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(全)基本不等式应用


基本不等式应用 一.基本不等式

1. (1) 若 a, b ? R , 则 a 2 ? b 2 ? 2ab
a?b 2. (1)若 a, b ? R ,则 ? ab 2
*

2 2 (2)若 a, b ? R , 则 ab ? a ? b (当且仅当 a ? b 时取 “=” )

2


(2)若 a, b ? R ,则 a ? b ? 2 ab (当且仅当 a ? b 时取“=” )
*

a ?b? (3)若 a, b ? R * ,则 ab ? ? ? ? ? 2 ?
3.若 x ? 0 , 则x?

2

(当且仅当 a ? b 时取“=” )

1 1 ? 2 (当且仅当 x ? 1 时取 “=” ) ;若 x ? 0 , 则 x ? ?? 2 (当且仅当 x ? ?1 时取 “=” ) x x
(当且仅当 a ? b 时取“=” )

若 x ? 0 ,则 x ? 1 ? 2即x ? 1 ? 2或x ? 1 ? -2 x x x 3.若 ab ? 0 ,则 a ? b ? 2 b a 若 ab ? 0 ,则

(当且仅当 a ? b 时取“=” ) (当且仅当 a ? b 时取“=” )

a b a b a b ? ? 2即 ? ? 2或 ? ? -2 b a b a b a

a ? b 2 a2 ? b2 (当且仅当 a ? b 时取“=” ) ) ? 2 2 注: (1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的 积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大” . (2)求最值的条件“一正,二定,三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用. 应用一:求最值 例 1:求下列函数的值域
4.若 a, b ? R ,则 ( 1 (1)y=3x 2+ 2 2x 1 解: (1)y=3x 2+ 2 ≥2 2x (2)当 x>0 时,y=x+ 1 (2)y=x+ x 1 3x 2· 2 2x 1 ≥2 x = 6 1 x· x ∴值域为[ 6 ,+∞)

=2; 1 x· x =-2

1 1 当 x<0 时, y=x+ = -(- x- )≤-2 x x ∴值域为(-∞,-2]∪[2,+∞) 解题技巧: 技巧一:凑项 例 1:已知 x ?

5 ,求函数 y ? 4 x ? 2 ? 1 的最大值。 4 4x ? 5

1 解:因 4 x ? 5 ? 0 ,所以首先要“调整”符号,又 (4 x ? 2)? 不是常数,所以对 4 x ? 2 要进行拆、凑项, 4x ? 5 5 1 1 ? ? ? x ? ,? 5 ? 4 x ? 0 ,? y ? 4 x ? 2 ? ? ? ? 5 ? 4x ? ? ? 3 ? ?2 ? 3 ? 1 4 4x ? 5 5 ? 4x ? ?
当且仅当 5 ? 4 x ?

1 ,即 x ? 1 时,上式等号成立,故当 x ? 1 时, ymax ? 1 。 5 ? 4x

评注:本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值。 技巧二:凑系数

例 1. 当

时,求 y ? x(8 ? 2 x) 的最大值。

解析:由 知, ,利用基本不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式子 积的形式,但其和不是定值。注意到 2 x ? (8 ? 2 x) ? 8 为定值,故只需将 y ? x(8 ? 2 x) 凑上一个系数即可。

当 ,即 x=2 时取等号 当 x=2 时, y ? x(8 ? 2 x) 的最大值为 8。 评注: 本题无法直接运用基本不等式求解, 但凑系数后可得到和为定值, 从而可利用基本不等式求最大值。 变式:设 0 ? x ?

3 ,求函数 y ? 4 x(3 ? 2 x) 的最大值。 2
2 3 2x ? 3 ? 2x ? 9 ∴ 3 ? 2 x ? 0 ∴ y ? 4 x(3 ? 2 x) ? 2 ? 2 x(3 ? 2 x) ? 2? ? ? ? 2 2 2 ? ?

解:∵ 0 ? x ?

当且仅当 2 x ? 3 ? 2 x, 即 x ?

3 ? 3? ? ? 0, ? 时等号成立。 4 ? 2?

技巧三: 分离 x 2 ? 7 x ? 10 ( x ? ?1) 的值域。 例 3. 求 y ? x ?1
解析一:本题看似无法运用基本不等式,不妨将分子配方凑出含有(x+1)的项,再将其分离。



,即

时, y ? 2 (x ? 1) ?

4 ? 5 ? 9 (当且仅当 x=1 时取“=”号)。 x ?1

技巧四:换元
解析二:本题看似无法运用基本不等式,可先换元,令 t=x+1,化简原式在分离求最值。

(t ? 1)2 ? 7(t ? 1 ) +10 t 2 ? 5t ? 4 4 = ? t ? ?5 t t t 4 当 ,即 t= 时, y ? 2 t ? ? 5 ? 9 (当 t=2 即 x=1 时取“=”号)。 t y?
评注:分式函数求最值,通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最

A ? B( A ? 0, B ? 0) , g(x)恒正或恒负的形式, 然后运用基本不等式来求最值。 g ( x) a 技巧五:注意:在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,应结合函数 f ( x) ? x ? 的单调性。 x
值。 即化为 y ? mg ( x) ? 例:求函数 y ?

x2 ? 5 x2 ? 4

的值域。

2 解:令 x 2 ? 4 ? t (t ? 2) ,则 y ? x ? 5 ? x2 ? 4

x2 ? 4 ?

1 ? t ? (t ? 2) t x2 ? 4

1

因 t ? 0, t ? ? 1 ,但 t ? 解得 t ? ?1 不在区间 ?2, ??? ,故等号不成立,考虑单调性。 因为 y ? t ? 在区间 ?1, ?? ? 单调递增,所以在其子区间 ?2, ??? 为单调递增函数,故 y ? 所以,所求函数的值域为 ? , ?? ? 。

1 t

1 t

1 t

5 。 2

?5 ?2

? ?

练习.求下列函数的最小值,并求取得最小值时,x 的值. (1) y ?

1 x 2 ? 3x ? 1 ,x ?3 , ( x ? 0) (2) y ? 2 x ? x ?3 x

(3) y

? 2sin x ?

1 , x ? (0, ? ) sin x

2.已知 0 ? x ? 1 ,求函数 y ? 条件求最值

x(1 ? x) 的最大值.;3. 0 ? x ?

2 ,求函数 y ? 3

x(2 ? 3x) 的最大值.

a b 1.若实数满足 a ? b ? 2 ,则 3 ? 3 的最小值是

.
a b

分析: “和”到“积”是一个缩小的过程,而且 3 ? 3 定值,因此考虑利用均值定理求最小值, 解: 3 和3 都是正数, 3 ? 3 ≥ 2 3a ? 3b ? 2 3a?b ? 6
a b a b
a b a b a b 当 3 ? 3 时等号成立,由 a ? b ? 2 及 3 ? 3 得 a ? b ? 1 即当 a ? b ? 1 时, 3 ? 3 的最小值是 6.

变式:若 log4 x ? log4 y ? 2 ,求

1 1 ? 的最小值.并求 x,y 的值 x y

技巧六:整体代换:多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错。 。 2:已知 x ? 0, y ? 0 ,且

1 9 ? ? 1 ,求 x ? y 的最小值。 x y
1 9 ? ? ? ? 1 ,? x ? y ? ? 1 ? 9 ? ? x ? y ? ? 2 9 2 xy ? 12 x y xy ? x y?


错解 :? x ? 0, y ? 0 ,且 ..

? x ? y ?min ? 12



错因:解法中两次连用基本不等式,在 x ? y ? 2 xy 等号成立条件是 x ? y ,在 1 ? 9 ? 2 9 等号成立
x y xy

条件是

1 9 ? 即 y ? 9 x ,取等号的条件的不一致,产生错误。因此,在利用基本不等式处理问题时,列出 x y

等号成立条件是解题的必要步骤,而且是检验转换是否有误的一种方法。

? 1 9 ? y 9x 1 9 正解:? x ? 0, y ? 0, ? ? 1 ,? x ? y ? ? x ? y ? ? ? ? ? ? ? 10 ? 6 ? 10 ? 16 x y ? x y? x y
当且仅当

1 9 y 9x ? 时,上式等号成立,又 ? ? 1 ,可得 x ? 4, y ? 12 时, ? x ? y ?min ? 16 。 x y x y
?

变式: (1)若 x, y ? R 且 2 x ?

y ? 1 ,求 1 ? 1 的最小值
x y

? (2)已知 a, b, x, y ? R 且 a ? b ? 1 ,求 x x y

? y 的最小值

y2 技巧七、已知 x,y 为正实数,且 x 2+ =1,求 x 1+y 2 的最大值. 2 a 2+b 2 分析:因条件和结论分别是二次和一次,故采用公式 ab≤ 。 2 同时还应化简 1+y 2 中 y2 前面的系数为 1 , 2 x 1+y 2 =x 1+y 2 2· = 2 x· 2 1 y2 + 2 2

下面将 x,
2

1 y2 + 分别看成两个因式: 2 2 x 2+( ≤ 1 y2 + 2 2 2 )2 y2 1 x 2+ + 2 2 3 = = 2 4 1 y2 + 2 2 3 4



1 y + 2 2

即 x 1+y

2

= 2 · x



2

1 技巧八:已知 a,b 为正实数,2b+ab+a=30,求函数 y= 的最小值. ab 分析:这是一个二元函数的最值问题,通常有两个途径,一是通过消元,转化为一元函数问题,再用单调 性或基本不等式求解,对本题来说,这种途径是可行的;二是直接用基本不等式,对本题来说,因已知条 件中既有和的形式,又有积的形式,不能一步到位求出最值,考虑用基本不等式放缩后,再通过解不等式 的途径进行。 30-2b 法一:a= , b+1 30-2b -2 b 2+30b ab= ·b= b+1 b+1 16 =8 t

由 a>0 得,0<b<15 -2t 2+34t-31 16 16 令 t=b+1,1<t<16,ab= =-2(t+ )+34∵t+ ≥2 t t t ∴ ab≤18 ∴ y≥ 1 当且仅当 t=4,即 b=3,a=6 时,等号成立。 18 t·

法二:由已知得:30-ab=a+2b∵ a+2b≥2 2 ab ∴ 30-ab≥2 2 ab 2 令 u= ab 则 u +2 2 u-30≤0, -5 2 ≤u≤3 2 1 ∴ ab ≤3 2 ,ab≤18,∴y≥ 18 点评:①本题考查不等式

a?b ? ab(a, b ? R ?) 的应用、不等式的解法及运算能力;②如何由已知不等 2

式 ab ? a ? 2b ? 30 出发求得 ab 的范围,关键是寻找到 a ? b与ab 之间的关系,由此想到不等 (a, b ? R ?) 式

a?b ? ab(a, b ? R ?) ,这样将已知条件转换为含 ab 的不等式,进而解得 ab 的范围. 2

变式:1.已知 a>0,b>0,ab-(a+b)=1,求 a+b 的最小值。 2.若直角三角形周长为 1,求它的面积最大值。 技巧九、取平方 5、已知 x,y 为正实数,3x+2y=10,求函数 W= 3x + 2y 的最值. a+b a 2+b 2 解法一:若利用算术平均与平方平均之间的不等关系, ≤ ,本题很简单 2 2 3x + 2y ≤ 2 ( 3x )2+( 2y )2 = 2 3x+2y =2 5

解法二:条件与结论均为和的形式,设法直接用基本不等式,应通过平方化函数式为积的形式,再向“和 为定值”条件靠拢。 W>0,W2=3x+2y+2 3x · 2y =10+2 3x · 2y ≤10+( 3x )2·( 2y )2 =10+(3x+2y)=20 ∴ W≤ 20 =2 5 变式: 求函数 y ? 2 x ? 1 ? 5 ? 2 x ( 1 ? x ? 5 ) 的最大值。 解析:注意到 2 x ? 1 与 5 ? 2 x 的和为定值。
2 2

y2 ? ( 2x ?1 ? 5 ? 2x )2 ? 4 ? 2 (2x ?1)(5 ? 2x) ? 4 ? (2x ?1) ? (5 ? 2x) ? 8
又 y ? 0 ,所以 0 ? y ? 2 2 当且仅当 2 x ? 1 = 5 ? 2 x ,即 x ?

3 时取等号。 2

故 ymax ? 2 2 。

评注:本题将解析式两边平方构造出“和为定值”,为利用基本不等式创造了条件。 总之,我们利用基本不等式求最值时,一定要注意“一正二定三相等”,同时还要注意一些变形技巧,积 极创造条件利用基本不等式。 应用二:利用基本不等式证明不等式 1.已知 a, b, c 为两两不相等的实数,求证: a
2

? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca
? 1 ?? 1 ?? 1 ? ? 1?? ? 1?? ? 1? ? 8 ? a ?? b ?? c ?

1)正数 a,b,c 满足 a+b+c=1,求证:(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc 例 6:已知 a、b、c ? R ,且 a ? b ? c ? 1 。求证: ?
?

分 析 : 不 等 式 右 边 数 字 8 , 使 我 们 联 想 到 左 边 因式 分 别 使 用 基 本 不 等 式可 得 三 个 “ 2 ” 连 乘 , 又
1 1? a b ? c 2 bc,可由此变形入手。 ?1 ? ? ? a a a a

解:? a、b、c ? R , a ? b ? c ? 1 。?

?

1 2 ac 1 1 1 ? a b ? c 2 bc 2 ab 。同理 ? 1 ? , ?1 ? 。 ?1 ? ? ? b b a a a a c c

上述三个不等式两边均为正,分别相乘,得

1 ? 1 ?? 1 ?? 1 ? 2 bc 2 ac 2 ab ? ? ? 8 。当且仅当 a ? b ? c ? 时取等号。 ? ? 1?? ? 1?? ? 1? ? 3 a b c ? a ?? b ?? c ?
应用三:基本不等式与恒成立问题 例:已知 x ? 0, y ? 0 且

1 9 ? ? 1 ,求使不等式 x ? y ? m 恒成立的实数 m 的取值范围。 x y 1 9 x ? y 9x ? 9 y 10 y 9 x ? ? 1 ,? ? ? 1. ? ? ? ?1 x y kx ky k kx ky

解:令 x ? y ? k , x ? 0, y ? 0,

?1 ?

10 3 ? 2 ? 。? k ? 16 , m ? ? ??,16? k k lg a ? lg b , Q ? 1 a?b (lg a ? lg b), R ? lg( ) ,则 P, Q, R 的大小关系是 2 2
.

应用四:均值定理在比较大小中的应用: 例:若 a ? b ? 1, P ?

分析:∵ a ? b ? 1 ∴ lg a ? 0, lg b ? 0

Q?

1 ( lg a ? lg b) ? lg a ? lg b ? p 2 a?b 1 R ? lg( ) ? lg ab ? lg ab ? Q 2 2

∴R>Q>P。

高中数学必修 5 第三章不等式题组训练 [基础训练 A 组]
一、选择题(六个小题,每题 5 分,共 30 分)
2 1.若 ? 2 x ? 5x ? 2 ? 0 ,则 4 x ? 4 x ? 1 ? 2 x ? 2 等于(
2



A. 4 x ? 5
2

B. ? 3

C.3

D. 5 ? 4 x )

2.函数 y=log 1 (x+ x1 +1) (x > 1)的最大值是 ( ?1 A.-2 3.不等式 B.2 C.-3 D.3 )

3x ? 1 ≥1 的解集是 ( 2? x

A.{x|

3 ≤x≤2} 4 3 } 4
B.

B.{x|

3 ≤x <2} 4

C.{x|x>2 或 x≤

D.{x|x<2} ( ) D.a2>2b )

4.设 a>1>b>-1,则下列不等式中恒成立的是 A.

1 1 ? a b

1 1 ? a b

C.a>b2

5.如果实数 x,y 满足 x2+y2=1,则(1-xy) (1+xy)有 (

1 和最大值 1 2 3 C.最小值 而无最大值 4
A.最小值

B.最大值 1 和最小值

3 4

D.最大值 1 而无最小值

6.二次方程 x2+(a2+1)x+a-2=0,有一个根比 1 大,另一个根比-1 小, 则 a 的取值范围是 ( ) A.-3<a<1 B.-2<a<0 C.-1<a<0 D.0<a<2 二、填空题(五个小题,每题 6 分,共 30 分) 1.不等式组 ?

? x ? ?2 的负整数解是____________________。 ? x ? ?3

2.一个两位数的个位数字比十位数字大 2,若这个两位数小于 30, 则这个两位数为____________________。 3.不等式

x2 ?1 ? 0 的解集是__________________。 2? x
2 2

4.当 x ? ___________时,函数 y ? x (2 ? x ) 有最_______值,其值是_________。 5.若 f(n)= n ? 1 ? n, g (n) ? n ? n ? 1, ? (n) ?
2 2

1 (n ? N ) ,用不等号 2n

连结起来为____________. 三、解答题(四个小题,每题 10 分,共 40 分) 1.解 log(2x – 3)(x2-3)>0

2.不等式

x 2 ? 8x ? 20 ? 0 的解集为 R,求实数 m 的取值范围。 m x2 ? 2(m ? 1) x ? 9m ? 4

? y ? x, ? 3.求 z ? 2 x ? y 的最大值,使式中的 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, ? y ? ?1. ?
4.求证: a ? b ? c ? ab ? bc ? ca
2 2 2

[综合训练 B 组]
一、选择题(六个小题,每题 5 分,共 30 分) 1.一元二次不等式 ax +bx+2 ? 0 的解集是(-
2

1 1 , ),则 a+b 的值是_____。 2 3

A. 10

B. -10

C. 14

D. -14

2.下列不等式中: ① x ? 3x ? 2 ? 0 和 x ? 3x ? 4 ? 0
2 2

② 4x ?

5 5 和 4x ? 8 ?8? x?3 x?3

③ 4x ?

5 5 和 4x ? 8 ?8? x?3 x?3



x?3 ? 0 和 ( x ? 3)(2 ? x) ? 0 2? x
D.②、③和④

不等价的是( )A.① 和② 3.关于 x 的不等式(k2-2k+ A.x>

B.① 和③ C.②和③

1 2 1 x

5 5 x ) <(k2-2k+ )1–x 的解集是 ( ) 2 2 1 B.x< C.x>2 D.x<2 2
) B.y= sinx+

4.下列各函数中,最小值为 2 的是 ( A.y=x+

1 ? ,x ? (0, ) sin x 2

C.y=

x2 ? 3 x2 ? 2
1 5

D.y=x+ ) D.5

2 x

?1

5.如果 x2+y2=1,则 3x-4y 的最大值是 ( A.3 B. C.4

6.已知函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(-1,3)和(1,1)两点,若 0<c<1, 则 a 的取值范围是 ( ) A.(1,3) B. (1,2) C.[2,3) D.[1,3] 二、填空题(五个小题,每题 6 分,共 30 分) 1.设实数 x、y 满足 x +2xy-1=0,则 x+y 的取值范围是___________。 2.函数 y=2 x + x ? 1 的值域是________________。
2

3.不等式

( x ? 3)(10 ? x) ? 0 的解集是___________. x 2 ( x ? 1)

4.已知 f(x)=ux+v,x∈[-1,1],且 2u2+6v2=3,那么 f(x)的最大值是________. 5.设 x、y∈R+ 且

1 9 ? =1,则 x+y 的最小值为________. x y

三、解答题(四个小题,每题 10 分,共 40 分) 1. 在函数 y ?

1 1 1 的图象上,求使 ? 取最小值的点的坐标。 x x y
的最小值为多少?

2. 函数 y ?

x2 ? 5 x2 ? 4

3.若 a-1≤ log 1 x ≤a 的解集是[
2

1 1 , ],则求 a 的值为多少? 4 2

4.设 0 ? a ? 1, 解不等式: loga a 2 x ? a x ? 2 ? 0

?

?

[提高训练 C 组]
一、选择题(六个小题,每题 5 分,共 30 分) 1.若方程 x 2 ? (m ? 2) x ? m ? 5 ? 0 只有正根,则 m 的取值范围是( A. m ? ?4 或 m ? 4 C. ? 5 ? m ? ?4 2.若 a ? c 且 b ? c ? 0 ,则不等式 A. ?x | ?a ? x ? b, 或x ? c? C. ?x | ?b ? x ? a, 或x ? c? 3.不等式 lgx2<lg2x 的解集是 ( ) B.(100,+∞) D.(0,1)∪(100,+∞) B. ? 5 ? m ? ?4 D. ? 5 ? m ? ?2 ).

( x ? c)( x ? b) ? 0 的解集为( x?a
B. ?x | ?a ? x ? c, 或x ? b? D. ?x | ?b ? x ? c, 或x ? a?



1 ,1) 100 1 C. ( ,1)∪(100,+∞) 100
A.( 4.若不等式 x2-logax<0 在(0, A.

1 ≤x<1 16

1 )内恒成立,则 a 的取值范围是 ( ) 2 1 1 1 B. <a<1 C.0<a≤ D.0<a< 16 16 16
( )

5.若不等式 0≤x2-ax+a≤1 有唯一解,则 a 的取值为 A.0 B.2 C.4 D.6

6.a > b > 0, 下列不等式一定成立的是 A.a+

(

) D.

1 1 ?b? a b
x

B.

c c ? a b

C.

2a ? b a ? a ? 2b b

a?b 2ab ? ab ? 2 a?b

二、填空题(五个小题,每题 6 分,共 30 分) 1.不等式 log 2 (2 -1) ·log 2 (2
x ?1

-2)<2 的解集是_______________。

2.已知 a ≥0,b≥0, a +b=1,则 a ? 3.函数 f(x)=

1 1 + b ? 的范围是____________。 2 2

1 1 -x(0<x≤ )的最小值为________. x 4 1 2 4.设 x ? 0 ,则函数 y ? ( x ? ) ? 1 在 x =________时,有最小值__________。 x
5.不等式 4 ? x 2 +

x x

≥0 的解集是________________。

三、解答题(四个小题,每题 10 分,共 40 分) 1.已知函数 y=

m x2 ? 4 3x ? n 的最大值为 7,最小值为-1,求此函数式。 x2 ?1

2.已知 a ? 2 ,求证: log?a?1? a ? loga ?a ? 1?
3.已知集合 A= ? x | 2

? ? ? ?

x 2 ? 2 x ?3

?1? ?? ? ?2?

3( x ?1)

? ? ? ? 2 ?, B ? ? x | log1 (9 ? x ) ? log1 (6 ? 2 x)? , ? 3 3 ? ? ?

又 A∩B={x|x2+ax+b<0},求 a+b 等于多少? 3. 画出下列不等式组表示的平面区域,

? x ? 2 y ? 24, ?3x ? 2 y ? 36, ? ? ?0 ? x ? 10, ? ?0 ? y ? 11.

参考答案 [基础训练 A 组]
一、选择题 二、填空题 1.C 2.B 3.B 4.C 5.B 6.C 1. ? 2,?1 2. 13 或 24 3. (2,??) 4. ? 1, 大,1 5. f (n) ? ? (n) ? g (n) 2. m ? ?

三、解答题 1. x ? ( 3,2) ? (2,??)
2 2

1 3. Z max ? 3 2

4.提示:由 a ? b ? 2ab 或作差

[综合训练 B 组]
一、选择题 1.D 2.B 3.B 4. 5.D 6.B 2. ?? 2,??? 3. 4. a ? 2 二、填空题 1. ?? ?,?1? ? ? 1,??? 三、解答题 1. 略 2. ?1 , 1? 3.

?? ?,0? ? ?0,1? ? ?3,10?

4.

2 5. 16

5 2

[提高训练 C 组]
一、选择题 1.D 2.D 3.D 4.A 5.B 6.D 二、填空题 1. ? log2 4 , log2 ?

? ?

5

3

? 2. ? 2 2 ? 6 ,2? 3. 15 ? ? 4 2 ? ? ?
2. 略 3. ? 1 4. 略

4. ? 1,3 5. ? 3,0 ? ?0,2?

?

?

3x 2 ? 4 3 x ? 3 三、解答题 1. y ? x2 ?1


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基本不等式及其应用教案(精心整理)_高一数学_数学_高中教育_教育专区。学生教案 ...已知两地铁路线长 400 km,为了安 全,两列货车的间距不得小于 ( v 2 ) km...
基本不等式的应用
基本不等式应用_数学_自然科学_专业资料。基本不等式应用(小结)目标:1....已知 a, b, c 为不全相等的正实数,且 abc ? 1 ,求证: a ? b ? c ...
基本不等式应用题
1 a 4.(2006 陕西)已知不等式(x+y)( + )≥9 对任意正实数 x,y 恒...(全)基本不等式应用,利用... 5页 1下载券 高中数学高考总复习基本... 11页...
基本不等式的应用
应用基本不等式 基本不等式在解题时一般不能直接应用, 而是需要根据已知条件和基本不等式的“需求” 寻找“结合点”,即把研究对象化成适用基本不等式的形式.常见的...
用基本不等式解决应用题
基本不等式解决应用题例 1.某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒,现准备在该厂附近建一职工宿舍,并对宿舍进 行防辐射处理,建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有...
基本不等式应用技巧之高级篇
基本不等式应用技巧之高级篇基本不等式在不等式的证明、求最大值、最小值的有...请看下面的例题 2. 例题2. 设 x, y , z , w 是不全为零的实数,求 ...
基本不等式的应用(适合高二 必修五)
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