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函数与导数专题复习(教师版)


2011 届高三理科数学第二轮专题复习资料(二)

函数与导数专题复习
编写:杨志明 【知识网络】
概念 集合 表示方法 元素、集合之间的关系 数轴、Venn 图、函数图象 解析法 列表法 使解析式有意义 换元法求解析式 注意应用函数的单调性求值域
1、函数在某个区间递增(或减)与单调区间是某个区间的含义不同; 2、证明单调性:作

差(商) 、导数法;3、复合函数的单调性 定义域关于原点对称,在 x=0 处有定义的奇函数→f (0)=0

运算:交、并、补 性质

确定性、互异性、无序性 表示 定义域

映射

定义

图象法

三要素

对应关系 值域 单调性 奇偶性

性质 函数

周期性 对称性 最值
平移变换

周期为 T 的奇函数→f (T)=f (2)=f (0)=0 二次函数、基本不等式、打钩(耐克)函 数、三角函数有界性、数形结合、导数. 一次、二次函数、反比例函数 幂函数 指数函数 对数函数 图象、性质 和应用

T

图象及其变换

对称变换 翻折变换 伸缩变换

基本初等函数 分段函数 复合函数 抽象函数 函数与方程 函数的应用 导数的概念 零点 三角函数 复合函数的单调性:同增异减 赋值法、典型的函数

二分法、图象法、二次及三次方程根的分布 建立函数模型

几何意义、物理意义 三次函数的性质、图象与应用

基本初等函数的导数 导数 导数的运算法则

单调性 导数的应用 极值 定积分与微积分 定积分与图形的计算

导数的正负与单调性的关系 最值 生活中的优化问题

1

2011 届高三理科数学第二轮专题复习资料(二)

【命题趋势】 函数与导数既是高中数学最重要的基础知识,又是高中数学的主干知识,还是高中数 学的主要工具,在高考中占有举足轻重的地位,其考查的内容和形式也是丰富多彩的.对于 函数, 高中数学各章节的知识都渗透有函数的思想与方法, 函数的影子几乎闪现于每个问题 之中. 对于函数内容的备考, 首先要掌握基本概念和基本运算, 牢记基本函数的图象与性质, 重视函数与方程,数形结合,转化与化归,分类讨论等数学思想与方法在解题中的应用.导 数属于新增加的内容,是高中数学知识的一个重要的交汇点,命题范围非常广泛,为函数的 考查提供了广阔天地, 处于一种特殊的地位. 主要考查点有与导数有关的概念、 计算和应用, 利用导数的工具性研究函数的有关性质,把导数应用于函数的单调性、极值等传统、常规问 题的同时,进一步升华到处理与自然数有关的不等式的证明,它的解题又融合了转化、分类 讨论、函数与方程、数形结合等数学思想与方法,这一切对考查考生的应用能力和创新意识 都大有益处.

第 1 课时 客观题中的函数常见题型
函数考查的方式是灵活多变的,既有以选择题、填空题形式出现的中低档试题,也有以 解答题形式出现的中高档试题, 更有以综合了函数、 导数、 不等式、 数列而出现的压轴题. 在 试卷中往往是以选择题、 填空题的形式考查函数的基础知识和基本方法, 以解答题的形式考 查函数的综合应用. 【考点扫描】 参看《导与练》P64《考纲导航》 【辅教导学】 《导与练》P64-67 精典例题有《考题定位》中的 3、5, 《考向聚焦》中的例 1、例 3. 【典例分析】 题型一、函数的解析式 例 1. (2010 年高考陕西卷理科 5)已知函数 f ( x) ? ? 则实数 a =( (A) ) (B)
x ? ?2 ? 1, x ? 1 ,若 f ( f (0)) =4 a , 2 ? x ? ax , x ? 1 ?

4 (C) 2 (D ) 9 5 0 2 【答案】C. 【解析】∵ f ?0? ? 2 ? 1 ? 2 ,∴ f ? f ?0?? ? f ?2? ? 2 ? 2a ? 4 ? 2a .于 是,由 f ? f ?0?? ? 4a 得 4 ? 2a ? 4a ? a ? 2 .故选 C .
题型二、函数的定义域与值域 例 2. (2010 年高考广东卷理科 9)函数 f ( x ) =lg( x -2)的定义域是 【答案】(1,+∞)。 【解析】∵ x ? 1 ? 0 ,∴ x ? 1 . 例 3. (2008 年江西卷) 若函数 y ? f ( x) 的值域是 ? ,3? , 则函数 F ? x ? ? f ? x ? ? f ( x) ?2 ? 的值域是( ) A.[ .

1 2

?1

?

1

10 5 10 10 ] C.[ , ] D.[3, ] 3 2 3 3 1 1 10 解: B .令 t ? f ( x) ,则 t ? [ , 3] , F ( x) ? t ? ? [2, ] . 2 t 3
B.[2,
x

1 ,3] 2

题型三、函数的性质(奇偶性、单调性与周期性) 例 4. (2010 年高考山东卷理科 4)设 f(x)为定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时, f(x)= 2 +2x+b(b 为常数),则 f(-1)= (A) 3 (B) 1 (C)-1 (D)-3
0

【答案】D. 【解析】因为 f(x) 为定义在 R 上的奇函数,所以有 f(0)=2 +2 ? 0+b=0 ,解得
2

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b=-1 ,所以当 x ? 0 时, f(x)=2x +2x-1,即 f(-1)=-f(1)= -(21 +2 ?1-1) =-3 ,故选 D.
【命题意图】本题考查函数的基本性质,熟练函数的基础知识是解答好本题的关键. 例 5. (2010 年高考江西卷理科 9)给出下列三个命题:

1 1 ? cos x x ln 与 y ? ln tan 是同一函数; 2 1 ? cos x 2 ②若函 数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 的图像关于直线 y ? x 对 称,则函数 y ? f (2 x) 与 1 y ? g ( x ) 的图像也关于直线 y ? x 对称; 2 ③若奇函数 f ( x ) 对定义域内任意 x 都有 f ( x) ? f (2 ? x) ,则 f ( x ) 为周期函数.
①函数 y ? 其中真命题是 A.①② B.①③ C.②③ D.② 【答案】C. 【解析】考查相同函数、函数对称性的判断、周期性知识。考虑定义域不

同,①错误;排除 A 、 B ,验证③ , f ? ?x ? ? f [2 ? (?x)] ? f (2 ? x) , 又通过奇函数得

f ? ? x ? ? ? f ( x) ,所以 f(x)是周期为 2 的周期函数,选择 C.
题型四、函数图像的应用 例 6. (2010 年高考山东卷理科 11)函数 y=2x - x 的图像大致是
2

【答案】A. 【解析】因为当 x=2 或 4 时,2x - x =0,所以排除 B、C;当 x=-2 时,2x -x =
2

2

1 ? 4<0 ,故排除 D,所以选 A. 4

【命题意图】 本题考查函数的图象, 考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结 合的思维能力. 题型五、函数的最值与参数的取值范围 例 7. (2010 年高考江苏卷试题 14)将边长为 1m 正三角形薄片,沿一条平行于底边的 直线剪成两块,其中一块是梯形,记 S ? 【答案】
2 (梯形的周长) ,则 S 的最小值是_______. 梯形的面积

32 3 .[解析] 考查函数中的建模应用,等价转化思想。一题多解. 3
(3 ? x) 2 4 (3 ? x) 2 ? ? (0 ? x ? 1) 2 1 3 3 1? x ? ( x ? 1) ? ? (1 ? x) 2 2

设剪成的小正三角形的边长为 x , 则:S ? (方法一)利用导数求函数最小值.

4 (3 ? x)2 4 (2 x ? 6) ? (1 ? x 2 ) ? (3 ? x)2 ? (?2 x) ? , ? S ( x ) ? ? 2 (1 ? x2 )2 3 1? x 3 4 (2 x ? 6) ? (1 ? x 2 ) ? (3 ? x) 2 ? (?2 x) 4 ?2(3x ? 1)( x ? 3) ? ? ? ? (1 ? x 2 )2 (1 ? x2 )2 3 3 1 S ?( x) ? 0, 0 ? x ? 1, x ? , 3 S ( x) ?
3

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1 3 1 32 3 故当 x ? 时,S 的最小值是 . 3 3 1 t 1 1 3 2

当 x ? (0, ] 时, S ?( x) ? 0, 递减;当 x ? [ ,1) 时, S ?( x) ? 0, 递增;

1 3

(方法二)利用函数的方法求最小值. 令 3 ? x ? t , t ? (2,3), ? ( , ) ,则: S ?

4 t2 4 1 ? 2 ? ? . 3 ?t ? 6t ? 8 3 ? 8 ? 6 ?1 t2 t

故当 ?

1 t

3 1 32 3 , x ? 时,S 的最小值是 . 8 3 3

例 8. ( 2010 年高考全国卷 I 理科 10) 已知函数 F(x)=|lgx|,若 0<a<b,且 f(a)=f(b),则 a+2b 的取值范围是( ) (A) (2 2, ??) (B) [2 2, ??) (C) (3, ??) (D) [3, ??) 答.A 【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域,考 生在做本小题时极易忽视 a 的取值范围,而利用均值不等式求得 a+2b ? a ? 错选 A,这也是命题者的用苦良心之处. 【解析】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以 a=b(舍去),或 b ? 又 0<a<b,所以 0<a<1<b,令 f (a ) ? a ? 为减函数,所以 f(a)>f(1)=1+

2 ? 2 2 ,从而 a

1 2 ,所以 a+2b= a ? a a

2 ,由“对勾”函数的性质知函数 f ( a ) 在 a ?(0,1)上 a

2 =3,即 a+2b 的取值范围是(3,+∞). 1
1 , 4

题型六、函数方程与函数不等式 例 9. (2010 年 高 考 重 庆 市 理 科 15) 已 知 函 数 f ( x ) 满 足 : f (1) ?

4 f ( x) f ( y) ? f ( x ? y) ? f ( x ? y),( x, y ? R) ,则 f (2010) ? _______. 1 1 【答案】 .解析:取 x=1 y=0 得 f (0) ? . 2 2 法一:通过计算 f (2), f (3), f (4)........ ,寻得周期为 6.
法二:取 x=n y=1,有 f(n)=f(n+1)+f(n-1),同理 f(n+1)=f(n+2)+f(n), 联立得 f(n+2)= —f(n-1) 所以 T=6 故 f ? 2010? =f(0)=

1 . 2

? 2 例 10 . ( 2010 年高考江苏卷试题 11 )已知函数 f ( x) ? ? x ? 1, x ? 0 , 则满足不等式 x?0 ?1,

f (1 ? x2 ) ? f (2 x) 的 x 的范围是_____.
?1 ? x 2 ? 2 x 【答案】 (?1, 2 ?1) . [解析] 考查分段函数的单调性。 ? ? x ? (?1, 2 ? 1) . ? 2 ?1 ? x ? 0 ?

题型七、函数的零点 例 11. (2010 年高考福建卷理科 4)函数 ( f x)= ?

? x 2 +2x-3,x ? 0 ?-2+ ln x,x>0

的零点个数为 (

)

A.0 B.1 C.2 D.3 2 【答案】 C . 【解析】当 x ? 0 时,令 x ? 2 x ? 3 ? 0 解得 x ? ?3 ;当 x ? 0 时,令 ?2 ? ln x ? 0解得 x ? 100 ,所以已知函数有两个零点,选 C.
4

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【命题意图】本题考查分段函数零点的求法,考查了分类讨论的数学思想. 题型八、函数的应用 例 12. (2010 年高考陕西卷理科 10)某学校要召开学生代表大会,规定各班每 10 人推 选一名代表,当各班人数除以 10 的余 数大于 6 时再增选一名代表。那么,各班可推选代表 人数 y 与该班人数 x 之间的函数关系用取整函数 y=[x]([x]表示不大于 x 的最大整数)可以 表示为( )

? x ? 5? ? 10 ? ? ?x? 【答案】 B. 【解析】 (方法一) 当 x 除以 10 的余数为 0,1,2,3,4,5,6 时, 由题设知 y ? ? ? , ?10 ? ? x ? ? x ? 3? 且易验证知此时 ? ? ? ? ?. ?10? ? 10 ? ?x? 当 x 除 以 10 的 余 数 为 7,8,9 时 , 由 题 设 知 y ? ? ? ? 1 , 且 易 验 证 知 此 时 ?10 ? ?x? ? x ? 3? . ?1 ? ? ? ? ?10? ? 10 ? ? ? x ? 3? 故综上知,必有 y ? ? ? .故选 B . ? 10 ? (方法二) 依题意知: 若 x ? 16 , 则 y ? 1, 由此检验知选项 C , D 错误; 若 x ? 17 , 则 y ? 2, 由此检验知选项 A 错误.故由排除法知,本题应选 B .
(A) y= ? (B) y= ? (C) y= ? (D) y= ? 【跟踪训练】 【跟踪训练 1】 .(2010·佛山调研)下列四组函数中,表示同一函数的是 x-1 2 A.y=x-1 与 y= (x-1) B.y= x-1与 y= x-1 C.y=4lg x 与 y=2lg x
2

? x ? ? x ? 3? ?10 ? ?? ? 10 ? ?

? x ? 3? ? 10 ? ?

? x ? 4? ? 10 ? ?

(

)

D.y=lg x-2 与 y=lg
2

x
100

解析: ∵y=x-1 与 y= (x-1) =|x-1|的对应法则不同, 故不是同一函数; y= x-1 x-1 (x≥1)与 y= (x>1)的定义域不同,∴它们不是同一函数;又 y=4lg x (x>0)与 y= x-1 2lg x (x≠0)的定义域不同,因此它们也不是同一函数,而 y=lg x-2(x>0)与 y=lg lg x-2 (x>0)有相同的定义域、值域与对应法则,故它们是同一函数.答案 D. 【跟踪训练 2】(2009 年江西卷)函数 y ? A. (?4, ? 1) 解.由 ? B. (?4, 1)
2

= 100

x

ln( x ?1)

? x 2 ? 3x ? 4 C. (?1, 1)

的定义域为( D. (?1,1]



? x ? ?1 ?? ? ?1 ? x ? 1.故选 C. ?? x ? 3x ? 4 ? 0 ??4 ? x ? 1 2 ? x ≥1, ?x , g ( x) 是二次函数,若 f ( g ( x)) 【跟踪训练 3】 (2007 年浙江卷)设 f ( x) ? ? x ? 1, ? ? x, 的值域是 ?0,∞ ? ? ,则 g ( x) 的值域是( )
2

?x ?1 ? 0

A. ? ?∞, ?1? C. ?0,∞ ? ?

? ? ?1,∞

B. ? ?∞, ?1? D. ?1 ,∞ ? ?

? ? ?0,∞

5

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2 ? t ≥1, ?t , 解:令 t ? g ( x) , f ( g ( x)) ? f (t ) ? ? 注意到 g ( x) 为二次 t ? 1, ? ?t, 函数, ∴ g ( x) 的值域是连续的单个区间, 结合图象可知要使 f (t ) 的值

域为 ?0,∞ ? ? ,只能取 t ??0,∞ ? ? ,故选 C.

【跟踪训练 4】 (2010 年高考广东卷理科 3)若函数 f(x)=3x+3-x 与 g(x)=3x-3-x 的定 义域均为 R,则( ) A.f(x)与 g(x)均为偶函数 B. f(x)为偶函数,g(x)为奇函数 C.f(x)与 g(x)均为奇函数 D. f(x)为奇函数,g(x)为偶函数 【答案】B. 【解析】 f (? x) ? 3? x ? 3x ? f ( x), g (? x) ? 3? x ? 3x ? ? g ( x) . 【跟踪训练 5】 (2009 年山东卷) 定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= ?

?log2 (1 ? x), x ? 0 , ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2), x ? 0

则 f(2009)的值为( ) A.-1 B. 0 C.1 D. 2 【解析】:由已知得 f (?1) ? log 2 2 ? 1 , f (0) ? 0 , f (1) ? f (0) ? f (?1) ? ?1 ,

f (2) ? f (1) ? f (0) ? ?1 , f (3) ? f (2) ? f (1) ? ?1 ? (?1) ? 0 , f (4) ? f (3) ? f (2) ? 0 ? (?1) ? 1 , f (5) ? f (4) ? f (3) ? 1 , f (6) ? f (5) ? f (4) ? 0 ,
【跟踪训练 6】 (2010 年高考安徽卷理科 6)设 abc ? 0 ,二次函数 f ? x ? ? ax2 ? bx ? c 的图象可能是 所以函数 f(x)的值以 6 为周期重复性出现.,所以 f(2009)= f(5)=1,故选 C. 【命题立意】:本题考查归纳推理以及函数的周期性和对数的运算.

答.D. 【解析】当 a ? 0 时, b 、 c 同号, (C) (D)两图中 c ? 0 ,故 b ? 0, ? 选项(D)符合.

b ? 0, 2a

2 【跟踪训练 7】 (2008 年浙江卷)已知 t 为常数,函数 y ? x ? 2 x ? t 在区间[0,3]上

的最大值为 2,则 t=__________.
2 2 解:结合图形,可知函数 y ? x ? 2 x ? t ? ( x ? 1) ? 1 ? t , x ? [0,3] 的最大可能在

x ? 1 或 x ? 3 时取到,若 x ? 1 时取到 y 的最大值 2,则有 ? (1 ? 2 ? t ) ? 2 ,解得 t ? 1 ,此
2 2 时,函数的解析式为 y ? x ? 2 x ? 1 ? ( x ? 1) ? 2 , x ? [0,3] , 0 ? y ? 2 符合题意,若

x ? 3 时取到 y 的最大值 2,则有 32 ? 2 ? 3 ? t ? 2 ,也得 t ? 1 .

?log 2 x ? 【跟踪训练 8】(2010 年高考天津卷理科 8)设函数 f(x)= ?log ? x ? 1 ? ? ? 2
f(a)>f(-a),则实数 a 的取值范围是 ( )

x ? 0, x?0



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(A) (-1,0)∪(0,1) (C) (-1,0)∪(1,+∞)

(B) (-∞,-1)∪(1,+∞) (D) (-∞,-1)∪(0,1)

【答案】C. 【解析】当 a ? 0 时,由 f(a)>f(-a)得: log 2 a ? log 1 a ,即 log 2 a ? log 2
2

1 , a

即 a?

1 , 解 得 a ? 1 ; 当 a ? 0 时 , 由 f(a)>f(-a) 得 : log 1 (?a) ? log 2 (?a) , 即 a 2 1 1 log 2 ( ? ) ? log2 (?a) ,即 ? ? ?a ,解得 ?1 ? a ? 0 ,故选 C. a a

【命题意图】本小题考查函数求值、不等式求解、对数函数的单调性等基础知识,考查 同学们分类讨论的数学思想. 【跟踪训练 9】 (2008· 陕西)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x, y∈R), f(1)=2,则 f(-3)等于 ( ) A.2 B.3 C.6 D.9 解析:f(1)=f(0+1)=f(0)+f(1)+2×0×1=f(0)+f(1),∴f(0)=0. f(0)=f(-1+1)=f(-1)+f(1)+2×(-1)×1=f(-1)+f(1)-2,∴f(-1)=0. f(-1)=f(-2+1)=f(-2)+f(1)+2×(-2)×1=f(-2)+f(1)-4,∴f(-2)=2. f(-2)=f(-3+1)=f(-3)+f(1)+2×(-3)×1=f(-3)+f(1)-6,∴f(-3)=6.答案:C 【跟踪训练 10】 (2009 年辽宁卷)已知偶函数 f ( x ) 在区间 ? 0, ??) 单调增加,则满足

1 f (2 x ?1) < f ( ) 的 x 取值范围是( ) 3 1 2 1 2 1 2 1 2 (A) ( , ) (B) [ , ) (C)( , ) (D) [ , ) 3 3 3 3 2 3 2 3 1 1 1 1 2 【解析】由已知有 | 2 x ? 1|? ,即 ? ? 2 x ? 1 ? ,∴ ? x ? . 【答案】A. 3 3 3 3 3 【跟踪训练 11】(2010 年高考天津卷理科 2)函数 f ( x) ? 2x ? 3x 的零点所在的一个区
w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

间是 (A) (-2,-1)

(B) (-1,0)
?1

(C) (0,1)
0

(D) (1,2)

【答案】B. 【解析】因为 f (?1) ? 2 ? 3 ? 0 , f (0) ? 2 ? 0 ? 1 ? 0 ,所以选 B. 【命题意图】本小题考查函数根的存在性定理,属基础题。 【跟踪训练 12】 (2010 年高考江西卷理科 12)如图,一个正五角 星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面,记 t 时刻五角星露出 水面部分的图形面积为 S (t ) ( S (0) ? 0 ), 则导函数 y ? S ?(t ) 的图像大 致为

y
? ?

y

y ?

y

o o A. B. C. D. t t ? 【答案】A. 【解析】本题考查函数图像、导数图、导数的实际意义等知识,重点考查 的是对数学的探究能力和应用能力.最初零时刻和最后终点时刻没有变化,导数取零,排除 C;总面积一直保持增加,没有负的改变量,排除 B;考察 A、D 的差异在于两肩位置的改变 是否平滑,考虑到导数的意义,判断此时面积改变为突变,产生中断,选择 A.

o

t

o

t

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第 2 课时 客观题中的导数常见题型
在近几年的高考试卷中有关导数应用的试题所占的比重都很大, 且大多以解答题的形式 出现.导数是高考命题的一个重要载体,通过导数可以实现函数与不等式、方程、试题渗透 着各种重要的数学思想方法解析几何等多个知识点的综合考查. 求解导数应用方面的, 如数 形结合、 分类讨论、 等价转化等思想, 所以导数的应用是高考的一个热点. 对于导数的应用, 高考中主要考查以下几个方面的内容: ①利用导数研究函数的单调性; ②利用导数研究函数 的极值或最值;③利用导数研究曲线的切线;④证明不等关系. 【考点扫描】 参看《导与练》P67、70《考纲导航》 【辅教导学】 《导与练》P67-69 精典例题有《考题定位》中的 2、4, 《考向聚焦》中的例 1、例 3. P70-73 精典例题有《考题定位》中的 1、2、3, 《考向聚焦》中的例 1、例 3、例 4. 【典例分析】 题型一、导数的定义与运算 例 1. (2009 年湖北卷)已知函数 f ( x) ? f '( ) cos x ? sin x, 则 f ( ) 的值为

?

?

4

4

.

【答案】1.

【解析】因为 f '( x) ? ? f '( ) ? sin x ? cos x 所以 f '( ) ? ? f '( ) ? sin

?

?

?

?
4

? f '( ) ? 2 ? 1 故 f ( ) ? f '( ) cos ? sin ? f ( ) ? 1 . 4 4 4 4 4 4
题型二、导数与切线问题 例 2. (2010 年全国高考宁夏卷)曲线 y ? (A)y=2x+1 (B)y=2x-1

?

4

?

?

?

4

?

4

? cos

?
4

?

x 在点(-1,-1)处的切线方程为( ) x?2
D.y=-2x-2
x ??1

C y=-2x-3

2 【答案】A.解析: y ? ? ,所以 k ? y? ( x ? 2) 2
另解:将点 (?1, ?1) 代入可排除 B、D,而 y ? 函数 y ? ? A.

? 2 ,故切线方程为 y ? 2 x ? 1 .

x x ? 2 ?2 2 ? ? 1? ,由反比例 x?2 x ?2 x ?2

2 的图像,再根据图像平移得在点 (?1, ?1) 处的切线斜率为正,排除 C,从而得 x

题型三、函数与导数的图像间的关系 例 3. (2009 年广东卷)已知甲、 乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线 〈假定为直线) 行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为 v甲和v乙 (如图 2 所示) .那么对于图中给定的 t0和t1 , 下列判断中一定正确的是 A.在 t1 时刻,甲车在乙车前面 B. t1 时刻后,甲车在乙车后面 C.在 t 0 时刻,两车的位置相同 D. t 0 时刻后,乙车在甲车前面 【解析】由图像可知,曲线 v甲 比 v乙 在 0~ t 0 、0~ t1 与 x 轴所围成图形面积大,则在 t 0 、 t1 时刻,甲车均在乙车前面, 选 A. 题型四、函数的单调性
w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

例 4. (2009 年江苏卷)函数

f ( x) ? x3 ? 15x 2 ? 33x ? 6 的单调减区间为

.
8

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【答案】 (?1,11) .

f ?( x) ? 3x2 ? 30 x ? 33 ? 3( x ? 11)( x ? 1) ,由 ( x ? 11)( x ?1) ? 0 得 单调减区间为 (?1,11) .
【解析】 题型五、函数的极值与最值 例 5. (2008 年广东卷) 设 a∈R, 若函数 y ? eax ? 3x , x∈R 有大于零的极值点, 则 ( A. a ? ?3 B. a ? ?3
ax



C. a ? ?

1 3

D. a ? ?

1 3

3 3 ? ? .当 a ? 0 时,∵ x ? 0 ,则 eax ? 1 ,即 ? ? 1 .此时 a a ax 无解 . 当 a ? 0 时 , y ? 1 ? 3x , 此 时函数无极值 点 . 当 a ? 0 时 , ∵ x ? 0 , 则 0 ? e ? 1 , 即 3 0 ? ? ? 1,解得 a ? ?3 .综上可知, a ? ?3 . a
答.选 B. y ' ? eax ? a ? 3 ? 0 , e 题型六、求参数的取值范围 例 6. (2008 年江苏卷) f ? x ? ? ax3 ? 3x ? 1 对于 x ?? ?1,1? 总有 f ? x ? ≥0 成立,则 .

a=

【解析】本小题考查函数单调性的综合运用.若 x=0,则不论 a 取何值, f ? x ? ≥0 显
3

3 1 ? x 2 x3 3 ?1 ? 2 x ? 3 1 ? 1? ' 设 g ? x ? ? 2 ? 3 ,则 g ? x ? ? , 所以 g ? x ? 在区间 ? 0, ? 上单调递增, 4 x x x ? 2? ?1? ?1 ? 在区间 ? ,1? 上单调递减,因此 g ? x ?max ? g ? ? ? 4 ,从而 a ≥4;当 x<0 即 ? ?1,0? 时, ?2? ?2 ? 3 ?1 ? 2 x ? 3 1 ? 0 , g ? x? 在 区 间 f ? x ? ? ax3 ? 3x ? 1 ≥ 0 可 化 为 a ? 2 ? 3 , g ' ? x ? ? x x x4 ??1,0? 上单调递增,因此 g ? x?ma n ? g ? ?1? ? 4 ,从而 a ≤4,综上 a =4.【答案】4.
然成立;当 x>0 即 x ?? ?1,1? 时, f ? x ? ? ax ? 3x ? 1 ≥0 可化为, a ? 题型七、定积分的计算 例 7. (2010 年高考湖南卷理科 5) A. ?2 ln 2 B. 2 ln 2
'

?

4

2

1 dx 等于( x

) D. ln 2

C. ? ln 2

【答案】D. 【解析】因为 (ln x) ?

41 1 ,所以 ? dx ln x |4 2 ? ln 4 ? ln 2 ? ln 2 . 2 x x

【命题意图】 本题为选修 2-2P53 例 1 第一小题改编而来,原题:计算定积分:


?

2

1

1 dx . x

[来

【跟踪训练】

1 3 x ? 2 x ? 1 的导函数,则 f ?(?1) 的值是 3 2 解析: f ' ?x ? ? x ? 2 ,所以 f ' ?? 1? ? 1 ? 2 ? 3 . 答案:3. 【跟踪训练 2】(1)设函数 f ( x ) 在 x ? 2 处可导,且 f ?(2) ? 1 ,则 f (2 ? h) ? f (2 ? h) lim = . h ?0 2h (2)已知 f ( x) ? x( x ? 1)( x ? 2) ( x ? 2008) ,求 f ?(0) = . f (2 ? ?x) ? f (2) ? f ?(2) ? 1 , [解](1)由已知条件和导数的定义,可得: lim ?x ?0 ?x
【跟踪训练 1】 f ?( x ) 是 f ( x ) ?

.

9

2011 届高三理科数学第二轮专题复习资料(二)

f (2 ? h) ? f (2 ? h) f (2) ? f (2 ? h) ? lim ?1 h ?0 ? h ?0 ?h h f (2 ? h) ? f (2 ? h) [ f (2 ? h) ? f (2)] ? [ f (2) ? f (2 ? h)] ? lim ? lim h ?0 h ?0 2h 2h 1 f (2 ? h) ? f (2) 1 f (2) ? f (2 ? h) 1 ? [lim ] ? [lim ] ? [1 ? 1] ? 1 . h ? 0 h ? 0 2 h 2 h 2 f ( x) ? f (0) f ( x) ? lim ? lim( x ? 1)( x ? 2) ( x ? 2008) ? 2008! (2)解法一: f ?(0) ? lim x ?0 x ? 0 x ?0 x?0 x 解法二:令 h( x) ? ( x ? 1)( x ? 2) ( x ? 2008) ,则 f ( x) ? x ? h( x) 从而由导数乘法的计算公式得 f ?( x) ? h( x) ? x ? h?( x) , 所以 f ?(0) ? h(0) ? 0 ? h?(0) ? h(0) ? 1? 2 ? ? 2008 ? 2008! .
当 ?x ? h 时, lim 【跟踪训练 3】(2010 年高考全国 2 卷理数 10)若曲线 y ? x
[来

?

1 2

在点 ? a , a

? ?

?

1 2

与两个坐标围成的三角形的面积为 18,则 a ? (A)64 (B)32 (C)16 (D)8 【答案】A. 【命题意图】本试题主要考查求导法则、导数的几何意义、切线的求法和 三角形的面积公式,考查考生的计算能力.

? ? 处的切线 ?

1 ? 1 ?3 1 ?3 1 ?3 2 2 2 【解析】y ' ? ? x ,? k ? ? a , 切线方程是 y ? a ? ? a 2 ( x ? a) , 令x ? 0, 2 2 2 3 ?1 1 3 ?1 y ? a 2 ,令 y ? 0 , x ? 3a ,∴三角形的面积是 s ? ? 3a ? a 2 ? 18 ,解得 a ? 64 . 2 2 2 4 【跟踪训练 4】 (2010 年高考辽宁卷理科 10)已知点 P 在曲线 y= x 上,a 为曲线在 e ?1

点 P 处的切线的倾斜角,则 a 的取值范围是( (A)[0,



? 3? 3? , ) ( , ] ,? ) (D) [ 4 2 2 4 4 3? ?4e x ?4 ' ?? ?? 。 【解析】因为 y ? x ? x ? ?1 ,即 tan a≥-1,所以 2 x 4 (e ? 1) e ?2?e
? ) 4
(B) [

? ?

【跟踪训练 5】 (2008 年全国卷 I)汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之 后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程 s 看作时间 t 的函数,其图像可能是( ) s s s s

O A.

t

O B.

t

O C.

t O D.

t

解.A.根据汽车加速行驶 s ? 数图象可知.

1 2 1 at ,匀速行驶 s ? vt ,减速行驶 s ? ? at 2 ,结合函 2 2 1 x ? ln x( x ? 0), 则 y ? f ( x) 3 1 B 在区间 ( ,1), (1, e) 内均无零点 e

【跟踪训练 6】(2009 年天津卷)设函数 f ( x) ? A 在区间 ( ,1), (1, e) 内均有零点

1 e 1 C 在区间 ( ,1) 内有零点,在区间 (1, e) 内无零点 e

10

2011 届高三理科数学第二轮专题复习资料(二)

D 在区间 ( ,1) 内无零点,在区间 (1, e) 内有零点 解 : 由 题 得 f `( x ) ?

1 e

w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

1 1 x?3 ? ? , 令 f `( x ) ? 0 得 x ? 3 ; 令 f `( x ) ? 0 得 3 x 3x 0 ? x ? 3 ; f `( x ) ? 0 得 x ? 3 , 故知函数 f ( x ) 在区间 ( 0,3) 上为减函数, 在区间 ( 3,? ?) 为 增 函 数 , 在 点 x ? 3 处 有 极 小 值 1 ? ln 3 ? 0 ; 又 1 e 1 1 f (1) ? , f ?e ? ? ? 1 ? 0, f ( ) ? ? 1 ? 0 ,故选择 D. 3 3 e 3e
【跟踪训练 7】已知 P(x,y)是函数 y=ex+x 图象上的点,则点 P 到直线 2x-y-3=0 的最小距离为______

| 2x ? e ? x ? 3 | | e ? x ? 3 | 4 5 ? 解: .设 P(x,ex+x),则点 P 到直线的距离为 d ? . 5 5 22 ? (?1) 2
x x

记 f ( x) ? ex ? x ,则 f ' ( x) ? ex ? 1 ? 0, x ? 0,易知当 x ? 0 时, f ( x) ? ex ? x 达最小值

f (0) ? e0 ? 0 ? 1 . d ?

4 5 | e x ? x ? 3 | |1 ? 3 | 4 5 .故当 x ? 0 时, d 达到最小值 . ? ? 5 5 5 5 2x ? 2 的极小值是 【跟踪训练 8】 函数 y ? 2 . x ?1 2 ? x 2 ? 1? ? 2 x ? 2 x 2 ?1 ? x 2 ? 解: f ? x ? 的定义域为 R. fˊ(x) ? . ? 2 2 ? x2 ? 1? ? x2 ? 1?
令 yˊ=0,解得 x=1 或 x=-1.当 x 变化时,yˊ、y 的变化情况如下: x 1 (-∞, -1) -1 (-1, 1) (1,+∞) 0 + 0 yˊ - - y ↘ 极小值-3 ↗ 极大值-1 ↘ 当 x=-1 时,y 有极小值-3,当 x=1 时,y 有极大值-1. 【跟踪训练 9】 (2008 年湖北卷) 若 f ( x) ? ?

1 2 x ? b ln( x ? 2)在(-1,+?)上是减函数, 2
D.(-∞,-1)

则 b 的取值范围是 ( A.[-1,+∞)
'

) B.(-1,+∞) C.(-∞,-1]

b ? 0 ,而 x ?(-1,+?),则 x ? 2 ? 1 ,故 ? x( x ? 2) ? b ? 0 , x?2 即 b ? x( x ? 2) ? ( x ? 1)2 ?1 恒成立,而当 x ?(-1,+?)时, ( x ? 1)2 ?1 ? ?1 ,故 b ? ?1
解:∵ f ( x) ? ? x ? 【跟踪训练 10】 (2008 年山东卷)设函数 f(x)=ax2+c(a≠0).若 x0≤1,则 x0 的值为 解:
1

?

1 0

f ( x)dx ? f ( x 0 ) ,0≤

.

1 1 3 1 3 1 2 2 1 2 f ( x ) dx ? ?0 ?0 (ax ? c)dx ?( 3 ax ? cx) |0 ? 3 a ? c ? ax0 ? c , 3 a ? ax0 , x0 ? 3 . 1 1 【跟踪训练 11】 (2008 年宁夏卷)由直线 x= ,x=2,曲线 y ? 及 x 轴所围图形的面积 2 x

为(

) (C)

15 17 (B) 4 4 21 解: ?1 dx ?(ln x) |2 1 ? 2ln 2 . 2 x 2
(A)

1 ln 2 2

(D)2ln2

11

2011 届高三理科数学第二轮专题复习资料(二)

第 3 课时 解答题中的函数与导数综合题(1)
导数是新教材的新增内容. 它是学习高等数学的基础. 作为解决数学问题的一种工具. 在 近年的高考中己占有突出的地位, 是高考和各地摸拟考试的热点.2006 年全国各地高考试卷 中均有与导数有关的综合问题. 从不同的角度对导数知识. 灵活考查了综合利用所学知识解 决数学问题的能力;导数与不等式、方程、解析几何、数列、函数等其他知识的交汇进行命 题考查应用数学知识解决综合问题的能力已成为近年来高考的一大亮点一直是高考命题的 热点与焦点.因此在复习时要增强运用导数知识解决数学问题的意识. 【考点扫描】 参看《导与练》P67、70《考纲导航》 【辅教导学】 《导与练》P67-69 精典例题有《考题定位》中的 1、2、3, 《考向聚焦》中的例 1、例 3、 例 4.P77-80 精典例题有《考题定位》中的 1、2、3、4, 《考向聚焦》中的例 2、例 3、例 4. 【典例分析】 一、与导数的定义、几何意义的交汇 【例 1】 ( 2006 年重庆卷)已知函数 f(x)=(x2+bx+c) ex,其中 b,c ? R 为常数. (Ⅰ)若 b2>4(c -1),讨论函数 f(x)的单调性; (Ⅱ)若 b2<4(c-1),且 lim
2
n??
2

f ( x) ? c =4,试证:-6≤b≤2. x
x .

解: (Ⅰ)求导得 f (x)=[x +(b+2)x+b+c]e . 因 b2>4(c-1),故方程 f2(x)=0 即 x2+(b+2)x+b+c=0 有两根;

b 2 ? 4(c ? 1) b 2 ? 4(c ? 1) b?2 b?c x1=- <x2=- ? ? . 2 2 2 2
令 f′(x)>0,解得 x<x1 或 x>x1; 又令 f′(x)>0,解得 x1<x<x2. 故当 xε (-, x1)时,f(x)是增函数,当 xε (x2,+)时,f(x)也是增函数,但当 xε (x1 , x2)时,f(x)是减函数. (Ⅱ)易知 f(0)=c,f(u)=b+c,因此 lim
?0

f ( x) ? e f ( x) ? f (0) ? lim ? f (0) ? b ? e . ?0 x x

所以,由已知条件得 b+e=4 b2≤4(e-1), 2+ 因此 b 4b-12≤0.解得-6≤b≤2. 【点评】 本题(2)以导数定义为背景.通过定义建立 b、c 间的等量关系,借助已知 条件得出结论. 二、与不等式的交汇 【例 2 】 (2009 年全国卷 II) 设函数 f ? x? ? x ? aln?1 ? x? 有两个极值点 x1、x2 ,且
2

x1 ? x2 .

(I)求 a 的取值范围,并讨论 f ? x ? 的单调性;

(II)证明: f ? x2 ? ?

1 ? 2ln 2 . 4 a 2x2 ? 2x ? a ? ( x ? ?1) . 解: (I) f ? ? x ? ? 2 x ? 1? x 1? x 1 2 令 g ( x) ? 2 x ? 2 x ? a ,其对称轴为 x ? ? .由题意知 x1、x2 是方程 g ( x) ? 0 的两个 2
w.w .w. k.s.5 .u.c.o.m

12

2011 届高三理科数学第二轮专题复习资料(二)

均大于 ?1 的不相等的实根,其充要条件为 ?

⑴当 x ? (?1, x1 ) 时, f ? ? x ? ? 0,? f ( x) 在 (?1, x1 ) 内为增函数; ⑵当 x ? ( x1 , x2 ) 时, f ? ? x ? ? 0,? f ( x) 在 ( x1 , x2 ) 内为减函数;

?? ? 4 ? 8a ? 0 1 ,得 0 ? a ? 2 ? g (?1) ? a ? 0

⑶当 x ? ( x2, ? ?) 时, f ? ? x ? ? 0,? f ( x) 在 ( x2, ? ?) 内为增函数;

1 ? x2 ? 0 , a ? ?(2x22 +2x2 ) 2 2 ? f ? x2 ? ? x2 ? aln ?1? x2 ? ? x22 ? (2x22 +2x2 )ln ?1? x2 ?
(II)由(I) g (0) ? a ? 0,??

1 2 则 h? ? x ? ? 2x ? 2(2x ?1)ln ?1 ? x ? ? 2x ? ?2(2x ?1)ln ?1 ? x ?
设 h ? x ? ? x ? (2 x ? 2 x)ln ?1 ? x ? ( x ? ? ) ,
2 2

1 1 , 0) 时, h? ? x ? ? 0,?h( x) 在 [? , 0) 单调递增; 2 2 ⑵当 x ? (0, ??) 时, h? ? x ? ? 0 , h( x) 在 (0, ??) 单调递减.
⑴当 x ? (?

1 1 1 ? 2 ln 2 ?当x ? (? , 0)时, h ? x ? ? h(? ) ? . 2 2 4 1 ? 2ln2 故 f ? x2 ? ? h( x2 ) ? . 4
w.w.w. k.s.5 .u.c.o.m

【点评】构造辅助函数是证明不等式的常用方法. 三、与向量的交汇 【例 3】 (2005 年湖北卷理)已知向量 a=( x ,x+1),b= (1-x,t) .若函数 f ( x) =a·b 在区间(-1,1)上是增函数,求 t 的取值范围. 解法一:依定义 f ( x) ? x 2 (1 ? x) ? t ( x ? 1) ? ? x 3 ? x 2 ? tx ? t . 则 f ?( x) ? ?3x 2 ? 2x ? t , 若 f ( x) 在(-1,1)上是增函数,则在(-1,1)上可设 f ?( x) ≥0。 ∴ f ?( x) ≥0 ? t ? 3x ? 2 x 在(-1,1)上恒成立.
2 2

2 考虑函数 g ( x) ? 3x ? 2 x ,由于 g ( x) 的图象是对称轴为 x ?

1 ,开口向上的抛物线, 3

故要使 t ? 3x ? 2 x 在(-1,1)上恒成立 ? t ? g (?1) ,即 t≥5.
2

而当 t≥5 时, f ?( x) 在(-1,1)上满足 f ?( x) >0,即 f ( x) 在(-1,1)上是增函数. 故 t 的取值范围是 t≥5. 解法二:依定义 f ( x) ? x (1 ? x) ? t ( x ? 1) ? ? x ? x ? tx ? t ,
2 3 2

f ?( x) ? ?3x 2 ? 2x ? t . 若 f ( x) 在(-1,1)上是增函数,则在(-1,1)上可设 f ?( x) ≥0. ∵ f ?( x) 的图象是开口向下的抛物线, ∴当且仅当 f ?(1) ? t ? 1 ? 0 ,且 f ?(?1) ? t ? 5 ? 0 时, f ?( x) 在(-1,1)上满足 f ?( x) >0,即 f ( x) 在(-1,1)上是增函数.
故 t 的取值范围是 t≥5. 【点评】本题考查了平面向量的数量积、导数的运算、函数和不等式有关知识,同时又 运用了转化化归思想,逻辑性强,是一道典型的融向量、导数、函数和不等式为一体的综合 性题目,符合高考在知识交汇处设计试题的原则. 四、与函数的交汇
13

2011 届高三理科数学第二轮专题复习资料(二)

【例 4】 (2011 年东城 7 校联考)已知函数 f ( x) ? ? x ? 1? ? a ln x ? 1 (a ? R, a ? 0).
2

(1)当 a ? 8 时,求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)求函数 f ( x ) 在区间 [e ? 1, e2 ? 1] 上的最小值. (Ⅰ)解:⑴当 x ? 1 时, f ( x) ? ( x ?1)2 ? 8ln( x ?1) ,

8 2( x ? 1) 2 ? 8 ? . x ?1 x ?1 由 f ' ( x) ? 0 得 2( x ? 1)2 ? 8 ? 0 , 解得 x ? 3 或 x ? ?1 . 注意到 x ? 1 ,所以函数 f ( x ) 的单调递增区间是 (3, ??) . 由 f ' ( x) ? 0 得 2( x ? 1)2 ? 8 ? 0 ,解得 ?1 ? x ? 3 , 注意到 x ? 1 ,所以函数 f ( x ) 的单调递减区间是(1,3) . f ' ( x) ? 2( x ? 1) ?
2 ⑵当 x ? 1 时, f ( x) ? ( x ?1) ? 8ln(1 ? x) , f ( x) ? 2( x ? 1) ?
'

由 f ' ( x) ? 0 得 2( x ? 1)2 ? 8 ? 0 ,解得 ?1 ? x ? 3 , 注意到 x ? 1 ,所以函数 f ( x ) 的单调递增区间是(-1,1) . 由 f ' ( x) ? 0 得 2( x ? 1)2 ? 8 ? 0 ,解得 x ? 3 或 x ? ?1 , 由 x ? 1 ,所以函数 f ( x ) 的单调递减区间是 (??, ?1) . 综上所述,函数 f ( x ) 的单调递增区间是(-1,1) , (3, ??) ; 单调递减区间是 (??, ?1) , (1,3) . (Ⅱ)当 x ?[e ? 1, e2 ? 1] 时, f ( x) ? ( x ?1)2 ? a ln( x ?1) ,

8 ?2( x ? 1)2 ? 8 ? , 1? x 1? x

a 2( x ? 1)2 ? a 2 x 2 ? 4 x ? 2 ? a ? ? . x ?1 x ?1 x ?1 2 设 g ( x) ? 2 x ? 4 x ? 2 ? a . ' 2 ⑴当 a ? 0 时,有 ? ? 0 , 此时 g ( x) ? 0 ,所以 f ( x) ? 0 , f ( x ) 在 [e ? 1, e ? 1] 上单调递
所以 f ( x) ? 2( x ? 1) ?
'

增.所以 f ( x)min ? f (e ? 1) ? e2 ? a . ⑵当 a ? 0 时, ? ? 16 ? 4 ? 2(2 ? a) ? 8a ? 0 .

2a 2a 或 x ? 1? (舍); 2 2 2a 2a 2 ' ? x ? 1? 令 f ( x) ? 0 ,即 2 x ? 4 x ? 2 ? a ? 0 ,解得 1 ? . 2 2 2a ①若 1 ? ? e2 ? 1,即 a ? 2e 4 时, f ( x) 在区间 [e ? 1, e2 ? 1] 单调递减, 2 所以 f ( x)min ? f (e2 ? 1) ? e4 ? 2a .
' 令 f ( x) ? 0 ,即 2 x ? 4 x ? 2 ? a ? 0 ,解得 x ? 1 ?
2

2a 2a ? e2 ? 1 ,即 2e2 ? a ? 2e4 时, f ( x) 在区间 [1 ? e,1 ? ] 上单调 2 2 2a a 2a 2a ) ? ? a ln 递减,在区间 [1 ? . ,1 ? e2 ] 上单调递增,所以 f ( x)min ? f (1 ? 2 2 2 2 2a ? 1 ? e ,即 0 ? a ? 2e2 时, f ( x) 在区间 [e ? 1, e2 ? 1] 单调递增, ③若 1 ? 2 2 所以 f ( x)min ? f (e ? 1) ? e ? a .
②若 1 ? e ? 1 ? 综上所述,当 a ? 0 或 0 ? a ? 2e 时, f ( x)min ? f (e ? 1) ? e2 ? a ;
2

14

2011 届高三理科数学第二轮专题复习资料(二)

当 2e ? a ? 2e 时, f ( x) min ?
2 4

当 a ? 2e 时, f ( x)min
4

a 2a ; ? a ln 2 2 ? e4 ? 2a .

f ( x) ? e x ? (cosx ? sin x) , 将 满 足 f ?( x) ? 0 的 所 有 正 数 x 从 小 到 大 排 成 数 列 ?xn ? , 记
* . an ? f ( xn )(n ? N ) (1)证明数列 ?an ? 为等比数列;

五、与数列的交汇 【例 5】 ( 山 东 省 青 岛 市 2009 届 高 三 第 一 学 期 期 中 练 习 ) 已 知 函 数

(2)设 cn ? ln an ,求 c1 ? c2 ? c3 ? ? ? cn ; (3)若 bn ?

(?1) n?1 (n ? 1) ,试比较 bn ?1 与 bn 的大小. an
x

解. (1) f ?( x) ? e x (cosx ? sin x) ? e x (? sin x ? cos x) ? 2e x cos x . 令 f ?( x) ? 0 ,? f ?( x) ? 2e cos x ? 0 ? x ? k? ?

?
2

,k ?Z.

? xn ? n? ?

?
2

, n ? 1, 2,3
n?? ? 2


?

? an ? f ( xn ) ? e

n?? ? ? sin(n? ? ) ? (?1) n?1 e 2 . 2

?

? an?1 f ( xn?1 ) ? ? ?e ? ,且 a1 ? e 2 . an f ( xn )
?

? ?an ?是以 e 2 为首项, ? e ? 为公比的等比数列. ? ? (2) cn ? ln an ? n? ? ,? cn 是以 为首项, ? 为公差等差数列 2 2 ? n ? (n ? 1) ? ? d ? ? n2 . ? c1 ? c2 ? c3 ? ? ? cn ? n ? ? 2 2 2 n ?1 n?2 (?1) (n ? 1) n ? 1 ? (3) bn ? ,? bn ?1 ? . ? ? n? ? ( n ?1) ? ? an 2 2 e e n?2 n ?1 ? . bn?1 ? bn ? ? ? ( n ?1) ? ? n? ? 2 2 e e
? e
n? ? ? 2

[(n ? 2) ? (n ? 1) ? e ] e
n? ? ? 2

?

?e

n? ?

? 2

?

e

n? ?

? 2

[n(1 ? e ? ) ? (2 ? e ? )] e
n? ? ? 2

?e

n? ?

? 2

?e ? 2?

?

e

n? ?

?
2

[n(1 ? e? ) ? (2 ? e? )] e
n? ?

?
2

?e

n? ?

?
2

? 0 ,?bn?1 ? bn .

【点评】本题以函数为载体综合考查数列、导数、数列等知识,具有较强的综合性. 六、与三角的交汇 【例 6】 已知 f ( x) ? sin( x ?

?

) ? sin( x ? ) ? asin x ? b( a, b ? R) ,若函数 f ( x) 在 6 6

?

15

2011 届高三理科数学第二轮专题复习资料(二)

区间 [?

?
3

, 0) 上单调递增,且恰能取到的最小值 2.

(1)求 a 、 b 的值;(2)求 f ( x ) 的对称轴方程.

解: (1) f ( x ) 在 x ? ? 即又∵ f ( x) ? cos( x ?
'

?

?

3

处有最小值 2,则 f (?
'

?

∴ f (?
'

?
3

) ? cos(?

?

) ? cos( x ? ) ? a sin x , 6 6

?

) ? 0, f (? ) ? 2 , 3 3

?

? ) ? cos(? ? ) ? a sin(? ) ? cos(? ) ? a sin ? 0 ,即 3 6 3 6 3 6 3

?

?

?

?

?

?

3 3 a? ? 0 ,∴ a ? ?1 . 2 2 ? ? 又 f ( x) ? sin( x ? ) ? sin( x ? ) ? a sin x ? b ? 3 sin x ? b ? a cos x , 6 6 ? ? ? 3 1 ∴ f (? ) ? 3 sin(? ) ? a cos(? ) ? b ? 2 ,即 ? ? a ? b ? 2 ,∴ b ? 4 . 3 3 3 2 2 ? (2)由(1)得: f ( x) ? 3 sin x ? cos x ? 4 ? 2sin( x ? ) ? 4 . 6 ? ' ∴ f ( x) ? 2 cos( x ? ) . 6 ? 令 f ' ( x) ? 0 ,可得其对称轴方程为 x ? k? ? (k ? Z ) . 3 【点评】利用导数求三角函数最值问题,常求三角函数的导数 f ' ( x) ,令 f ' ( x) ? 0 得
出极(最)值点,进而求出极(最)值;或已知三角函数最值求所含参数的取值范围或最值. 【跟踪训练】 3 2 【跟踪训练 1】 (江苏省泰州中学 2011 届高三上学期期中考试)函数 f(x)=x -3ax +3bx 的图象与直线 12x+y- 1=0 相切于点(1,-11). (1)求 a、b 的值; (2)方程 f(x)=c 有三个不同的实数解,求 c 的取值范围. 3 2 2 解: (1)f(x)=x -3ax +3bx, f ' (x)=3x -6ax+3b, f ' (1)=3-6a+3b=-12, f(1)=1-3a+3b=-11, ∴a=1,b=-3. 3 2 2 (2)f(x)=x -3x -9x,f ' (x)=3x -6x-9=3(x+1)(x-3), 当 x∈(-∞,-1),f ' (x)>0; x∈(-1,3),f ' (x)<0; x∈(3,+∞),f ' (x)>0. ∴f(x)在 x= -1 取极大值 5,在 x=3 时取极小值-27. 根据三次函数 f(x)的图象得 f(x)=c 有三个不同的实数解时,c 的取值范围是(-27,5). 【跟踪训练 2】(2010 年高考湖南卷)已知函数 f ( x) ? x ? bx ? c(b, c ? R), 对任意的
2

x ? R, 恒有f ?( x) ? f ( x) .
(Ⅰ)证明:当 x ? 0时,f ( x) ? ( x ? c) ;
2

(Ⅱ)若对满足题设条件的任意 b,c,不等式 f (c) ? f (b) ? M (c ? b ) 恒成立,求 M 的最小值.
2 2

【 解析 】 ( I )易知 f ?( x) ? 2 x ? b ,由题设,对任意 x ? R ,2 x ? b ? x ? bx ? c ,
2

即 x ? (b ? 2) x ? c ? b ? 0 恒成立,所以 (b ? 2) ? 4(c ? b) ? 0 ,从而 c ?
2 2

b2 ?1 . 4

16

2011 届高三理科数学第二轮专题复习资料(二)

b2 ?1 ?| b | ,因此 2c ? b ? c ? (c ? b) ? 0 . 4 故当 x ? 0 时,有 ( x ? c)2 ? f ( x) ? (2c ? b) x ? c(c ?1) ? 0 ,即 f ( x) ? ( x ? c)2 .
于是 c ? 1 ,且 c ? 2

c 2 ? b 2 ? bc ? b 2 c ? 2b ? . c2 ? b2 c?b b c ? 2b 1 1 ? 1? ( ?1 ? t ? 1) 的值域是 令 t ? .则 ?1 ? t ? 1 , , 而函数 g (t ) ? 1 ? c c?b 1? t 1? t 3 3 (??, ) .因此,当 c ?| b | 时, M 的取值集合为 [ , ??) . 2 2 2 2 当 c ?| b | 时,由(I)易知 b ? ?2, c ? 2 ,此时 f (c) ? f (b) ? ?8 或 0, c ? b ? 0 , 3 2 2 从而 f (c) ? f (b) ? (c ? b ) . 2 3 综上所述,M 得最小值为 . 2
( II)由(I)易知, c ?| b | ,当 c ?| b | ,有 M ? 【跟踪训练 3】已知向量 a 、 b 、 c 、 d 及实数 x、y,且| a |=| b |=1, c = a +(x2-3) b ,

d =-y a +x b , a ⊥ b ,若 c ⊥ d ,且| c |≤ 10 . (1)求 y 关于 x 的函数关系 y=f(x)及定义域; (2)求函数 f(x)的单调区间. 【分析】利用向量垂直的充要条件建立函数关系式,再用导数来处理.
【解析】 : (1)∵ c ⊥ d ,∴ c
2 2 2 2

d =0, [ a +(x2-3) b ]
2

(-y a +x b )=0,

∴-y( a ) + x (x -3)( b ) ]+ [-y (x -3) +x ] a ∴-y+ x (x -3) =0,∴ y ? x ? 3x , x ?[? 6, 6] .
3

b =0,

(2) ∵ y ? x3 ? 3x ,∴ y ' ? 3x2 ? 3 .令 y ' ? 3x2 ? 3 ? 0 ,得 x ? ?1, x ? 1 . 当 x ? (??, ?1)

(1, ??) 时, y' ? 0 ;当 x ?[?1, ?1] 时, y' ? 0 . ∴增区间 (??, ?1] , [1, ??) ; 减区间 [?1,1] .
【点评】 : 本题主要考查了向量的有关概念和向量的垂直,函数的单调区间,导数的应用, 以及分析问题和解决问题的能力.这类问题主要利用“若向量 a ? ( x1,y1 ),b ? ( x2,y2 ) ,则 a ? b ? x1 y1 ? x2 y2 ? 0 ”来建立函数关系式. 【跟踪训练 4】 (2011.12 清华附中第二次月考)已知函数 f ( x) 的图象在 [a, b] 上连续不 断,定义: f1 ( x) ? min{ f (t ) | a ? t ? x} ( x ?[a, b]) , f 2 ( x) ? max{ f (t ) | a ? t ? x} ( x ?[a, b]) .其 中,min{ f ( x) | x ? D} 表示函数 f ( x) 在 D 上的最小值,max{ f ( x) | x ? D} 表示函数 f ( x) 在 D 上的最大值.若存在最小正整数 k ,使得 f 2 ( x) ? f1 ( x) ? k ( x ? a) 对任意的 x ? [a, b] 成立,则 称函数 f ( x) 为 [a, b] 上的“ k 阶收缩函数” . (1)已知函数 f ( x) ? 2sin x, x ?[0, ] ,试写出 f1 ( x) , f 2 ( x) 的表达式,并判断 f ( x) 是否 2 为 [0, ] 上的“ k 阶收缩函数” ,如果是,请求对应的 k 的值;如果不是,请说明理由; 2 (2)已知 b ? 0 ,函数 g ( x) ? ? x3 ? 3x2 是 [0, b] 上的 2 阶收缩函数,求 b 的取值范围. 解: (1)由题意可得, f1 ( x) ? 0 , f 2 ( x) ? 2sin x, x ?[0, ] .于是 f 2 ( x) ? f1 ( x) ? 2sin x . 2 若 f ( x) 是为 [0, ] 上的 “ k 阶收缩函数” , 则 2sin x ? kx 在 [0, ] 上恒成立, 且 ?x0 ? [0, ], 2 2 2 使得2 sin x ? (k ? 1) x 成立.
? 0 ? ,所以 ? ( x) ? sin x ? x 在 [0, ] 单调递 令 ? ( x) ? sin x ? x , x ?[0, ] ,则 ? ?( x) ?cos x 1 2 2
17

?

?

?

?

?

?

?

?

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减,∴ ? ( x) ? ? (0) , x ?[0, ] ,即 sin x ? x ,于是 2sin x ? 2 x 在 [0, ] 恒成立; 2 2 又 ?x0 ?

?

?

?

2

, 2 sin x ? x 成立.

故存在最小的正整数 k ? 2 ,使 f ( x) 是为 [0, ] 上的“2阶收缩函数” . 2 (2) g ?( x) ? ?3x2 ? 6x ? ?3x ? x ? 2? ,令 g '( x) ? 0 得 x ? 0 或 x ? 2 . 函数 g ? x ? , g '( x) 的变化情况如下: 0 (0,2) 2 (-∞,0) (2,+∞) 0 + 0 减 极小 增 极大 减 3 2 b ? 2 ⅰ) 时,g ( x) 在 [0, b] 上单调递增, 因此,g2 ( x) ? g ? x ? ? ? x ? 3x ,g1 ( x) ? g ? 0? ? 0 . 因为 g ( x) ? ? x3 ? 3x2 是 [0, b] 上的 2 阶收缩函数, 所以,① g2 ( x) ? g1 ? x ? ? 2 ? x ? 0? 对 x ? [0, b] 恒成立; ②存在 x ? ?0, b? ,使得 g2 ( x) ? g1 ? x ? ? ? x ? 0? 成立. ①即: ? x3 ? 3x2 ? 2 x 对 x ? [0, b] 恒成立,由 ? x3 ? 3x2 ? 2 x ,解得: 0 ? x ? 1 或 x ? 2 , 要使 ? x3 ? 3x2 ? 2 x 对 x ? [0, b] 恒成立,需且只需 0 ? b ? 1 . ②即:存在 x ? [0, b] ,使得 x x2 ? 3x ? 1 ? 0 成立. 由 x x2 ? 3x ? 1 ? 0 得: x ? 0 或 综合①②可得: x y’ y

?

?

?

?

?

3? 5 3? 5 3? 5 ?x? ,所以,需且只需 b ? . 2 2 2

3? 5 ? b ? 1. 2 3 ⅱ)当 b ? 2 时,显然有 ?[0, b] ,由于 f ( x) 在 [0, 2] 上单调递增,根据定义可得: 2 3 3 3 27 3 ? 3 ? 27 ? 2? ? 3 , , f1 ( ) ? 0 ,可得 f 2 ( ) ? f1 ? ? ? f2 ( ) ? 2 2 2 8 2 ?2? 8 此时, f 2 ( x) ? f1 ? x ? ? 2 ? x ? 0? 不成立.

综合ⅰ)ⅱ)可得:

3? 5 ? b ? 1. 2

注:在ⅱ)中只要取区间(1,2)内的一个数来构造反例均可,这里用

3 只是因为简单 2

而已. 【跟踪训练 5】 (2011 年东城区期末理 18)已知函数 f ( x) ? x ln x . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 在 [1,3] 上的最小值; (Ⅱ)若存在 x ? [ , e] ( e 为自然对数的底数,且 e = 2.71828 使不等式 2 f ( x) ? ? x ? ax ? 3 成立,求实数 a 的取值范围.
2

1 e



解: (Ⅰ)由 f ( x) ? x ln x ,可得 f ? ? x ? ? ln x ? 1, 当 x ? (0, ) 时, f ?( x) ? 0, f ( x ) 单调递减;当 x ? ( , ??) 时, f ?( x) ? 0, f ( x) 单调 递增.所以函数 f ( x) 在 [1,3] 上单调递增. 又 f (1) ? ln1 ? 0 ,所以函数 f ( x ) 在 [1,3] 上的最小值为 0 . (Ⅱ)由题意知, 2x ln x ? ? x ? ax ? 3, 则 a ? 2 ln x ? x ?
2

1 e

1 e

3 . x

18

2011 届高三理科数学第二轮专题复习资料(二)

若存在 x ? [ , e] 使不等式 2 f ( x) ? ? x2 ? ax ? 3 成立, 只需 a 小于或等于 2 ln x ? x ? 设 h ? x ? ? 2 ln x ? x ?

1 e

3 2 3 ? x ? 3?? x ? 1? . ? x ? 0 ? ,则 h? ? x ? ? ? 1 ? 2 ? x x x x2

3 的最大值. x

当 x ? [ ,1) 时,h? ? x ? ? 0, h ? x ? 单调递减;当 x ? (1, e] 时,h? ? x ? ? 0, h ? x ? 单调递增.

1 e

1 3 1 2 ? 3e , h(e) ? 2 ? e ? , h( ) ? h(e) ? 2e ? ? 4 ? 0 , e e e e 1 1 1 1 可得 h( ) ? h(e) .所以,当 x ? [ , e] 时, h( x) 的最大值为 h( ) ? ?2 ? ? 3e . e e e e 1 故 a ? ?2 ? ? 3e . e
由 h( ) ? ?2 ? 【跟踪训练 6】 (2008 年江苏卷)某地有三家工厂,分别位于矩形 P D C ABCD 的顶点 A,B 及 CD 的中点 P 处,已知 AB=20km,CB =10km , O 为了处理三家工厂的污水,现要在矩形 ABCD 的区域上(含边界) ,且 B A A,B 与等距离的一点 O 处建造一个污水处理厂,并铺设排污管道 AO,BO,OP ,设排污管道的总长为 y km. (Ⅰ)按下列要求写出函数关系式: ①设∠BAO= ? (rad),将 y 表示成 ? 的函数关系式; ②设 OP ? x (km) ,将 y 表示成 x 的函数关系式. (Ⅱ)请你选用(Ⅰ)中的一个函数关系式,确定污水处理厂的位置,使三条排污管道 总长度最短. 【分析】求 y 可用解直角三角形的知识来处理,而求三角函数的最小值可借助导数来处 理. 【解析】 : (Ⅰ)①由条件知 PQ 垂直平分 AB,若∠BAO= ? (rad) ,则

1 e

AQ 10 10 ? , 故 OB ? ,又 OP= 10 ? 10 tan ? , cos ? cos ? cos ? 10 10 ? ? 10 ? 10 tan ? , 所以 y ? OA ? OB ? OP ? cos ? cos ? 20 ? 10sin ? ?? ? ? 10 ? 0 ? ? ? ? 所求函数关系式为 y ? cos ? 4? ? ②若 OP= x (km) ,则 OQ=10- x ,所以 OA ?
OA =OB=

?10 ? x ?

2

? 102 ? x 2 ? 20 x ? 200
2

所求函数关系式为 y ? x ? 2 x ? 20 x ? 200 ? 0 ? x ? 10 ? (Ⅱ)选择函数模型①,

?10cos ? ? cos ? ? ? 20 ? 10sin? ?? ? sin ? ? 10 ? 2sin ? ? 1? ? cos 2 ? cos 2 ? ? ? 1 ' 令 y ? 0 得 sin ? ? ,因为 0 ? ? ? ,所以 ? = , 4 6 2 ? ?? ?? ? ? ' ' 当 ? ? ? 0, ? 时, y ? 0 , y 是 ? 的减函数;当 ? ? ? , ? 时, y ? 0 , y 是 ? 的 ? 6? ?6 4? y' ?

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2011 届高三理科数学第二轮专题复习资料(二)

增函数,所以当 ? =

? 时, ymin ? 10 ?10 3 . 6
10 3 km 处. 3

这时点 P 位于线段 AB 的中垂线上,且距离 AB 边

【点评】 : 本小题主要考查解三角形和三角函数最值的应用,以及分析问题和解决问题的 能力.

第 4 课时 解答题中的函数与导数综合题(2)
七、与二项式定理和不等式的交汇 【例 7】 已知 a ? 0, n 为正整数, (1)设 y ? ( x ? a)n ,求证 y' ? n( x ? a)n?1 ; (2)设

fn ( x) ? xn ? ( x ? a)n ,对任意 n ? a ,求证 fn'?1 (n ?1) ? (n ?1) fn' (n) .
证明 (1)∵ ( x ? a) n ?
n

?C
k ?0 n k ?0

n

k n

(?a) n ?k x k ,

k k ?1 n ? k k ?1 y ' ? ? kCn (?a)n?k x k ?1 ? ? nCn x ? n( x ? a)n ?1 . ?1 (?a) k ?0

(2) f ( x) ? nx
' n

n?1

? n( x ? a)n?1 ? n[ xn?1 ? ( x ? a)n?1 ] , fn' (n) ? n[nn?1 ? (n ? a)n?1 ] .

当 x ? a ? 0 时, fn' (n) ? 0 ,∴ fn ( x) ? xn ? ( x ? a)n 是关于 x 的增函数, ∴当 n ? a 时, (n ? 1)n ? (n ? 1 ? a)n ? nn ? (n ? a)n . ∴ fn'?1 (n ?1) ? (n ?1)[(n ?1)n ? (n ?1 ? a)n ] ? (n ? 1)[nn ? (n ? a)n ] 即对任意 n ? a , fn'?1 (n ? 1) ? (n ? 1) f n' (n) . ? (n ? 1)[nn ? n(n ? a)n?1 ] ? (n ?1) f n' (n) , 【点评】 本题是利用导数判断函数单调性及运用放缩法证明不等式的综合题, 综合考查 二项式定理,复合函数的求导、导数与函数单调性的综合运用和基本运算能力. 八、与解析几何的交汇 【例 8】 (2006 年广东卷)设函数 f ( x) ? ? x3 ? 3x ? 2 分别在 x1 , x2 处取得极小值极大 值,
?

xoy 平面上点

A 、 B 的坐标分别为 ( x1 , f ( x1 )) 、 ( x2 , f ( x2 )) .该平面上动点 P 满足

PA? PB =4,点 Q 是点 P 关于直线 y ? 2( x ? 4) 的对称点.求:(Ⅰ)点 A、B 的坐标;(Ⅱ)
动点 Q 的轨迹方程. 分析 题解的难点在于(Ⅱ) .在(Ⅰ)中,用求导的方法得出极小值点 A(-1,0),极大值 点 B(1,4)后,我们可以用数形结合的方法.巧妙的得到 Q 的轨迹方程. 解: (Ⅰ)令 f ?( x) ? (? x 3 ? 3x ? 2)? ? ?3x 2 ? 3 ? 0 解得 x ? 1或x ? ?1 当 x ? ?1 时, f ?( x) ? 0 , 当 ? 1 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 所以,函数在 x ? ?1 处取得极小值,在 x ? 1 取得极大值, 故 x1 ? ?1, x2 ? 1, f (?1) ? 0, f (1) ? 4 .所以, 点 A、B 的坐标为 A(?1,0), B(1,4) . (Ⅱ) 解法一 设 p(m, n) , Q( x, y) ,

?

消去 m, n 得 ?x ? 8? ? ? y ? 2? ? 9 .
2 2
?

1 PA? PB ? ?? 1 ? m,?n? ? ?1 ? m,4 ? n? ? m2 ? 1 ? n 2 ? 4n ? 4 , k PQ ? ? , 2 y?n 1 y?m x ? n ? ? ? ? ,又 PQ 的中点在 y ? 2( x ? 4) 上,所以 所以 ? 2? ? 4? x?m 2 2 ? 2 ?
解法二 设动点 P (x,y) ,则 PA ? (?1 ? x, ? y ) , PB ? (1 ? x, 4 ? y ) .
20
?

2011 届高三理科数学第二轮专题复习资料(二)
? ?

故由 PA? PB =4 得 (?1 ? x)(1 ? x) ? (? y)(4 ? y) ? 4 即点 P 的轨迹方程为 x2 ? ( y ? 2)2 ? 32 ,即以 C(0,2)为 圆心,3 为半径的圆.C(0,2)到直线 l : y ? 2( x ? 4) 的垂足为 (4,0) , ( 垂线: y ? ? 1 x ? 2 ) .由图象得 C(0,2) 的对称点为
2

C0 (8,? 2).

于是 Q 的轨迹是以 C0 为心,3 为半径的圆, 即 ( x ? 8)2 ? ( y ? 2)2 ? 9 . 【点评】本题以函数的导数与极值为载体,利用向量设计点的轨迹,借助对称建立相关 点间的联系,是典型的解析几何中求轨迹的问题. 九、与函数和方程的交汇 【例 9】 (2011 年东城 7 校联考)已知函数 f ( x) ? ( x ? a)2 ( x ? b)(a, b ? R, a ? b). (1)当 a ? 1, b ? 2 时,求曲线 y ? f ( x)在点(2, f (2)) 处的切线方程; (2)设 x1 , x2是f ( x) 的两个极值点, x3是f ( x) 的一个零点,且 x3 ? x1 , x3 ? x2 . 证明: 存在实数 x4 , 使得x1 , x2 , x3 , x4 按照某种顺序排列后构成等差数列,并求 x4 . 6(Ⅰ)解:当 a=1,b=2 时,因为 f ’(x)=(x-1)(3x-5),故 f ' (2) ? 1 ,f(2)=0, 所以 f(x)在点(2,0)处的切线方程为 y=x - 2. (Ⅱ)证明:因为 f′(x)=3(x-a) (x- 所以 f(x)的两个极值点为 x=a,x= 不妨设 x1=a,x2=

a ? 2b ,因为 x3≠x1,x3≠x2,且 x3 是 f(x)的零点,故 x3=b. 3 a ? 2b a ? 2b 1 a ? 2b 2a ? b 又因为 -a=2(b- ) ,x4= (a+ )= , 3 3 2 3 3 2 a ? b a ? 2b 所以 a, , ,b 依次成等差数列, 3 3 2a ? b 所以存在实数 x4 满足题意,且 x4= . 3
w.w. w. k.s.5 .u.c.o.m

a ? 2b . 3

a ? 2b a ? 2b ) ,由于 a<b.故 a< . 3 3

十、与函数、不等式的交汇 【例 10】 (浙江省温州市十校联合体 2006 学年第一学期高三期中联考)已知函数

f ( x) ?

1 3 1 x ? (b ? 1) x 2 ? cx(b, c为常数). 3 2 (1)若 f ( x ) 在 x ? 1 和 x ? 3 处取得极值,试求 b ; (2)若 f ( x ) 在 x ? (??, x1 ),( x2 , ??) 上单调递增且在 x ? ( x1 , x2 ) 上单调递减,又满足
(3)在(2)的条件下,若 t ? x1 ,试比较 t 2 ? bt ? c与x1 的大小,并加以证明.

x2 ? x1 ? 1, 求证:b2 ? 2(b ? 2c) ;
解、(1) f ′ ( x) ? x ? (b ?1) x ? c ,据题意知 x ? 1 和 3 是方程 x ? (b ?1) x ? c ? 0 的 两根,∴1-b=4,c=3,即b=-3,c=3 (2)∵ f ( x ) 在 x ? (??, x1 ) ? ( x2 , ??) 上单调递增,∴ f ′ ( x ) >0,
2 2

又 f ( x ) 在 ( x1 , x2 ) 上单调递减,∴ f ′ ( x) ? 0

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2011 届高三理科数学第二轮专题复习资料(二)

∵ x1 , x2 是方程 x2 ? (b ?1) x ? c ? 0 的两根,故有 ?

? x1 ? x2 ? 1 ? b ? x1 x2 ? c

∴ b2 ? 2(b ? 2c) ? b2 ? 2b ? 4c ? (b ?1)2 ?1 ? 4c ? ( x1 ? x2 )2 ? 4x1x2 ?1 ? ( x1 ? x2 )2 ?1 ∵ x2 ? x1 ? 1 ,∴ ( x2 ? x1 )2 ?1 ? 0 ,从而 b2 ? 2(b ? 2c) (3)在(2)的条件下, x1 是方程 x2 ? (b ?1) x ? c ? 0 的一根,∴ x12 ? bx1 ? c ? x1 , 则 t 2 ? bt ? c ? x1 ? t 2 ? bt ? c ? ( x12 ? bx1 ? c) ? (t ? x1 )(t ? x1 ? b) ∵ x2 ? x1 ? 1, ∴ x1 ? x2 ? 1 ? 2 x1 , 又 ∵ x1 ? x2 ? 1 ? b , ∴ 1 ? b ? 1 ? x 2 1 , 即

2 x1 ? b ? 0 ,∴ t ? x1 ? b ? 2x1 ? b ? 0 ,又 t ? x1 ? 0, ∴ (t ? x1 )(t ? x1 ? b) ? 0 ,
故 t 2 ? bt ? c ? x1 . 【点评】本题综合考查了运用导数研究函数性质及分析推理证明不等式的能力. 十一、与数列、函数、不等式的交汇 【例 11】 已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a, b, c, d ? R) ,且 f ( x ) 的图象关于原 点对称,其图象在(3,6)处的切线的斜率为 8.(1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)若数列 {an } 满足 a1 ? 1, an?1 ? f ' (an ?1) ,试比较

1 1 ? ? 1 ? a1 1 ? a2

?

1 与 1 的大小,并说明理由. 1 ? an
2

解: (1) f ( x ) 的图象关于原点对称,∴ f (? x) ? f ( x) ? 0 恒成立,即 2bx ? 2d ? 0 , ∴ b ? d ? 0 .又 f ( x ) 在 x ? 3 处的切线方程为 y ? 6 ? 8( x ? 3) . ∴ f ' (3) ? 8, f (3) ? 6 ,而 f ( x) ? ax3 ? cx ,∴ f ' ( x) ? 3ax 2 ? c .

1 ? ? f ' (3) ? 27a ? c ? 8, ?a ? , 1 3 ?? 3 ∴ f ( x) ? x ? x . ? 3 ? f (3) ? 27a ? 3c ? 6 ?c ? ?1. ? ' 2 (2)由(1)得 f ( x) ? x ?1 . 2 2 ∴ an?1 ? (an ? 1)2 ?1 , 而 y ? ( x ? 1) ?1 ? x ? 2 x 在 [1, ??) 上 递增 ,由 a ? 1 知,

a2 ? (a1 ?1)2 ?1 ? 22 ?1 .∴ a3 ? (a2 ? 1)2 ?1 ? 24 ?1 ? 23 ?1 .
于是猜想, an ? 2n ?1 (A) 1°当 n ? 1 时, a1 ? 21 ?1 .∴当 n ? 1 时, (A)成立; 2°假设 n ? k 时, (A)成立,即 ak ? 2k ? 1; 当 n ? k ? 1 时, ak ?1 ? (ak ? 1)2 ? 2k ?1 ?1 .∴当 n ? k ? 1 时, (A)成立.

1 1 ? n. 1 ? an 2 1 1 (1 ? n ) 1 1 1 1 1 1 2 2 ? 1? 1 ? 1 . 于是有 ? ? ? ? ? 2? ? n? 1 1 ? a1 1 ? a2 1 ? an 2 2 2 2n 1? 2
综上可知, n ? N 时, an ? 2n ?1 成立.∴当
*

【点评】 本题将函数数列数学归纳法不等式证明和导数等知识融合交汇,进行探索推 证,很好地考查应用知识的创新能力和应用基本数学思想方法解决数学问题的能力. 【跟踪训练】 【跟踪训练 7】 (2007 年四川卷)设函数 f ( x) ? ?1 ?

? ?

1? ? (n ? N , 且n ? 1, x ? N ) . n?

x

22

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x

1? ? 的展开式中二项式系数最大的项; n? f ( 2 x ) ? f ( 2) (Ⅱ)对任意的实数 x,证明 > f ?( x)( f ?( x)是f ( x)的导函数); 2 n ? 1? (Ⅲ)是否存在 a ? N ,使得 an< ? ?1 ? ? < (a ? 1)n 恒成立? 若存在,试证明你的结论 k? k ?1 ?
(Ⅰ)当 x=6 时,求 ?1 ? 并求出 a 的值;若不存在,请说明理由.

? ?

? 1 ? 20 (Ⅰ)解:展开式中二项式系数最大的项是第 4 项,这项是 C 1 ? ? ? 3 . ?n? n
3 5 6

3

(Ⅱ)证法一:因 f ? 2 x ? ? f ? 2 ? ? ?1 ?

? ?

1? ? 1? ? ? ?1 ? ? n? ? n?

2n

2

? 1? ? 1? ? 1? ? 2 ? 1 ? ? ? ? 1 ? ? ? 2 ?1 ? ? ? n? ? n? ? n?
n n

2n

2

n

? 1? ? 1? ? ?1 ? ? ? 2 ? 1 ? ? ? n? ? n?

n

? 1? ? 1? ? 1? ? 1? ? 2 ?1 ? ? ln ?1 ? ? ? 2 ?1 ? ? ln ?1 ? ? ? 2 f ' ? x ? . ? n? ? 2? ? n? ? n?
证法二:因 f ? 2 x ? ? f ? 2 ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? 2 ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? 2 ?1 ? ? ? ?1 ? ?

? ?

1? n?

2n

? ?

1? n?

2

? ?

1? n?

2n

? ?

1? n?

2

? ?

1? ? n? ?

n

1? n?

? 1? ? 1? ? 1? ? 1? 而 2 f ? x ? ? 2 ?1 ? ? ln ?1 ? ? ,故只需对 ?1 ? ? 和 ln ?1 ? ? 进行比较. ? n? ? n? ? n? ? n? 1 x ?1 x ?1 ' ? 0 ,得 x ? 1 . 令 g ? x ? ? x ? ln x ? x ? 1? ,有 g ? x ? ? 1 ? ? 。由 x x x ' ' 因为当 0 ? x ? 1 时,g ? x ? ? 0 ,g ? x ? 单调递减; 当 1 ? x ? ?? 时,g ? x ? ? 0 ,g ? x ?
'

n

单调递增,所以在 x ? 1 处 g ? x ? 有极小值 1 ,故当 x ? 1 时, g ? x ? ? g ?1? ? 1 , 从而有 x ? ln x ? 1,亦即 x ? ln x ? 1 ? ln x ,故有 ?1 ? 所以 f ? 2x ? ? f ? 2? ? 2 f
m

'

? x? ,原不等式成立.
2

? ?

1? ? 1? ? ? ln ?1 ? ? 恒成立. n? ? n?

(Ⅲ)对 m ? N ,且 m ? 1 ,

? 1? 0 1 ? 1 ? 2 ? 1 ? k ? 1 ? m? 1 ? 有 ?1 ? ? ? Cm ? Cm ? ? ? ?Cm ? ? ? ? Cm ? ? ? ? Cm ? ? ? m? ?m? ? m? ? m? ? m? 2 k m m ? m ? 1? ? 1 ? m ? m ? 1? ? m ? k ? 1? ? 1 ? m ? m ? 1? 2 ?1 ? 1 ? ? 1?1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2! ? m ? k! m! ? m? ? m? 1? 1? 1 ? 1 ?? 2 ? ? k ? 1 ? 1 ? 1 ? ? m ?1 ? ? 2 ? ?1 ? ? ? ? ?1 ? ??1 ? ? ?1 ? ? ? ? ?1 ? ? ?1 ? ? 2! ? m ? k ! ? m ?? m ? ? m ? m! ? m ? ? m ? 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2? ? ? ? ? ? ? 2? ? ? ? ? ? 2! 3! k! m! 2 ?1 3 ? 2 k ? k ? 1? m ? m ? 1?
? 1? ?1 1? ? 2 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? 2? ? 2 3?
k k m

k

m

1? ? 1 ?? ? ?? ? k ?1 k ?

1 1? ? 1 ?? ? ? ? 3? ? 3 m ? m ?1 m ?
m m

?1? 又因 C ? ? ? 0 ? k ? 2,3, 4, ?m?

? 1? ? 1? , m? ,故 2 ? ?1 ? ? ? 3 .∵ 2 ? ?1 ? ? ? 3 , ? m? ? m?
23

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k k

n ? 1? ? 1? a ? 2 成立, 即存在 , 使得 1 ? ? 3 n 2 n ? ? ? ? ? ?1 ? ? ? 3n 恒成立. k? k? k ?1 ? k ?1 ? 1 2 【跟踪训练 8】 (2011 年西城期末理) 已知函数 f ( x) ? ax ? (2a ? 1) x ? 2ln x (a ? R) .(Ⅰ) 2 若曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 和 x ? 3 处的切线互相平行,求 a 的值;(Ⅱ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)设 g ( x) ? x2 ? 2 x ,若对任意 x1 ? (0, 2] ,均存在 x2 ? (0, 2] ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求

从而有 2n ?

n

a 的取值范围.

2 ( x ? 0) . x 2 (Ⅰ) f ?(1) ? f ?(3) ,解得 a ? . 3 (ax ? 1)( x ? 2) ( x ? 0) . (Ⅱ) f ?( x) ? x ①当 a ? 0 时, x ? 0 , ax ? 1 ? 0 , 在区间 (0, 2) 上, f ?( x) ? 0 ;在区间 (2, ??) 上 f ?( x) ? 0 , 故 f ( x ) 的单调递增区间是 (0, 2) ,单调递减区间是 (2, ??) . 1 1 1 1 ②当 0 ? a ? 时, ? 2 ,在区间 (0, 2) 和 ( , ??) 上, f ?( x) ? 0 ;在区间 (2, ) 上 2 a a a 1 1 f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 的单调递增区间是 (0, 2) 和 ( , ??) ,单调递减区间是 (2, ) . a a 2 1 ( x ? 2) ③当 a ? 时, f ?( x) ? , 故 f ( x ) 的单调递增区间是 (0, ??) . 2 2x 1 1 1 1 ④当 a ? 时, 0 ? ? 2 ,在区间 (0, ) 和 (2, ??) 上, f ?( x) ? 0 ;在区间 ( , 2) 上 2 a a a 1 1 f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 的单调递增区间是 (0, ) 和 (2, ??) ,单调递减区间是 ( , 2) . a a (Ⅲ)由已知,在 (0, 2] 上有 f ( x)max ? g ( x)max .
解: f ?( x) ? ax ? (2a ? 1) ? 由已知, g ( x)max ? 0 ,由(Ⅱ)可知,

1 时, f ( x ) 在 (0, 2] 上单调递增, 2 故 f ( x)max ? f (2) ? 2a ? 2(2a ? 1) ? 2ln 2 ? ?2a ? 2 ? 2ln 2 ,
①当 a ? 所以, ?2a ? 2 ? 2 ln 2 ? 0 ,解得 a ? ln 2 ? 1,故 ln 2 ? 1 ? a ? ②当 a ?

1 . 2

1 1 1 时, f ( x ) 在 (0, ] 上单调递增,在 [ , 2] 上单调递减, 2 a a 1 1 ? 2 ln a . 故 f ( x) max ? f ( ) ? ?2 ? a 2a 1 1 1 由 a ? 可知 ln a ? ln ? ln ? ?1 , 2 ln a ? ?2 , ?2 ln a ? 2 , 2 2 e 所以, ?2 ? 2 ln a ? 0 , f ( x)max ? 0 , 综上所述, a ? ln 2 ? 1. 3 2 2 2 2 【跟踪训练 9】已知函数 f ( x) ? x ? (k ? k ? 1) x ? 5x ? 2 , g ( x) ? k x ? kx ? 1 , 其中 k ? R .
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(I)设函数 p( x) ? f ( x) ? g ( x) .若 p ( x) 在区间 (0,3) 上不单调 ,求 k 的取值范围; ... (II)设函数 q( x) ? ?

.w.k.s.5.u .c.o.m

? g ( x), x ? 0, 是否存在 k ,对任意给定的非零实数 x1 ,存在惟一的非 ? f ( x), x ? 0.

零实数 x2 ( x2 ? x1 ) ,使得 q' ( x2 ) ? q' ( x1 ) ?若存在,求 k 的值;若不存在,请说明理由. 解析: (I)因 P( x) ? f ( x) ? g ( x) ? x3 ? (k ?1) x2 ? (k ? 5) ?1 ,

p? ? x ? ? 3x2 ? 2(k ?1) x ? (k ? 5) ,因 p( x) 在区间 (0,3) 上不单调, ....
所以 p? ? x ? ? 0 在 ? 0,3? 上有实数解,且无重根,由 p? ? x ? ? 0 得

k (2 x ? 1) ? ?(3x2 ? 2 x ? 5),
?k ? ?

w.w. w. k.s. 5.u.c.o.m

(3x 2 ? 2 x ? 5) 3? 9 10 ? ? ? ?? 2 x ? 1? ? ? ? ,令 t ? 2 x ? 1, 有 t ? ?1,7 ? , 2x ?1 4? 2x ?1 3 ? 9 记 h(t ) ? t ? , 则 h ? t ? 在 ?1,3? 上单调递减,在 ?3,7 ? 上单调递增,所以有 t 9 ? ? 6,10 ? ,得 k ? ? ?5, ?2? ,而当 k ? ?2 时有 h ?t ? ??6,10? ,于是 ? 2 x ? 1? ? 2x ?1 p? ? x ? ? 0 在 ? 0,3? 上有两个相等的实根 x ? 1 ,故舍去,所以 k ? ? ?5, ?2? ;
w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

(II)当 x ? 0 时有 q? ? x ? ? f ? ? x ? ? 3x2 ? 2(k 2 ? k ? 1) x ? 5 ;
2 当 x ? 0 时有 q? ? x ? ? g? ? x ? ? 2k x ? k ,因为当 k ? 0 时不合题意,因此 k ? 0 ,

下面讨论 k ? 0 的情形,记 A ? (k , ??) ,B= ?5, ??? . (ⅰ )当 x1 ? 0 时, q? ? x ? 在 ? 0, ??? 上单调递增,所以要使 q? ? x2 ? ? q? ? x1 ? 成立,只 能 x2 ? 0 且 A ? B ,因此有 k ? 5 , 能 x2 ? 0 且 A ? B ,因此 k ? 5 , 综合(ⅰ ) (ⅱ )k ? 5; 当 k ? 5 时 A=B,则 ?x1 ? 0, q? ? x1 ? ? B ? A ,即 ?x2 ? 0, 使得 q? ? x2 ? ? q? ? x1 ? 成立, 同理,?x1 ? 0 ,即存在唯一的非零实数 x2 ( x2 ? x1 ) ,要使 q? ? x2 ? ? q? ? x1 ? 成立,所以 (ⅱ )当 x1 ? 0 时, q? ? x ? 在 ? 0, ??? 上单调递减,所以要使 q? ? x2 ? ? q? ? x1 ? 成立,只

因为 q? ? x ? 在 ? 0, ??? 上单调递增,所以 x2 的值是唯一的;

k ? 5 满足题意.
【 跟 踪 训 练 10 】 ( 2010 年 浙 江 省 宁 波 市 高 三 数 学 模 拟 ) 设 f ( x) ?

a ? x ln x , x

g ( x) ? x3 ? x2 ? 3 . (1)当 a ? 2 时,求曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程; (2)如果存在 x1 , x2 ?[0, 2] ,使得 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? M 成立,求满足上述条件的最大整
数 M ;k *s*5*u (3)如果对任意的 s, t ? [ , 2] ,都有 f (s) ? g (t ) 成立,求实数 a 的取值范围. 解: (1) 当 a ? 2 时,f ( x) ?

1 2

2 2 ? x ln x ,f '( x) ? ? 2 ? ln x ? 1 ,f (1) ? 2 ,f '(1) ? ?1 , x x 所以曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程为 y ? ? x ? 3 ; (2)存在 x1 , x2 ?[0, 2] ,使得 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? M 成立,等价于:
25

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2 [ g ( x1 ) ? g ( x2 )]max ? M ,考察 g ( x) ? x3 ? x2 ? 3 , g '( x) ? 3x 2 ? 2 x ? 3x( x ? ) , 3

x
g '( x ) g ( x)

0 0 ?3

2 (0, ) 3 ?
递减

2 3 0
极(最)小值 ?

2 ( , 2] 3 ? 85 27
递增

2

1

85 , g ( x) max ? g (2) ? 1 , 27 112 [ g ( x1 ) ? g ( x2 )]max ? g ( x) max ? g ( x) min ? ,所以满足条件的最大整数 M ? 4 ; 27 1 (3)对任意的 s, t ? [ , 2] ,都有 f (s) ? g (t ) 成立 2 1 等价于:在区间 [ , 2] 上,函数 f ( x ) 的最小值不小于 g ( x) 的最大值, 2 1 由(2)知,在区间 [ , 2] 上, g ( x) 的最大值为 g (2) ? 1 。 2 1 f (1) ? a ? 1 ,下证当 a ? 1 时,在区间 [ , 2] 上,函数 f ( x) ? 1 恒成立。 2 1 a 1 当 a ? 1 且 x ? [ , 2] 时, f ( x) ? ? x ln x ? ? x ln x , 2 x x 1 1 记 h( x ) ? ? x ln x , h '( x) ? ? 2 ? ln x ? 1 , h '(1) ? 0 。 x x 1 1 1 当 x ? [ ,1) , h '( x ) ? ? 2 ? ln x ? 1 ? 0 ;当 x ? (1, 2] , h '( x ) ? ? 2 ? ln x ? 1 ? 0 , 2 x x 1 1 所以函数 h( x ) ? ? x ln x 在区间 [ ,1) 上递减,在区间 (1, 2] 上递增, x 2 1 h( x)min ? h(1) ? 1 ,即 h( x) ? 1 ,所以当 a ? 1 且 x ? [ , 2] 时, f ( x) ? 1 成立, 2 1 即对任意 s, t ? [ , 2] ,都有 f (s) ? g (t ) . 2 1 a 2 (3)另解:当 x ? [ , 2] 时, f ( x) ? ? x ln x ? 1 恒成立,等价于 a ? x ? x ln x 恒成 2 x 2 立,记 h( x) ? x ? x ln x , h '( x) ? 1 ? 2 x ln x ? x , h '(1) ? 0 . 1 记 m( x) ? 1 ? 2 x ln x ? x , m '( x) ? ?3 ? 2ln x ,由于 x ? [ , 2] , 2 1 m '( x) ? ?3 ? 2ln x ? 0 , 所以 m( x) ? h '( x) ? 1 ? 2 x ln x ? x 在 [ , 2] 上递减, 2 1 当 x ? [ ,1) 时, h '( x) ? 0 , x ? (1, 2] 时, h '( x) ? 0 , 2 1 2 即函数 h( x) ? x ? x ln x 在区间 [ ,1) 上递增,在区间 (1, 2] 上递减, 2 所以 h( x)max ? h(1) ? 1,所以 a ? 1 .
由上表可知: g ( x) min ? g ( ) ? ?
26

2 3

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ax ? b a ? 0) b, (a, . c 为常数, cx 2 ? 1 ax ? b (Ⅰ)若 c ? 0 时,数列 {an } 满足条件:点 (n, an ) 在函数 f ( x ) ? 2 的图象上,求 {an } cx ? 1 ? 的前 n 项和 Sn ; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若 a3 ? 7 , S4 ? 24 , p, q ? N ( p ? q ) ,证 1 1 S p ? q ? ( S2 p ? S2 q ) ; 明: (Ⅲ) 若 c ? 1 时,f ( x ) 是奇函数,f (1) ? 1 , 数列 {xn } 满足 x1 ? , 2 2 2 2 2 (x ? x ) (x ? x ) (x ? x ) 5 xn?1 ? f ( xn ) ,求证: 1 2 ? 2 3 ? ? n n?1 ? . x1 x2 x2 x3 xn xn?1 16 (Ⅰ)解:依条件有 f ( x) ? ax ? b .因为点 (n, an ) 在函数 f ( x) ? ax ? b 的图象上,所
【跟踪训练 11】 (2011.1 朝阳期末) 已知函数 f ( x ) ? 以 an ? f (n) ? an ? b . 因 为 an?1 ? an ? a(n ? 1)? b ? ( an ? b )? a , 所 以 {an } 是 首 项 是

a1 ? a ? b,公差为 d ? a 的等差数列. 所以 Sn ? n(a ? b) ?
即数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? nb ?

n(n ? 1) ?a. 2 ? (a ? b) ? 2a ? 7, ? 3a ? b ? 7, ? a ? 2, ? (Ⅱ)证明:依条件有 ? 即? 解得 ? 4?3 4(a ? b) ? ? a ? 24. ?10a ? 4b ? 24. ? b ? 1. ? ? 2 n(a1 ? a n ) ? n 2 ? 2n. 所以 an ? 2n ? 1.所以 S n ? 2
因 2S p?q 又

n(n ? 1) n(n ? 1) ? a ? nb ? ?a. 2 2

? (S2 p ? S2q ) = 2[( p ? q)2 ? 2( p ? q)] ? (4 p2 ? 4 p) ? (4q2 ? 4q) ? ?2( p ? q)2 ,
2

p ? q ,所以 2S p?q ? (S2 p ? S2q ) ? 0 ,即 S p ? q ? 1 ( S2 p ? S2 q ) .

ax ? b (Ⅲ)依条件 f ( x ) ? 2 .因为 f ( x ) 为奇函数,所以 f (? x) ? f ( x) ? 0 .即 x ?1 ax ? b ?ax ? b ax ? 2 ? 0 . 解 得 b ? 0 . 所 以 f ( x) ? 2 . 又 f (1) ? 1 , 所 以 a ? 2 . 故 2 x ?1 x ?1 x ?1 2x 1 2x f ( x) ? 2 . 因 为 xn?1 ? f ( xn ) , 所 以 xn ?1 ? 2 n . 所 以 x1 ? ? 0 时 , 有 xn?1 ? 0 x ?1 2 xn ? 1 2x 2x ? ( n ? N ).又 xn?1 ? f ( xn ) ? 2 n ≤ n ? 1 ,若 xn ?1 ? 1 ,则 xn ? 1 . 从而 x1 ? 1 . 这与 xn ? 1 2 xn 1 x1 ? 矛盾.所以 0 ? xn?1 ? 1. 所以 2 1? x 1 1 2 ?1 1 xk ?1 ? xk ? xk (1 ? xk ) ? 2 k ≤ 1 ? . ? ≤ ? 2 xk ? 1 4 4 8 2 2 ? 2 xk ? 1 ? ?2 xk ? 1
所以

( xk ? xk ?1 )2 xk ?1 ? xk 2 ?1 1 1 ? ( xk ?1 ? xk ) ? ( ? ). 则 xk xk ?1 xk xk ?1 8 xk xk ?1
?

( x1 ? x2 )2 ( x2 ? x3 )2 ? ? x1 x2 x2 x3

2 ?1 1 1 1 1 ( xn?1 ? xn )2 ? [( ? ) ? ( ? ) ? 8 x1 x2 x2 x3 xn xn?1

?(

1 1 ? )] xn xn?1

27

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2 ?1 1 1 2 ?1 1 ( ? )? (2 ? ). 8 x1 xn?1 8 xn?1 1 1 1 因为 x1 ? , xn?1 ? xn ,所以 ? xn ?1 ? 1 . 所以 1 ? ?2. 2 2 xn?1 3 ?1 ( xn ? xn?1 )2 ( x1 ? x2 )2 ( x2 ? x3 )2 2 ?1 5 所以 ? ? ? ? (2 ? 1) ? 2 ? . x1 x2 x2 x3 xn xn?1 8 8 16 ?

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