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正弦定理


《正弦定理》教学设计
应数 2 班 白淑贞 41205098

一、 教学内容分析
《正弦定理》是普通高中人教版必修五第一章第一节的内容,它 既是初中“解直角三角形”内容的直接延拓,也是三角函数基础定义 和平面向量等知识在三角形中的具体运用, 是解可转化为三角形计算 问题的其它数学问题及生产、生活实际问题的重要工具,因此具有广 泛的应用价值

。 本节课是“正弦定理”教学的第一课时,其主要任务是引入并证 明正弦定理,在课型上属于“定理教学课” 。因此,做好“正弦定理” 的教学,不仅能复习巩固旧知识,使学生掌握新的有用的知识,体会 联系、发展等辩证观点,而且通过对定理的探究,能使学生体验到数 学发现和创造的历程,进而培养学生提出问题、解决问题等研究性学 习的能力。

二、教学目标
1、知识与技能:通过对任意三角形的边与其对角的关系的探索, 掌握正弦定理的内容及其证明方法。 2、过程与方法:让学生从已有的知识出发,共同探究在任意三角 形中,边与其对角的关系,引导学生通过观察、归纳、猜想、证明, 由特殊到一般得到正弦定理等方法,体验数学发现和创造的历程。 3、情感态度与价值观:在平等的教学氛围中,通过学生之间、 师生之间的交流、 合作和评价, 实现共同探究、 教学相长的教学情境。

三、教学重点与难点
重点:正弦定理的发现和推导。 难点:正弦定理的推导。

四、教学过程设计
师:初中时候我们就知道,在三角形中,有着大边对大角,小边 对小角的结论,这个结论是我们非常熟悉的。事实上,这个结论只是 三角形边角关系的定性描述,那么在一个斜三角形中,它们边角之间 具体的数量关系又是什么样的呢?比如,在一个 ΔABC 中, A 角所对 边的边为 a , B 角所对边的边为 b , C 角所对边的边为 c (见图 1) ,那 么 a、b、c 三条边和相应的 A、B、C 三个角之间的具体数量关系又会是 什么样的呢?这就是这节课我们主要探究的问题。

图1 生:一片茫然。 师:面临一个陌生的问题,我们应该从哪入手进行研究呢?在数 学中,从特殊到一般是一个很重要的思想办法,也是我们日常生活中 思考问题的很重要的的思想办法。由此,我们就想到了先从一个特殊 的三角形入手,看能发现什么规律,进而进行推广。这个时候我们会 想到什么样的特殊三角形呢? 生:直角三角形。 师:我们先画一个直角三角形 RtΔABC (见图 2) ,如果 ?C 为直 角的话,按照刚刚的说法把三角形所对应的边用小写字母表示出来。 之前我们学过的在直角三角形中, 三条边与三个角有什么具体的数量 关系呢?

图2 生:三角函数。 sin A ? ;sin B ? ;? 师:非常棒!这是根据我们学过的三角函数的定义得出来的,在 这里, 我们以正弦为例, 我们观察前两个等式, 可以发现里面都有 c 边, 那么如果我把 c 边提取出来,可以得到什么?
a ? c? ? ? 生: ? sin A ?c ? b ? sin B ?
a c b c

师:由此,我们就可以得到一个边角混合的关系

a b ? ,这 sin A sin B
c , sin C

里还差一个 c 边和 C 角,如果让你大胆猜想的话,它等不等于 那么实际上相等吗? 生: 相等, 在 RtΔABC 中,sin C ? 1 , 成立。

c a b c ? c ,所以 ? ? sin C sin A sin B sin C

师:对,至此,我们就可以得到结构上非常漂亮的式子
a b c ? ? 在直角三角形中成立,那么这样的式子在锐角三角 sin A sin B sin C

形和钝角三角形中还成立吗? 师: 我们看一下在锐角三角形中的情况, 直角三角形的情况成立, 我们就想着构造直角来解决。通常我们怎么构造直角呢?

生:作高 师:在锐角 ΔABC 中,过 A 作 BC 的高,记为 D 。 ? B 和 ?C 分别在
RtΔADC 和 RtΔADB 中, (见图 3) AD 是公共边,通过 AD 建立联系,那

么我们就可以得到 b sin C ? c sin B , 两边同除 sin B sin C ,得到 接着只要证明 己证明一下。

c b ? 。 sin C sin B

a b ? 就可以了,这里需要另作一条高,同学们自 sin A sin B

图3 生:在锐角 ΔABC 中,过 C 作 AB 的高,记为 H 。 ? A 和 ? B 分别在
RtΔCHA 和 RtΔCHB 中, (见图

4) CH 是公共边,通过 CH 建立联系,
a b ? 。 sin A sin B

可以得到 b sin A ? a sin B ,两边同除 sin A sin B ,得到

图4 师:事实上,这个等式在钝角三角形中依然成立,留给同学们下 去证明。我们给今天学的这个等式起一个名字——正弦定理。我们一

起尝试给它归纳一下文字定义吧! 生:在一个三角形中,各边与它所对角的正弦的比相等。


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