)∈,且 f=x0,求证:f(x0)=x0.
x

(x∈)是否为理想函数?若是,予以证明;

四川省成都市 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(每空 5 分,共 50 分) 1. (5 分)已知集合 A={x|x ﹣2x>0}, A.A∩B=? B.A∪B=R
2

C.B?A

,则() D.A?B

考点: 并集及其运算;一元二次不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用;集合. 分析: 根据一元二次不等式的解法,求出集合 A,再根据的定义求出 A∩B 和 A∪B. 2 解答: 解:∵集合 A={x|x ﹣2x>0}={x|x>2 或 x<0}, ∴A∩B={x|2<x< 或﹣ <x<0},A∪B=R, 故选 B.

点评: 本题考查一元二次不等式的解法,以及并集的定义,属于基础题. 2. (5 分)函数 y= A.2 的图象与函数 y=2sinπx(﹣2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于() B. 4 C. 6 D.8

考点: 奇偶函数图象的对称性;三角函数的周期性及其求法;正弦函数的图象. 专题: 压轴题;数形结合. 分析: 的图象由奇函数 的图象向右平移 1 个单位而得,所以它的图象关于点(1,0)

中心对称,再由正弦函数的对称中心公式,可得函数 y2=2sinπx 的图象的一个对称中心也是点(1,0) ,故 交点个数为偶数,且每一对对称点的横坐标之和为 2.由此不难得到正确答案. 解答: 解:函数 ,y2=2sinπx 的图象有公共的对称中心(1,0) ,作出两个函数的图象如图

当 1<x≤4 时,y1<0 而函数 y2 在(1,4)上出现 1.5 个周期的图象, 在 在 和 和 上是减函数; 上是增函数.

∴函数 y1 在(1,4)上函数值为负数,且与 y2 的图象有四个交点 E、F、G、H 相应地,y1 在(﹣2,1)上函数值为正数,且与 y2 的图象有四个交点 A、B、C、D 且:xA+xH=xB+xG═xC+xF=xD+xE=2,故所求的横坐标之和为 8 故选 D

点评: 发现两个图象公共的对称中心是解决本题的入口,讨论函数 y2=2sinπx 的单调性找出区间(1,4) 上的交点个数是本题的难点所在.

3. (5 分)已知函数 f(x)=sin(ωx+ A.关于点( C. 关于点( ,0)对称 ,0)对称

) (ω>0)的最小正周期为 π,则该函数的图象() B. 关于直线 x= D.关于直线 x= 对称 对称

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 计算题.

分析: 先根据最小正周期的值求出 w 的值确定函数的解析式,然后令 2x+ 数的对称点,然后对选项进行验证即可. 解答: 解:由函数 f(x)=sin(ωx+ 由 2x+ =kπ 得 x=

=kπ 求出 x 的值,得到原函

) (ω>0)的最小正周期为 π 得 ω=2, , 0) (k∈z) ,当 k=1 时为( ,0) ,

,对称点为(

故选 A 点评: 本题主要考查正弦函数的最小正周期的求法和对称性.

4. (5 分)当 x∈(0,π)时,函数 f(x)= A.2 B. 2 C. 2

的最小值是() D.1

考点: 三角函数的化简求值;二倍角的余弦. 专题: 三角函数的求值. 分析: 运用倍角公式把给出的函数的分子化为正弦的形式,整理得到 换元法把函数变为为 的最小值可求. 解答: 解: ,然后利用

(t∈(0,1]) .求导后得到该函数的单调性,则函数在单调区间(0,1]上

=

= = 令 sinx=t,∵x∈(0,π) ,∴t∈(0,1]. 则函数化为 (t∈(0,1]) .判断知,此函数在(0,1]上是个减函数.

(也可用导数这样判断∵ 减函数. ) ∴ymin=2﹣1=1. ∴当 x∈(0,π)时,函数 f(x)=

<0.∴为

(t∈(0,1])为

的最小值是 1.

故选 D. 点评: 本题考查了二倍角的余弦公式,考查了利用换元法求三角函数的最小值,训练了利用函数的导函 数判断函数的单调性,此题是中档题.

5. (5 分)已知 y=f(x+1)是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数,当 x∈时,f(x)=log2x,设 ,则 a、b、c 的大小关系为() A.a<c<b B.c<a<b C.b<c<a D.c<b<a



考点: 不等式比较大小. 专题: 压轴题;函数的性质及应用. 分析: 由 f (x+1) 是定义在 R 上的偶函数求得 f (x) 的图象关于直线 x=1 对称, 故有 f (x) =f (2﹣x) . 再 由 y=f(x+1)是定义在 R 上的周期为 2 的函数可得函数 f(x)也是周期等于 2 的函数,化简 a=f( ) ,再 根据当 x∈时,f(x)=log2x 是增函数,且 ,可得 a、b、c 的大小关系.

解答: 解:∵f(x+1)是定义在 R 上的偶函数,∴f(x+1)=f(﹣x+1) ,故函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对称,故有 f(x)=f(2﹣x) . 再由 y=f(x+1)是定义在 R 上的周期为 2 的函数可得 函数 f(x)也是周期等于 2 的函数. 故有 a=f( )=f(2﹣ )=f( ) ,b=f( ) ,c=f(1)=0. 再由当 x∈时,f(x)=log2x 是增函数,且 ,可得 a>b>c,

故选 D. 点评: 本题考查对数函数的性质和应用, 解题时要认真审题, 注意反函数性质的灵活运用, 属于基础题.

6. (5 分) 已知点 G 是△ ABC 的重心, 的最小值是() A. B. C.

( λ, μ∈R) , 若∠A=120°,

, 则

D.

考点: 平面向量的综合题. 专题: 计算题. 分析: 由三角形重心的性质可得, 的定义可知 , 可得 xy=4, 然后根据向量数量积的性质可得| 结合基本不等式可求 解答: 解:由向量加法的三角形法则及三角形重心的性质可得, ∵∠A=120°, 设 ∴ 即 xy=4 ,则根据向量的数量积的定义可得, = , ,设 ,由向量数量积

= x +y ≥2xy=8(当且仅当 x=y 取等号) ∴ 故选:C 即 的最小值为
2 2

=

点评: 此题是一道平面向量与基本不等式结合的试题,解题的关键是利用平面向量的数量积的性质把所 求的问题转化为 用了基本不等式求解最值. 7. (5 分)如图,在△ ABC 中, = = ,还利

,P 是 BN 上的一点,若

,则实数 m 的值为()

A.

B.

C.

D.

考点: 平面向量的基本定理及其意义. 分析: 由已知中△ ABC 中, ,P 是 BN 上的一点,设 后,我们易将 表示为

的形式,根据平面向量的基本定理我们易构造关于 λ,m 的方程组,解方程组后即 可得到 m 的值 解答: 解:∵P 是 BN 上的一点, 设 则 = = ,由 ,

= = = ∴m=1﹣λ, 解得 λ= ,m=

故选 D 点评: 本题考查的知识点是面向量的基本定理及其意义,其中根据面向量的基本定理构造关于 λ,m 的 方程组,是解答本题的关键.

8. (5 分)设 Q 为有理数集,函数 ?g(x) () A.是奇函数但不是偶函数 C. 既是奇函数也是偶函数

g(x)=

,则函数 h(x)=f (x)

B. 是偶函数但不是奇函数 D.既不是偶函数也不是奇函数

考点: 有理数指数幂的运算性质;函数奇偶性的判断. 分析: 由 Q 为有理数集,函数 ,知 f(x)是偶函数,由 g(x)= ,

知 g(x)是奇函数,由此能得到函数 h(x)=f (x)?g(x)是奇函数. 解答: 解:∵Q 为有理数集, 函数 ∴f(﹣x)=f(x) ,即 f(x)是偶函数, ∵g(x)= ,∴g(﹣x)= =﹣ =﹣g(x) ,即 g(x)是奇函数, ,

∴函数 h(x)=f (x)?g(x)是奇函数但不是偶函数, 故选 A. 点评: 本题考查函数的奇偶性的应用,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答,注意函数的奇偶性的 判断. 9. (5 分)已知函数 y=f(x)在区间上均有意义,且 A、B 是其图象上横坐标分别为 a、b 的两点.对应于 区间内的实数 λ,取函数 y=f(x)的图象上横坐标为 x=λa+(1﹣λ)b 的点 M,和坐标平面上满足 的点 N,得
2

.对于实数 k,如果不等式|MN|≤k 对 λ∈恒成立,那么就称函数 f

(x)在上“k 阶线性近似”.若函数 y=x +x 在上“k 阶线性近似”,则实数 k 的取值范围为() A. B. 恒成立,则 k≥|MN|的最大值.

由 A、B 是其图象上横坐标分别为 a、b 的两点,则 A(1,2) , (2, 6)

∴AB 方程为 y﹣6=

×(x﹣2) ,即 y=4x﹣2
2 2

由图象可知,|MN|=4x﹣2﹣(x +x)=﹣(x﹣ ) + ≤ ∴k≥ 故选 C. 点评: 本题考查新定义,解答的关键是将已知条件进行转化,同时应注意恒成立问题的处理策略. 10. (5 分)函数 f(x)的定义域为 D,若存在闭区间?D,使得函数 f(x)满足:①f(x)在内是单调函 数;②f(x)在上的值域为,则称区间为 y=f(x)的“倍值区间”.下列函数中存在“倍值区间”的有() 2 ①f(x)=x (x≥0) ; x ②f(x)=e (x∈R) ; ③f(x)= ④f(x)= A.①②③④ B.①②④ (x≥0) ; . C.①③④ D.①③

考点: 函数单调性的性质;函数的定义域及其求法;函数的值域. 专题: 新定义. 分析: 根据函数中存在“倍值区间”,则:①f(x)在内是单调函数;② 对四个函数分别研究,从而确定是否存在“倍值区间” 解答: 解:函数中存在“倍值区间”,则:①f(x)在内是单调函数;② 或 或 ,

①f(x)=x (x≥0) ,若存在“倍值区间”,则 ∴f(x)=x (x≥0) ,若存在“倍值区间”; ②f(x)=e (x∈R) ,若存在“倍值区间”,则
x x x 2

2

,∴



,∴

构建函数 g(x)=e ﹣2x,∴g′(x)=e ﹣2, ∴函数在(﹣∞,ln2)上单调减,在(ln2,+∞)上单调增, ∴函数在 x=ln2 处取得极小值,且为最小值. x ∵g(ln2)=2﹣2ln2>0,∴g(x)>0 恒成立,∴e ﹣2x=0 无解,故函数不存在“倍值区间”; ③ , =

若存在“倍值区间”?,则

,∴

,∴a=0,b=1,若存在“倍值区间”;



.不妨设 a>1,则函数在定义域内为单调增函数

若存在“倍值区间”,则

,必有



必有 m,n 是方程 必有 m,n 是方程 由于

的两个根, 的两个根, 存在两个不等式的根,故存在“倍值区间”;

综上知,所给函数中存在“倍值区间”的有①③④ 故选 C. 点评: 本题考查新定义,考查学生分析解决问题的能力,涉及知识点较多,需要谨慎计算. 二、填空题(每空 5 分,共 25 分) 11. (5 分)设集合 A(p,q)={x∈R|x +px+q=0},当实数 p,q 取遍的所有值时,所有集合 A(p,q)的并集为. 考点: 并集及其运算;元素与集合关系的判断. 专题: 综合题;压轴题. 分析: 由 x +px+q=0,知 x1=(﹣p+ 的并集. 2 解答: 解:∵x +px+q=0, ∴x1=(﹣p+ 即﹣p 尽可能大 视 p 为常数 则 q=﹣1 时 2 2 p ﹣4q 最大值为 4+p , 即(x1)ma x= p=﹣1 时(x1)max= 即 xmax=x1= , ,① , ) ,x2=(﹣p﹣ ) ,
2 2

) ,x2=(﹣p﹣

) ,由此能求出所有集合 A(p,q)

也是尽可能大时,x 最大,

同理当 x2 取最小值是集合最小,

即 x2 中﹣q 最小且﹣

最小,

即(x2)min=﹣(p+ 由①得 (p+ 即 xmin=﹣ )最大值为 1+ ,

)中(p+

﹣4q)最大



∴所有集合 A(p,q)的并集为. 故答案为: . 点评: 本题考查集合的并集及其运算的应用,解题时要认真审题,注意换法的合理运用,恰当地借助三 角函数的性质进行解题.

12. (5 分)设 M 点,记 f(x)=|OM|,当 x 变化时,函数 f(x)的最小正周期是 15.

为坐标平面内一点,O 为坐标原

考点: 三角函数的周期性及其求法. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: 本题考查的知识点是正(余)弦型函数的最小正周期的求法,由 M 坐标,f(x)=|OM|,代入两 点间距离公式,即可利用周期公式求值. 解答: 解:∵f(x)=|OM| = = ∵ω= 故 T= . =15. .

故答案为:15. 点评: 函数 y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)中,最大值或最小值由 A 确定,由周期由 ω 决定,即要求 三角函数的周期与最值一般是要将其函数的解析式化为正弦型函数,再根据最大值为|A|,最小值为﹣|A|, 由周期 T= 进行求解,本题属于基本知识的考察.

13. (5 分)函数 f(x)=cos(ωx+φ) (ω>0,0<φ<π)为 R 上的奇函数,该函数的部分图象如图所表示, A,B 分别为最高点与最低点,并且两点间的距离为 2 ,现有下面的 3 个命题: (1)函数 y=|f(x)|的最小正周期是 2; (2)函数 在区间上单调递减;

(3)直线 x=1 是函数 y=f(x+1)的图象的一条对称轴. 其中正确的命题是(1) .

考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 三角函数的图像与性质;简易逻辑. 分析: 根据三角函数的奇偶性求出 φ 的值,由最高点与最低点间的距离、勾股定理求出 ω 的值,即求出 函数的解析式, 利用 y=|sinx|的周期求出函数 y=|f(x)|的最小正周期,从而判断(1) ;根据正弦函数的单调性判(2) ;利 用余弦函数的对称轴判断(3) . 解答: 解:因为函数 f(x)=cos(ωx+φ) (ω>0,0<φ<π)为 R 上的奇函数, 所以 φ= ,则函数 f(x)=sin(ωx) ,

设函数 f(x)=sin(ωx)的周期是 T, 因为 A,B 分别为最高点与最低点,并且两点间的距离为 2 所以 所以 f(x)=s in( x) , x)|的最小正周期是 ,解得 T=4,即 4=

, ,

,则 ω=

对于(1) ,则函数 y=|f(x)|=|sin(

=2, (1)正确;

对于(2) ,因为 f(x)=sin( 由 x∈得, (x﹣ )∈,所以

x) ,所以函数

=sin, 在上递增, (2)错误;

对于(3) ,因为 f(x)=sin( 当 x=1 时, x=

x) ,所以函数 y=f(x+1)=sin=cos(

x) ,

,所以直线 x=1 不是函数 y=f(x+1)的图象的一条对 称轴, (3)错误,

综上得,正确的命题是(1) , 故答案为: (1) . 点评: 本题考查命题真假的判断,主要利用三角函数的性质进行判断,比较综合,属于中档题. 14. (5 分)如图,在△ ABC 中,

=

,P 是 BN 上的一点,若

=m

+

,则实数 m 的值为



考点: 平面向量的基本定理及其意义. 专题: 计算题. 分析: 由已知中△ ABC 中, ,P 是 BN 上的一点,设 后,我们易将 表示为

的形式,根据平面向量的基本定理我们易构造关于 λ,m 的方程组,解方程组后即 可得到 m 的值 解答: 解:∵P 是 BN 上的一点, 设 则 = = = = = ∴m=1﹣λ, 解得 λ= ,m= ,由 ,

故答案为: 点评: 本题考查的知识点是面向量的基本定理及其意义,解答本题的关键是根据面向量的基本定理构造 关于 λ,m 的方程组.属于基础题. 15. (5 分)已知函数 f(x)=x +bx +cx+d(b,c, d 为常数) ,当 k∈(﹣∞,0)∪(4,+∞)时,f(x) ﹣k=0 只有一个实根;当 k∈(0,4)时,f(x)﹣k=0 只有 3 个相异实根,现给出下列 4 个命题: ①f(x)=4 和 f′(x)=0 有一个相同的实根; ②f(x)=0 和 f′(x)=0 有一个相同的实根; ③f(x)+3=0 的任一实根大于 f(x)﹣1=0 的任一实根; ④f(x)+5=0 的任一实根小于 f(x)﹣2=0 的任一实根. 其中正确命题的序号是①②④. 考点: 命题的真假判断与应用. 分析: f(x)﹣k=0 的根的问题可转化为 f(x)=k,即 y=k 和 y=f(x)图象交点个数问题.由题意 y=f (x)图象应为先增后减再增,极大值为 4,极小值为 0. 解答: 解:由题意 y=f(x)图象应为先增后减再增, 极大值为 4,极小值为 0. f(x)﹣k=0 的根的问题可转化为 f(x)=k, 即 y=k 和 y=f(x)图象交点个数问题.
3 2

故答案为:①②④

点评: 本题考查方程根的问题,方程根的问题?函数的零点问题?两个函数图象的焦点问题,转化为数 形结合求解. 三、简答题(共 75 分) 16. (10 分)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,﹣ (1)求函数 f(x)的表达式; (2)若 f(α)+f(α﹣ )= ,且 α 为△ ABC 的一个内角,求 sinα+cosα 的值. <φ< )一个周期的图象如图所示.

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 常规题型;计算题. 分析: (1)根据函数的图象,求出 A、T,求出 ω,函数 x=﹣ 然后求函数 f(x)的表达式; (2)利用 f(α)+f(α﹣ )= ,化简出(sinα+cosα) ,2sinαcosα=
2

时,y=0,结合﹣

<φ<

求出 φ,

>0 且 α 为△ ABC 的一个内角,

确定 sinα>0,cosα>0,求 sinα+cosα 的值. 解答: 解: (1)从图知,函数的最大值为 1,则 A=1. 函数 f( x)的周期为 T=4×( 而 T= ∴sin=0. 而﹣ <φ< ,则 φ= , ) . ,则 ω=2.又 x=﹣ + )=π.

时,y=0,

∴函数 f(x)的表达式为 f(x)=sin(2x+

(2)由 f(α)+f(α﹣ sin(2α+ )+sin(2α﹣ =
2

)= )=

,得 , .

即 2sin2αcos

,∴2sinαcosα= = .

∴(sinα+cosα) =1+ ∵2sinαcosα=

>0,α 为△ ABC 的内角,

∴sinα>0,cosα>0,即 sinα+cosα>0.∴sinα+cosα= . 点评: 本题是基础题,考查函数解析式的求法,根据三角函数式,确定函数的取值范围,是解题的难点, 考查学生视图能力,计算能力.
2

17. (10 分)已知向量 =(1+

,msin(x+

) ) , =(sin x,sin(x﹣

) ) ,记函数 f(x)= ? ,

求: (1)当 m=0 时,求 f(x)在区间上的值域; (2)当 tanα=2 时,f(α)= ,求 m 的值.

考点: 平面向量数量积的运算;函数的值域. 专题: 三角函数的求值;平面向量及应用. 分析: (1)先根据条件求出 f(x) ,要对求出的 f(x)进行化简,并化简成:f(x) = = 况便可求出 f(x)在 (2) 求出 ( f α) = 即可求出 cos2α 和 sin2α,带入即可求 m. 解答: 解:f(x) = = (1)m=0 时,f(x)= ∵x∈,∴2x﹣ ∴sin(2x﹣ ∈ )∈; = ; = , 将 m=0 带入并根据两角差的正弦公式把它变成一个角的三角函数为 ( f x) ,根据 x 所在的区间,求出 上的值域. = , 要求 m, 显然需要求 cos2α, sin2α, 由 tan2α=2 所在区间,再根据正弦函数的图象或取值情

∴f(x)∈,即函数 f(x)的值域是



(2)当 tanα=2 时,
2

,∴

,∴



∴cos2α=2cos α﹣1



∵tanα=2>0,∴α∈,∴2α∈,∴sin2α= .

∴f(α)= ∴m=﹣2



点评: 对求出的 f(x)进行化简,并化简成 f(x)=

,是求解本题

的关键.本题考查:数量积的坐标运算,二倍角的正余弦公式,两角差的正弦公式,三角函数的诱导公式. 18. (10 分) (1)确定函数 f(x)的解析式; (2)当 x∈(﹣1,1)时判断函数 f(x)的单调性,并证明; (3)解不等式 f(2x﹣1)+f(x)<0. 考点: 函数单调性的性质;函数解析式的求解及常用方法. 专题: 综合题;函数的性质及应用. 分析: (1)利用函数为奇函数,可得 b=0,利用 ,可得 a=1,从而可得函数 f(x)的解析式; .

(2)利用导数的正负,可得函数的单调性; (3)利用函数单调增,函数为奇函数,可得具体不等式,从而可解不等式. 解答: 解: (1)由题意可知 f(﹣x)=﹣f(x) ∴ =﹣

∴﹣ax+b=﹣ax﹣b,∴b=0 ∵ ∴ ,∴a=1 ;

(2)当 x∈(﹣1,1)时,函数 f(x)单调增,证明如下: ∵ ,x∈(﹣1,1)

∴f′(x)>0,∴当 x∈(﹣1,1)时,函数 f(x)单调增; (3)∵f(2x﹣1)+f(x)<0,且 f(x)为奇函数 ∴f(2x﹣1)<f(﹣x) ∵当 x∈(﹣1,1)时,函数 f(x)单调增,



∴ ∴不等式的解集为(0, ) . 点评: 本题主要考查应用奇偶性来求函数解析式,考查函数的单调性,还考查了综合运用奇偶性和单调 性来解不等式的能力,属于中档题. 19. (15 分)甲厂以 x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求 1≤x≤10) ,每一小时可获得的利 润 是 100(5x+1﹣ )元. (1)求证:生产 a 千克该产品所获得的利润为 100a(5+ )元;

(2)要使生产 900 千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求此最大利润. 考点: 函数模型的选择与应用;二次函数在闭区间上的最值. 专题: 应用题;函数的性质及应用. 分析: (1) 由题意可得生产 a 千克该产品所用的时间是 小时, 由于每一小时可获得的利润是 100 (5x+1 ﹣ )元,即可得到生产 a 千克该产品所获得的利润; (2)利用(1)的结论可得生产 1 千克所获得的利润为 90000(5+ 千克该产品获得的利润,利用二次函数的单调性即可得出. 解答: 解: (1)生产 a 千克该产品所用的时间是 小时, ∵每一小时可获得的利润是 100(5x+1﹣ )元,∴获得的利润为 100(5x+1﹣ )× 元. 因此生产 a 千克该产品所获得的利润为 100a (5+ (2)生产 900 千克该产品获得的利润为 90000(5+ 设 f(x)= 则 f(x)= 故获得最大利润为 ,1≤x≤10. ,当且仅当 x=6 取得最大值. =457500 元. )元. ) ,1≤x≤10. ) ,1≤x≤10.进而得到生产 900

因此甲厂应以 6 千克/小时的速度生产,可获得最大利润 457500 元. 点评: 正确理解题意和熟练掌握二次函数的单调性是解题的关键.

20. (15 分)函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (其中 ω>0,A>0,|φ|< 图象向右平移

)的图象如图所示,把函数 f(x)的

个单位,再向下平移 1 个单位,得到函数 y=g(x)的图象. 时有两个公共点, 其横坐标分别为 x1, x2, 求g (x1+x2)

(1) 若直线 y=m 与函数 g (x) 图象在 的值;

(2)已知△ ABC 内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 c=3,g(C)=0.若向量 =(1,sinA)与 = (2,sinB)共线,求 a,b 的值.

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;余弦定理. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)由函数 f(x)的图象可得周期,可得 ω,代点( ,0)结合 φ 的范围可得其值,再由图

象变换可得 g(x)图象,由对称性可得所求; (Ⅱ)由 g(C)=0 可得角 C, 由向量共线可得 sinB﹣2sinA=0.由正余弦定理可得 ab 的方程组,解方程组可得. 解答: 解: (1)由函数 f(x)的图象可得 又 由图象变换,得 由函数图象的对称性,有 (Ⅱ)∵ 又∵0<C<π,∴ ∴ ∵ ,∴ , ,∴ , ; ,∴ ,∴ , , ,解得 ω=2,

共线,∴sinB﹣2sinA=0. ,得 b=2a,① ,②

由正弦定理得 ∵c=3,由余弦定理得

解方程组①②可得 点评: 本题考查三角函数图象和性质,涉及图象的变换和正余弦定理,属中档题.

21. (15 分)对于定义域为的函数 f(x) ,若同时满足以下三个条件: ①f(1)=1; ②?x∈,总有 f(x)≥0; ③当 x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1 时,都有 f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2) ,则称函数 f(x)为理想函数. (Ⅰ)若函数 f(x)为理想函数,求 f(0) . (Ⅱ)判断函数 g(x)=2 ﹣1(x∈)和函数
x

(x∈)是否为理想函数?若是,予以证明;

若不是,说明理由. (Ⅲ)设函数 f(x)为 理想函数,若?x0∈,使 f(x0)∈,且 f=x0,求证:f(x0)=x0. 考点: 抽象函数及其应用;函数的定义域及其求法;函数的值域. 专题: 新定义. 分析: (I)赋值可考虑取 x1=x2=0,代入 f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2) ,可得 f(0)≥f(0)+f(0) ,由已 知 f(0)≥0,可得 f(0)=0 (II)要判断函数 g(x)=2 ﹣1, =2 ﹣1,
x x

(x∈)在区间上是否为“理想函数,只要检验函数 g(x)

(x∈是否满足题目中的三个条件

(III)由条件③知,任给 m、n∈,当 m<n 时,由 m<n 知 n﹣m∈,f(n)=f(n﹣m+m)≥f(n﹣m)+f (m)≥f(m) .由此能够推导出 f(x0)=x0. 解答: 解: (I)取 x1=x2=0,代入 f(x1+x2)≥f( x1)+f(x2) ,可得 f(0)≥f(0)+f(0) 即 f(0)≤0 由已知?x∈,总有 f(x)≥0 可得 f(0)≥0, ∴f(0)=0 (II)显然 g(x)=2 ﹣1 在上满足 g(x)≥0;②g(1)=1. 若 x1≥0,x2≥0,且 x1+x2≤1, 则有 g(x1+x2)﹣=
x x

﹣1﹣=(

﹣1) (

﹣1)≥0
x

故 g(x)=2 ﹣1 满足条件①②③,所以 g(x)=2 ﹣1 为理想函数. 对应函数 在 x∈上满足①h(1)=1; ②?x∈,总有 h(x)≥0; =x2 时,h(x1+x2)=h(1)=1,而 h(x1)+h(x2)=2h( )

③但当 x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1 时,例如

= ,不满足条件③,则函数 h(x)不是理想函数. (III)由条件③知,任给 m、n∈,当 m<n 时,由 m<n 知 n﹣m∈, ∴f(n)=f(n﹣m+m)≥f(n﹣m)+f(m)≥f(m) . 若 f(x0)>x0,则 f(x0)≤f=x0,前后矛盾; 若:f(x0)<x0,则 f(x0)≥f=x0,前后矛盾. 故 f(x0)=x0. 点评: 采用赋值法是解决抽象函数的性质应用的常用方法,而函数的新定义往往转化为一般函数性质的 研究,本题结合指数函数的性质研究函数的函数的函数值域的应用,指数函数的单调性的应用.


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